数学建模 分支界限法ppt课件
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【精编】算法课件六分支定界PPT课件
结点e出队；
若e是回答结点，则
输出解或求解路径；
否则
检查e的所有子结点x：
若x满足约束条件，则
将x入队；
记录搜索路径；
LOGO
17
LOGO
❖ 优先队列式分支限界法程序框架
设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数 ；初始化优先队列Q；
计算~C(T)，并将T入队；
循环，直到队列Q空（无解）：
❖ 响度表示人所感受到的声音的强弱程度，它是一种与人耳 的 听感特性有关的人对声音强弱的主观表示法。与客观表示 法相比，主观表示法不仅与声音的强度（如声压）有关、而 且还与声音的频率有关。
❖ 响度的单位为宋（sone），1宋是声压级为40dB，频率为 1000Hz纯音所产生的响度。任何一个声音的响度，如果被 听者判断为1宋响度的几倍，则这个声音的响度就是几宋。
正常人的耳朵在声波频率为1000Hz时(纯音时)刚好等感觉 到的最弱声压为2×10-5Pa，此声压称为基准声压p0，或 称听阈声压。当声压达到20Pa时，使人的耳朵刚好产生疼 痛，故称痛阈声压。
声压P是声学中表示声音强弱的指标。声压大，则声音越 强(越响)；声压小，则声音听起来弱(低)。
5.6 汽车噪声的检测
当且仅当满足下述关系时，称之为堆
k k
i i
k2i k 2i1
或
k k
i i
k2i k 2i1
i
1,2,,
n 2
11
示例2：旅行商问题
LOGO
❖FIFO分支定界
E-节点 活节点表
B CDE
C DEFG
E FGH I J K
F 路径12341，59
G 路径12431，66
第六章 分支限界法.ppt
得到的解 继续搜索
13
单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
14
单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
// 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层
}
26
装载问题
3. 算法的改进
结点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树 表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解； ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱 的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去， 因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装 上船。
（2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
7
解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
A->E->Q->M
21
单源最短路径问题
Dijakstra算法和分支限法在解决该问题的异同：
优先队列式分支限界法的搜索方式是根据活结点的优先级确 定下一个扩展结点。结点的优先级常用一个与该结点有关的 数值p来表示。最大优先队列规定p值较大的结点点的优先级 较高。在算法实现时通常用一个最大堆来实现最大优先队列， 体现最大效益优先的原则。类似地，最小优先队列规定p值 较小的结点的优先级较高。在算法实现时，常用一个最小堆 来实现，体现最小优先的原则。采用优先队列式分支定界算 法解决具体问题时，应根据问题的特点选用最大优先或最小 优先队列，确定各个结点点的p值。
13
单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
14
单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
// 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层
}
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装载问题
3. 算法的改进
结点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树 表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解； ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱 的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去， 因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装 上船。
