对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
对弧长的曲线积分
(0 x 1)
2 2
y ds
1
0
x
2
1 ( x )' dx
1 0 x
1 4 x 2 dx
3 1 2 2
1 1 4x 12
1 5 5 1 12
0
例2 计算半径为R、中心为2α的圆弧L对于它的对称轴
的转动惯量I(设线密度μ=1).
解：取坐标系如图所示，则
'2 (t ) '2 (t )dt， 再作到的定积分
即可。 (注意 )
x x (2) 若取x为参数，则 y ( x) 则
X x0
x0 x X
f ( x, y )ds f x, ( x) 1 '2 ( x)dx L ( x0 X )
f (t ), (t ) '2 (t ) '2 (t ) dt
( )
证: 假定当t由变至时，M由A变至B，在L上取一列点
A M 0 , M 1 , M 2 ,, M n 1 , M n B 其对应一列单增参数值,
t0 t1 t 2 t n 1 t n
R3 (2 sin 2 ) 2 R 3 ( sin cos ).
例3 计算曲线积分 Γ ( x y z )ds，其中Γ为 螺旋线
2 2 2
x a cos t y a sin t 上相应于t从0到2π 的一段弧。 z kt
解：( x 2 y 2 z 2 )ds
Γ
2π 0
(a cos t )
2
(a sin t ) (kt )
曲线积分
曲线积分知识点讲稿一.对弧长的曲线积分:1.引例 :设L 是质量分布不均匀的构件，密度为f(x,y)，则弧M i-1M i 的质量△M i =f(ξi , ηi )△s iM=i ni i i s f ∆∑=→),(lim1ηξλ2.弧长曲线积分的定义: 设L 为OXY 平面内的一条光滑曲线弧，端点为A,B,函数f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，并取B M A M n ==,0，把L 分成n 个小段，令第i 个小弧段的长度为△s i ，又),(i i ηξ为第i 个小弧段上的任意一点，作乘积i i i s f ∆),(ηξ(i=1,2,3,…，n),并对i 求和i ni i i s f ∆∑=),(1ηξ，如果当各个小弧段的长度的最大值λ→0时，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记为⎰Lds y x f ),(，即⎰Lds y x f ),(=i ni i i s f ∆∑=→),(lim1ηξλ其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段. 3.对弧长曲线积分的性质: (1). =±⎰Lds y x g y x f )],(),([⎰Lds y x f ),(⎰±Lds y x g ),((2). ⎰Lds y x kf ),(=⎰Lds y x f k ),((3).⎰Lds y x f ),(=⎰1),(L ds y x f +)(),(212L L L ds y x f L +=⎰(4). 变换L 的起点和终点，对弧长的曲线积分的值不变(但一般取下限<上限). (5).⎰=LL ds其中L 表示曲线的弧长,也可看作如下三种情况的推广.a b dxba-=⎰, [b-a]的长度,D dxdyD=⎰⎰ D 的面积,Ω=⎰⎰⎰ΩdxdydzΩ的体积.Y二.对弧长的曲线积分的计算法设f(x,y)在曲线弧L 上有定义且连续 (1).L 是参数方程 ⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ (α≤t ≤β)φ(t),ψ(t)有一阶连续导数 并且0)()(22≠'+'t t ψϕ 22)()(y x s ∆+∆≈∆ 又∵dt t t dt t x )()()(ϕϕϕ'≈-+=∆ , dt t t dt t y )()()(ψψψ'≈-+=∆∴△s 的近似值即弧长元素d s 为222222))(())(()()(dt t dt t dy dx ds ψϕ'+'=+==dt t t )()(22ψϕ'+'∴⎰Lds y x f ),(=])(),([⎰βαψϕt t f dt t t )()(22ψϕ'+'(2).曲线L 的方程 : ⎩⎨⎧≤≤==)(,)(b x a x y y x x 则⎰Lds y x f ),(=⎰bax y x f )](,[dx x y )(12'+(3). 曲线L 的方程 ⎩⎨⎧≤≤==)(,)(d y c yy y x x 则⎰Lds y x f ),(=⎰dcy y x f ]),([dy y x )(12'+(4).曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===)(,)()()(βαωψϕt t z t y t x 则⎰Γds z y x f ),,(=⎰βαωψϕ)](),(),([t t t f dt t t t )()()(222ωψϕ'+'+'★(5)曲线方程是极坐标形式 L: r=r(θ), θ0≤θ≤θ1 ⎩⎨⎧==θθθθs i n )(c o s)(r y r x (θ0≤θ≤θ1) 则θθθθθθθθθd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=1)()(]sin )(,cos )([),(22计算对弧长的曲线积分 : 1.