西工大高数总复习——第8章总复习1

3.多元函数的极值 (1) 无条件极值
定理 1（必要条件）
设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 然为零：
在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必
f x ( x 0 , y0 ) = 0 ，
f y ( x 0 , y0 ) = 0 .
求导公式
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w + = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
z
z = f ( x , y, w ) z w = ϕ ( x, y)
★
∂z ∂f ∂f ∂w + = ∂x ∂x ∂w ∂x ∂z ∂f ∂f ∂w = + ∂y ∂y ∂w ∂y
,
( 2 ) 若充分条件不满足，则 利用极值的定义 .
(2) 条件极值：对自变量有附加条件的极值 ． 拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y )， 其中λ 为某一常数，可由
2. 隐函数(组)求导法 (1) F ( x , y ) = 0 隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且
F ( x0 , y0 ) = 0 , Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，
则方程F ( x, y) = 0在某 U( P)内恒能唯一确定一 个单值连续且具有连续导数的函数 y = f ( x )，它 满足条件: y0 = f ( x0 )，
解 u = ln( x x y y z z ) = x ln x + y ln y + z ln z ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z = (1 + ln x )dx + (1 + ln y )dy + (1 + ln z )dz
∴ du (1,1,1) = dx + dy + dz .
第10章 §5. 5, 6 §6. 3 — 7 §7. 2 第11章 §2. 1(4), 4(3),(4) §3. 1, 2 §4. 1(2),(3), 2, 3(1) §5. 2— 5 §6. 5 §7. 3, 5
第12章 §2. 4, 6(4), 7(4), 9 §3. 1(1) , 4(3) §4. 2; §5. 2(3) §6. 1, 3 §7. 2, 5 §8. 1, 4 — 6
2 Δ = AC − B f yy ( x0 , y0 ) = C ，
，
则有
Δ >0 <0
=0
f ( x0 , y0 )
A > 0, 极小值 A < 0, 极大值 非极值
是极值
不定 (需用其他方法确定 )
求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：
1o 求极值可疑点：驻点、偏导数不存在的 点； 2 o 判断 ( 1 ) 利用极值的充分判定法
隐函数的求导公式
并有
dy Fx =− . dx Fy
(2.1)
( 2 ) F ( x , y, z ) = 0
隐函数存在定理 2 设函数 F ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数 且 F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ， 则方程 F ( x , y , z ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某 一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具 有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ，它满足 条件 z0 = f ( x0 , y0 ) ， 并有
第八章 多元函数 微分法及其应用
作业集重点题
练习册(下册)
第8章 §1. 4, 5 §2. 1(3),(4),(6); 2 §3. 4 §4. 3, 7, 9 §5. 2, 3, 6 §6. 2— 4, 6 , 7 §7. 2, 4 §8. 1, 3 — 5 第9章 §2. 1, (3), (4), 3, 5, 6(2), 7, 9(2),(4),(5), 11 §3. 1(2), 5, 8 §4. 3, 7(2), 8 第10章 §1. 4; §2. 4 §3. 4 — 8 §4. 3, 4, 7, 8
二、概念之间的关系
对于二元函数，有
偏导数 偏导数 连续 连续
可微 可微 沿任一方向 沿任一方向 的方向导数 的方向导数 存在 存在
连续 连续
可导 可导
三、多元函数微分法
1. 复合函数求导法 函数关系 结构图
z = f ( u, v ) u = ϕ (x) v = ψ (x)
全导数 求导公式
dz ∂ z du ∂ z dv = ⋅ + ⋅ dx ∂ u dx ∂ v dx
Gv , Fv Gv
(2.3)
Fu Fx ∂v 1 ∂(F ,G ) =− =− Gu G x ∂x J ∂ ( u, x )
Fu Fv Gu Gv
(2.4)
Fy ∂u 1 ∂(F ,G ) =− =− Gy ∂y J ∂( y, v )
Fv Gv
Fu
Fv
Gu Gv
,
(2.5)
Fu Fy ∂v 1 ∂(F ,G ) =− =− Gu G y J ∂ ( u, y ) ∂y
定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元 函数的驻点. 注意
驻点 极值点
Hale Waihona Puke Baidu
定理 2（充分条件） 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内有一阶 及二阶连续偏导数， f x ( x 0 , y0 ) = 0 , f y ( x 0 , y0 ) = 0 ， 又
令
f xx ( x0 , y0 ) = A ， f xy ( x0 , y0 ) = B ，
G ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 )= 0 ，
且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
