2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期质量检测(期末)数学(理)试卷

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2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(理科)

2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线方程为y=−√3x+2，则直线的倾斜角为()A. 2π3B. 3π4C. π4D. π32.一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n”，则算过关，则某人连过前三关的概率是()A. 100243B. 50243C. 49243D. 982433.若函数f(x)={−2x 2+ax−2,x≤1x−1,x>1的值域为R，则实数a的取值范围是()A. [−4,5]B. [−4,4]C. (−∞,−4]∪[5,+∞)D. (−∞,−4]∪[4,+∞)4.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线()A. 只有一条B. 无数条C. 是平面α内的所有直线D. 不存在5.已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6：30～7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45～7：15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是()A. 12B. 16C. 19D. 1126.如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为()A. 7，8B. 5，7C. 8，5D. 8，77.函数y=sin x(x∈R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C. 直线y=xD. 直线x=π2 8.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的值满足A. B. C.D.( )9.已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为513，则cos∠POQ =A. 3365B. −3365C. −3465D. 346510. 已知一个球的内接正方体的体积为8，则这个球的体积为( )A. 4√3πB. 4π3C. 2√6π3D. 12π11. 如图，已知圆C 的方程为x 2+y 2=1，P 是双曲线x 24−y 29=1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( )A. [0,32]B. [32,+∞)C. [1,32]D. [32,92]12. 已知函数f(x)=sinx +cosx ，则关于f(x)说法正确的是( )A. f(x)的最大值是2B. f(x)的最小正周期是πC. f(x)的最大值是√2D. (0,π2)是f(x)的一个单调递增区间二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知tanθ=3，则1−cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x +4y −5=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．15. 已知a ⃗ =(2,3),b⃗ =(−4,0)，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为______．16. 已知函数为常数)，且，则____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)求值：(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2；(2)求值：(lg5)2+lg2×lg50．18. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩(满分：100分)汇总，得到如图所示的频率分布表．(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；成绩分组频数频率 [50,60] 100 (60,70](70,80] 800 (80,90](90,100] 200(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．19. 如图，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东a 角的射线OZ 方向航行，其中tana =13，在距离港口O 为3√13a(a 为正常数)海里北偏东β角的A 处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=√13，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O 正东方向m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科学考察船，该船沿BA 方向不变追赶科学考察船，并在C 处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ 与海岸线OB 围成三角形OBC 的面积S 最小时，补给最合适．(1)求S 关于m 的函数关系式S(m)； (2)当m 为何值时，补给最合适？20. 如图，棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，C 1D 1的中点．(1)求证：AM//平面NED ；(2)求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值．21. 已知f(x)=2sin(2x +π3)．(1)求f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时，x 值的集合． (2)求f(x)的单调递增区间．22. 已知点P 是圆x 2+y 2=2上的一个动点，过点P 且与x 轴垂直的直线交x 轴于点N ，动点M 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，记动点M 的轨迹为C ．(Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)若过点Q(1,0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求直线l 的方程．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵直线方程为y =−√3x +2，则直线的斜率为−√3，故它的倾斜角为2π3，故选：A ．由题意利用直线的方程求出它的斜率，可得它的倾斜角．本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．2.