人教版八年级上册第12讲 分式方程
2023八年级数学上册第十二章分式和分式方程12
10
= -1的解为x=4.
+1 +1
(1)⑤
6
12
⑥+1=+1-1的解为x=5.
2
(2)第n个方程:+1=+1-1的解为x=n-1.
验证:方程两边同乘x+1,得n=2n-(x+1),
解得x=n-1.
经检验,x=n-1是原分式方程的解.
一题练透
分式方程的解与字母参数
−3
1
已知关于x的分式方程 −2 +1=2−.
答案
4.a≥1且a≠2
方程两边同乘x-1,得a-2=x-1,解得x=a-1,由方程的解为非负数,得a-1≥0,
解得a≥1,因为x≠1,所以a-1≠1,所以a≠2,所以a的取值范围是a≥1且a≠2.
2−
−2+
5. [2021达州中考]若分式方程 −1 -4= +1 的解为整数,则整数a=
−2 16
依题意,令+2- 2 −4=1,
方程两边同乘(x+2)(x-2),
得(x-2)2-16=(x+2)(x-2),
解得x=-2.
检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0.
所以x=-2不是原分式方程的解,
所以原分式方程无解,
−2 16
所以不存在数x,使得式子+2- 2 −4的值等于1.
答案
7.解:(1)方程两边同乘(x+2)(x+1),
得x(x+1)-(x+2)=(x+2)(x+1),
化简,得x2-2=x2+3x+2,
4
解得x=-3.
2022秋八年级数学上册第十二章分式和分式方程12.5分式方程的应用授课课件新版冀教版
例 3 某服装店销售一种服装.若按原价销售，则每月销售额 为10 000元; 若按八五折销售，则每月多卖出20件，且 月销售额还增加1 900元. 每件服装的原价为多少元？ 分析：本题中的主要等量关系为：按八五折销售这种服 装的数量一按原价销售这种服装的数量=20件.
感悟新知
知3－练
解：设每件服装原价为x元.根据题意，得
这天王老师骑车到校的行程为5 km，比平常步行多用时
间10 min．由题意，得
5 10 1 , 2.5x 60 x
即
21 x6
1， x
1 1 . 所以x=6.
x6
经检验，x=6是原分式方程的解．
当x=6时，2.5x=15，所以骑车的速度为15 km/h．常见类型
知3－讲
分式方程的应用题主要涉及的类型：
利润
(1)利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝ 进 价 ×100%；
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；
(3)行程问题：路程＝速度×时间．
注意：列分式方程解应用题，往往与实数的运算或不等
式联合应用．
易错警示：列分式方程时易出现单位不统一的错误．
感悟新知
12.5 分式方程的应用
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
建立分式方程的模型 列分式方程解应用题的步骤 列分式方程解应用题的常见类型
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
小红和小丽分别将9 000字和7 500字的两篇文稿 录入计算机，所用时间相同. 已知两人每分钟录入计 算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？
注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数 的代数式表示相关量． (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程． (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值． (5)验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式 方程，还要检验此解是否符合实际意义． (6)答：即写出答案，注意答案完整．
人教版初二数学上册知识点归纳
人教版初二数学上册学问点归纳因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；留意：因式分解及乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法〞、“公式法〞、“分组分解法〞、“十字相乘法〞.3．公因式的确定：系数的最大公约数·一样因式的最低次幂.留意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=〔a+ b 〕〔a- b 〕；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的考前须知：〔1〕选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字； 〔2〕运用因式分解公式时要特殊留意公式中的字母都具有整体性； 〔3〕因式分解的最终结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； 〔4〕因式分解的最终结果要求每一个因式的首项符号为正； 〔5〕因式分解的最终结果要求加以整理；〔6〕因式分解的最终结果要求一样因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：〔1〕换位整理，加括号或去括号整理；〔2〕提负号；〔3〕全变号；〔4〕换元；〔5〕配方；〔6〕把一样的式子看作整体；〔7〕敏捷分组；〔8〕提取分数系数；〔9〕绽开部分括号或全部括号；〔10〕拆项或补项. 7．完全平方式：能化为〔m+n 〕2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q ， 有“ x2+px+q 是完全平方式 ⇔ q2p 2=⎪⎭⎫⎝⎛〞.分式1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为B A的形式，假如B 中含有字母，式子B A叫做分式.2．有理式：整式及分式统称有理式；即⎩⎨⎧分式整式有理式. 3．