⎰+Lds y x )2(,其中L 为连接两点(2,0),(0,3)的直线段解: AB:132=+y x ,即x y 233-=∴2131,232='+-='y y X0 A(2,0)⎰⎰⎰+=-+=+220)321(213213)2332()2(dx x dx x x ds y x L=2137)341(21322=+x x 2. ∮L(x 2+y 2)n ds,其中L 为圆周 x=acost, y=asint (0≤t ≤2π)解: adt dt y x ds t a y t a x ='+'=='-='22,cos ,sin∮L(x 2+y 2)n ds=1220222])sin ()cos [(+=+⎰n n aadt t a t a ππ3. I=∮L(x 2+y 2+5)n ds= 12π , 其中L 为x 2+y 2=1的圆周.4. I=∮L(4x 2+5y 2-16)ds= 4K , 其中L 为椭圆14522=+yx,周长为K.5. ds eyx L22∮+,其中L 为圆周x 2+y 2 =a 2, 直线x y 3=及X 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解 直线OA L 1 : x y 3=, 扇形2 :x=acost,y=asint (0≤t ≤π/3)X 轴 : L 3 y=0 , L=L 1+L 2+L 3 I=ds eyx L22∮+=⎰+122L yx ds e+⎰+222L yx ds e+⎰+322L yx ds e∵dx dx ds y L 2)3(1,3:21=+==' , t a y t a x L cos ,sin :2='-='a d t dt y x ds ='+'=22 , dx ds y L ==',0:3 ∴ I=dx e dt e a dx e axaa x⎰⎰⎰++03222π=a xaa xet ae e 030202)()(++π=2)32(-+ae aπ6.⎰Γyzds x 2,其中四个点为 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,2),D(1,3,2), Γ为折线ABCD解: AB,BC,CD 是直线写成参数(一次)式直线方程: AB: x=0,y=0,z=t (0→2)BC: x=1,y=0,z=2 CD: x=1, y=t (0→3),z=2⎰Γy z d s x 2=⎰AByzds x 2+⎰BCyzds x 2+⎰CDyzds x 2=0+0+⎰CDyzds x2=dt t ⎰++31002=9 X7.求心形线r=a(1+cos θ) 的长度(a>0)解: θθθcos 2cos )]cos 1([222222a a a a r ++=+=θθ222sin )(a r =' ∴ds=θθθθd a d r r 2cos2)(22='+ X]2c o s 2c o s [22c o s 22020⎰⎰⎰-==ππππθθθθθθd d a d a ds L∮=a a 8]2sin22sin 2[220=-ππθθ一.对坐标的曲线积分的概念与性质:1.引例 :变力沿曲线所作的功设质点受力为 F(x,y)=p(x,y)i+Q(x,y)j j y i x M M i i i i )()(1∆+∆=-i i i i i M M F w 1),(-≈∆ηξi i i i i i i y Q x P w ∆+∆≈∆),(),(ηξηξ X]),(),([i i i i i i niniiy Q x P wW ∆+∆≈∆=∑∑ηξηξ]),(),([limi i i i i i niy Q x P W ∆+∆=∑→ηξηξλ2.坐标曲线积分的定义:设L 为OXY 平面内从点A 到点B 的一条有向光滑曲线弧，,函数P(x,y),Q(x,y)在上有界，在L 上沿L 的方向任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，，把L 分成n 个有向小弧段，M i-1M i (i=1,2,…; B M A M n ==,0)令△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1,点),(i i ηξ为M i-1M i 上的任意一点，如果当各小弧段长度的最大值λ→0时，i ni i i x P ∆∑=),(1ηξ，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数P(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标x 的曲线积分，记为⎰Ldx y x P ),(，类似地，如果i ni i iy Q ∆∑=→),(lim1ηξλ总存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标y 的曲线积分，记为⎰Ldy y x Q ),(即⎰Ldx y x P ),(=i ni iix P ∆∑=→),(lim 10ηξλ⎰Ldy y x Q ),(=i ni i iy Q ∆∑=→),(lim 1ηξλ其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段，此两个积分也称为第二类曲线积分在书写上常把两者合并:⎰Ldx y x P ),(+⎰L dy y x Q ),(= dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰3.坐标曲线积分的性质:(1).如果有向弧 L=L 1+L 2 , 则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰=dy y x Q dx y x P L ),(),(1+⎰+dyy x Q dx y x P L ),(),(2+⎰(2).