初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛专题选讲

识图

一、 内容提要

1•几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。

2•几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。

《平

面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。

3•几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独 研究点、线、

面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线” 。

面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，

“线动成面”。

4•因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的 组合关系是学

好几何的重要基础。

识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中 的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注 意一般图形和特殊图形的差别。 二、 例题

例1•数一数甲图中有几个角 （小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图 中有几全等三角形？ 丁图中有几对等边三角形？

解：甲图中有 10 个角：/ AOB, / AOC, / BOC, / BOD, / COD, / COE, / DOE, / DOA, / EOA, / EOB.如果 OA 和 OC 成一直线，则少一个/ AOC , 余类推。

乙图中有5个等腰三角形： △ ABC , △ ABD , △ BDC , △ BDE , △ DEC 丙图中有全等三角形 4对：（设AC 和DB 相交于O ）

△ AOB ◎△ COD , △ AOD ◎△ BOC , △ ABC ◎△ CDA , △ BCD DAB 。

丁图中共有等边三角形 48个:

O

乙

A

O

C

B

甲A

乙0

答甲和乙的速度比是 2比3。

边长1个单位：顶点在上▲的个数有 顶点在

下▼的个数有

边长2个单位：顶点在上▲的个数有 顶点在

下▼的个数有

边长3个单位：顶点在上▲的个数有 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 以上要注意数一数的规律 例2•设平面内有6个点A 1, A 2, A 3,

A 4, A 5, A 6 ,其中任意3个点都不在同一 直线上，如果每两点都连成一条线， 那么共有线

段几条？如果要使图形不出 现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。

（佃89年全国初中数学联赛题 ）

解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1, A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段 1+ 2+

3 +

4 + 5= 1

5 （条），或用每点都与其他 5点连 线共5X 6再除以2 （因重复计

算）。

要使图形不出现有 4个点的两两连线，那么每点只能与其他

4个点连线,

共有（6X 4）- 2 = 12 （条）如下图：其中有 3对点不连线：A 1A 4, A 2A 5,

进，当甲在0点时，乙离点 0为500米，2分钟后，甲、乙离点 0相等； 又过8分钟，

甲、乙再次离点 0相等。求甲和乙的速度比。

解：如图设甲0,乙0为开始位置，甲1,乙1为前进2分钟后位置，甲2,乙2 乙2

为再

前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟

x,y

米，根据题意得

2x=500-2y JOx =10y -500

甲-0一甲^ ----------------- 甲^

解得 12x=8y

1+ 2+ 3 + 4 + 5= 15 1+ 2+ 3 + 4 = 10 1+ 2+ 3 + 4 = 10 1+ 2= 3 1+ 2+ 3 = 6 1+ 2= 3 1

A 3A 6

例3•如图水平线与铅垂线相交于 0,某甲沿水平线, A 3

某乙铅垂线同时匀速前

例4•在三角形内（不在边上）有 3个点，连同原三角形三个顶点，共 6个

点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？

（佃89年全国初中数学联赛题）

解：如图厶ABC 中一个点D ，与A ，B ，C 各点连结可得3个不重迭的三角 形；再增加

1个点E ,这时可连结不重迭的三角形共 5个，再增加1个点F , 又可增加2个不重迭的

三角形，共有 7个。

1. ___________________________ 数一数：甲图中有直角三角形 ____ 个，乙图中有

等腰直角三角 ______________________ 个,

丙图中有全等三角形.

3. 以0为端点画6条射线OA , OB, OC, 0D , OE,OF,那么可组成的角（小

于平角）最多是—个，最少是 ________ 个，试分别画出草图。

4. 在三角形内有n 个点（n 为整数）与原三角形3个顶点共n + 3个点，以

这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有 _________ 个。

5. ________________ 下图中三角形 _____________________________ 个其中等腰三

角形—个，直角三角形 __ 个,

全等的等腰三角形—组，每组—个, 全等的直角三角形 组，每组—个。

6. 如图长方形 ABCD 中，E , F , G 分别在边

BC , CD , DA 上，以A 为一个顶点，其他两点 在B , C , D , E , F , G 中任选，总共可组成的

B

对。

2.

甲

平面上有 那么以这 5个点A ， 5个点为端点的线段共有

B ，

C ，

D ，

E ,其中 A ，B ， 条，记作

B 丙 C

C 三点在同一直线上,

三、练习

E D