3时间响应分析

为临界稳定系统。
结论： ①系统特征根的实部决定了系统的稳定与否； ②Re[si]绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减
的快慢； ③系统特征根的虚部的分布情况在很大程度上决定了系
统自由响应的振荡情况。
等效判据： 由系统特征根与传递函数极点之间的对应关系可得： ①若系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平
第三章 系统的时域响应分析
3.1 时间响应及其组成
（1）时间响应概念 时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式， 或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。 例1 无阻尼的单自由度系统
动力学方程为：m y t k ty F co t s
动力学方程 m y t k ty F co t的解s ？…
x o (t)
n
dn 12
②当ξ=0时：
xotL1s2 n 2n2nsi nnt
x o (t) n
③当ξ=1时：
xotL1s n 2n2n 2tent
x o (t) n
④当ξ>1时：
xot2 n 2-1L1s121ns121n
e e n
21nt 21nt
22-1
x o (t) n
代入原方程得 R(1)F k112, R(2)0
y2tF k112cost
n
yty1ty2t
A si n ntB co ntsF k1 1 2co ts
A、B根据初始条件及上式决定：
，
A y0
n
By0F k112
y t y ( 0 n ) si n t n y ( 0 ) cn o t F k s 1 1 2 cn o t F k s 1 1 2 ct o
初始斜率=1/T
（2）单位阶跃响应
c(t)
X osG sX isT1 s11 s
1
xotL 1 T1 s11 s 1etT 0.632
99.3%
98.2%
95%
86.5%
63.2%
稳态项
瞬态项0 T 2T 3T 4T 5T
t
过渡过程：其阶跃响应增长到稳态值的98%之前的过程，同 样可算得相应的时间为4T。因此，时间常数T确实反映了一 阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的 响应也就愈快。
称为稳定系统。此i时1 自由响应i1项又称为瞬态响应项，
强迫响应项又称为稳态响应项。
Re[si] <0绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的 快慢。绝对值越大，则它所对应的自由响应项衰减得越快。
系统特征根的虚部Im[si]的 分布情况在很大程度上决定了系 统自由响应的振荡情况，绝对值 越大，则自由响应项振荡频率越 高，它决定了系统的响应在规定 时间内接近稳态响应的情况，这 影响着系统响应的准确性。
按振动频率与作用频率的关系分为： 自由响应：振动频率与作用频率无关； 强迫响应：振动频率与作用频率相同。
（2）一般情况的时间响应 n阶线性定常系统，动力学方程表示为：
a n y n t a n 1 y n 1 t a 1 y 1 t a 0 y t x t
设其特征根为si (i = 1,2…n ) ，则系统的时间响应为：
C(t)
Mp 1
0.05或0.02 允许误差
1.上升时间tr
响应从其稳态值 的10％上升到90％ 所需的时间。
0 tr tp ts
t
快速性
C(t) Mp
1
0.05或0.02 允许误差
0 tr tp ts
2.峰值时间tp 响应超过稳态值
而到达第一个峰值 所需的时间。
快速性
t
3.调节时间ts 响应到达并不再
x o ts x o x o
讨论：当ξ一定时，ωn增大，
tp 减小；当ωn一定时，ξ增大， tp 增大；
x o ts x o e n t1 12s id n t arc 1 t2 a n
e n ts 1 12 ts1nln 1 1 2
2%
ts1 n l0 n .01 1 2 21 n 4 ln 1 12 0 0 .7 ts4 n
②系统所有特征根si (i = 1,2…n )均具有正实部，即Re[si] >0，
n
n
则其自由响应项 A1iesit A2iesit 最终会趋于+∞，即系统
i1
i1
的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。
③若系统有一个特征根的实部为0，而其余特征根的实部均为
负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称
④当ξ>1时：
xotL1s2s1n