∂F ∂(F ,G ) J = = ∂u ∂G ∂ ( u, v ) P ∂u
∂F ∂v ∂G ≠ 0 ∂v P
F ( x , y , u, v ) = 0 G ( x , y , u, v ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内恒能唯一
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
法线方程为
x − x0 y − y0 z − z0 = = . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
F v Gv
1 Fx =− J Gx
Fv Gv
1 ∂(F , G ) =− , J ∂ ( x, v )
∂v 1 ∂(F ,G ) =− . ∂x J ∂ ( u, x )
3. 全微分形式不变性
∂z ∂z dz = du + dv ; ∂u ∂v 当 u = φ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y )时，有 ∂z ∂z dz = dx + dy . ∂y ∂x
2. 若 f ( x , y ) = 2 x 2 + ax + xy 2 + 2 y 在点 (1, − 1) 处取得极值，则常数 a = ______. −5
解 由可导函数取得极值的 必要条件，得
⎧ f x (1, −1) = ( 4 x + a + y 2 ) (1, −1) ⎪ = 5+a = 0 ⎨ ⎪ ⎩ f y (1, −1) = ( 2 xy + 2) (1, −1) = 0 ∴ a = −5
作业集(总册)
第8章 3, 5— 7, 9— 14 第9章 3, 5 , 7, 8 第10章 1(2), 3, 4 — 8，10, 13，14，16 第11章 1(3) , (4), (6) , 2—5, 6 (2), 7(2)，8，9 第12章 2, 6 — 10
主要内容
一、概念
1. 极限 2. 连续 3. 偏导数 4. 全微分 5. 方向导数 6. 梯度
2 2 曲面 z = x + y 与平面 2 x + 4 y + z = 0 平行 3. 2x + 4 y + z + 5 = 0 的切平面的方程是 _________________.
解 曲面 z = x 2 + y 2的法向量： r n = { 2 x , 2 y, −1} r 所给平面的法向量： n1 = { 2,4,1} r r 依题设，知 n n1 , 且 z = x 2 + y 2 2x 2 y − 1 ∴ = = 且 z = x 2 + y2 2 4 1 ∴ 切点为 ( −1, −2,5), 切平面方程为：
x − x0 y − y0 z − z0 切线方程为 = . = ϕ ′( t0 ) ψ ′( t0 ) ω ′( t0 )
法平面方程为
ϕ ′( t0 )( x − x0 ) + ψ ′( t0 )( y − y0 ) + ω ′( t0 )( z − z0 ) = 0.
2. 曲面的切平面与法线
π : F ( x , y , z ) = 0.
设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数，则有全微分
全微分形式不变形的实质： 无论 z 是自变量 u、v的函数还是中间变 量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
四、微分法的应用
1. 空间曲线的切线与法平面
Γ:
x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ), z = ω ( t ).
z
u v
x
z = f (u) u = ϕ ( x, y)
x z u y
∂z dz ∂ u = ∂ x du ∂ x ∂ z dz ∂ u = ∂ y du ∂ y
函数关系
z = f ( u, v , w ) u = u( x , y ) v = v( x, y) w = w( x, y)
关系图 u v w x y w x y x y x y
du dv Fx + Fu ⋅ + Fv ⋅ =0 dx dx
du dv G x + Gu ⋅ + Gv ⋅ =0 dx dx
du dv Fu ⋅ + Fv ⋅ = − Fx dx dx du dv Gu ⋅ + Gv ⋅ = −G x dx dx
− Fx Fv
− G x Gv
du = dx
Fu
Gu
则方程组 确定一组单值连续且具有连续偏导数 的函数 u = u( x , y ) ， v = v ( x , y ) ，它们满足条件： u0 = u( x0 , y0 ) , v0 = v ( x0 , y0 ) ，并有 F x Fv
Gx 1 ∂ (F ,G ) ∂u = − = − Fu J ∂( x,v) ∂x Gu
⎧ f x ( x , y ) + λϕ x ( x , y ) = 0, ⎪ ⎨ f y ( x , y ) + λϕ y ( x , y ) = 0, ⎪ ϕ ( x , y ) = 0. ⎩ 解出 x , y , λ ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标.
典型例题
例1. 填空题
dx + dy + dz 1. 设u = ln( x x y y z z )，则 du (1,1,1) = _________.
Fy ∂z Fx ∂ z =− . =− ， ∂x Fz ∂y Fz
(2.2)
⎧ F ( x, y, u,v ) = 0 (3) 方程组的情形 ⎨ ⎩G ( x , y , u , v ) = 0 G( x , y , u , v ) 隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u , v ) ， 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 )的某一邻域内有对各个变量 的连续偏导数，又 F ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0 ,
Fu Fv . Gu Gv
(2.6)
注. 情形3的特例：
⎧ F ( x , u, v ) = 0 ⎨ ⎩G ( x , u, v ) = 0 ⎧ F ( x , u( x ), v ( x )) ≡ 0 ⎨ ⎩G ( x , u( x ), v ( x )) ≡ 0
⎧ u = u( x ) ⎨ ⎩v = v ( x )