对于分式的两个重要推断：〔1〕假设分式的分母为零，那么分式无意义，反之有意义；〔2〕假设分式的分子为零，而分母不为零，那么分式的值为零；留意：假设分式的分子为零，而分母也为零，那么分式无意义. 4．分式的根本性质及应用：〔1〕假设分式的分子及分母都乘以〔或除以〕同一个不为零的整式，分式的值不变；〔2〕留意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，变更其中任何两个，分式的值不变； 即分母分子分母分子分母分子分母分子-=-=-=---〔3〕繁分式化简时，采纳分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简洁. 5．分式的约分：把一个分式的分子及分母的公因式约去，叫做分式的约分；留意：分式约分前常常须要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子及分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；留意：分式计算的最终结果要求化为最简分式.7．分式的乘除法法那么：,bdac d c b a =⋅ bc ad c d b a d c b a =⋅=÷.8．分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.9．负整指数计算法那么：〔1〕公式： a0=1(a ≠0), a-n=na 1(a ≠0)；〔2〕正整指数的运算法那么都可用于负整指数计算；〔3〕公式：nna b b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n mm n a b b a =--；〔4〕公式： 〔-1〕-2=1， 〔-1〕-3=-1.10．分式的通分：依据分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成及原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；留意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·一样因式的最高次幂.12．同分母及异分母的分式加减法法那么：;cb ac b c a ±=±bd bcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a ≠0)中,x 是未知数,a 和b 是用字母表示的数，对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.留意：在字母方程中,一般用a 、b 、c 等表示数，用x 、y 、z 等表示未知数. 14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；留意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特殊要留意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般须要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；留意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必需验增根；留意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母〔或分式方程的每个分母〕，假设值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；假设值不为零，求出的根是原方程的解；留意：由此可推断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题及列整式方程解应用题的方法一样，但须要增加“验增根〞的程序. 数的开方1．平方根的定义：假设x2=a,那么x 叫a 的平方根，〔即a 的平方根是x 〕；留意：〔1〕a 叫x 的平方数，〔2〕x 求a 叫乘方，a 求x 叫开方，乘方及开方互为逆运算.2．平方根的性质：〔1〕正数的平方根是一对相反数； 〔2〕0的平方根还是0； 〔3〕负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.留意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .留意：0的算术平方根还是0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .留意：非负数之和为0，说明它们都是0.6．两个重要公式： 〔1〕 ()a a 2=; (a ≥0)〔2〕⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 .7．立方根的定义：假设x3=a,那么x 叫a 的立方根，〔即a 的立方根是x 〕.留意：〔1〕a 叫x 的立方数；〔2〕a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质：〔1〕正数的立方根是一个正数； 〔2〕0的立方根还是0；〔3〕负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：33a a -=-. 10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.留意：π和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：〔1〕⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0〔2〕⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0.13．数轴的性质：数轴上的点及实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中假设含有无理数且题目无近似要求，那么结果应当用无理数表示；假如题目有近似要求，那么结果应当用无理数的近似值表示.留意：〔1〕近似计算时，中间过程要多保存一位；〔2〕要求记忆：414.12=732.13=236.25=.