对弧长的曲线积分

物理意义
(1)当 (x,y)表示曲线弧L的线密度时, 曲线弧
L的质量:
ML(x,y)ds
(2) 曲线弧 L对x轴及y轴的转动惯量:
Ix
y2ds,
L
Iy
x2ds
L
(3) 曲线弧 L的质心坐标:
x L x ds , y L y ds
L ds
L ds
四、对弧长曲线积分的计算
解法 化为参变量的定积分计算
其中s为曲线L的弧长.
性质5(与积分路径的方向无关)
L(A⌒B)f(x,y)dsL(⌒BA)f(x,y)ds
注意
函数 f (x, y)在 闭曲线L上 对弧长的曲线积分
记作 f(x,y)ds. L
补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质.
设函数f (x, y)在一条光滑(或分段光滑)的曲线 L上连续, L关于y轴 (或x轴) 对称, 则
Lf(x,y)ds
0,
当f (x, y)是L上关于x (或y)的奇函数,
பைடு நூலகம்
2
f(x,y)ds,当f (x, y)是L上关于x (或y)的偶函数
L1
L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 f (x, y)的奇偶性与积分曲线
L的对称性.
2(t)2(t)dt O x x
因此上述计算公式相当于“换元法”.
L的参数方 xy程 ((tt为 )) (t),
Lf(x,y)dsf[ (t), (t )] 2(t)2(t)dt
L1L2
L1
L2
(对路径具有可加性)
性质3 设在L上 f(x ,y)g (x ,y)则,
Lf(x,y)dsLg(x, y)ds
特别地, 有
Lf(x,y)dsL f(x,y)ds
性质4(中值定理)若函数 f (x, y)在光滑曲线
弧L上 连续,则在L上至少存在一点 (,),使得
Lf(x ,y)d sf(,)s, (,)L,
n
f(x,y)dslim
L
0
f (i ,i ) si
i1
积分弧段 弧元素
积分和式
曲线形构件的质量 ML(x,y)ds.
2. 存在条件
当 f (x, y)在光滑曲线弧L上 连续,对弧长
的曲线积分 Lf(x,y)ds存在 .
3. 推广
函数 f (x, y, z) 在空间曲线弧Γ上对弧长
的曲线积分为
y
点, (2) 作乘积 f(i,i)si,
n
(3) 并作和 f(i,i)si,
i1
OA
M1
B
L Mn1
(i
,i
)
•
s
M
i
i
M2
Mi1
(4) 如果当各小弧段的长度的最大值 0时, x
n
f (i ,i ) si
i1
这和的极限存在, 则称此极限为函数 f (x, y)
在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或
第一类曲线积分.记作 f(x,y)ds,即 L 被积函数
定理10.1 设f (x, y)在曲线弧L上有定义且连续,
L的参数 方 x y 程 ((tt)) 为 (t),其中(t) , (t) 在[,]上具有一阶连续导数, 且
f(x,y)ds f[ (t), (t )] 2(t)2(t)dt
L
( )
n
证
根据定义
L
f(x,
y)dslim
0k1
第10章 曲线积分与曲面积分
一、问题的提出
B
实例 曲线形构件的质量 y 元素法
L Mn1
匀质之质量 Ms
(i
,i
)
•s
Mi1
M
i
i
分割 M 1,M 2,,M n 1
A M1 M2
O
x
取近似 取 (i,i) si, M i(i,i) s i
n
求和 M (i,i)si
i1 n
取极限 Mlim 0
例 计算 (xy3)ds.其中L是圆周 x2y2R2. L
解 (xy3)ds xds y3ds0
L
由对称性,得
L
L
y x2y2 R2
对 xds,因积分曲线L关于 y轴对称, O x L
被积函数x是L上 关于x的奇函数xds 0 L
对 y3ds,因积分曲线L关于x轴对称, L
被积函数 y 3 是L上关于y的奇函数 y3ds0 L
第10章 曲线积分与曲面积分
curvilinear integral and surface integral
10.1 第一类(对弧长)的 arc length 曲线积分 curvilinear integral
问题的提出 对弧长的曲线积分的概念与性质 对弧长的曲线积分的几何与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 小结 思考题 作业
f(k,k)sk
设各分点对应参数为 tk(k0 ,1 , ,n ),
点 (k,k)对应参数为 k [tk1,tk],
skttk k 1 2(t)2(t)d t 2 (k )2 (k ) tk,
则 弧长公式 n 积分中值定理 k [tk1,tk]
f(x,y)ds L
lim
0
k 1
f[(k),(k)]2(k ) 2(k ) tk
n
f(x,y,z)dslim
0i1
f(i,i,i)si.
4. 性质
性质1 设,为常,则 数
L [f(x ,y ) g (x ,y )d s ]
L f(x ,y ) d sL g (x ,y ) d s
性质2 若L(或Γ)是分段光滑的, (LL 1L 2)
f(x,y)ds f(x,y)ds f(x,y)ds
(i ,i ) si
i1
近似值 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.定义 定义10.1 设L为 xOy面内一条光滑曲线弧,
函数 f (x, y)在L上有界. (1)在L上任意插入一点列
M 1,M 2,,M n 1把L分成n个小段. 设第i个小段的
长度为Δsi , 又(i,i)为第i个小段上任意取定的一
注意 2(t)2(t)连续
n
lim 0 k1
f[(k),
(k)]
2(k)2(k) tk
因此 Lf(x,y)ds
f[(t),(t)]2 (t)2 (t)d t
说明 (1) 因为 sk0,所以 tk 0,因此积分限
必须满足 !
(2) 注意到 ds(d x)2(d y)2
y
ds dy dx
三、对弧长的曲线积分的几何与物理意义
几何意义
(1) 当 f(x,y)1时 ,L弧长
ds
L
(2) 当 f(x,y)0时 ,平面曲线L上第一类曲线
积分:
S柱面面积 f(x,y)ds L
在几何上表示以L为准线, 母线平行于z轴的柱面
之介于平面z = 0和曲面 z = f (x, y)之间那部分的 柱面面积.