设L 是有向曲线弧段，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧段，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰-=-dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰◣注意◥1.对坐标曲线积分，必须注意曲线L 的方向，化到定积分时，下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点，α不一定小于β. 2.对弧长曲线积分，化到定积分时，虽然α→β，β→α弧长不改变，但下限α一定要小于上限β 二. 对坐标的曲线积分的计算方法设 P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L 上有定义且连续 1.曲线 L : 参数方程⎩⎨⎧≠'+'==0)()(,)()(22t t t y t x ψϕψϕ , (α≤t ≤β) 则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dtt t t Q t t t P ⎰'+'βαψψϕϕψϕ)()](),([)()](),([(2. 曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===)(,)()()(βαωψϕt t z t y t x 则dz z y x R dyz y x Q dx z y x P L),,().,(),,(++⎰=dt t t t t R t t t t Q t t t t P )}()](),(),([)()]().(),([)()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕβα'+'+'⎰3. 曲线 L : 函数方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==b x a x x x y y ,)( ,则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dxx y x y x Q x y x P ba⎰'+)()](,[)](,[4. 曲线 L : 函数方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==d x c yy y x x ,)( ,则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dy y y x Q y x y y x P dc⎰+']),([)(]),([三.计算坐标曲线积分 1.dy x y dx y x L)()(-++⎰ 其中L 是y 2=x 上从点(1,1)到点(9,3)解:用 x=x(y) , 1≤y ≤3 ,x ’(y)=2y ,dx=2ydy∴dy x y dx y x L)()(-++⎰=⎰-++3122)](2)[(dy y y y y y=3158)213121()2(313123423=++=++⎰y y y dy y y y2.dy x y dx y x L)()(-++⎰ 其中L 是先沿着直线从点A(1,1)到点B(1,3)而后再沿直线到点C(4,3)解: 直线⎪⎩⎪⎨⎧==∴≡→==∴≡→dx dx dy y x BC dydy dx x y AB 03;)41(:01;)31(:dy x y dx y x L)()(-++⎰=dy x y dx y x AB)()(-++⎰+dy x y dx y x BC)()(-++⎰=⎰-ABdy x y )(+⎰+BCdx y x )(=⎰⎰++-4131)3()1(dx x dy y=237)3(21)1(21412312=++-x y3. 22)()(∮y x dy y x dx y x L+--+ ,其中 L: x 2+y 2=a 2逆时针方向 解:设 x=acost ,y=asint ,则 dx=-asint ,dy=acost ,0≤t ≤2π ∴22)()(∮yx dyy x dx y x L+--+=⎰---+π20222]cos )sin (cos )sin )(sin (cos [adtt t t a t t t a=ππ220-=-⎰dt4.dz y x ydy xdx)1(-+++⎰Γ其中Γ是从点A(1,1,1)到点B(3,4,5)的一段直线解: 空间直线AB 的方程 :413121-=-=-z y x ,其参数式为dtdz t z dt dy t y dtdx t x 4,413,312,21=+==+==+= 当 x=1 ,t=0 ; x=3 , t=1∴dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ=⎰-+++++++10)]13121(4)31(3)21(2[dt t t t t=251)2339()339(121=+=+⎰t t dt t【格林公式】dy y x Q dx y x P dxdy yP xQ LD),(),()(+=∂∂-∂∂⎰⎰∮(D 为单连通区域)1. =+xdy ydx L∮ 0 .2. I=dy y xy dx y x x L)()(3223∮++- 其中 L: x 2+y 2=32逆时针方向 解: 232223,,,y x Q y xy Q xyp y x x P =∂∂+=-=∂∂-=∴ I=⎰⎰+Ddxdy y x )(22=281)41(230430220ππθπ==⎰⎰r rdr r d3.⎰-Lydx x dy xy 22, L:由A(1,0) 沿着y=21x -到B(-1,0)的圆弧解: 设=r L L+BA (即形成单连通区域 D)2222,,,y xQ xy Q xyP y x P =∂∂=-=∂∂-= X⎰-rL y d x x dy xy 22=⎰-Lydx x dy xy 22=⎰⎰+Ddxdy y x )(22=πθπ41][012=⎰⎰d rdr r而因为022=-⎰BAydx x dy xy (y=0) ∴422π=-⎰Lydx x dy xy。
