高三第一学期质量检测(数学)
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13．已知可导函数f（x）的导函数为 ，且满足 ，则 ．
14．计算 ．
15．在△ABC中，三边AB=8，BC=7，AC=3，以点A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A的任意一条直径，记T= ，则T的最大值为．
16．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数 称为高斯函数或取整函数，计算 =；若 为数列 的前n项和，则 =．
,
∵ ，∴ ，
∴ ………6分
（2）由题知 ，整理得
∴ ，∴
∴ 或 …………………………………10分
而 使 ，舍去，∴ ………11分
∴
………………………13分
18、解法一：原不等式组可化为 得－ ＜y＜2．………………5分
∴y=0或1．…………………………………………………………8分
当y=0时， 解得 ………………………10分
A． 和 都是锐角三角形
B． 和 都是钝角三角形
C． 是钝角三角形， 是锐角三角形
D． 是锐角三角形， 是钝角三角形
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．
11．已知集合 ，若 ，则a的取值范围为．
12．如果函数 满足：对任意实数 都有 ，且 ，则 ______________________．
是方程 有两个根．
即关于x的方程 有两个大于1的实根．…………………12分
设这两个根为 ．则 ∴
解得 ．………………14分
综上m的取值范围是 ．………………15分
A．N MB．M=NC．M ND．M N
5．已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，对任意 ，都有 成立，则
A．4012B．C．D．0
6．若数列 的通项公式为 ， 的最大值为第x项，最小项为第y项，则x+y等于
A．3B．4C．5D．6
7． a、b为实数且b－a=2，若多项式函数f（x）在区间（a，b）上的导函数f′（x）满足f′（x）＜0，则以下式子中一定成立的关系式是
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前n项和，求 ．
20．（本小题满分15分）
已知二次函数 的图象过点 ，且
（1）求 的解析式；
（2）若数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式；
（3）对于（2）中的数列 ，求证：① ；② ．
21、（本小题满分15分）
已知函数 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）是否存在实数 ，使得函数 的定义域、值域都是 ，若存在，则求出 的值，若不存在，请说明理由；
② ，…………………13分
，所以不等式成立………………………15分
21、（1）∵ ∴
∴ 在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由 ，可得 ，即 ．
∴ ……………………………3分
故 ，即 ……………………………4分
（2）不存在满足条件的实数 ．
若存在满足条件的实数 ，使得函数 的定义域、值域都是[ ]，则 ．由
综上可知，不存在适合条件的实数 ．………………10分
（3）若存在实数 ，使得函数 的定义域为[ ]时，值域为 ，则 ．
①当 ∈（0，1）时，由于 在（0，1）上是减函数，值域为 ，即 解得a=b>0，不合题意，所以 不存在．
②当 时，由（2）知0在值域内，值域不可能是 ，所以 不存在。故只有 ．
∵ 在（1，+∞）上是增函数，∴
江苏省启东中学～高三第一学期质量检测
数学试卷
（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若 ，则 ”的否命题是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
当y=1时， 解得 …………………………………12分
综上， ……………………………………………13分
解法二：不等式组化为 ，
两式相加得 ……………………4分
∵x为整数，∴ …………………………6分
当 时，x=1,y=1………………………………8分
当 时， ……………………………10分
当 时，无解．……………………………………12分
（3）若存在实数 ，使得函数 的定义域为 时，值域为 ，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1、C 2、B 3、C 4、C 5、D 6、A 7、B 8、A 9、D 10、D
二、填空题：
11、（－ ，+∞）12、4012 13、6 14、 15、22
16、 （第1空2分，第2空3分）
三、解答题：
1Fra Baidu bibliotek、（1）∵ ，∴ ，即 ………4分
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分13分）
已知A、B、C是 三内角，向量 且 ，
（1）求角A；
（2）若
18．（本小题满分13分）
解不等式组： 其中x、y都是整数．
19．（本小题满分14分）
已知数列 的各项均为正数，它的前n项和Sn满足 ，并且 成等比数列．
A．f（a）＜f（b）B．f（a+1）＞f（b－ ）
C．f（a+1）＞f（b－1）D．f（a+1）＞f（b－ ）
8．O为△ABC的内切圆圆心，AB=5，BC=4，CA=3，下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
9．已知 ，则下列函数的图象错误的是
10．如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则
2．已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于
A． B． C．2D．3
3．已知函数 在（－∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是
A．（0,1）B．（0, ）C． D．
4．已知函数f（x）、g（x）（x∈R），设不等式|f（x）|+|g（x）|＜a（a＞0）的解集是M，不等式|f（x）+g（x）|＜a（a＞0）的解集是N，则
……14分．
20、（1）由 ，∴ ……………………3分
解之得 ，即 ；…………………………4分
（2）由 ∴ ……………………6分
由累加得 …………………………………………8分
∴ ；…………………………………9分
（3）① （ ）
当 时，显然成立；………………………………………10分
当 时， ；…12分
①当 ∈（0，1）时， 在（0，1）上为减函数．故 解得 ．故此时不存在适合条件的实数 ．………………6分
②当 ∈ 时， 在（1，+∞）上为增函数．故 ，此时 是方程 的根，由于此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数 ．……………………8分
③当 ∈（0，1）， 时，由于1∈[ ]，而 ，故此时不存在适合条件的实数 ．
综上 ……………………………………………13分
19、解：（1）∵对任意 ，有 ①
∴当n=1时，有 ，解得a1=1或2 …………2分
当n≥2时，有 ②
当①－②并整理得
而{an}的各项均为正数，所以 ………………6分
