初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料(二)
初中数学竞赛辅导资料（二）（含答案）式子的整除甲内容提要1．定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2．根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)，则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。
显然当x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，3．一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。
4．在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
乙例题例1己知x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。
x－3解法一：列竖式做除法（如右）x－2 x2－5x+m由余式m－6＝0得m=6x2－2x解法二：∵x2－5x+m 含有x－2 的因式－3x+m∴以x=2代入x2－5x+m 得－3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a (a为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x－2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法）例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b mb a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z ＝0，得x=－（y+z ），代入原式其值必为0即［－（y+z ）］3+y 3+z 3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0,∵yz ≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y （或y,z 或x,z ）互为相反数时，m 可取任何值 ，当m=－3时，x,y,z 不论取什么值，原式都能被x+y+z 整除。
初一数学竞赛辅导讲义
初一数学竞赛讲座自然数的有关性质一、一、知识要点1、1、最大公约数定义1如果a1,a2,…,a n和d都是正整数，且d∣a1,d∣a2,…,d∣a n，那么d叫做a1,a2,…,a n 的公约数。
公约数中最大的叫做a1,a2,…,a n的最大公约数，记作(a1,a2,…,a n).如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.2、2、最小公倍数定义2如果a1,a2,…,a n和m都是正整数，且a1∣m, a2∣m,…, a n∣m，那么m叫做a1,a2,…,a n的公倍数。
公倍数中最小的数叫做a1,a2,…,a n的最小公倍数，记作[a1,a2,…,a n].如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24.3、3、最大公约数和最小公倍数的性质性质1 若a∣b,则(a,b)=a.性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd.性质3 若n∣a, n∣b,则()nbanbna,,=⎪⎭⎫⎝⎛.性质4 若a=bq+r (0≤r<b),则(a,b)= (b,r) .性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。
性质5若b∣a,则[a,b]=a.性质6若[a,b]=m,且n为正整数，则[na,nb]=nm.性质7若n∣a, n∣b,则[]nbanbna,,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡.4、4、数的整除性定义3对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=b q 成立，则就称b整除a或a被b整除，记作b∣a，若b∣a，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作b a5、5、数的整除性的性质性质1 若a∣b，b∣c，则a∣c性质2 若c∣a，c∣b，则c∣(a±b)性质3 若b∣a, n为整数，则b∣n a6、6、同余定义4设m是大于1的整数，如果整数a，b的差被m整除，我们就说a，b关于模m同余，记作a≡b(mod m)7、7、同余的性质性质1 如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m)性质2 如果a≡b(mod m)，那么对任意整数k有ka≡kb(mod m)性质3 如果a≡b(mod m)，那么对任意正整数k有a k≡b k(mod m)性质4如果a≡b(mod m)，d 是a ，b 的公约数，那么()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡d m,m mod d b da 二、二、例题精讲例1 设m 和n 为大于0的整数，且3m+2n=225.如果m 和n 的最大公约数为15，求m+n 的值(第11届“希望杯”初一试题)解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15因为 a,b 是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6 从而m+n=15(a+b)=15⨯7=105评注：1、遇到这类问题常设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。
初中数学竞赛辅导资料(36)
初中数学竞赛辅导资料（36）三点共线甲内容提要1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。