（2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
7
解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
A->E->Q->M
21
单源最短路径问题
Dijakstra算法和分支限法在解决该问题的异同：
优先队列式分支限界法的搜索方式是根据活结点的优先级确 定下一个扩展结点。结点的优先级常用一个与该结点有关的 数值p来表示。最大优先队列规定p值较大的结点点的优先级 较高。在算法实现时通常用一个最大堆来实现最大优先队列， 体现最大效益优先的原则。类似地，最小优先队列规定p值 较小的结点的优先级较高。在算法实现时，常用一个最小堆 来实现，体现最小优先的原则。采用优先队列式分支定界算 法解决具体问题时，应根据问题的特点选用最大优先或最小 优先队列，确定各个结点点的p值。
5.2 分支界定解法PowerPoint 演示文稿
12
已完成的求解过程和所得到的计算结果可用框 图来表示，见下图。
x2≤3
B
x1=2.25 x2=3.75 y=41.25
x2≥4
UB=41.25 LB=0
B1 x1=3 x2=3 y=39
B2 x1=1.8 x2=4 y=41
UB=41 LB=39
13
3.定界：由图可知。界为max { 39，41 } = 41。于是
4
③如果相应线性规划有最优解， 但不符合原整数规划问题的整数条件， 则这个最优解不是原整数规划的最优解，
记此最优值为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界， 转入第二步。
5
第二步：
主要特征是分支。 具体作法： 从相应线性规划的最优解中， 任意选择一个不满足原整数规划整数条件
的决策变量xj=bj
x2 4
x1 1
x1, x2 0
5 x 1 9 x 2 45
B21
x1 x2 6
x2 4
B22
x1 2 x1, x2
0
解B21得：最优解（x1，x2）=（1，4），最优值ymax=40. 解B22得: B22无可行解。
14
至此，已完成的求解过程和所得到的计算结果运用 框图来表示，如图所示：
UB=14 LB=14
22
例2：A问题为
MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0 x1,x2 都为整数
B问题为 MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0
23
问题B
Z=356
x1=4.81 ,x2=1.82 Z=356
已完成的求解过程和所得到的计算结果可用框 图来表示，见下图。
x2≤3
B
x1=2.25 x2=3.75 y=41.25
x2≥4
UB=41.25 LB=0
B1 x1=3 x2=3 y=39
B2 x1=1.8 x2=4 y=41
UB=41 LB=39
13
3.定界：由图可知。界为max { 39，41 } = 41。于是
4
③如果相应线性规划有最优解， 但不符合原整数规划问题的整数条件， 则这个最优解不是原整数规划的最优解，
记此最优值为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界， 转入第二步。
5
第二步：
主要特征是分支。 具体作法： 从相应线性规划的最优解中， 任意选择一个不满足原整数规划整数条件
的决策变量xj=bj
x2 4
x1 1
x1, x2 0
5 x 1 9 x 2 45
B21
x1 x2 6
x2 4
B22
x1 2 x1, x2
0
解B21得：最优解（x1，x2）=（1，4），最优值ymax=40. 解B22得: B22无可行解。
14
至此，已完成的求解过程和所得到的计算结果运用 框图来表示，如图所示：
UB=14 LB=14
22
例2：A问题为
MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0 x1,x2 都为整数
B问题为 MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0
23
问题B
Z=356
x1=4.81 ,x2=1.82 Z=356
分支限界法(课堂PPT)
与回溯法不同的是，分支限界法首先扩展解空间树 中的上层结点，并采用限界函数，有利于实行大范围 剪枝，同时，根据限界函数不断调整搜索方向，选择 最有可能取得最优解的子树优先进行搜索。所以，如 果选择了结点的合理扩展顺序以及设计了一个好的限 界函数，分支界限法可以快速得到问题的解。
分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
➢ 依次从表PT中选取使目标函数取得极值的结点成为 当前扩展结点，重复上述过程，直至找到最优解。
分支限界法需要解决的关键问题
➢ 如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单，减 少搜索空间，不丢解）
