第13讲 平面向量(一) - 学生版

―→ （3）已知在平面直角坐标系 xOy 中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3 三点共线且向量 OP3 与
―→ ―→
―→
向量 a＝(1，－1)共线，若 OP3＝λ OP1 ＋(1－λ) OP2 ，则λ＝( )
A．－3
B．3
C．1
D．－1
【例 10】（1）在 Rt△ABC 中，A＝90°，点 D 是边 BC 上的动点，且|A→B|＝3，|A→C|＝4，A→D＝
―→ 2 PA ，则( )
A．x＝2，y＝1 B．x＝1，y＝2
33
33
C．x＝1，y＝3 D．x＝3，y＝1
44
44
（2）如图，在直角梯形 ABCD 中，―D→C ＝1―A→B ，―B→E ＝2―E→C ，且―A→E ＝r―A→B ＋s―A→D ，则 4
2r＋3s＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
（3）如图，已知在△ABC 中，D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点，连 接 AD，E 为线段 AD 的中点．若C→E＝mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
上任意一点，N
为Biblioteka Baidu
AM
―→ ―→ ―→ 的中点， AN ＝λ AB ＋μ AC ，
则λ＋μ的值为( )
A.1
B.1
2
3
C.1
D．1
4
―→ （2）在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若 AB ＝
―→ ―→ λ AM ＋μ AN ，则λ＋μ的值为( )
考点 2 共线向量定理
【例
2】（1）已知
a，b
―→
―→
是不共线的向量， AB ＝λa＋b， AC ＝a＋μb，λ，μ∈R，则
A，B，
C 三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
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(2)设 e1 与 e2 是两个不共线的向量，A→B＝3e1＋2e2，C→B＝ke1＋e2，C→D＝3e1－2ke2，若 A，B，
（2）若平面四边形 ABCD 满足A→B＋C→D＝0，(A→B－A→D)·A→C＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【例 14】（1）(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b| ＝________.
(2)已知不共线的两个向量 a，b 满足|a－b|＝2 且 a⊥(a－2b)，则|b|＝( )
A. 7 7
B. 7 8
C. 7 14
D.5 7 14
(3)已知单位向量
e1
与
e2
的夹角为α，且
cos
α＝1，向量 3
a＝3e1－2e2
与
b＝3e1－e2
的夹角为
β，则 cos β＝________.
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【例 13】（1）(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直， 则 m＝________.
nm
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（4）如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线
AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N (m，n>0)，则 1 ＋4的 mn
最小值为( )
A.2
B.4
C.9
D.9
2
【例
7】（1）在△ABC
中，M
为边
BC
λA→B＋μA→C(λ＞0，μ＞0)，则当λμ取得最大值时，|A→D|的值为( )
A.3
B．3
C.5
2
2
D．12 5
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（2）A，B，C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D(点 O 与点 D 不重合)，
若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
考点 4 平面向量的坐标表示
【例 8】(1)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)，则B→D＝
()
A．(－2，－4)
B．(－3，－5)
C．(3,5)
D．(2,4)
（2）设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c)，d
的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d＝( )
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
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【例 9】（1）已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则m＝( ) n
A.1
B．2
C．－1
D．－2
2
2
（2）已知向量O→A＝(1，－3)，O→B＝(2，－1)，O→C＝(k＋1，k－2)，若 A，B，C 三点不能构 成三角形，则 k＝________.
3
11
则实数 m 的值为________．
―→ ―→ (2)如图， 在△ABC 中，设 AB ＝a， AC ＝b，AP 的中点为 Q，BQ 的中点为 R，
―→ CR 的中点为 P，若 AP ＝ma＋nb，则 m＋n＝________.
（3）如图，经过△OAB 的重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设O→P＝ mO→A，O→Q＝nO→B，m，n∈R，则1＋ 1 的值为________．
―→ ―→
―→
(2)在△ABC 中，若 A＝120°， AB · AC ＝－1，则| BC |的最小值是( )
A. 2
B．2
C. 6
D．6
【例
16】(1)若
O
为△ABC
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 所在平面内任一点，且满足( OB － OC )·( OB ＋ OC －2 OA )＝0，
则△ABC 的形状为( )
A.1
B.1
C.4
D.5
4
5
5
4
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（3）如图所示，正方形
ABCD
中，M
是
BC
―→ ―→ ―→ 的中点，若 AC ＝λ AM ＋μ BD ，
则λ＋μ＝( )
A.4
B.5
3
3
C.15 8
D．2
（4）在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若A→C＝λA→E＋μA→F，其中 λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
B．若|a| ＞|b|，则 a＞b
C．若 a＝b，则 a∥b
D．若|a|＝0，则 a＝0
（3）给出下列命题：①若 a＝b，b＝c，则 a＝c；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B ＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b；其中 正确命题的序号是________．
A．－5
B.1
C.1
D.11
8
8
4
8
―→ ―→ （3）在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝30°，E 为 CD 的中点，若 AC · BE ＝1，
则 AB 的长为( )
4
2
＝a，O→B＝b.则O→M=
（用 a 和 b 表示向量）.