第四章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分
n
M n1
数， 称为积分弧段 . d s 称为弧元素 L 曲线形构件的质量 M ( x , y )d s
-3L
M1 A M0
第一节
对弧长的曲线积分
存在条件： 当 f ( x , y ) 在 光 滑 曲 线 弧 L 上 连 续 时 ,
对弧长的曲线积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
a
0
4
解
I
4
0
2 2 a
y
yx
4
a
1 0d x
o
y0 a x
2 2 2 2 a sin a cos d
0
1 1 d x
- 11 -
第一节
例3 求 I
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
L
对弧长的曲线积分 x a co s t , x yd s , L : 椭 圆 ( 第 象 限 ). y b sin t ,
2
y
o
x
(1, 2 ) 曲 线 求 I x yzd s , 其 中 : x a co s , y a sin , 例5 积 分 与 z k 的 一 段 . ( 0 2 ) 曲 解 面 积 2 2 分 I a cos sin k a 2 sin 2 a 2 cos 2 k 2 d
第一节
对弧长的曲线积分
第一节 对弧长的曲线积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
一 对弧长的曲线积分的概念与性质
二 对弧长的曲线积分的计算与应用 三 几何与物理意义
-1-
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。
本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。
一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。
这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。
在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。
在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。
二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。
例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。
此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。
例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。
三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。
一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。
在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。
对弧长的曲线积分
n
0 时， (i ，i )si 的极限即为曲线形构件的质量，即 i 1
n
M
lim
0
i 1
(i
，i )si
．
上述例子是通过“分割、近似、求和、取极限”的方法来计算密度不均匀的曲
线形构件质量，对该过程进行提炼，便可得到对弧长的曲线积分的概念．
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
2．概念与性质
例，叙述其性质．
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
性质 1 设 ， 为常数，则
L[ f (x ，y) g(x ，y)]ds L f (x ，y)ds L g(x ，y)ds ．
性质 2（可加性） 若曲线弧 L 是由两段光滑的曲线弧 L1 和 L2 组成，则
f (x ，y)ds f (x ，y)ds f (x ，y)ds ．
以上定理可推广到空间曲线弧 ．设 的参数方程为
x (t) ，yBiblioteka (t)，(t
)，
z (t) ，
则有
f (x ，y ，z)ds f [(t) ， (t) ，(t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt ( ) ．
Γ
这里(t) ， (t) ，(t) 连续且不同时为零．
1.2 对弧长的曲线积分的计算 例 1 计算曲线积分 yds ，其中 L 是抛物线 y x2 上点 O(0 ，0) 与点 B(1，1) 之
L
L1
L2
性质 3 设曲线弧 L 的弧长为 s，则 L ds s ．
性质 4 若在曲线弧 L 上有 f (x ，y) g(x ，y) ，则
L f (x ，y)ds L g(x ，y)ds ，
特别地，有
L f (x ，y)ds L f (x ，y)ds ．
对弧长的曲线积分
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