➢ 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？）
例如：对于n=3的0/1背包问题解空间树
1 1
2
1
0
0
9
1
0
3
1
0
4
5
6
1
0
7
8
Hale Waihona Puke 101011 12
分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
➢ 依次从表PT中选取使目标函数取得极值的结点成为 当前扩展结点，重复上述过程，直至找到最优解。
分支限界法需要解决的关键问题
➢ 如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单，减 少搜索空间，不丢解）
➢ 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？）
例如：对于n=3的0/1背包问题解空间树
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建模仿真-分支限界法29页PPT
建模仿真-分支限界法
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ห้องสมุดไป่ตู้
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
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分支界限法分析课件
应用前景展望
01
工程优化领域
随着复杂工程问题的不断涌现 ，分支界限法将在结构优化、 机械设计等领域发挥更大的作 用，为工程设计和性能分析提 供有力支持。
02
金融风险管理
在金融领域，分支界限法可用 于评估和管理金融风险，为投 资决策和风险管理提供科学依 据。
03
生物信息学
随着基因组学和生物信息学的 发展，分支界限法在基因序列 分析、系统生物学和进化生物 学等领域的应用将得到拓展。
解释结果的意义
将解与实际问题相结合，解释结果的 意义和实际应用价值。
03
分支界限法的应用案例
案例一：物流配送路径优化
总结词
通过分支界限法，优化物流配送路径，降低成本，提高效率。
详细描述
分支界限法在物流配送路径优化中应用广泛。通过设定分支界限，对配送路径进行优化，降低运输成 本，提高运输效率，从而提升整体物流服务水平。
04
社会科学研究
分支界限法在经济学、社会学 和心理学等领域的研究中，可 用于探索复杂系统的边界条件 和动态演化过程，为社会科学 的发展提供新的研究工具和方 法。
感谢您的观看
THANKS
分支界限法分析课件
目录
• 分支界限法概述 • 分支界限法的实施步骤 • 分支界限法的应用案例 • 分支界限法的优缺点分析 • 分支界限法的改进方向 • 分支界限法的未来展望
01
分支界限法概述
定义与特点
总结词
分支界限法是一种数学分析方法，用于解决优化问题，特别是约束优化问题。
详细描述
分支界限法是一种迭代算法，通过不断将问题分解为更小的子问题，并应用界 限来限制解的范围，逐步逼近最优解。该方法具有处理大规模、复杂优化问题 的能力，尤其适用于约束条件多、变量范围广的问题。
分支限界法PPT幻灯片
3
依次从表PT中选取使目标函数的值取得极值的结点成 为当前扩展结点，重复上述过程，直到找到最优解。
随着这个遍历过程的不断深入，表PT中所估算的目标函 数的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时 ，如果该结点的目标函数值是表PT中的极值（对于最小化问 题，是极小值；对于最大化问题，是极大值），则该叶子结 点对应的解就是问题的最优解。
限界函数为：
u b v ( W w ) ( v i 1w i 1 )
2021/2/27
6
分支限界法求解0/1背包问题
1 w=0, v=0 ub=100
2 w=4, v=40 ub=76
4×
w=11 无效解
5 w=4, v=40 ub=70
6 w=9, v=65 ub=69
7 w=4, v=40 ub=64
物品 1
重量(w) 价值(v)
4
40
价值/重量 (v/w)
10
2
7
42
6
3
5
25
5
4
3
12
4
2021/2/27
5
应用贪心法求得近似解为(1, 0, 0, 0)，获得的价 值为40，这可以作为0/1背包问题的下界。
如何求得0/1背包问题的一个合理的上界呢？
考虑最好情况，背包中装入的全部是第1个物品 且可以将背包装满，则可以得到一个非常简单的上界 的计算方法：ub=W×(v1/w1)=10×10=100。于是，得 到了目标函数的界[40, 100]。
2021/2/27
11
若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则将 该孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点 表PT中。