（2）(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B＝
()
A.3A→B－1A→C 44
B.1A→B－3A→C 44
C.3A→B＋1A→C 44
D.1A→B＋3A→C 44
(3)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
（2）设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，B→C2＝16，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，则|A→M| ＝________.
→→ →→ → （3）若点 O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC 的形状为________．
D 三点共线，则 k 的值为( )
A．－9 4
B．－4 9
C．－3 8
D．－8 3
（3）已知向量 a，b 是两个不共线的向量，若向量 m＝4a＋b 与 n＝a－λb 共线，则实数λ的
值为( )
A．－4
B．－1
C.1
4
4
D．4
（4）在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2 3，BC＝2，点 E 在线段 CD ―→ ―→ ―→
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（3）已知平面内一点 P 及△ABC，若P→A＋P→B＋P→C＝A→B，则点 P 与△ABC 的位置关系是 () A．点 P 在线段 AB 上 B．点 P 在线段 BC 上 C．点 P 在线段 AC 上 D．点 P 在△ABC 外部
【例 4】（1）如图所示，在△ABO 中，O→C＝1O→A，O→D＝1O→B，AD 与 BC 相交于点 M，设O→A
(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
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考点 5 平面向量的数量积
【例 12】 (1)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D＝( )
A．－3a2 2
B．－3a2 4
C.3a2 4
D．3a2 2
(2)已知非零向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则 a 与 2a－b 夹角的余弦值为( )
―→ ―→
―→
CD 交于点 F.若 AC ＝a， BD ＝b，则 AF ＝( )
A.1a＋1b 42
B.1a＋1b 24
C.2a＋1b 33
D.1a＋2b 23
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―→ ―→ ―→ ―→ 【例 5】（1）如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， OP ＝x OA ＋y OB ，且 BP ＝
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
（3）若向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2 3，则|b|＝( )
A. 3
B．1
C．4
D．3
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【例 15】(1)已知平面向量 a，b 满足|b|＝1，且 a 与 b－a 的夹角为 120°，则 a 的模的取值范 围为________．
考点 1 向量的有关概念
第 13 讲 平面向量讲义
【例 1】（1）下列说法正确的是( )
A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于 0
D.A→B∥C→D就是A→B所在的直线平行于C→D所在的直线
（2）(2018·枣庄期末测试)下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则 a＝b
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【例 17】(1)如图，平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点 M 在 AB 边上，且 AM＝1AB，则―DM→·―D→B ＝________.
3
（2）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE
―→ ―→ 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则 AF · BC 的值为( )
上，若 AE ＝ AD ＋μ AB ，则μ的取值范围是________．
考点 3 向量的线性运算与平面向量基本定理
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 【例 3】设点 P 是△ABC 所在平面内一点，且 BC ＋ BA ＝2 BP ，则 PC ＋ PA ＝________.
（2）已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量O→A，O→B，O→C，O→D满足等式O→A＋O→C＝ O→B＋O→D，则四边形 ABCD 的形状为________．
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C．(1， 2]
D．(－1,0)
【例 11】（1）给定两个长度为 1 的平面向量O→A和O→B，它们的夹角为 120°.点 C 在以点 O 为
圆心的圆弧 上移动，若O→C＝xO→A＋yO→B，其中 x，y∈R，则 x＋y 的最大值是( )
A．3
B．4
C．2
D．8
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD
相切的圆上．若A→P＝λ A→B＋μ A→D，则λ＋μ的最大值为( )
A．3
B．2 2
C. 5
D．2
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ （3）如图，已知平面内有三个向量 OA ，OB ，OC ，其中 OA 与 OB 的夹角为 120°，
―→ ―→
―→ ―→
―→
―→ ―→ ―→
OA 与 OC 的夹角为 30°，且| OA |＝| OB |＝1，| OC |＝2 3.若 OC ＝λ OA ＋μ OB
A．－1 3
B．－1 2
C．－1 4
D．1 2
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（4）在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB＝4，且A→D＝1A→C＋λA→B(λ 4
∈R)，则 AD 的长为________．
【例 6】（1）如图，在△ABC 中，A→N＝1N→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝mA→B＋ 2 A→C，