答案：A解析：解：(1)要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率=46=23；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件为不等式x +y ≤4的正整数解的个数，有C 42个(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1−66=56；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x +y +z ≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C 83=56=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=1−727=2027；∴连过三关的概率=23×56×2027=100243．故选A ．分别求出第一、二、三关过关的概率，利用概率的乘法公式，可得结论．本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定基本事件的个数是关键．3.答案：D解析：解：当x >1时，f(x)=x −1>0，函数f(x)={−2x 2+ax −2,x ≤1x −1,x >1的值域为R ，必须x ≤1时，f(x)=−2x 2+ax −2的最大值大于等于0，二次函数的开口向下，对称轴为x =a4，当a4>1时，即a >4时，f(1)=−4+a ≥0，解得a ≥4；当a4≤1时，即a ≤4时，f(a4)=−a 28+a 24−2≥0，解得a ≥4或a ≤−4，综上a ≤−4或a ≥4．故选：D ．求出x >1时的最小值，与x ≤1时的最大值，列出不等式求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．4.答案：B解析：解：若直线a 与平面α不垂直，当直线a//平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a 是异面垂直直线；当直线a ⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a 相交且垂直；直线a 与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a 垂直． ∴若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线有无数条．故选：B ．若直线a 与平面α不垂直，有三种情况：直线a//平面α，直线a ⊂平面α，直线a 与平面α相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面α内与直线a 垂直的直线的条数，能够得到结果．本题考查在平面α内与直线a 垂直的直线条数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．5.答案：D解析：解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时+x 分、6时+y 分，则30≤x ≤60，45≤y ≤75，他们能搭乘同一班公交车，则45≤x ≤60，45≤y ≤60．则试验包含的所有区域是Ω={(x,y)|30≤x ≤60，45≤y ≤75}，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ={(x,y)|{45≤x ≤5045≤y ≤50或{50≤x ≤5550≤y ≤55或{55≤x ≤6055≤y ≤60}，则他们能搭乘同一班公交车的概率是：p =5×5×330×30=112．故选：D ．由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时+x 分、6时+y 分，则30≤x ≤60，45≤y ≤75，他们能搭乘同一班公交车，则45≤x ≤60，45≤y ≤60.试验包含的所有区域是Ω={(x,y)|30≤x ≤60，45≤y ≤75}，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ={(x,y)|{45≤x ≤5045≤y ≤50或{50≤x ≤5550≤y ≤55或{55≤x ≤6055≤y ≤60}，由此能求出结果．本题考查几何概型，这类问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果，是中档题．6.答案：D解析：解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+y ，24，27， ∵甲组数据的中位数为17， ∴10+y =7，解得y =7． ∵乙组数据的平均数为17.4∴17.4=15(9+16+10+x +19+25)，解得x =8．故选：D ．利用中位数、平均数计算公式求解．本题考查中位数和平均数的求法及应用，是基础题，解题时要注意茎叶图的合理运用．7.答案：D解析：解：函数y =sin x (x ∈R) 其对称轴方程x =π2+kπ，k ∈Z ．当k =0时，可得x =π2．故选：D ．根据正弦函数的性质求解对称轴方程，即可得答案．本题给出正弦型三角函数的图象即性质，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．解：输入x =0，y =1，n =1，故y =4x ，故选D ．9.答案：B解析：本题考查平面向量的几何应用以及圆的方程，分别求出P ，Q 两点坐标，然后根据向量夹角公式求出结果，属于中档题．解：P 、Q 在单位圆O:x 2+y 2=1，分别位于第一象限和第四象限， P 的纵坐标为45，Q 的横坐标为513，∴P 的横坐标为：√1−(45)2=35，Q 的纵坐标为：−√1−(513)2=−1213，则P 点坐标为(35,45)，Q 点坐标为(513,−1213)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,45)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(513,−1213)，则cos∠POQ =OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−33651=−3365故选B ．10.答案：A解析：本题考查球的体积的求法，考查球的内接正方体、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．先求出正方体的棱长a =√83=2，从而这个球的半径r =√22+22+222=√3，由此能求出这个球的体积．解：∵一个球的内接正方体的体积为8， ∴正方体的棱长a =√83=2， ∴这个球的半径r =√22+22+222=√3，∴这个球的体积为V =43×π×(√3)3=4√3π．故选：A ．11.答案：B解析：解：设PA 与PB 的夹角为2α，α∈(0,π6]. 则|PA|=PB|=1tanα，∴y =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos2α=1tan 2α⋅cos2α =1+cos2α1−cos2α⋅cos2α．记cos2α=u ，u ∈[12,1)则y =u(1+u)1−u=−3+(1−u)+21−u≥2√2−3，当且仅当u =√2−1时取等号，但是√2−1∉[12,1), 由双勾函数的性质可知，x ∈[12,1)，函数的增函数，可得y ≥32，此时P 在双曲线的顶点位置．u →1时，y →+∞．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为：[32,+∞)．故选：B ．由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA ，PB 的长；利用向量的数量积公式表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．本题考查双曲线的简单性质，考查了圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．