对弧长曲线积分课件
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
1. 对弧长的曲线积分：
对弧长的曲线积分也被称为第一类曲线积分，它是对弧长进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得曲线段上变力所做的功。
在这种方法中，我们假设线段在每一点的线密度为
f(x,y)，那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds，则有ds与dx、dy满足勾股定理。
在这种情况下，我们可以将
力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
这样，力F所做的功就可以分解为沿着
x轴和y轴的两个分量分别所做的功，再将它们相加即可得到
总功。
2. 对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分也被称为第二类曲线积分，它是对坐标进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得沿着曲线段的功。
在这种方法中，我们将曲线段看作是由许多微小的线段组成的，然后对每一段微小的线段进行积分。
在线段上每一点，我们都有P=Fcosα，Q=Fcosβ，其中F是与x轴夹角为α，与y轴夹
角为β的力。
这样，我们就可以将力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
然后，我们可以将沿着x轴和y轴的两个分量分别与坐标x和y相乘，再将它们相加即可得到总功。
总之，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
在解决实际问题时，我们需要根据具体场景选择合适的积分方法。
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
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一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为µ(x, y). •把曲线弧L分成n个小段: ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示弧长); •任取(ξi, ηi)∈∆si, 得第i小段质量的近似值µ(ξi , ηi)∆si;
∑ f (ξi ,ηi )∆si ;
如果当λ=max{∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn}→0时, 这和的极限总存在, 则 称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分, 记作
i=1 i =1
n
∫L f (x, y)ds ,
即
lim ∫L f (x, y)ds = λ →0 ∑ f (ξi ,ηi )∆si , i =1
M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
n
i =1
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对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲线 ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示第i个小弧段的长度); 在每个小弧段∆si上任取一点(ξi, ηi), 作和
L
(3) 当 f ( x, y )表示立于L上的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
第十一章 第1节 对弧长的曲线积分
3
3
2 a3
3
24
思考
y
3
(2xy 3x2 4 y2)ds
L
2 o 2 x
其中L : x2 y2 1,其周长为a. 43
利用对称性 2xyds 0 L
原式 12
( x2 L4
y2 )d s
3
12 ds
L
12a
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
3
记作 f (x, y)ds, 即 L
n
L
f (x, y)ds
lim 0
i 1
f (i ,i ) si.
其中
被积函数
n
L
f (x, y)ds lim 0
i 1
f (i ,i ) si
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
4
2.存在条件：
当 f (x, y) 在光滑曲线弧 L 上连续时,
L
c
(3) L : r r ( ), .
可举实际例子进行说明：r 2a cos
A(r, ) 与直角坐标
•
(x, y)关系？
L f ( x, y) d s
o
r
f
r( ) cos
, r( )sin
r2 ( ) r2 ( ) d.
11
推广:
x (t)
空间曲线
:
y
(t)
,
( t ).
解: ( x2 y2 z2 )d s 2 (a cost)2 (a sint)2 (kt)2 0
(a sint)2 (a cos t)2 k2 d t
高数-对弧长的曲线积分
o z
x
B
M n1
弧 上对弧长的曲线积分为
n
f
(
x,
y,
z)ds
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)
si
.