从表PT中选取使目标函数取得极大值的结点作为下一 次扩展的根结点，重复上述过程，当到达一个叶子结点时， 就 得 到 了 一 个 可 行 解 X=(x1, x2, …, xn) 及 其 目 标 函 数 值 bound(x1, x2, …, xn)。
分支限界法完课件
03
当前研究
目前，分支限界法已成为解决优化问题的主流算法之一，在各个领域都
有广泛的应用和研究。同时，随着人工智能和机器学习的快速发展，分
支限界法在这些问题中的应用也日益增多。
02
分支限界法的基本原理
搜索策略
01
02
03
深度优先搜索
按照深度优先的顺序搜索 分支，尽可能深地搜索分 支，直到达到目标状态或 无法再深入。
结合人工智能技术，分支限界法可以 处理更复杂的问题，例如组合优化问 题、约束满足问题等，提高求解效率 和精度。
分支限界法在机器学习中的应用
01
分支限界法可以应用于机器学习 中的分类、回归和聚类等问题， 通过优化搜索过程，提高模型的 精度和泛化能力。
02
分支限界法可以结合深度学习技 术，例如神经网络和强化学习等 ，为机器学习提供更高效、可靠 的求解策略。
详细描述
生产调度问题是工业生产中常见的问题，旨在合理安 排生产计划和资源分配，以提高生产效率和降低成本 。分支限界法通过将问题分解为一系列子问题，并逐 个求解子问题的候选解，能够处理大规模、高维度的 生产调度问题，并给出近似最优解。
06
分支限界法的未来展望
人工智能与分支限界法的结合
人工智能技术为分支限界法提供了更 高效、智能的求解策略，例如使用遗 传算法、模拟退火算法等启发式搜索 方法优化分支限界法的搜索过程。
组合优化
在组合优化问题中，如旅行商问题、 背包问题、图着色问题等，分支限界 法能够找到最优解或近似最优解。
分支限界法的历史与发展
01起源Biblioteka 分支限界法的思想起源于20世纪50年代，最早由贝尔实验室的科学家
提出。
02
《分支限界法》课件
《分支限界法》PPT课件
汇报人：PPT
单击输入目录标题 分支限界法的基本概念 分支限界法的核心算法 分支限界法的实现细节 分支限界法的优化策略 分支限界法的应用案例分析
添加章节标题
分支限界法的基本概念
定义与原理
分支限界法是一种求解优化问题的 算法
在求解过程中，分支限界法会不断 地扩展问题的解空间，直到找到最 优解或确定不存在最优解为止
分支限界法的重要性和应用领域
分支限界法的优缺点和适用范围
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分支限界法的算法原理和实现过程
分支限界法的未来发展趋势和应用 前景
未来研究方向展望
优化算法性能：提高分支限界法的效率，减少时间复杂度 扩展应用领域：将分支限界法应用于更多领域，如机器学习、优化问题等 改进算法设计：探索新的分支限界法算法，提高解决问题的能力和范围 强化理论支撑：深入研究分支限界法的理论，为算法设计提供更坚实的支撑
求解其他优化问题案例
旅行商问题： 使用分支限界 法求解旅行商 问题的最优解
背包问题：使 用分支限界法 求解背包问题
的最优解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调度问题：使 用分支限界法 求解调度问题
的最优解
排班问题：使 用分支限界法 求解排班问题
的最优解
分支限界法的局限性与挑战
算法适用范围限制
只能求解优化问题 无法处理多约束条件 对问题的规模有限制 无法处理动态变化的问题
优化策略：通过优化搜索策略和剪 枝技术可以降低算法的复杂度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
空间复杂度：分支限界法需要存储 问题的状态和搜索过程中的信息
适用场景：分支限界法适用于求解 一些组合优化问题，如旅行商问题、 背包问题等
汇报人：PPT
单击输入目录标题 分支限界法的基本概念 分支限界法的核心算法 分支限界法的实现细节 分支限界法的优化策略 分支限界法的应用案例分析
添加章节标题
分支限界法的基本概念
定义与原理
分支限界法是一种求解优化问题的 算法
在求解过程中，分支限界法会不断 地扩展问题的解空间，直到找到最 优解或确定不存在最优解为止
分支限界法的重要性和应用领域
分支限界法的优缺点和适用范围
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分支限界法的算法原理和实现过程
分支限界法的未来发展趋势和应用 前景
未来研究方向展望
优化算法性能：提高分支限界法的效率，减少时间复杂度 扩展应用领域：将分支限界法应用于更多领域，如机器学习、优化问题等 改进算法设计：探索新的分支限界法算法，提高解决问题的能力和范围 强化理论支撑：深入研究分支限界法的理论，为算法设计提供更坚实的支撑
求解其他优化问题案例
旅行商问题： 使用分支限界 法求解旅行商 问题的最优解
背包问题：使 用分支限界法 求解背包问题
的最优解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调度问题：使 用分支限界法 求解调度问题
的最优解
