初三数学.二次函数图像特征与变换.学生版

中考内容

中考要求 A

B

C

二次函数

能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象

能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题

二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。

这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。

年份 2011年 2012年 2013年 题号 7，8，23 8，23 10，23 分值

11分

11分

9分

考点

抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）

函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围

二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性

中考内容与要求

中考考点分析

知识互联网

二次函数图象特征与

变换

图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调

性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨

<⇔⎩

向上

向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2b

x a

=-（或x h =）． 顶点坐标

(2b

a

-，

24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性

当0a >时，在对称轴的左侧，y 随

x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随

x 的增大而增大（如图1）；

图1

当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随

x 的增大而减小（如图2）

图2

与坐标轴

的交点 ① 与y 轴的交点：()0c ，；

② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的

两根．

图象与x 轴的交点① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点．

思路导航

题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系

个数

③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．

Ⅰ）当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ）当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

【引例】 二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，

a b c -+的符号 【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；

函数的对称轴02b

x a

=->，所以0b <；

函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；

函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以2

40b ac ->；

同时12b

x a

=-<，所以20a b +>；

1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>

【例1】 ⑴ 设0＞b ，二次函数122

-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为（ ）

A ．

152-- B ．15

2

-+ C ．1- D ． 1 1

2

y

x

O

2

1

O

y

x

y

O

x

-1

1

x

y

O

1-1

⑵ 二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2

4y bx b ac =+-与反比例函

数a b c y x

++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）

y x

O 1-1

A y x

O

B y x

O

C y x

O

D

y

x

O

例题精讲

典题精练

y

x

O

1

-1

⑶ 若二次函数2y ax bx c =++的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴，则点,c P a b ⎛⎫

⎪⎝⎭

在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【例2】 ⑴二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，已知OA OB 2=，

OC OA ＜，则a ，b ，c 满足的关系式是

⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点

若1

2

OB OC OA ==，则b 的值为 ．

【例3

】 (1) 已知二次函数c bx ax y ++=2满足：⑴c b a ＜＜；

⑵=++c b a ⑶图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2①0a <；②0a b c -+<；③0c >；④20a b ->；⑤4

12＜a b -

(2) 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <； ⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

【例4】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围

⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．