三角形几何B级概念：〔要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题〕一根本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、协助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识：1．三角形中，第三边长的推断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.留意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：假设CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，那么CD ·AB=BE ·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和. 5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： 〔1〕 AC ·CB=CD ·AB ； 〔2〕∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角. 9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形. 11．几何习题中，“文字表达题〞须要自己画图，写、求证、证明. 12．符合“AAA 〞“SSA 〞条件的三角形不能断定全等. 13．几何习题常常用四种方法进展分析：〔1〕分析综合法；〔2〕方程分析法；〔3〕代入分析法；〔4〕图形视察法. 14．几何根本作图分为：〔1〕作线段等于线段；〔2〕作角等于角；〔3〕作角的平分线；〔4〕过点作直线的垂线；〔5〕作线段的中垂线；〔6〕过点作直线的平行线. 15．会用尺规完成“SAS 〞、“ASA 〞、“AAS 〞、“SSS 〞、“HL 〞、“等腰三角形〞、“等边三角形〞、“等腰直角三角形〞的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；留意：每步作图都应当是几何根本作图. 17．几何画图的类型：〔1〕估画图；〔2〕工具画图；〔3〕尺规画图. ※18．几何重要图形和协助线： 〔1〕选取和作协助线的原那么：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作协助线必需符合几何根本作图.A BC EDA B CD12。
八年级数学上册 12.4《分式方程》课件冀教级上册数学课件
1 1 1 1 x2 x(x1) (x1)(x2)
第二十二页，共二十三页。
内容(nèiróng)总结
12.4 分式方程(fāngchéng)。解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得。1.相邻两个偶数之比为 5:6,求这两个偶数.。回顾：解整式方程(fāngchéng)：。试一试：解分式方程(fāngchéng)：。检验：将x=5
12/11/2021
第二十页，共二十三页。
你认为解分式方程时容易(róngyì)犯的错误
有哪些？
(1)去分母(fēnmǔ)时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时，没有注 意添括号．(因分数线有括号的作用） (3)增根不舍掉。
12/11/2021
第二十一页，共二十三页。
布置作业
使最简公分母为零的根
12/11/2021
第十三页，共二十三页。
思考(sīkǎo)
1、上面两个(liǎnɡ
ɡè)分式方程中，为什么
100 20+V
=
60 20-V
去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而
1 x-5
=
10 x2-25
去分母后得到的整式方程的解却不
是原分式方程的解呢？ 我们来观察去分母的过程
（6）2xx110 5
2x 1 3x 1 x
整式方程
12/11/2021
第六页，共二十三页。
分式方程(fēn shì fānɡ chén
聪明的同学，你能为下列(xiàliè)方程找个家吗？
(1) x 2 x (2) 4 3 7 2 3 xy
(3) 1 x (4) x(x1) 1
x2 3
是去分：母
人教版八年级上册数学《 分式方程》(优质教案)
人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。
本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。
通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。
2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。
3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。
2.分式方程的解法及其应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。
2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。
3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。
同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
时分式方程的实际应用——工程问题人教版广东八年级数学上册课件PPT
第15章第12课时 分式方程的实际应用——工程问题-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
解：设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋 x 套，则实际每天翻新 改造老旧房屋 1.5x 套，依题意，得 9x00－19.050x＝30， 解得 x＝10. 经检验，x＝10 是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋 10 套.