排班问题：使 用分支限界法 求解排班问题
的最优解
分支限界法的局限性与挑战
算法适用范围限制
只能求解优化问题 无法处理多约束条件 对问题的规模有限制 无法处理动态变化的问题
优化策略：通过优化搜索策略和剪 枝技术可以降低算法的复杂度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
空间复杂度：分支限界法需要存储 问题的状态和搜索过程中的信息
适用场景：分支限界法适用于求解 一些组合优化问题，如旅行商问题、 背包问题等
第六章 分支限界法 优质课件
16
首先要确定如何定问题的下界。设将每人 只教一门课变成一人可以教多门课，这样一来 得到的总备课时间最小值肯定不会比实际情况 还大，可作为问题的下界。而且在这种假定下 最小值的计算非常方便，只需将表中各列的最 小值加起来即可。例如整个问题的下界为（A 教I、III、IV课，B教II课）2+4+9+7=22。
39
综合以上几个例子，可以看到分支限界法 的基本思想是采用DFS策略，并对每个结点估计 一权值（在求极小值问题中对应于从该结点出 发能得到的解的下界，若是最大值问题则反 之），在搜索时利用权值来决定下一搜索结点 的优先顺序（对于最小值问题，权值越小越优 先），一旦搜索到一个解，利用这个解的权值 可剪去那些不可能得到更优解的结点，直至所 有结点均被搜索或剪去，从而大大节省搜索的 结点数。
36
利用分枝限界方法求解的过程如下图
37
图中每个节点都有两个数，其中（）里的数表 示搜索顺序的序号。最优的加工顺序是：
J1→J4→J3→J2 总时数为38单位，相应安排如下图所示：
38
依估计的时间最短优先搜索为原则，最先找到 的最优结果为40单位，若估计的界不小于 38，就无搜索的必要。从图中可知剪去的搜索 树枝是非常可观。分支限界的效果是很理想的。
10
11
图2
12
因为从所有失败的方案返回时该部分子树即不 必保留，所以最终内存中只保留成功方案的几 条单链分支，比图中所示之树还要简单。如果 每试出一个成功方案就立即输出而不必存储， 或只试出一个方案就可以了，则只需一个单链， 更可以节约存储量。
13
在用这种方法解决优化问题时（以下以最小化 问题来说明，最大化问题也与此类似），如果 能事先估计出每个分支的下界值，当某分支的 下界值比已试过的方案的值还要高时，这整个 子树即不必再考虑，因此常常可以大大节约运 算时间。下面再以一个例子说明
首先要确定如何定问题的下界。设将每人 只教一门课变成一人可以教多门课，这样一来 得到的总备课时间最小值肯定不会比实际情况 还大，可作为问题的下界。而且在这种假定下 最小值的计算非常方便，只需将表中各列的最 小值加起来即可。例如整个问题的下界为（A 教I、III、IV课，B教II课）2+4+9+7=22。
39
综合以上几个例子，可以看到分支限界法 的基本思想是采用DFS策略，并对每个结点估计 一权值（在求极小值问题中对应于从该结点出 发能得到的解的下界，若是最大值问题则反 之），在搜索时利用权值来决定下一搜索结点 的优先顺序（对于最小值问题，权值越小越优 先），一旦搜索到一个解，利用这个解的权值 可剪去那些不可能得到更优解的结点，直至所 有结点均被搜索或剪去，从而大大节省搜索的 结点数。
36
利用分枝限界方法求解的过程如下图
37
图中每个节点都有两个数，其中（）里的数表 示搜索顺序的序号。最优的加工顺序是：
J1→J4→J3→J2 总时数为38单位，相应安排如下图所示：
38
依估计的时间最短优先搜索为原则，最先找到 的最优结果为40单位，若估计的界不小于 38，就无搜索的必要。从图中可知剪去的搜索 树枝是非常可观。分支限界的效果是很理想的。
10
11
图2
12
因为从所有失败的方案返回时该部分子树即不 必保留，所以最终内存中只保留成功方案的几 条单链分支，比图中所示之树还要简单。如果 每试出一个成功方案就立即输出而不必存储， 或只试出一个方案就可以了，则只需一个单链， 更可以节约存储量。
13
在用这种方法解决优化问题时（以下以最小化 问题来说明，最大化问题也与此类似），如果 能事先估计出每个分支的下界值，当某分支的 下界值比已试过的方案的值还要高时，这整个 子树即不必再考虑，因此常常可以大大节约运 算时间。下面再以一个例子说明
《分支限界法》课件
分支限界法
目 录
• 分支限界法概述 • 分支限界法的算法流程 • 分支限界法的实现细节 • 分支限界法的优化策略 • 分支限界法的应用案例 • 分支限界法的总结与展望
01
分支限界法概述
定义与特点
定义
分支限界法是一种用于解决约束满足 问题的算法，它将问题空间进行分支 ，并在每条分支上设置限界，通过搜 索满足约束条件的解来找到最优解。
02
分支限界法的算法流程
初始化
设定求解目标
明确问题的求解目标，如寻找最小化或最大化的 解。
设定节点优先级
根据问题的特性，设定节点优先级，优先级高的 节点将优先被扩展。
设定界函数
根据问题的特性，设定界函数以评估节点的界限 ，即当前节点的解的优劣。
扩展节点
01
选择当前优先级最高的节点进行 扩展。
02
问题依赖性强