B 。
C 。
常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC④连结并延长AB 证明延长线经过点C2. 证明三点共线常用的定理有：① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤ 两圆相切，切点在连心线上⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上乙例题例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ， PN ⊥CD求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180∴ M ，N ，P 三点在同一直线上例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和BD 的交点求证：M ，O ，N 三点在同一直线上证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线∴MO ∥AB ，NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行∴ M ，O ，N 三点在同一直线上证明二：连结MO 并延长交BC 于N， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB在△CAB 中∵AO ＝OC ，ON ，∥AB ∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点，∴点N ，和点N 重合∴ M ，O ，N 三点在同一直线上例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ，∠APB ＝Rt ∠连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称点是C ，求证B 和C 是关于原点O 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B O 1和⊙O 2于E ，F 。
奥数初中辅导书推荐
奥数初中辅导书推荐1、《初中奥数入门练习》（华文出版社）2、《初中奥数全面提升》（中国教育出版社）3、《中考奥数题解析》（清华大学出版社）4、《初中数学奥数练习》（人民教育出版社）5、《初中数学奥数思维》（高等教育出版社）6、《初中数学奥数解题技巧》（高等教育出版社）7、《初中数学奥数精讲》（中国科学技术出版社）8、《初中数学奥数题型解析》（中国科学技术出版社）9、《初中数学奥数精练》（中国科学技术出版社）10、《初中数学奥数精讲精练》（中国科学技术出版社）1. 奥数初中辅导书类型及推荐奥数初中辅导书类型一般有：一般练习题集、奥数竞赛书、奥数模拟试卷、奥数训练指南等。
在选择辅导书时，应根据孩子的实际情况来选择，对于初学者，建议选择一般练习题集，书中的练习题可以帮助孩子掌握基础知识；对于有一定基础的孩子，可以选择奥数竞赛书，书中包含了一些比较复杂的题目，可以帮助孩子提高解题能力；对于想参加奥数竞赛的孩子，可以选择奥数模拟试卷，书中的试题可以让孩子熟悉考试题型，从而更好地参加考试。
推荐几本好的奥数辅导书：1、《初中数学联赛练习册》：适合初学者，书中包含了大量的练习题，可以帮助孩子掌握基础知识；2、《初中数学竞赛与训练指南》：适合有一定基础的孩子，书中包含了大量的竞赛题，可以帮助孩子提高解题能力；3、《奥数模拟试卷》：适合想参加奥数竞赛的孩子，书中包含了大量的模拟试题，可以让孩子熟悉考试题型，从而更好地参加考试。
2. 关于奥数初中辅导书的特点奥数初中辅导书一般都是以奥数竞赛为主要目标，所以它们特别注重学生的思维能力和技巧的训练。
它们更注重对学生的思维训练，而不是死记硬背，更加强调学生的解题能力。
它们的训练练习和练习题型也比较多样，从简单的基础知识到复杂的高级技巧，都有涵盖。
此外，它们还会提供一些关于解题技巧的指导，这些技巧可以帮助学生更快地解决问题。
3. 奥数初中辅导书的选择要点1、选择的书籍要符合学生的学习水平，不要过于简单或者过于复杂；2、选择的书籍要有适当的练习内容，有利于学生掌握知识点；3、选择的书籍要有清晰的解题思路，有助于学生掌握解题技巧；4、选择的书籍要有明确的答案解析，有助于学生掌握解题思路；5、选择的书籍要有丰富的题目，有助于学生提高解题能力。
关于初中数学竞赛的书籍
关于初中数学竞赛的书籍
初中数学竞赛是许多学生热衷的学科，以下是一些相关的书籍推荐：
1.《初中数学竞赛全解析》——这本书提供了各种数学竞赛题目的详细解析和解题思路，适合准备竞赛的学生查阅。
2. 《初中数学竞赛习题集》——该书汇集了大量经典数学竞赛题目，按照题型和难易程度进行分类，帮助学生巩固知识并提高解题能力。
3. 《初中数学竞赛冲刺指南》——这本书介绍了常见竞赛的出题规律和解题技巧，通过精选的例题和训练题，帮助学生提高应试能力。
4. 《初中数学竞赛辅导教材》——该教材系统地介绍了数学竞赛中常见的知识点和题型，并提供了大量的例题和习题供学生练习。
5. 《初中数学竞赛秘籍》——这本书总结了数学竞赛中常见的解题技巧和方法，通过实例讲解帮助学生理解和掌握。
这些书籍都可以在学校教材供应店或者在线书店购买到。
希望这些书籍能够帮助到对数学竞赛感兴趣的同学们。
初中奥数竞赛辅导教案
初中奥数竞赛辅导教案通过本节课的辅导，使学生掌握奥数竞赛的基本解题技巧和方法，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 数论：质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与欧拉函数等。
2. 几何：平面几何中的点、线、面的关系，三角形、四边形的性质，圆的性质等。
3. 代数：一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等。
4. 组合数学：排列组合、计数原理、图论等。
5. 数学思维：逻辑推理、归纳总结、演绎推理等。
三、教学方法1. 实例讲解：通过具体的题目实例，讲解解题思路和方法，使学生掌握解题技巧。