第15章第12课时 分式方程的实际应用——工程问题-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
第15章第12课时 分式方程的实际应用——工程问题-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
5．(中山期末)某工厂需要在规定时间内生产 1 400 个某种零件，该工厂 按一定速度加工 5 天后，发现按此速度加工下去会延期 10 天完工，于 是又抽调了一批工人投入这种零件的生产，使工作效率提高了 50%， 结果如期完成加工任务． (1)求该工厂前 5 天每天生产多少个这种零件？ (2)求规定时间是多少天？
第15章第12课时 分式方程的实际应用——工程问题-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
第15章第12课时 分式方程的实际应用——工程问题-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
(2)由(1)该工厂前 5 天每天生产 40 个这种零件， ∴1 44000－10＝25. 答：规定的时间是 25 天．
第15章第12课时 分式方程的实际应用——工程问题-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
第15章第12课时 分式方程的实际应用——工程问题-2020 秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
解：设乙工程队每小时能完成 x 平方米的绿化面积，则甲工程队每小
人教版初二数学上册 分式方程应用题之行程问题 讲义
分式方程应用题之行程问题解题方法：1、速度×时间=路程2、画表格分析例1、小明每天骑自行车去15km的学校上学，最近一条新路开通，路程缩短为12km，路况也变得贼好，于是小明的平均速度比原来提高了20%，这样可以提前1小时到达学校。
试求小明原来骑自行车的速度为每小时多少km？31、甲、乙两火车站相距1280千米，“和谐”号列车提速后，它的行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度2、大车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比大车多行驶20千米，求两车的速度各是多少？3、小明的家距离学校2000米。
有一天，小明从家里去上学。
出发10分钟后，爸爸发现他没带数学书，立刻带上课本追赶小明，在距离学校400米的地方追上了小明。
已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明的速度4、一个学生从学校回家，先步行2千米然后乘汽车行驶8千米到家，第二天骑自行车按原路返校，所用时间与回家时间相同，已知骑自行车的速度比步行速度快8千米/时，比汽车速度少12千米/时，求自行车速度例2、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆出租车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知出租车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车速度5、甲、乙两人都从A地出发到B地，已知两地相距50千米，且乙的速度是甲速度的2.5倍，现在甲先出发1小时30分，乙再出发，结果乙反而比甲早到1小时，问甲、乙两人速度各是多少？6、A、B两地相距135km，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5h，小汽车比大汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度比是5：2，求两车速度7、A、B两地距离40km，甲乙二人同时从A地出发前往B地，甲的速度每小时比乙的速度快2km。
当甲来到距B地4km时，因交通阻塞减慢速度，速度每小时减少8km，如果两人同时到达，求甲乙两人原来的速度。
八年级数学上第12章分式和分式方程12.5分式方程的应用2销售问题和其他问题课冀教
解：甲、乙两种商品的销售量均为2 40000＝50(件)． 设甲种商品按原销售单价销售 a 件． 根据题意，得(60－40)a＋(60×0.7－40)(50－a)＋(88－48)×50≥ 2 460，解得 a≥20. 答：甲种商品按原销售单价至少销售 20 件．
6．(2019·辽宁本溪)为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂
解：设总利润为 y 元，依题意， 得：y＝(4 000－3 500－100)m＋(4 400－4 000)(20－m)＝8 000. 答：若将这 20 台手机全部售出，共获得 8 000 元利润．
3．下面是小淇、小尧对一道中考题目的部分解答． 题目：刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了 105 元．几天后，遇上这种大米 8 折出售，她用 140 元又买了一 些，两次一共购买了 40 千克．这种大米的原价是多少？ 小淇：10x5＋01.480x＝40；小尧：10y5×0.8＝4104－0y.