当a1=1时， 成立；
当a1=2时， 不成立；舍去．
所以 ………………9分
（2）
…………………12分
14．计算 ．
15．在△ABC中，三边AB=8，BC=7，AC=3，以点A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A的任意一条直径，记T= ，则T的最大值为．
16．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数 称为高斯函数或取整函数，计算 =；若 为数列 的前n项和，则 =．
,
∵ ，∴ ，
∴ ………6分
（2）由题知 ，整理得
∴ ，∴
∴ 或 …………………………………10分
而 使 ，舍去，∴ ………11分
∴
………………………13分
18、解法一：原不等式组可化为 得－ ＜y＜2．………………5分
∴y=0或1．…………………………………………………………8分
当y=0时， 解得 ………………………10分
A． 和 都是锐角三角形
B． 和 都是钝角三角形
C． 是钝角三角形， 是锐角三角形
D． 是锐角三角形， 是钝角三角形
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．
11．已知集合 ，若 ，则a的取值范围为．
12．如果函数 满足：对任意实数 都有 ，且 ，则 ______________________．
是方程 有两个根．
即关于x的方程 有两个大于1的实根．…………………12分
设这两个根为 ．则 ∴
解得 ．………………14分
综上m的取值范围是 ．………………15分
A．N MB．M=NC．M ND．M N
5．已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，对任意 ，都有 成立，则
A．4012B．C．D．0
6．若数列 的通项公式为 ， 的最大值为第x项，最小项为第y项，则x+y等于
A．3B．4C．5D．6
7． a、b为实数且b－a=2，若多项式函数f（x）在区间（a，b）上的导函数f′（x）满足f′（x）＜0，则以下式子中一定成立的关系式是
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前n项和，求 ．
20．（本小题满分15分）
已知二次函数 的图象过点 ，且
（1）求 的解析式；
（2）若数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式；
（3）对于（2）中的数列 ，求证：① ；② ．
21、（本小题满分15分）
已知函数 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）是否存在实数 ，使得函数 的定义域、值域都是 ，若存在，则求出 的值，若不存在，请说明理由；
② ，…………………13分
，所以不等式成立………………………15分
21、（1）∵ ∴
∴ 在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由 ，可得 ，即 ．
∴ ……………………………3分
故 ，即 ……………………………4分
（2）不存在满足条件的实数 ．
若存在满足条件的实数 ，使得函数 的定义域、值域都是[ ]，则 ．由
综上可知，不存在适合条件的实数 ．………………10分
（3）若存在实数 ，使得函数 的定义域为[ ]时，值域为 ，则 ．
①当 ∈（0，1）时，由于 在（0，1）上是减函数，值域为 ，即 解得a=b>0，不合题意，所以 不存在．
②当 时，由（2）知0在值域内，值域不可能是 ，所以 不存在。故只有 ．
∵ 在（1，+∞）上是增函数，∴
江苏省启东中学～高三第一学期质量检测
数学试卷
（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若 ，则 ”的否命题是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
当y=1时， 解得 …………………………………12分
综上， ……………………………………………13分
解法二：不等式组化为 ，
两式相加得 ……………………4分
∵x为整数，∴ …………………………6分
当 时，x=1,y=1………………………………8分
当 时， ……………………………10分
当 时，无解．……………………………………12分
（3）若存在实数 ，使得函数 的定义域为 时，值域为 ，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1、C 2、B 3、C 4、C 5、D 6、A 7、B 8、A 9、D 10、D
二、填空题：
11、（－ ，+∞）12、4012 13、6 14、 15、22
16、 （第1空2分，第2空3分）
三、解答题：
1Fra Baidu bibliotek、（1）∵ ，∴ ，即 ………4分
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分13分）
已知A、B、C是 三内角，向量 且 ，
（1）求角A；
（2）若
18．（本小题满分13分）
解不等式组： 其中x、y都是整数．
19．（本小题满分14分）
已知数列 的各项均为正数，它的前n项和Sn满足 ，并且 成等比数列．
A．f（a）＜f（b）B．f（a+1）＞f（b－ ）
C．f（a+1）＞f（b－1）D．f（a+1）＞f（b－ ）
8．O为△ABC的内切圆圆心，AB=5，BC=4，CA=3，下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
9．已知 ，则下列函数的图象错误的是
10．如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则
2．已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于
A． B． C．2D．3
3．已知函数 在（－∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是
A．（0,1）B．（0, ）C． D．
4．已知函数f（x）、g（x）（x∈R），设不等式|f（x）|+|g（x）|＜a（a＞0）的解集是M，不等式|f（x）+g（x）|＜a（a＞0）的解集是N，则
……14分．
20、（1）由 ，∴ ……………………3分
解之得 ，即 ；…………………………4分
（2）由 ∴ ……………………6分
由累加得 …………………………………………8分
∴ ；…………………………………9分
（3）① （ ）
当 时，显然成立；………………………………………10分
当 时， ；…12分
①当 ∈（0，1）时， 在（0，1）上为减函数．故 解得 ．故此时不存在适合条件的实数 ．………………6分
②当 ∈ 时， 在（1，+∞）上为增函数．故 ，此时 是方程 的根，由于此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数 ．……………………8分
③当 ∈（0，1）， 时，由于1∈[ ]，而 ，故此时不存在适合条件的实数 ．
综上 ……………………………………………13分
19、解：（1）∵对任意 ，有 ①
∴当n=1时，有 ，解得a1=1或2 …………2分
当n≥2时，有 ②
当①－②并整理得
而{an}的各项均为正数，所以 ………………6分
当a1=1时， 成立；
当a1=2时， 不成立；舍去．
所以 ………………9分
（2）
…………………12分