snn2
1
1
e 21nt
2 2 1 2 1
1
e 21nt
2 2 1 2 1
在欠阻尼系统中，当
ξ= 0.4-0.8时，不
仅其过渡过程时间比
ξ=1更短，而且振荡
也不太严重。因此，
一般希望二阶系统工
作在ξ= 0.4-0.8的
（3）微分方程特征根的意义
e s i t e i j i t e i t e j i t e i t c i t o j si t s in
①系统的所有特征根si (i = 1,2…n )均具有负实部，即
Re[si] <0，则其自由响应项最终会趋于0，也就是说系
n
n
统的自由响应项 A1iesit A2iesit 收敛。这种系统
其中： n —— 无阻尼固有频率
—— 阻尼比
s1,2-n n 21
s1,2-n n 21
（1）单位脉冲响应
x o t L 1 s 2 2n 2 n sn 2 L 1 sn 2 n 2n1 22
①当0<ξ<1时：
x o t L 1 1 n2 s n n 2 1 n 2 1 22 1 n2 e n t sid tn
二阶线性非齐次方程 y '' p' q y y f(x )
根据微分方程的结构理论：
y t y 1 t y 2 t
通解 y''p' yq y0
特解 y '' p' q y y f(x )
m y t kty 0 m y t k ty F co t s
★根据 m y t kty 0求通解y1(t)
讨论： ①系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关； ②由y(t)=L-1[G(s)X(s)]所求得的输出是系统的零状态响应； ③对于线形定常系统，若x(t)引起的输出为y(t)，则x’(t)引起 的输出为y’(t)，如此可求得下式的响应：
a n y n t a n 1 y n 1 t a 1 y 1 t a 0 y t b m x m t b m 1 x m 1 t b 1 x 1 t b 0 x t
Rb (1)(x)R ,b (2)(x)代入原方程可求得,b = max(l,n)。
p 0 , q k / m , 0 , P l ( x ) F / m , P n ( x ) 0 , b 0
特征根 r 1 ,2 i k/m i
0
y 2(t) R (1 )co t s R (2 )sitn
y''p' yq y0
当特征方程 r2prq0中有一对共轭复根 r1,2i 时
y e x C 1 cx o C 2 s si x n
特征方程为 m2rk0
r1,2 i
k m
0
m kn
y 1 t A si n t n B cn o t s
★根据 m y t k ty F co t求特s解y2(t)
y '' p' q y y f(x )
当 f ( x ) e x P l ( x ) cx o P n ( x s ) sx i 时n
y x e x [ R b ( 1 ) ( x ) cx o R b ( 2 ) s ( x ) sx i ]n
其中：当 i为特征方程根,则β= 1；否则β = 0。
②峰值时间tp:响应曲线达到 第一个峰值所需的时间。
讨论：当ξ一定时，ωn增大，
tp 减小；当ωn一定时，ξ增 大，tp 增大；
dd ox ttt tp 1 e n t 1 12s in dt arc1 ta 2 n 0 t tp tpd
③调整时间ts:在过渡过程中， xo(t)取的值满足如下不等式时 所需时间。
二阶系统单位脉冲响应
0 c(t)
0.3 0.7
1.0 1.2
0 t
（2）单位阶跃响应
X o s s 2 2n 2 n s n 2 1 s 1 s s n j s d 2 s nn jd
①当0<ξ<1时：
xot
L11s s
s2n
n2 d2
12
d
sn2
d2
1e
（3）性能指标
调整时间（ts）：一阶系统在单位阶跃输入作用下，达到 稳态值的1-△所需要的时间
例如： △= 2%时，ts = 4T；△= 5%时，ts = 3T； 调整时间反映系统响应的快速性。
3.3 二阶系统的响应分析
典型传递函数：G sX X o is ss22n 2 n sn 2 特征方程： s22 n sn 20 特征根：s1,2-n n 21
面内，则系统稳定； ②若系统传递函数在[s]平面的右半平面内存在极点，则
系统不稳定。
(4)控制系统的时域性能指标
在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应分为动态过程和稳态过 程两个部分。因此，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态 性能指标和稳态性能指标两部分组成。
通常采用单位阶跃函数输入下的系统响应来衡量系统的控制性能 ：