(i ,i , i ) Mi
0 M2
si
M i 1
y
A M1
x
(6) 函数f ( x, y)在闭曲线 L上对弧长的
曲线积分记为 L f ( x, y)ds. 三、第一类曲线积分的性质
( y0 Y )
L f ( x, y)ds f [(t), (t)] (t)2 (t)2d t
公式的其它几种情形
( 3 ) 若 f ( x, y) 1, 则有
n
L
f ( x, y)ds
lim
0
i 1
f
(
i
,i
)
si
n
lim
0
si
i 1
s
（曲线弧 L 的长度）
即曲线弧 L 的长度 Lds
可看作
x
y
t,
(t),
( x0 t X ),
f ( x, y) f [x, ( x)],
d s (t)2 (t)2d t 1 (t)2d t 1 ( x)2d x
所以有
L f ( x, y)ds xX0 f [ x, ( x)] 1 2( x)dx.
( x0 X )
L f ( x, y)ds f [(t), (t)] (t)2 (t)2d t
解
（3）将 表
示成参数方程
x
a cos
对弧长的曲线积分定义
对弧长的曲线积分定义弧长的概念在数学中，弧长是描述曲线长度的概念。
对于平面曲线或空间曲线，我们可以使用弧长来度量其长度。
在微积分中，我们经常需要计算曲线上某个函数的积分，而对于弧长的曲线积分就是其中一种特殊情况。
曲线参数化为了计算弧长的曲线积分，我们首先需要对曲线进行参数化。
参数化是将一个曲线表示为一个或多个参数的函数形式。
对于平面曲线来说，通常使用一个参数t来表示，而对于空间曲线，则可能需要使用多个参数。
以平面曲线为例，假设我们有一个光滑曲线C，通过将其参数化为x=f(t)和y=g(t)，其中f(t)和g(t)是连续可导函数。
这样我们就可以通过改变参数t的取值范围来遍历整条曲线。
弧长元素在计算弧长的过程中，我们需要考虑每一小段弧长的长度。
这里引入了一个概念——弧长元素（arc length element）。
对于平面上的一小段弧长Δs，可以通过勾股定理得到：Δs=√(Δx)2+(Δy)2其中，Δx和Δy分别是x和y的微小变化量。
当我们取极限Δx→0和Δy→0时，弧长元素可以表示为：ds=√(dx)2+(dy)2同样地，对于空间曲线，我们可以使用类似的方法得到弧长元素。
弧长的曲线积分有了弧长元素的概念，我们就可以定义弧长的曲线积分了。
对于平面曲线C上的函数f(x,y)，其曲线积分形式如下：∫f C (x,y)ds=∫fba(x(t),y(t))√(dxdt)2+(dydt)2dt其中，(x(t),y(t))是曲线参数化的表示形式。
积分区间a≤t≤b覆盖了整条曲线。
同样地，对于空间曲线上的函数f(x,y,z)，其曲线积分形式如下：∫f C (x,y,z)ds=∫fba(x(t),y(t),z(t))√(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2dt其中，(x(t),y(t),z(t))是曲线的参数化表示形式。
弧长的曲线积分的性质弧长的曲线积分具有一些重要的性质，这些性质使得我们可以更方便地计算和应用这种积分。
对弧长曲线积分
∫
L
f ( x, y)ds
(化为定积分) 化为定积分)
x = ϕ(t ), 设曲线 L : (α ≤ t ≤ β ), y =ψ (t ), 且 其中 ϕ(t ),ψ (t ) 有连续的导数，
2 2
ϕ′ (t ) +ψ′ (t ) ≠ 0; f ( x, y) 在L上连续.