2. 练习巩固：布置适量的练习题，让学生在课后进行巩固练习，提高解题能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和方法，互相学习，共同进步。
4. 竞赛模拟：定期举办模拟竞赛，检验学生的学习成果，提高学生的应试能力。
四、教学安排1. 数论：安排4课时，讲解质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与欧拉函数等基本概念和性质。
2. 几何：安排6课时，讲解平面几何中的点、线、面的关系，三角形、四边形的性质，圆的性质等。
3. 代数：安排8课时，讲解一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等基本概念和解法。
4. 组合数学：安排4课时，讲解排列组合、计数原理、图论等基本概念和方法。
5. 数学思维：安排4课时，讲解逻辑推理、归纳总结、演绎推理等方法。
五、教学评价1. 课后练习：检查学生的课后练习情况，了解学生对知识的掌握程度。
2. 模拟竞赛：定期举办模拟竞赛，评估学生的竞赛能力和水平。
3. 学生反馈：听取学生的反馈意见，了解教学方法的适用性和改进方向。
4. 教学总结：定期进行教学总结，调整教学计划和方法，提高教学质量。
通过以上教学安排和教学方法，相信能够有效地提高学生的奥数竞赛水平，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
数学培尖教程第一册初中竞赛
数学培尖教程第一册初中竞赛
《数学培尖教程第一册初中竞赛》是一本专为初中生设计的数学竞赛辅导教材。
本书旨在提高学生的数学思维能力和解题技巧，帮助他们在数学竞赛中取得优异成绩。
本教程分为多个章节，涵盖了初中数学竞赛中常见的各个知识点和题型。
从基础知识到高难题，本书内容丰富全面，既注重培养学生的数学基本功，又注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
每一章节都有大量的例题和习题，旨在帮助学生巩固所学知识，并提供不同难度的题目供学生练习。
解题过程以详细的步骤和思路分析为主，使学生能够理解解题思路和解题方法，进而灵活运用到实际解题中。
此外，本书还配有一些竞赛中常见的解题技巧和思考方法，如数学建模、递推关系等，以帮助学生更好地解决复杂的数学问题。
《数学培尖教程第一册初中竞赛》不仅适用于竞赛备考的学生，也适合对数学感兴趣的学生进行自主学习。
本教材内容经过严选和整理，质量可靠，能够有效提高学生的数学水平和竞赛成绩。
总之，《数学培尖教程第一册初中竞赛》是一本优秀的数学竞赛辅导教材，适合初中生使用，旨在帮助学生提高数学竞赛能力，培养他们对数学的兴趣和自信心。
初中数学竞赛辅导材料目录
初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。
祝学习愉快！。
初中数学竞赛辅导资料(42)
初中数学竞赛辅导资料(42)型如cb a 111=+的证明甲内容提要 型如cb a 111=+的证明,通常是证明它的等价命题 第一种 转化为线段的比例式c b a 111=+⇔)1(1=+b c a c ⇔)2(b c b a c -=⇔)3(cb a b a =+ （1） 可证,a c ab和两个同分母的分式分别相等，例如,p m p n当m+n=p 时等式成立（2）可证明 c,a,b －c,b 四条线段成比例，关鍵是作出b －c 的差 （3）可证明 a+b,a,b,c 四条线段成比例，关鍵是作出a+b 的和 第二种 转化为线段的乘积式cb a 111=+⇔bc+ac=ab(4) (4) 常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积 乙例题例1. 已知：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，O 是AC 和BD 的交点，OE ∥AB 交BC 于有E 求证：OE CD AB 111=+ 分析：OE CD AB 111=+⇔1=+CDOEAB OE 证明AB OE ，CD OE 分别和BC CE ，BCBE相等即可（下略）例2. 已知：在△ABC 中，∠ACB ＝120，CD 是角平分线求证：CDCB CA 111=+ 分析一：CD CB CA 111=+⇔CDCB CA CB CA =+ 延长AC 到E ，使CE ＝CB ，可证△BCE 为等边，BE ∥CDBB分析二：CD CB CA 111=+⇔CA CD ＝CBCDCB -在CB 上截取CE ＝CD ，可证△CDE 为等边三角形，DE ∥CA分析三：CDCB CA 111=+⇔CA ×CD ＋CB ×CD＝CA ×CB 可由S △CAD ＋S △CBD ＝S △CAB 证得 证明：∵S △CAD ＋S △CBD ＝S △CAB ∴21CA ×CDSin ∠ACD ＋21CB ×CDSin ∠BCD=21CA;x CBSin ∠ACB ∵Sin120=Sin60,∴CA ×CD ＋CB ×CD ＝CA ×CB ∴CDCB CA 111=+ 例3. 已知：△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶4求证：BC AC AB 111=+ 分析：BC AC AB111=+⇔1=+AC BC AB BC ⇔ACBCAC AB BC -= 在AC 上取CD ＝BC ，证明 ACADAB BC =即可，要创造相似三角形，作角平分线CE ，连结DE ，得△ACE ∽△ABC ，再证CE ＝DE ＝AD 证明：在AC 上取CD ＝BC ，作角平分线CE ，连结DE显然△CDE ≌△CBE ，∠DCE ＝∠BCE ∠CDE ＝∠B ＝2α，∵∠A ＝α，∴∠DEA ＝α∴CE ＝ED ＝DA∵△ACE ∽△ABC ，∴AB AC BC CE =，AB AC BC AD =,AB ACBC CD AC =- AB ACBC BC AC =-, AB BC AC BC AC =-, 1 －AB BCAC BC =∴BCAC AB 111=+BCDBCDBE例4. 