(2)若准备购买甲、乙两种树苗共 100 棵，总费用不超过 3 800 元， 则至少要购买乙种树苗多少棵？ 解：设要购买乙种树苗 y 棵， 由题意得 40(100－y)＋(40－6)y≤3 800， 解得 y≥3313. 答：至少要购买乙种树苗 34 棵．
11．(2019·四川巴中)在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、 乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价 高 10 元，若用 500 元单独购买甲物品与用 450 元单独购买 乙物品的数量相同．
A.50x0－51000x＝45 C.5 0x00－50x0＝45
B.51000x－50x0＝45 D.50x0－5 0x00＝45
9．(2019·辽宁鞍山)为了美化校园环境，某中学今年春季购买了 A，B 两种树苗在校园四周栽种．已知 A 种树苗的单价比 B 种树苗的单价多 10 元，用 600 元购买 A 种树苗的棵数恰好 与用 450 元购买 B 种树苗的棵数相同．若设 A 种树苗的单 价为 x 元，则可列出关于 x 的方程为___6_0x_0_＝__x_4－_5_01_0________．
八年级数学上册《分式》知识点归纳
分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。
BA如果除式B 中含有分母，那么称为分式。
（对于任BA何一个分式，分母不为0。
如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
分式：分母中含有字母。
整式：分母中没有字母。
而代数式则包含分式和整式。
）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。
二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：﹒=）b a dc bdac2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：÷=﹒=）b a d c b a c d bcad 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。
人教版八年级上册第12讲 分式方程
第12讲 分式方程一、【知识梳理】分式方程1、分式方程： ．（1）31-x =5（2）x 1=14-x （3）π32-x =x-1（4）),(1为常数b a b a x =（5）ab a a x +=+1 （6）x a b x b a +=-11 （7）b x a a x 1-=+ （8）1=-+++-nx m x m x n x 其中属于分式方程的有 整式方程与分式方程的本质区别就在于分母中是否含有未知数。
二、【解分式方程】例：解下列分式方程：（1）、33132=-+--x x x （2）11322x x x-=--- (3)、93233222---=+-x x x x解分式方程的基本步骤：（1） ．（2） ．（3）、 ．（4） ．出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. ※例：先阅读下面解方程2255111+-=+---x x x x x x 的过程，然后回答问题。
解： 将原方程整理为： )1(2)1(5111+-=+-+-x x x x x x -----------（第一步） 方程两边同除以（x-1），得)1(25111+=++x x x -----------（第二步）去分母， 得 2（x+1）+2x=5x----------（第三步）解这个整式方程， 得 x=2-------（第四步）上面解题过程中：（1）第三步变形的依据是 ．（2）出错的一步是 ．（3）上述解题过程还缺少的一步是 ．独立完成：解方程：（每题4分，共16分）（1）、xx 321=- （2）、0)1(213=-+--x x x x （3）、125552=-+-x x x （4）、16)1(41022-=--x x x x （5）22011x x x -=+- (6)1432222-=++-x x x x x※ 若2)2(1--=-+x B x A x x x ，则A= ，B= ．独立完成：（1）、x x 321=- （2）、0)1(213=-+--x x x x （3）、125552=-+-x x x（4）、x x 311=- (5) 114112=---+x x x （6）xx x x 21211--=+-（7）3423-=--x x x （8）22322=--+x x x （9）16)1(41022-=--x x x x（10）1114132+-=-+-x x x x （11）x x x x -+=++4535 （12）1432222-=++-x x x x x（13）已知：121)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A = ，B = ，. 三、【分式方程增根问题】例：若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，求m 的值。
人教版八年级数学上《分式方程》知识全解
《分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个）2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用．知识结构1. 分式方程概念，和产生增根的原因．2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．内容解析（1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程（2）分式方程的解法： ①能化简的先化简．②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程③解整式方程；④)验根．（3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程．重点难点本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题．教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想．本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验．教法导引（1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力．教给学生一些避免产生增根的方法,例：解方程： 22+-x x - 4162-x = 1 解：移项，得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理，得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简，得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以 原方程无解．（2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移．．．．．分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点．分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移．．．，如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算：22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性．