分支限界法的效率和效果很大程度上依赖于 问题的特性，对于某些问题可能效果不佳。
参数调整困难
该方法涉及多个参数设置，如分支宽度、限界深度 等，调整不当会影响算法性能。
需要经验积累
分支限界法的应用需要一定的经验积累，对 于新手来说可能存在一定的学习门槛。
分支限界法的研究方向
算法优化
针对不同类型的问题，研究如何优化分支限 界法，提高算法效率和求解质量。
生产调度问题
要点一
总结词
分支限界法在生产调度问题中能够处理多种约束和优化目 标。
要点二
详细描述
生产调度问题是一个复杂的优化问题，旨在安排生产计划 以满足市场需求和资源限制。分支限界法通过将问题分解 为多个子问题来处理多种约束和优化目标，通过设置优先 级和界限来控制搜索过程，从而在可接受的计算时间内得 到最优解或近似最优解。
目 录
• 分支限界法概述 • 分支限界法的算法流程 • 分支限界法的实现细节 • 分支限界法的优化策略 • 分支限界法的应用案例 • 分支限界法的总结与展望
01
分支限界法概述
定义与特点
定义
分支限界法是一种用于解决约束满足 问题的算法，它将问题空间进行分支 ，并在每条分支上设置限界，通过搜 索满足约束条件的解来找到最优解。
02
分支限界法的算法流程
初始化
设定求解目标
明确问题的求解目标，如寻找最小化或最大化的 解。
设定节点优先级
根据问题的特性，设定节点优先级，优先级高的 节点将优先被扩展。
设定界函数
根据问题的特性，设定界函数以评估节点的界限 ，即当前节点的解的优劣。
扩展节点
01
选择当前优先级最高的节点进行 扩展。
02
问题依赖性强
分支限界法的效率和效果很大程度上依赖于 问题的特性，对于某些问题可能效果不佳。
参数调整困难
该方法涉及多个参数设置，如分支宽度、限界深度 等，调整不当会影响算法性能。
需要经验积累
分支限界法的应用需要一定的经验积累，对 于新手来说可能存在一定的学习门槛。
分支限界法的研究方向
算法优化
针对不同类型的问题，研究如何优化分支限 界法，提高算法效率和求解质量。
生产调度问题
要点一
总结词
分支限界法在生产调度问题中能够处理多种约束和优化目 标。
要点二
详细描述
生产调度问题是一个复杂的优化问题，旨在安排生产计划 以满足市场需求和资源限制。分支限界法通过将问题分解 为多个子问题来处理多种约束和优化目标，通过设置优先 级和界限来控制搜索过程，从而在可接受的计算时间内得 到最优解或近似最优解。
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通常g(d)的构造较易，h(d)的构造较难。
2020/3/30
计算机算法设计与分析
3
搜索路径的构造
在对每回一溯个法扩中展，的每结次点，仅建考立察三一个条信路息径： ，因 而只需要 构(1)造该这结点一的条名路称径；即可：前进时 记下相应 结(2)点它，的评回价溯函时数删值去；最末尾结点 的记录。 这(3)比指较向其容前易驱实的现指。针；
评价函数f(d)为1到d的代 价减去已经过的边数。
&& f(d)＜f’(d)，则②删d去O旧pe结n &点&并d将[Cdl,ofs(edd)。, p] 重新插入到Open中; 否则
⑻ 将[d, f(d), p] 插入到Open中}}}。
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计算机算法设计与分析
5
分支限界法求单源最短路径
单源最短路径问题的评价函数的构造：
g(d)定义为从源s到结点d所走的路径长度： g(d) = g(p) + C[p][d]
2 30 5
Open表
[[5[51,,,196000,,,0431]]] [43, 3650, 124] [24, 130, 1]
Closed表
[1, 0, 0] [2, 10, 1] [4, 30, 1]
50 10
60
3 20 4
[3, 50, 4]
初 取 取始 出 出[时[45123,,，01536,00将,,01413]源放]]放，放[入1入因入,C0其CC,loll0oos已]ess放dee经dd；入；；是生O生生目p成e成成标n其，其其结后C后后点继lo继继，s[e2[[d算3,32为,1, 法0615空,00成1,0,。2],4、3]]，] [并 和 功4,依 [并53,0序 终,9610插 止], 和43入 。][，，5O,前p修1e0n者订0。,因O1]p劣，en于并中C依已lo序有se放d的中入两的O个[p2e结,n1。点0, 并1]依而 序 被 依排 抛 据列 弃 逆。， 向后 指者针修可订得了最短Op路en径中为的1[→5, 49→0, 34→]。5。
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8
用分支限界法求TSP
TSP是求排列的问题，不是仅找一条路径而已。 因而需要对分支限界法的一般算法作些修改：
(1)待扩展的结点如果在本路径上已经出现，则 不再扩展，但若是在其他路径上出现过，则仍 需要扩展。
(2)新结点，无论其优劣，既不影响其它路径上 的结点，也不受其它路径上的结点的影响。
