(2-2)等额年金

i = 5%
v = (1+ i)−1
i(12) = 12[(1+ i)1/12 −1]
s = (1+ i)5 −1 18
5
i
3
期初付年金（annuity-due payable mthly）
每年支付m次的期初付年金
19
z 每年支付m次的期初付年金的现值为：
a&&n(m| )
=
1 m
1
⋅ (1+ v m
a&&n(m| ) =（1 + i)1 m an(m| )
&s&n(m| )
=（1 +
i)1 m s(m) n|
25
例：证明下列关系式成立：
（1）
a&&n(m| )
=
⎡i ⎢⎣ i(m)
+
i m
⎤ ⎥⎦
a n
|
（2）
&s&n(
m |
)
=
⎡i ⎢⎣ i(m)
+
i m
⎤ ⎥⎦
s n
|
1 +1= 1 i(m) m d (m)
a = 1−v5
17
5
i
练习（课外）：某投资者在每月末向一基金存入100 元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在 第5年末可以积累到多少？
解：这是一项每年支付12次的期末付年金，每年的支付 额为1200元。因此有
1200s(12) = 1200 i s = 6781.37 （元）
5|
i(12) 5|
24
4
如果每年付款一次，即m = 1，则有 d (m) = d ，所以期初 付年金的终值成为
&s&n
|
=
(1 +
i)n d
−1
对于每年支付m次的年金，由于期初付的每一次付款比 期末付的每一次付款早1/m个时期，故
a&&n(m| ) 和 an(m| )，&s&n(|m)
和 s(m) n|
有下述关系（请练习）：
−1
s(m) , s 的关系： n| n|
s(m) n|
=
(1+ i)n i(m)
−1 =
i i(m)
(1+ i)n i
−1 =
i i(m)
s n|
例：10年内每季度末支付400的累积值？
4 × 400s(4) 10
例：5年内每4个月末支付200的累积值？
3× 200s(3) 5
14
注：
如果每年付款一次，即m = 1，则 有 i(m) = i，所以期末 付年金的现值成为
100 100
100
100
100 100 ……
Present value ？
5 years，20 payments
21
Solution：
4×100a(4) 5
=
400×1d−(4v)5
=
400×
1− e−5δ 4(1− e−δ /
4
)
=
100×11−−
e−0.04 e−0.02
= 198
v
=
e−δ
(1) the present value of these payments two years prior to the first payment. (2) the accumulated value three years after the final payment. Use symbols based on an effective rate of interest.
际利率为3%，月实际利率为
所以
j = (1 + 3%) 1/6 – 1 = 0.49386%
X = 50000 ÷wk.baidu.coma
= 965（元）
60|0.0049386
7
每年支付 m 次的年金：建立新公式
n 表示年数。 m 表示每年的付款次数。 nm 表示年金的支付总次数。 i 表示年实际利率。
8
期末付年金（annuity-immediate payable mthly）：
相应的年实际利率为 i = (1+ 0.005)12 −1= 6.1678%
4
因此该笔年金在第5年末的价值为
1000&s&5 | +1000&s&3 |
= 1000(1+ 0.061678)(s + s ) 5| 3|
= 9390.38元
原年金 第一项 第二项
1000 1000
1000 1000
2000 1000 1000
28
解：年付款为400×12＝4800。
从而
（1）4800v2a&&1(012|)i = 4800[a&&1(212|)i − a&&2(1|2i) ] （能否写成期末付公式）
(请大家先写出，见下页）
（2）4800(1+ i)3 s(12) 10 | i
=
4800[s(12) 13 | i
−
s(12) ] 3|i
等价
z
证明： 因为
a&&n(m| )
=
i d (m)
a n
|
&s&n(
m |
)
=
i d (m)
s n
|
故证明上式等价于证明
i +i = i i(m) m d (m)
26
因为
i(m) − d (m) = i(m) × d (m) m m mm
（注：实际利率－实际贴现率＝实际利率×实际贴现率）
m 两边乘以 i(m)d (m)
2000 1000 1000
2000 1000 1000
5
例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿 还，如果每年结转两次利息的年名义利率为6%，试计 算每月末的付款金额。 （应用基本公式）
6
1
解：假设月实际利率为 j，每月偿还金额为 X，则
50000
=
Xa 60| j
每年结转两次利息的年名义利率为6%，所以半年度的实
2
+ vm
+
L
+
v
n−
1 m
)
= 1 ⋅ 1− vn m 1− v1 m
=
1− vn
m[1− (1− d )1 m ]
d (m) = m[1− (1− d )1/m ]
a&&(nm )
= 1− vn d (m)
请比较
a(m) n|
=
1− vn i(m)
20
Example
Find an expression for the present value of an annuity on which payments are 100 per quarter for 5 years, just before the first payment is made, if δ = 0.08.