12.答案：C解析：解：∵f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，故f(x)的最大值是√2，故A 错误，C 正确； f(x)的最小正周期是2π，故B 错误；当x ∈(0,π4)时，函数为增函数，当x ∈(π4,π2)时，函数为减函数，故D 错误；故选：C ．由f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，分析函数的最值，周期性和单调性，可得答案．本题考查的知识点三角函数的最值，周期性和单调性，难度中档．13.答案：3解析：解：tanθ=3，则1−cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=2sin 2θ+2sinθcosθ2cos 2θ+2sinθcosθ=tan 2θ+tanθ1+tanθ=9+31+3=3．故答案为：3．利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．本题考查三角函数化简求值，考查计算能力．14.答案：2解析：圆x 2+y 2=4的圆心O(0,0)到直线3x +4y −5=0的距离d ==1，弦AB 的长|AB|=2=2．15.答案：−2√1313解析：解：∵a ⃗ =(2,3),b ⃗ =(−4,0)，∴b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为： |b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=√13⋅4=−2√1313．故答案为：−2√1313．b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为：|b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |．本题考查向量的投影的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.答案：．解析：试题分析：因为，所以．考点：函数的奇偶性．点评：解本小题最简算途径是求出是定值，因而可由f(5)求出f(−5)． 17.答案：解：(1)(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2 =(94)12−1−(278)−23+(23)2 =32−1−(827)23+49=12−49+49=12(2)解：(lg5)2+lg2×lg50=(lg5)2+lg2×(lg5+1)=(lg5)2+lg2×lg5+lg2=(lg5+lg2)×lg5+lg2=1×lg5+lg2=1．解析：(1)本题中各数都是指数幂的形式，故可以用有理数指数幂的运算法则将(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2化简求值，变形方向是把底数变为幂的形式，用积的运算法则化简． (2)本题中各数都是对数的形式，利用对数的运算法则将(lg5)2+lg2×lg50化简求值即可，首先将50变为25×2．18.答案：解：(1)完成题目中的频率分布表，如下；成绩分组频数频率[50,60] 100 0.05(60,70] 600 0.30(70,80] 800 0.40(80,90] 300 0.15(90,100] 200 0.10补全题目中的频率分布直方图，如下；(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，他被抽中的概率为1502000=0.075．解析：(1)根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表，计算频率组距，补全频率分布直方图即可；(2)用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为1502000．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目． 19.答案：解：以O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ 的方程为y =3x①，(1)设A(x 0,y 0)，∵cosβ=2√13，sinβ=3√13，则x 0=3√13asinβ=9a ，y 0=3√13acosβ=6a ，∴A(9a,6a)．又B(m,0)，则直线AB 的方程为y =6a 9a−m (x −m) ②由①、②解得，C(2am m−7a ,6am m−7a )，∴S(m)=S △OBC =12|OB||y c |=12×m ×6am m −7a =3am 2m −7a (m >7a);(2)S(m)=3am2m−7a =3a[(m−7a)+49a2m−7a+14a]≥84a2,当且仅当m−7a=49a2m−7a，即m=14a>7a时，等号成立，故当m=14a海里时，补给最合适．解析：本题主要考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用．考查函数的建模思想和转化思想．先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，(1)先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案; (2)根据(1)中S(m)的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．20.答案：(1)证明：连结ME----------(1分)∵M、E分别是A1B1、D1C1中点∴A1D1//ME，A1D1=ME又∵A1D1//AD，A1D1=AD∴ME//AD，ME=AD故得平行四边形ADEM-----------------------(4分)∴AM//DE又∵DE⊂平面NEDAM⊄平面NED∴AM//平面NED-----------------------(6分)(2)解：取AB中点F，连结B1F，则B1F//AM∴AM与平面BCC1B1所成角即为B1F平面BCC1B1所成角．∵AB⊥平面BCC1B1∴∠FB1B是直线AM与平面BCC1B1所成角---------------------------------(9分)∵BF=12AB=12BB1∴tan∠FB1B=FBBB1=12故直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为12-------------------------(12分)解析：(1)连结ME，证明ADEM为平行四边形，从而得到AM//DE，即可证明AM//平面NED；(2)取AB 中点F ，连结B 1F ，则B 1F//AM ，AM 与平面BCC 1B 1所成角即为B 1F 平面BCC 1B 1所成角，即可求出直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值．本题考查证明线面平行的方法，求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值，属于中档题． 21.答案：解：(1)f(x)max =2，当f(x)=2时，有sin(2x +π3)=1，∴2x +π3=2kπ+π2(k ∈Z)，解得x =kπ+π12，∴f(x)取最大值时x 值的集合为{x|x =kπ+π12,k ∈Z}．(2)由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2,k ∈Z ，解得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ．解析：本题考查三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．(1)由正弦函数的性质得出函数的最值，再整体代换解出x 的值，写成集合形式；(2)将2x +π3整体代入正弦函数的单调递增区间，解出x 的范围写成区间形式． 22.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，P(x 0,y 0)，则N(x 0,0)，NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，得(0,y 0 )=√2(x −x0，y)， ∴{x 0=x y 0=√2y，代入x 02+y 02=2，得x 2+2y 2=2． (Ⅱ)依题意可设直线l 方程为：x =my +1 ①，把①代入x 2+2y 2=2得：(m 2+2)y 2+2my −1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2∵AQ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴(1−x 1,−y 1)=3(x 2−1,y 2)，⇒{y 1=−3y 2x 1+3x 2=4⇒{y 1=−3m m 2+2y 2=m m 2+2代入y 1y 2=−1m 2+2可得m =±1． ∴直线l 的方程为y =±x +1．解析：(Ⅰ)设动点M(x,y)，P(x 0,y 0)，则N(x 0,0)，由足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，得到代入 x 02+y 02=2， (Ⅱ)直线l 与曲线G 联立方程可得x 1，x 2，结合AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可求得斜率k ，即可得直线l 的方程．本题考查定点轨迹方程的求法，考查向量的应用，属于中档题，。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期末考试+数学(文)答案

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河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {1,2}2. 函数f (x )=e x +x −2的零点所在的一个区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =log 12x B. y =2−|x | C. y =x 2−1 D. y =x −14. 已知直线x +a 2y +6=0与直线(a −2)x +3ay +2a =0平行，则a 的值为( )A. 0或3或−1B. 0或3C. 3或−1D. 0或−15. 已知a =0.65.1，b =5.10.6，c =log 0.65.1，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b6. 已知四面体ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，球O 的半径为2，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB =√2，则四面体ABCD 体积的最大值为( )A. 7√26B. 73C. 2√2D. 27. 给出函数f(x)={(12)x ,(x ≥4)f(x +1),(x <4)，则f(log 23)等于( )A. 124B. 111C. −238D. 1198. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若n//m ，n ⊥α，则m ⊥αC. 若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若m//α，n ⊥β，m//n ，则α//β9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n ，则{a n }的通项公式是( )A. a n =2n−1B. a n =2nC. a n =2n −1D. a n =2n−1+110. 若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=4内任意一点，当点P 在圆内运动时，直线x 0x +y 0y =4与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相交或相切D. 相离11.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 253π B. 252π C. 833π D. 832π12.若圆x2+y2−6x−4y−5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax+by−a=0的距离为2√2，则直线ℓ倾斜角的取值范围是：()A. [π12,π4] B. [π12,5π12] C. [π6,π3] D. [0,π2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x3−y2=1在y轴上的截距是___________．14.若函数f(x)=log12(x2−2ax+3)在(−∞,1]上为增函数，则实数a的取值范围____．15.圆C：(x−1)2+y 2=1关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为______ ．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与A1B成45°角的棱有__________条．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？18.已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素)．(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)？19.在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=√10，PD=3，PD⊥CD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD；(2)求二面角C−PE−D的正切值．20.已知定义在R上的函数f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数．(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不用给证明)；(2)t为实数，且f(x−t)+f(x2−t2)≥0对一切实数x都成立，求t的值．21.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点(1)证明：AC//平面DMN；(2)若DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，求三棱锥B−ACE的体积．22.已知动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1．2(I)求动点P的轨迹方程；(II)若点A(−2,−2)，B(−2,6)，C(−4,2)，是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的并集运算，比较基础．根据交集的定义求解即可．解：集合A={1,2,3}，B={1,3,4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选A．