L : x = ϕ(t ), y =ψ (t ) (α ≤ t ≤ β ).
f ( x , y )ds;
∫
Γ
f ( x , y , z )ds
对面积的（第一类） 对面积的（第一类）曲面积分
∫∫
Σ
f ( x , y , z )dS
为平面或空间有限光滑(或分段光滑 当G为平面或空间有限光滑 或分段光滑 为平面或空间有限光滑 或分段光滑) 曲线(L或 时 积分称为对弧长的曲线积分 曲线 或 Γ)时，积分称为对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分,即 第一类曲线积分 即
2 2
∆ x ds
dy
oa
x
x +∆x b
x
dy 2 ds = (dx) + (dy) = 1+ ( ) ⋅ dx, dx
弧长微分公式
ds = 1+ y′ dx,
2
(2) 参数方程情形
x = ϕ(t ), 曲线弧为 (α ≤ t ≤ β ). y =ψ (t ), 且在 [α, β ]上具有连续导数 ϕ′(t ),ψ ′(t ).
(1) 曲线弧为参数方程的计算 曲线弧为参数方程 参数方程的计算
L : x = ϕ(t ), y =ψ (t ) (α ≤ t ≤ β ).
β
∫
L
f ( x, y)ds= ∫α
对弧长的曲线积分
d
【推广】 : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t ) f ( x , y, z )ds Γ为空间曲线
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
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一、问题的提出
y
实例:曲线形构件的质量
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
线密度为常量时 M s.
A
M1 , M 2 ,, M n1 si , o 分割
x
取近似 求和 取极限
取 ( i , i ) si , M i ( i ,i ) si .
曲线积分为
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
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n
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【注意】 1. 若 L 是分段光滑的, ( L L1 L2 )
L1 L2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
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【思考题】 对弧长的曲线积分的定义中 S i的符号 可能为负吗？
【思考题解答】
S i 的符号永远为正，它表示弧段的长度.
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o
x
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积分弧段(路径)
被积函数
n
弧微分 积分和式
L
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性质5(与积分路径的方向无关)
L(A⌒B)f(x,y)dsL(⌒BA)f(x,y)ds
注意
函数 f (x, y)在 闭曲线L上 对弧长的曲线积分
记作 f(x,y)ds. L
补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质.
设函数f (x, y)在一条光滑(或分段光滑)的曲线 L上连续, L关于y轴 (或x轴) 对称, 则
注意 2(t)2(t)连续
n
lim 0 k1
f[(k),
(k)]
2(k)2(k) tk
因此 Lf(x,y)ds
f[(t),(t)]2 (t)2 (t)d t
说明 (1) 因为 sk0,所以 tk 0,因此积分限
必须满足 !
(2) 注意到 ds(d x)2(d y)2
y
ds dy dx
三、对弧长的曲线积分的几何与物理意义
几何意义
(1) 当 f(x,y)1时 ,L弧长
ds
L
(2) 当 f(x,y)0时 ,平面曲线L上第一类曲线
积分:
S柱面面积 f(x,y)ds L
在几何上表示以L为准线, 母线平行于z轴的柱面
之介于平面z = 0和曲面 z = f (x, y)之间那部分的 柱面面积.