学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意：(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于x 的方程：13x a +=，22m n x m n n-=-等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是x ，则字母a 、 m 、 n 是已知数，不满足分式方程定义． （通过观察，从中感知分式方程的特征）(2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验．(3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程． 例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x 天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+． （易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系）(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性．(5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基． 例 解方程：x 5 = 27-x 解：移项，得 x 5 －27-x = 0 通分，得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理，得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0，得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式．．等于0的式子改写为分子．．等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生．。
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第12讲 分式方程
一、【知识梳理】分式方程
1、分式方程： ．
（1）31-x =5（2）x 1=14-x （3）π32-x =x-1（4）),(1为常数b a b a x =（5）a
b a a x +=+1 （6）x a b x b a +=-11 （7）b x a a x 1-=+ （8）1=-+++-n
x m x m x n x 其中属于分式方程的有 整式方程与分式方程的本质区别就在于分母中是否含有未知数。
二、【解分式方程】
例：解下列分式方程：
（1）、33132=-+--x x x （2）11322x x x
-=--- (3)、93233222---=+-x x x x
解分式方程的基本步骤：（1） ．（2） ．（3）、 ．（4） ．
出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. ※例：先阅读下面解方程2
255111+-=+---x x x x x x 的过程，然后回答问题。
解： 将原方程整理为： )
1(2)1(5111+-=+-+-x x x x x x -----------（第一步） 方程两边同除以（x-1），得
)
1(25111+=++x x x -----------（第二步）
去分母， 得 2（x+1）+2x=5x----------（第三步）
解这个整式方程， 得 x=2-------（第四步）
上面解题过程中：
（1）第三步变形的依据是 ．
（2）出错的一步是 ．
（3）上述解题过程还缺少的一步是 ．
独立完成：解方程：（每题4分，共16分）
（1）、x
x 321=- （2）、0)1(213=-+--x x x x （3）、125552=-+-x x x （4）、
16)1(41022-=--x x x x （5）22011x x x -=+- (6)1432222-=++-x x x x x
※ 若2
)2(1--=-+x B x A x x x ，则A= ，B= ．
独立完成：（1）、
x x 321=- （2）、0)1(213=-+--x x x x （3）、125552=-+-x x x
（4）、x x 311=- (5) 114112=---+x x x （6）x
x x x 21211--=+-
（7）3423-=--x x x （8）22322=--+x x x （9）1
6)1(41022-=--x x x x
（10）1114132+-=-+-x x x x （11）x x x x -+=++4535 （12）1
432222-=++-x x x x x
（13）已知：1
21)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A = ，B = ，. 三、【分式方程增根问题】例：若关于x 的方程31--x x =9
32-x m 有增根，求m 的值。
1、分析过程更重要：关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则此增根必使3x －9=3（x －3）=0，所以增根为 ；去分母，方程两边同乘以3（x －3），得3（x －1）=m 2；根据题意得，x=3是上面整式方程的根，所以 ．
2、产生增根的原因： ．
3、常见考察类型：
类型一：已知
2+x a 与2-x b 的和等于4
42-x x ，则a= , b =
类型二：分式方程
3-x x +1=3-x m 有增根，则m=
※ 类型三：若关于x 的方程
12=-x a 的解为正数，则a 的取值范围是_________________
当堂练习
题型一：1．如果分式211
x x +-无意义，则x 应等于（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 0
2.若分式212
()()x x x +--的值为0，则x 的取值范围为 （ ） (A) 21x x =-=或 (B) 1x = (C) 2x ≠± (D) 2x ≠
（2）
3．把分式0.1220.30.25x x -+的x 系数化为整数，那么0.1220.30.25x x
-+= ．
4．不改变分式的值，使
23172x x x -+-+-的分子和分母中x 的最高次项的系数都是正数， 应该是（ ） A. 23172x x x ++- B. 23172x x x --- C. 23172x x x +-+ D. 23172
x x x --+ 5．已知22440x xy y -+=，那么分式 的值等于________________；
题型二：用常规方法解分式方程 （1）572x x =- （2）32221221x x x x --+=-- （3）1122x x x x +-=-+
（4）14143=-+--x x x （5）3233x x x
--=-- （6）22
13111x x x x --=--
（7）x
x 311=- （8）0132=--x x （9）11
4112=---+x x x （10）x x x x -+=++4535
x y x y
+-
题型三：求待定字母的值
1.若方程1211m x x -=-+无解，则m 的值为____________
2．若
1044m x x x --=--无解，则m 的值为____________
3．关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________
4．若关于x 的方程2111x m x x ++=--产生增根，则 m ＝____________；
5．若分式方程4
24-+=-x a x x 有增根，则a 的值为____________；
6、若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值.
7、若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围.。