2.答案：C解析：f(−2)=e−2−2−2<0，f(−1)=e−1−1−2<0，f(0)=e0+0−2<0，f(1)=e+1−2>0，所以函数的零点所在区间为(0,1)．3.答案：B解析：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性及单调区间，属于基础题．利用偶函数的定义，再利用函数的单调性得结论．解：A.函数y=log12x的定义域(0,+∞)不关于原点对称，故函数y=log12x为非奇非偶函数；B.函数y=2−|x|为偶函数，当x>0时，函数y=2−x在(0,+∞)单调递减；C.函数y=x2−1为偶函数，在(0,+∞)单调递增；D.函数y=x−1为奇函数，在(0,+∞)单调递减．综上所述，只有B符合题意．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查了两直线平行充要条件的应用，属于基础题.解决此题的关键是根据两直线平行的条件建立关于a的方程求解，注意排除重合的情况．解：∵直线x+a2y+6=0与直线(a−2)x+3ay+2a=0平行，∴1×3a−a2(a−2)=0，即a(a2−2a−3)=0，解得a=0或a=−1或a=3，经验证当a=3时，两直线重合，故选D．5.答案：B解析：解：∵a=0.65.1∈(0,1)，b=5.10.6>1，c=log0.65.1<0，∴c<a<b．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，∴a2+b2=14，∴14≥2ab，∴ab≤7∴四面体ABCD体积V=√23×12ab≤7√26，∴四面体ABCD体积的最大值为7√26，故选：A．设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．推导出f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3=(12) log23+3，由此能求出结果．解：∵函数f(x)={(12)x (x ≥4)f(x +1)(x <4)∴f(log 23)=f(log 23+1)=f(log 23+2)=f(log 23+3)=(12)log 23+3=13×18=124．故选A ．8.答案：B解析：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间中的位置关系，熟练掌握空间中线面关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键.根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案．解：对于A ，m//α，n//α，m ，n 有异面和相交的可能，A 错误，对于B ，根据定理可知，两平行直线中的一条与一平面垂直，另一条也与该平面垂直，B 正确，对于C ，m//α，n//β，m ⊥n ，两平面有平行的可能，C 错误，对于Ｄ，m//α，n ⊥β，m//n ，两平面有相交的可能，Ｄ错误，故选Ｂ，9.答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式的求解．解：因为a n+1=2a n ，所以a n+1a n=2，所以{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−1．故选A ．10.答案：D解析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为P 为圆内一点，所以P 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据求出的不等式即可得到d 大于半径r ，得到直线与圆的位置关系是相离．解：圆心到直线的距离d =√x 0+y 0，由于点P(x 0,y 0)在圆内，所以x 02+y 02<4，所以d =√x 0+y>√4=2，即圆心到直线的距离大于半径，故直线与圆相离．故选D ．11.答案：D解析：解：∵AB =BC =√15，AC =6， ∴cosC =√15，∴sinC =√6√15， ∴△ABC 的外接圆的半径=√152⋅√6√15=5√64，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为d ，则R 2=d 2+(5√64)2=(2−d)2+(5√64)2， ∴该三棱锥的外接球半径为R 2=838，表面积为：4πR 2=4π×838=832π，故选：D ．根据已知条件得出△ABC 的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．12.答案：B解析：解：圆x 2+y 2−6x −4y −5=0的圆心C(3,2)，r =12√36+16+20=3√2，∵圆x 2+y 2−6x −4y −5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax +by −a =0的距离为2√2， ∴圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于等于√2，即d =|3a+2b−a|√a 2+b 2≤√2，b =0时，不符合，∴b ≠0， ∴d =√a 2+b 2=|2ab +2√a 2b2+1|≤√2，∴(ab )2+4⋅ab +1≤0.∴−2−√3≤ab ≤−2+√3.即2−√3≤k ≤2+√3，∴倾斜角的范围为[π12,5π12]. 故选：B ．由题意得到圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于√2，由此能求出倾斜角的范围．本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.答案：−2解析：本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．解：直线x3−y2=1，令x =0，解得y =−2， ∴在y 轴上的截距是−2，故答案为−2．14.答案：[1,2)解析：本题主要考查复合函数的单调性，解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0，属于中档题．令u =x 2−2ax +3，则由题意可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3≥0，解得a 的范围．解：令u =x 2−2ax +3，则y =log 12u 在(0,+∞)上单调递减．由f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞,1]上为增函数，可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3>0，解得1≤a <2，故答案为[1,2)．15.答案：(x +1)2+y 2=1解析：解：∵圆 C ：(x −1)2+y 2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1， ∴已知圆关于直线l ：x =0对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，因此，所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=1．故答案为(x+1)2+y2=1：.求出圆C:(x−1)2+y2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1，可得对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．