这里p为d的前驱结点，C[p][d]为p到d的距离。 h(d)定义为0。于是f(d) = g(d)。
源s的评价函数f(s) = 0。
评价函数的下界为0；上界初始时为∞，以后不 算机算法设计与分析
6
分支限界法求最短路径举例
赋权图G
1
10
100
⑸ 若p是目标，则考虑修改上界函数值；否则
⑹ {将[p, f(p), L]放入Closed;
⑺ 在该路径上扩展结点p；对每个后继d
⑻ {计算f(d)；
⑼ 若f(d)＜U, 则{L = L {p};
将[d, f(d),L]依序放入Open。}
}}}
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
2
评价函数的构造
评价函数要能够提供一个评定候选扩展结点的 方法，以便确定哪个结点最有可能在通往目标 的最佳路径上。
一个评价函数f(d)通常可以由两个部分构成： ⑴从开始结点到结点d的已有耗损值g(d)，和⑵ 再从结点d到达目标的期望耗损值h(d)。即：
f(d) = g(d) + h(d)
分支限界法求TSP举例
设有向图G = (V, E)的边的代价矩阵为C = [cij]。 若不存在有向边<i, j>∈E，则定义cij=∞且规定 cii=∞。不失一般性，设周游路线均以顶点1为起 点。左下为一个有向图G的代价矩阵C。
∞ 25 40 31 27 5 ∞ 17 30 25 19 15 ∞ 6 1
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7
界限(Bounding)
评价函数f(d)关系着算法的效率乃至成败。
因为在大多数问题中f(d)只是个估计值，所以 单靠f(d)是不够的。通常还要设计它的上下界 函数U(d)和L(d)。 L(d)≤f(d)≤U(d)。
所谓分支限界法就是通过评价函数及其上下界 函数的计算，将状态空间中不可能产生最佳解 的子树剪去，减少搜索的范围，提高效率。因 而更准确的称呼应是“界限剪支法”
在这样分一支旦限找界到法目中标，即是可同逆时向考构察造若其干路径条。路 径用一，个那表么保又存该准如备何扩展构的造结搜点索，的称路为径Op呢en表？。
用一个表保存已搜索过的结点，称为Closed表。
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4
分支限界法的一般算法
⑴计算初始结点s的f(s); [s, f(s), nil]放入Open; ⑵while (Open ≠Φ) { ⑶ 从Open中取出[p, f(p), x](f(p)为最小); ⑷ 将[p, f(p), x]放入Closed; ⑸ 若p是目标，则成功返回；否则 ⑹ { 产生p的后继d并计算f(d) ；对每个后继d ⑺ {若有(二[d种, f情’(d况), ：p]①CdlosCedlo|s| e[d,||fd’(d)O, pp]enO；pen)
第六章
分支限界法
2020/3/30
计算机算法设计与分析
1
分支限界法是最佳优先搜索法
分支限界法就是最佳优先(包括广度优先在内) 的搜索法。
分支限界法将要搜索的结点按评价函数的优劣 排序，让好的结点优先搜索，将坏的结点剪去。 所以准确说，此方法应称为界限剪支法。
分支限界法中有两个要点：
(1)评价函数的构造； (2)搜索路径的构造。
(3)依据上界函数决定结点是否可以剪去。
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分支限界法求排列
⑴计算初始结点s的f(s); [s, f(s), nil]放入Open;
⑵while (Open ≠Φ) {
⑶ 从Open中取出[p, f(p), L]; //L是路径已有结点
⑷ 若f(p)≥U，则抛弃该路径；
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搜索路径的构造
在对每回一溯个法扩中展，的每结次点，仅建考立察三一个条信路息径： ，因 而只需要 构(1)造该这结点一的条名路称径；即可：前进时 记下相应 结(2)点它，的评回价溯函时数删值去；最末尾结点 的记录。 这(3)比指较向其容前易驱实的现指。针；
评价函数f(d)为1到d的代 价减去已经过的边数。
&& f(d)＜f’(d)，则②删d去O旧pe结n &点&并d将[Cdl,ofs(edd)。, p] 重新插入到Open中; 否则
⑻ 将[d, f(d), p] 插入到Open中}}}。
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5
分支限界法求单源最短路径
单源最短路径问题的评价函数的构造：
g(d)定义为从源s到结点d所走的路径长度： g(d) = g(p) + C[p][d]
2 30 5
Open表
[[5[51,,,196000,,,0431]]] [43, 3650, 124] [24, 130, 1]
Closed表
[1, 0, 0] [2, 10, 1] [4, 30, 1]
50 10