y
点, (2) 作乘积 f(i,i)si,
n
(3) 并作和 f(i,i)si,
i1
OA
M1
B
L Mn1
(i
,i
)
•
s
M
i
i
M2
Mi1
(4) 如果当各小弧段的长度的最大值 0时, x
n
f (i ,i ) si
i1
这和的极限存在, 则称此极限为函数 f (x, y)
在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或
第一类曲线积分.记作 f(x,y)ds,即 L 被积函数
例 计算 (xy3)ds.其中L是圆周 x2y2R2. L
解 (xy3)ds xds y3ds0
L
由对称性,得
L
L
y x2y2 R2
对 xds,因积分曲线L关于 y轴对称, O x L
被积函数x是L上 关于x的奇函数xds 0 L
对 y3ds,因积分曲线L关于x轴对称, L
被积函数 y 3 是L上关于y的奇函数 y3ds0 L
f(k,k)sk
设各分点对应参数为 tk(k0 ,1 , ,n ),
点 (k,k)对应参数为 k [tk1,tk],
skttk k 1 2(t)2(t)d t 2 (k )2 (k ) tk,
则 弧长公式 n 积分中值定理 k [tk1,tk]
f(x,y)ds L
lim
0
k 1
f[(k),(k)]2(k ) 2(k ) tk
物理意义
(1)当 (x,y)表示曲线弧L的线密度时, 曲线弧
L的质量:
ML(x,y)ds
(2) 曲线弧 L对x轴及y轴的转动惯量:
Ix
y2ds,
L
Iy
x2ds
L
(3) 曲线弧 L的质心坐标:
x L x ds , y L y ds
L ds
L ds
四、对弧长曲线积分的计算
解法 化为参变量的定积分计算
定理10.1 设f (x, y)在曲线弧L上有定义且连续,
L的参数 方 x y 程 ((tt)) 为 (t),其中(t) , (t) 在[,]上具有一阶连续导数, 且
f(x,y)ds f[ (t), (t )] 2(t)2(t)dt
L
( )
n
证
根据定义
L
f(x,
y)dslim
0k1
第10章 曲线积分与曲面积分
curvilinear integral and surface integral
10.1 第一类(对弧长)的 arc length 曲线积分 curvilinear integral
问题的提出 对弧长的曲线积分的概念与性质 对弧长的曲线积分的几何与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 小结 思考题 作业nΒιβλιοθήκη f(x,y,z)dslim
0i1
f(i,i,i)si.
4. 性质
性质1 设,为常,则 数
L [f(x ,y ) g (x ,y )d s ]
L f(x ,y ) d sL g (x ,y ) d s
性质2 若L(或Γ)是分段光滑的, (LL 1L 2)
f(x,y)ds f(x,y)ds f(x,y)ds
L1L2
L1
L2
(对路径具有可加性)
性质3 设在L上 f(x ,y)g (x ,y)则,
Lf(x,y)dsLg(x, y)ds
特别地, 有
Lf(x,y)dsL f(x,y)ds
性质4(中值定理)若函数 f (x, y)在光滑曲线
弧L上 连续,则在L上至少存在一点 (,),使得
Lf(x ,y)d sf(,)s, (,)L,
Lf(x,y)ds
0,
当f (x, y)是L上关于x (或y)的奇函数,
2
f(x,y)ds,当f (x, y)是L上关于x (或y)的偶函数
L1
L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 f (x, y)的奇偶性与积分曲线
L的对称性.
(i ,i ) si
i1
近似值 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.定义 定义10.1 设L为 xOy面内一条光滑曲线弧,
函数 f (x, y)在L上有界. (1)在L上任意插入一点列
M 1,M 2,,M n 1把L分成n个小段. 设第i个小段的
长度为Δsi , 又(i,i)为第i个小段上任意取定的一
n
f(x,y)dslim
L
0
f (i ,i ) si
i1
积分弧段 弧元素
积分和式
曲线形构件的质量 ML(x,y)ds.
2. 存在条件
当 f (x, y)在光滑曲线弧L上 连续,对弧长
的曲线积分 Lf(x,y)ds存在 .
3. 推广
函数 f (x, y, z) 在空间曲线弧Γ上对弧长
的曲线积分为
第10章 曲线积分与曲面积分
一、问题的提出
B
实例 曲线形构件的质量 y 元素法
L Mn1
匀质之质量 Ms
(i
,i
)
•s
Mi1
M
i
i
分割 M 1,M 2,,M n 1
A M1 M2
O
x
取近似 取 (i,i) si, M i(i,i) s i
n
求和 M (i,i)si
i1 n
取极限 Mlim 0
2(t)2(t)dt O x x
因此上述计算公式相当于“换元法”.
L的参数方 xy程 ((tt为 )) (t),
Lf(x,y)dsf[ (t), (t )] 2(t)2(t)dt