（级数求和）
= 1 ⋅ 1− vn m (1+ i)1/m −1
（分子分母同乘(1+i)1/m)
10
a(m) n|
=
1 m
⋅
1− vn (1+ i)1/ m
−1
= 1− vn i(m)
名义利率与实际利率的关系：
1+
i
=
⎛ ⎜1
+
⎝
i(m) m
⎞m ⎟ ⎠
i(m) = m ⎡⎣(1 + i)1/ m − 1⎤⎦
m
a(m) ∞|
（两个年金相差1/m个时期）
31
例：投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领 取100元，并无限期地领下去，年实际利率应该为多 少？ 解：m = 12，每年领取的金额为1200元。假设年实际利
率为i，则：
1200
1 i(m)
＝20000
⇒
1200 12[(1+ i)1 12
−1]
m i(m)d (m)
⎡i(m)
⎢ ⎣
m
−
d (m) m
⎤ ⎥ ⎦
=
m i(m)d (m)
⎡i(m)
⎢ ⎣
m
×
d (m) m
⎤ ⎥ ⎦
1 − 1 =1 d (m) i(m) m
1 +1= 1 i(m) m d (m)
得证
27
Example：payment of $400 per month are made over a ten-year period. Find express for
每年支付m次, 每次的付款为1/m元，每年的付款是1元。
每年支付 m 次的期末付年金
9
支付n年，每年支付m次，每次支付1/m元，每年总共支付1元。 其现值为：
a(m) n|
=
1− vn i(m)
证明：
a(m) n|
=
1 m
1
⋅ (vm
+
2
vm
+L+
n− 1
vm
+
vn )
=
1 m
⋅ v1/ m
⋅ 1− vn 1− v1/ m
问题：如何计算下述年金？ 每年复利 k 次（给出年名义利率），每年支付1次 每年复利1次，每年支付 m 次
解决途径之一： 计算年实际利率，再应用基本公式 计算每次付款对应的实际利率，再应用基本公式。
解决途径之二：建立新公式（只讨论每年支付m次的年金）
3
例：投资者在前2年的每年初向一基金存入1000元，在 后3年的每年初存入2000元。如果该基金每月结转一次 利息，月实际利率为0.5%，试计算该项投资在第5年末 的价值。（应用基本公式） 解：这是每年支付1次、每年结转12次利息的年金。
2
a(m) n|
与a n|
的关系：
a(m) = i a
n|
i(m) n |
证明：
a(m) = 1− vn
n|
i(m)
=
i i(m)
⋅1− vn i
=
i i(m)
a n
13
上述年金的累积值可表示为
s(m) n|
= (1+ i)n a(m) n|
=
(1
+
i)n
1− vn i(m)
=
(1+ i)n i(m)
29
10年，120次付款
30
5
永续年金：每年支付m次的永续年金的现值如下
a(m) ∞|
= lim a(m) n→∞ n |
=
lim
n→∞
1− vn i(m)
=
1 i(m)
a&&∞(m|)
=
lim
n→∞
a&&n(m|
)
=
lim
n→∞
1− vn d (m)
=
1 d (m)
a&&∞(m| )
=（1
+
i)1
=
20000
⇒
i
=
6.1678%
32
Exercise
At an annual effective interest rate of i, i > 0, the present value of a perpetuity paying 10 at the end of each 3–year period, with the first payment at the end of year 6, is 32. At the same annual effective rate of i, the present value of a perpetuity–immediate paying 1 at the end of each 4-month period is X. Calculate X.
（能否写成期初付公式）
（1） 4800va(12) = 4800[a(12) − a(12) ]
10 | i
11 | i 1 | i
（2） 4800(1+ i)2 &s&1(012|)i = 4800[&s&1(212|)i − &s&2(1|2i) ]
400
……
400
400
……
400
10年，120次付款
= (1+ i)n −1 d (m)
&s&n(m| ) ,
&s&n |
和
s 的关系 n|
（请练习）
&s&n(m| )
=
(1+ i)n −1 d (m)
=
d d (m)
(1+ i)n d
−1
=
d d (m)
&s&n
|
=
i
/(1+ i) d (m)
&s&n
|
= i &s&n | d (m) 1+ i
=is d (m) n |
5|
4xa(4) = 10000 5|
⇒
x = 2500 ÷ a(4) = 2500 ÷ i a = 566.92 (元)
5|
i(4) 5|
练习：请用excel，先求出季实际利 率，再求解 x，并比较计算的简 便性。
i = 5% v = (1+ i)−1
i(4) = 4[(1+ i)1/ 4 −1]
11
应用上述现值公式的注意事项：
a(m) n
=
1− vn i(m)
要求每次的付款额为1/m ，每年的付款总额为1元。 是以每年的付款为单位1计算的。 需要已知年实际利率和名义利率。
例：10年内每月末支付400的现值？
12 × 400a(12) 10
例：5年内每4个月末支付200的现值？ 3× 200a(3) 5 12
= i a&&n | d (m) 1+ i
=
i d (m)
a n
|
注：如果年付款一次，即m = 1，则有 d (m) = d ，所 以期初付年金的现值成为
a&&n
|
=
1− vn d
23
期初付年金的累积值可表示为
&s&n(
m |
)
=
(1 + i)n a&&n(m| )
=
(1
+
i)n
1− vn d (m)
等额年金（II）：
每年支付 m 次的年金和连续支付的年金
孟生旺 中国人民大学统计学院
1
回顾
年金
现值
基本年金 累积值
期末付
a = 1− vn
n
i
s = (1+ i)n −1
n
i
期初付
a&&n
= 1− vn d
&s&n
=
(1+ i)n d
−1
永续年金的现值
a =1 ∞i
a&&∞
=
1 d
2
上述年金的特点 每年复利1次（给出年实际利率），每年支付1次
=
⎡⎢⎢⎣1−
d (4) 4
⎤⎥⎥⎦ 4
⇒
d (4) = 4 ⎡⎢⎣1− e−δ / 4 ⎤⎥⎦
22
a&&n(m| ) , a&&n | 和
a 的关系： n|
a&&n(m| )
=
1− vn d (m)
= d 1− vn d (m) d
=
d d (m)
a&&n
|
=
i
/(1 + d (m)
i)
a&&n
|
a = 1− vn
n|
i
期末付年金的终值成为
s = (1+ i)n −1
n|
i
15
例： 某投资者向一基金存入10000元，基金的年实际利 率为5%，如果该投资者希望在今后的5年内每个季度末 领取一笔等额收入，试计算该投资者每次可以领取多大 金额。
16
解：假设在每个季度末可以领取x元，则每年领取额是 4x元，因此所有领取额的现值为 4xa(4)，故：