本题给出圆C：(x−1)2+y2=1，求它关于定直线对称的圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．16.答案：8解析：此题考查异面直线所成的角，利用异面直线所成角的概念，通过找平行线求解．解：在正方体中，与A1B所成角为45°的面对角线有A1B1，AB，C1D1，CD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故答案为8．17.答案：解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知BCsin60°=BDsin(120°−θ)，所以BD=sin(120°−θ)sin60°=cosθ+√33sinθ，…(4分)在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos(60°+θ)，…(8分)AD2=12+(cosθ+√33sinθ)2−2×1×(cosθ+√33sinθ)(12cosθ−√32sinθ)=1+43sin2θ+4√3 3sinθcosθ=53+43sin(2θ−30°)…(14分)当2θ−30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…(16分)解析：首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用两个定理得到三角形的边角关系，进一步解三角形．18.答案：解：(1)y=200(1+1%)x．(2)令y=210，即200(1+1%)x=210，解得x=log1.011.05≈5．答：约经过5年该城市人口总数达到210万．解析：(1)利用指数型增长模型得出函数关系式；(2)令y=210，计算x即可．本题考查了指数型函数增长模型的应用，属于基础题．19.答案：证明：(1)在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，E为AB的中点，∴DE⊥CD，又∵PD⊥CD，且DE∩PD=D，DE⊂平面PDE，PD⊂平面PDE，∴CD⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴PE⊥CD．解：(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∴∠CHD是二面角C−PE−D的平面角．由PE⊥CD，AB//CD，可得PE⊥AB，∵E为AB中点，PA=√10，∴PE=3．又PD=3，DE=√3，在△PDE中，由余弦定理得cos∠DEP=√36，∴sin∠DEP=√336，∴DH=DE⋅sin∠PED=√3×√336=√112．在Rt△CHD中，可得tan∠CHD=CDDH =4√1111．所以，二面角C−PE−D的正切值为4√1111．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出DE⊥CD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PDE，由此能求出PE⊥CD；(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH.由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∠CHD是二面角C−PE−D 的平面角，由此能求出二面角C−PE−D的正切值．20.答案：解：(1)∵f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数，∴f(0)=0，则1−a=0，解得a=1，即f(x)=2x−2−x=2x−(12)x，∵函数y=2x、y=−(12)x在定义域上是增函数，∴f(x)=2x−(12)x在R上单调递增；(2))∵f(x)是奇函数，且在R上是增函数，∴f(x−t)+f(x2−t2)≥0化为：f(x2−t2)≥−f(x−t)=f(−x+t)，∴x2−t2≥−x+t，则x2+x−t2−t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12−4×1×(−t2−t)≤0，则(2t+1)2≤0，解得t=−12，∴t的值是−12．解析：(1)根据奇函数的性质：f(0)=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f(x)的单调性；(2)由奇函数f(x)的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21.答案：证明：(1)∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点，∴MN//A1C1//AC，∵AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，∴AC//平面DMN．解：(2)∵DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，∴E到平面ABC的距离为d=12AA1=2，S△ABC=12×6×6×sin120°=9√3，∴三棱锥B−ACE的体积：V B−ACE=V E−ABC=13×S△ABC×d=13×9√3×2=6√3．解析：(1)推导出MN//A1C1//AC，由此能证明AC//平面DMN．(2)三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V E−ABC，由此能求出三棱锥B−ACE的体积．本题考查线面平行的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(I)设P(x,y)，则∵动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1，2∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x+4)2+(y−2)2=36，∴3x2+3y2+16x−12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x−3y+11=0，>2，圆心到直线4x−3y+11=0的距离d=115∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．解析：(I)利用直接法，求动点P的轨迹方程；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x−12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．。

【期末冲刺】2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷——第十一章立体几何初步(解析版)

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章立体几何初步期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版必修四考试时间：90分钟满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。