已知：点C 和点D 分别内分、外分线段AB 为同一个比 即AC ∶CB ＝AD ∶DB ＝κ（称C ，D 调和分割AB ）求证：AB AD AC 211=+ 分析： AB AD AC 211=+⇔2=+ADABAC AB ⇔ADABAC AB -=-11 ⇔AD ABAD AC AC AB -=- ⇔AD DBAC CB = ⇔DBADCB AC =＝κ （证明步骤是分析的倒逆）例5. 如图已知：△ABC 中，BC ＝a,高AD ＝h,内接正方形EFGH 边长为m求证：m h a 111=+ 分析：mh a 111=+⇔hm+am=ah,证明：∵S △AEF ＋S 梯形EFGH ＝S △ABC∴BC HE BC EF AK EF =++⋅21)(2121即 m(h-m)+(m+a)m=ah, mh+ma=ah 两边除以ahm, 得mh a 111=+ 丙练习421. 四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝Rt ∠，P 是BD 上的一点，PM ⊥AB ， PN ⊥CD ，M ，N 是垂足，求证：1=+BCNPAD MP 2. △ABC 中，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于E ，则DECA BC 111=+ 3. 经过平行四边形ABCD 的顶点D 的一直线交BC 于M ，交AB 的延长线于N ，求证1=-BNABBM BC 4. 已知：△ABC 中，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DE ∥BC求证：（1∶S △BAE ）＋（1∶S △BEC ）＝1∶S △BEDA DCC5. △ABC 中，∠C ＝60 ，角平分线CD ＝t, 求证tb a 311=+ 6. △ABC 内一点P ，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D ，E ，F 是垂足，设a,b,c 边上的高分别为h a,h b,h c 求证1=++cb a h PFh PE h PD 7. 已知2a =7b =14c 求证cb a 111=+ 8. 已知：直线y=bx+c (b ≠0), 与抛物线y=ax 2（a ≠0） 有两个交点，与横轴有一个交点，它们的横坐标分别为x 1,x 2,x 3 且b 2-4ac>0求证：321111x x x =+ 9. Rt △ABC 斜边上的高CD ＝h ，那么222111h b a =+ 10. 过△ABC 内一点P 分别作三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥AB ，HK ∥AC求证：①1=++AB AKCA CE BC BF②2=++ACHKAB FG BC DE11. 在等边△ABC 外接圆的弧BC 上取点PPA 交BC 于M ，求证PMPC PB 111=+ 12. PA ，PB 切⊙O 于A ，B ，直线PO 交⊙O 于M ，N ，交AB 于C求证PCPN PM 211=+ 13. 已知半径分别为R ，r 的⊙O 和⊙O 1外切于P ，点P 到外公切线AB 的距离为d, 则dr R 211=+C13。
初中数学竞赛辅导资料(总24页)
初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料解三角形甲内容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠). ① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab. ④ 互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)= CosA ， Cos(90－A)= SinA ， tan(90－A)= CotA, Cot(90－A)= tanA. ⑤；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)= sinA ， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA ， cotA(180－A)=－tanA. ④ S △ABC ＝21absinC=21bcsinA=21casinB.4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等. 乙例题例1. 已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.求：AC 的长.解：延长AD 和BC 相交于E ，则∠E ＝30.在Rt △ECD 中，∵sinE=CECD, ∴CE=30sin 1=1÷21＝2. EB ＝4. 在Rt △EAB 中， ∵tanE=EBAB,∴AB=EBtan30。
(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
初中竞赛书籍推荐数学试卷
在初中阶段，参加各类竞赛对于提高学生的数学素养和应试能力具有重要意义。
为了帮助同学们在竞赛中取得优异成绩，本文为您推荐几本优秀的初中数学竞赛书籍，并附上相应的试卷，供同学们参考和练习。
一、书籍推荐1.《初中数学竞赛一本通》本书由我国著名数学家、竞赛教练编写，内容涵盖了初中数学竞赛的各个知识点，包括数论、组合、几何、概率与统计等。
书中不仅有详细的解题方法，还配有大量的例题和习题，帮助同学们巩固所学知识。
2.《数学奥林匹克竞赛试题精选》本书收集了全国各地数学竞赛的真题，内容丰富，难度适中。
书中不仅提供了详细的解答过程，还附有答案解析，帮助同学们掌握解题技巧。
3.《初中数学竞赛必备》本书是专为初中数学竞赛设计的辅导书，涵盖了竞赛中的所有知识点，并配有大量的例题和习题。
书中还介绍了各种解题方法和技巧，帮助同学们在竞赛中脱颖而出。
二、试卷推荐1.数论试卷（1）已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，且a+b+c=100，求a、b、c的值。
（2）设正整数m、n、p、q满足m^2+n^2=p^2+q^2，且m+n+p+q=100，求m、n、p、q的值。
2.组合试卷（1）从1到9这9个数字中，任取3个不同的数字，组成一个三位数，求这个三位数的个数。