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3 20 4
[3, 50, 4]
初 取 取始 出 出[时[45123,,，01536,00将,,01413]源放]]放，放[入1入因入,C0其CC,loll0oos已]ess放dee经dd；入；；是生O生生目p成e成成标n其，其其结后C后后点继lo继继，s[e2[[d算3,32为,1, 法0615空,00成1,0,。2],4、3]]，] [并 和 功4,依 [并53,0序 终,9610插 止], 和43入 。][，，5O,前p修1e0n者订0。,因O1]p劣，en于并中C依已lo序有se放d的中入两的O个[p2e结,n1。点0, 并1]依而 序 被 依排 抛 据列 弃 逆。， 向后 指者针修可订得了最短Op路en径中为的1[→5, 49→0, 34→]。5。
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8
用分支限界法求TSP
TSP是求排列的问题，不是仅找一条路径而已。 因而需要对分支限界法的一般算法作些修改：
(1)待扩展的结点如果在本路径上已经出现，则 不再扩展，但若是在其他路径上出现过，则仍 需要扩展。
(2)新结点，无论其优劣，既不影响其它路径上 的结点，也不受其它路径上的结点的影响。
这里p为d的前驱结点，C[p][d]为p到d的距离。 h(d)定义为0。于是f(d) = g(d)。
源s的评价函数f(s) = 0。
评价函数的下界为0；上界初始时为∞，以后不 算机算法设计与分析
6
分支限界法求最短路径举例
赋权图G
1
10
100
⑸ 若p是目标，则考虑修改上界函数值；否则
⑹ {将[p, f(p), L]放入Closed;
⑺ 在该路径上扩展结点p；对每个后继d
⑻ {计算f(d)；
⑼ 若f(d)＜U, 则{L = L {p};
将[d, f(d),L]依序放入Open。}
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评价函数的构造
评价函数要能够提供一个评定候选扩展结点的 方法，以便确定哪个结点最有可能在通往目标 的最佳路径上。
一个评价函数f(d)通常可以由两个部分构成： ⑴从开始结点到结点d的已有耗损值g(d)，和⑵ 再从结点d到达目标的期望耗损值h(d)。即：
f(d) = g(d) + h(d)
分支限界法求TSP举例
设有向图G = (V, E)的边的代价矩阵为C = [cij]。 若不存在有向边<i, j>∈E，则定义cij=∞且规定 cii=∞。不失一般性，设周游路线均以顶点1为起 点。左下为一个有向图G的代价矩阵C。
∞ 25 40 31 27 5 ∞ 17 30 25 19 15 ∞ 6 1
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界限(Bounding)
评价函数f(d)关系着算法的效率乃至成败。
因为在大多数问题中f(d)只是个估计值，所以 单靠f(d)是不够的。通常还要设计它的上下界 函数U(d)和L(d)。 L(d)≤f(d)≤U(d)。
所谓分支限界法就是通过评价函数及其上下界 函数的计算，将状态空间中不可能产生最佳解 的子树剪去，减少搜索的范围，提高效率。因 而更准确的称呼应是“界限剪支法”
在这样分一支旦限找界到法目中标，即是可同逆时向考构察造若其干路径条。路 径用一，个那表么保又存该准如备何扩展构的造结搜点索，的称路为径Op呢en表？。
用一个表保存已搜索过的结点，称为Closed表。
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分支限界法的一般算法
⑴计算初始结点s的f(s); [s, f(s), nil]放入Open; ⑵while (Open ≠Φ) { ⑶ 从Open中取出[p, f(p), x](f(p)为最小); ⑷ 将[p, f(p), x]放入Closed; ⑸ 若p是目标，则成功返回；否则 ⑹ { 产生p的后继d并计算f(d) ；对每个后继d ⑺ {若有(二[d种, f情’(d况), ：p]①CdlosCedlo|s| e[d,||fd’(d)O, pp]enO；pen)
第六章
分支限界法
2020/3/30
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1
分支限界法是最佳优先搜索法
分支限界法就是最佳优先(包括广度优先在内) 的搜索法。
分支限界法将要搜索的结点按评价函数的优劣 排序，让好的结点优先搜索，将坏的结点剪去。 所以准确说，此方法应称为界限剪支法。
分支限界法中有两个要点：
(1)评价函数的构造； (2)搜索路径的构造。
(3)依据上界函数决定结点是否可以剪去。
2020/3/30
计算机算法设计与分析
9
分支限界法求排列
⑴计算初始结点s的f(s); [s, f(s), nil]放入Open;
⑵while (Open ≠Φ) {
⑶ 从Open中取出[p, f(p), L]; //L是路径已有结点
⑷ 若f(p)≥U，则抛弃该路径；