（2）从1到10这10个数字中，任取4个不同的数字，组成一个四位数，求这个四位数的个数。
3.几何试卷（1）已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，求BC的长度。
（2）在平面直角坐标系中，点A（2，3）、B（5，1），求线段AB的长度。
4.概率与统计试卷（1）一个袋子里有5个红球、3个蓝球和2个绿球，随机取出一个球，求取到红球的概率。
（2）某班有40名学生，其中男生20名，女生20名。
随机选取3名学生，求这3名学生中至少有2名男生的概率。
通过以上书籍和试卷的推荐，相信同学们在初中数学竞赛中能够取得优异的成绩。
在备考过程中，同学们要注重基础知识的学习，掌握各种解题方法，多做题、多总结，不断提高自己的数学素养。
初中数学竞赛辅导讲义(总77页)
初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2． 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
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初中数学竞赛专题选讲
识图
一、 内容提要
1•几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2•几何图形就是点，线，面，体的集合。
点是组成几何图形的基本元素。
《平
面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3•几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。
因此单独 研究点、线、
面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。
线：只有长短，没有粗细。
线是由无数多点组成的，即“点动成线” 。
面：只有长、宽，没有厚薄。
面是由无数多线组成的，
“线动成面”。
4•因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的 组合关系是学
好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中 的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。
还要注 意一般图形和特殊图形的差别。
二、 例题
例1•数一数甲图中有几个角 （小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图 中有几全等三角形？ 丁图中有几对等边三角形？
解：甲图中有 10 个角：/ AOB, / AOC, / BOC, / BOD, / COD, / COE, / DOE, / DOA, / EOA, / EOB.如果 OA 和 OC 成一直线，则少一个/ AOC , 余类推。
乙图中有5个等腰三角形： △ ABC , △ ABD , △ BDC , △ BDE , △ DEC 丙图中有全等三角形 4对：（设AC 和DB 相交于O ）
△ AOB ◎△ COD , △ AOD ◎△ BOC , △ ABC ◎△ CDA , △ BCD DAB 。
丁图中共有等边三角形 48个:
O
乙
A
O
C
B
甲A
乙0
答甲和乙的速度比是 2比3。
边长1个单位：顶点在上▲的个数有 顶点在
下▼的个数有
边长2个单位：顶点在上▲的个数有 顶点在
下▼的个数有
边长3个单位：顶点在上▲的个数有 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 以上要注意数一数的规律 例2•设平面内有6个点A 1, A 2, A 3,
A 4, A 5, A 6 ,其中任意3个点都不在同一 直线上，如果每两点都连成一条线， 那么共有线
段几条？如果要使图形不出 现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。
（佃89年全国初中数学联赛题 ）
解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1, A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段 1+ 2+
3 +
4 + 5= 1
5 （条），或用每点都与其他 5点连 线共5X 6再除以2 （因重复计
算）。
要使图形不出现有 4个点的两两连线，那么每点只能与其他
4个点连线,
共有（6X 4）- 2 = 12 （条）如下图：其中有 3对点不连线：A 1A 4, A 2A 5,
进，当甲在0点时，乙离点 0为500米，2分钟后，甲、乙离点 0相等； 又过8分钟，
甲、乙再次离点 0相等。
求甲和乙的速度比。
解：如图设甲0,乙0为开始位置，甲1,乙1为前进2分钟后位置，甲2,乙2 乙2
为再
前进8分钟的位置。
再设甲，乙的速度分别为每分钟
x,y
米，根据题意得
2x=500-2y JOx =10y -500
甲-0一甲^ ----------------- 甲^
解得 12x=8y
1+ 2+ 3 + 4 + 5= 15 1+ 2+ 3 + 4 = 10 1+ 2+ 3 + 4 = 10 1+ 2= 3 1+ 2+ 3 = 6 1+ 2= 3 1
A 3A 6
例3•如图水平线与铅垂线相交于 0,某甲沿水平线, A 3
某乙铅垂线同时匀速前
例4•在三角形内（不在边上）有 3个点，连同原三角形三个顶点，共 6个
点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？
（佃89年全国初中数学联赛题）
解：如图厶ABC 中一个点D ，与A ，B ，C 各点连结可得3个不重迭的三角 形；再增加
1个点E ,这时可连结不重迭的三角形共 5个，再增加1个点F , 又可增加2个不重迭的
三角形，共有 7个。
1. ___________________________ 数一数：甲图中有直角三角形 ____ 个，乙图中有
等腰直角三角 ______________________ 个,
丙图中有全等三角形.
3. 以0为端点画6条射线OA , OB, OC, 0D , OE,OF,那么可组成的角（小
于平角）最多是—个，最少是 ________ 个，试分别画出草图。
4. 在三角形内有n 个点（n 为整数）与原三角形3个顶点共n + 3个点，以
这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有 _________ 个。
5. ________________ 下图中三角形 _____________________________ 个其中等腰三
角形—个，直角三角形 __ 个,
全等的等腰三角形—组，每组—个, 全等的直角三角形 组，每组—个。
6. 如图长方形 ABCD 中，E , F , G 分别在边
BC , CD , DA 上，以A 为一个顶点，其他两点 在B , C , D , E , F , G 中任选，总共可组成的
B
对。
2.
甲
平面上有 那么以这 5个点A ， 5个点为端点的线段共有
B ，
C ，
D ，
E ,其中 A ，B ， 条，记作
B 丙 C
C 三点在同一直线上,
三、练习
E D
三角形的个数是—（佃87年泉州市初二数学双基赛题）乙0 答甲和乙的速度比是2比3。
7. 平面上有6个点A , B, C, D, E, F其中任意3个点都不在同一直线上，如果不
使图形出现有3个点两两连线，那么最多可连接线段几条？
0C丄AB于O, 0D丄OE于0,写出图中
相等的角：
互余的角： ___
互补的角： ___
如图长方形ABCD中，AB = 5, BC = 4,
AE = BF = 1, CG= DH = 2
那么四边形EFGH的面积是—（平方单位）10. 如图A , B , C, D四点在同一直线
上，至U A , B , C, D各点距离之和为最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用
哪些线段的长度来表示？（佃87年全国初中数学联赛题）
A B C
11. 正方形的边长为a，以四条边长为直径，向形内作4个半圆，求这四个半圆相交所成的菊花形面积。
12. 下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体? 答: （
）LI
(A) (B) (C) (D)
13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相
向而行，第一次相遇时，乙走了100米，第二次相遇时，甲还差60米
走完一圈。
求这个圆的周长。
提示：可设圆周长为x米，并引入参数V甲，V乙列方程组解之
14. 正方形ABCD边长为a,在点A处有个质点P,在点B处有个
质点Q,
两个质点同时依反时针方向，沿正方形的边线作匀速的运
动，
试画出草图
O
C
F
2
过4秒钟，P在C处追上Q。
那么
①再过______ 秒钟，P在—处第二次追上Q
②出发6秒钟时，P, Q这间相距 ______ a
15. 有长3cm，宽2cm的长方形纸片1991张，将它们按照下图所示的方法,
摆在平面上，那么这1991张纸片覆盖的面积是（）
（1991年泉州市初二数学双基赛题）（A）3982 （B）3986 （C）3990 （D）3999
16. 一条线段（与圆相交）可把一个圆分成两部分，问四条线段最多可把圆
分成________ 部分。
（佃91年泉州市初二数学双基赛题）
17. 把一个矩形分成6个正方形（如图），其中最小的一个面积是1 （单位平
方）那么这个矩形的面积是_______ （单位平方）
练习题参考答案
1. 5, 8, 4
2. 10
3. 15, 12
4. 1+2n
5. 16,8,8 .4,2.2,4
6. 14
7. 9
9. 11
10. 有无数多个点，在线段BC上(包括端点)，和是AD + BC
兀2
11. ( 1) a
12. (A)
13. 480
14. ①16, C ②
0.5a
15. (B)
16. 11
17. 4
2。