2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若关于x 的不等式|x −1|+|x +m|>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−4)∪(2,+∞)B. (−∞,−4)∪(1,+∞)C. (−4,2)D. [−4,1]2.为了得到函数y =cos(3x −π4)的图象，只需把函数y =cos3x 的图象上所有点( )A. 向左平移π4个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位3.如果直线与直线(互相垂直，则( )A. B. C.，D.，，4.过点(−2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条5.将参加数学夏令营的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，求得间隔数k =100050=20，即每20人抽取一个人．在0001到0020中随机抽得的号码为0015，从0601到0785被抽中的人数为( )A. 8B. 9C. 10D. 116.已知平面向量a ⃗ =(2cos 2x,sin 2x)，b ⃗ =(cos 2x,−2sin 2x)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，要得到y =√3sin2x +cos2x 的图象，只需要将函数y =f(x)的图象( )A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位7.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. 12πB. 4πC. 3π8. 某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为( )A. 127B. 19C. 18D. 1369.设函数y =f(x)(x ∈R)的图象关于直线x =0及直线x =1对称，且x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则f(−32)=( )A. 12B. 14C. 34D. 9410. 已知函数f(x)=cos(π6−2x)，把y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(π3)=√32B. g(x)的图象关于直线x =π2对称 C. g(x)的一个零点为(π2,0)D. g(x)的一个单调减区间为[−π12,5π12]11. 体积为2√153的三棱锥A −BCD 中，BC =AC =BD =AD =3，CD =2√5，AB <2√2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 20πB.613πC. 6112πD. 4912π12. 函数f(x)={e x +ax+ax+1,x >−1x 2+4x +3,x ≤−1，则关于x 的方程f[f(x)]=0的实数解最多有( )A. 4个B. 7个C. 10个D. 12个二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 15.已知直线过点且与圆相切，则该直线在轴正半轴上的截距等于___ ▲____；14. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则AD 1与B 1C 所成角的大小为______ ．15. 已知矩形ABCD ，AB =2，BC =1，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 已知函数f(x)={e x −1,x ≤ax 2+x −2,x >a 恰有一个零点，则a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知，，其中(1)求证：与互相垂直； (2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．18. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，ED ⊥平面ABCD ，EF//DB ，M 是线段AE 的中点，DE =EF =12BD =2．(1)证明：DM//平面CEF ； (2)求多面体ABCDEF 的表面积．19. 中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道．某小区有1200户家庭，全部居民在小区的8栋楼内，各家庭在过年时各自包有肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子三种味道的饺子(假设每个家庭包有且只包有这三种味道中的一种味道的饺子)． (1)现根据饺子的不同味道用分层抽样的方法从该小区随机抽样抽取n 户家庭，其中有10户家庭包的是素馅饺子，在抽取家庭中包肉馅饺子和蛋馅饺子的家庭分布在8栋楼内的住户数记录为如图1所示的茎叶图，已知肉馅饺子数的中位数为10，蛋馅饺子数的平均数为5，求该小区包肉馅饺子的户数；(2)现从包肉馅饺子的y 2=4x 家庭中随机抽取100个家庭调查包饺子的用肉量(单位：kg)得到了如图2所示的频率分布直方图，若用肉量在第1小组[1.0,1.4)内的户数为x +y(x,y 为茎叶图中的x ，y)，试估计该小区过年时各户用于包饺子的平均用肉量(各小组数据以组中值为代表)．20.(本题满分12分)已知向量，设函数(Ⅰ)求函数的解析式和单调增区间；(Ⅱ)若，求的值．21. 已知椭圆:的一个焦点为且过点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．22. 已知函数f(x)=2acosx−sin2x，当x∈[−π6,2π3]时，求函数y=f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由于|x −1|+|x +m|表示数轴上的x 对应点到1和−m 的距离之和，它的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|>3，解得m >2，或 m <−4，故选：A ．由绝对值的意义可得|x −1|+|x +m|的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|>3，由此解得实数m 的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到|1+m|>3，是解题的关键，属于中档题．2.答案：D解析：解：把函数y =cos3x 的图象上所有点向右平移π12个单位，得到y =cos(3x −π4)的图象，故选：D ．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．3.答案：C解析：试题分析：由于直线与直线互相垂直，则有，解得，故选C ．考点：两直线的位置关系4.答案：B解析：解：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y =−2x ，即2x +y =0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x −y =a ，将A(−2,4)代入得，a =−6， ∴此时所求的直线方程为x −y +6=0；共有2条，故选：B ．可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．5.答案：B解析：本题主要考查系统抽样的应用，属于基础题．根据系统抽样的定义进行求解即可．解：由题意样本间隔为20，第一组抽到的号码为15，则第n组抽到的号码为15+20(n−1)=20n−5，由601≤20n−5≤785，得60620≤n≤79020，n为正整数．即31≤n≤39，共有39−31+1=9人，故选：B．6.答案：B解析：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =2cos2x⋅cos2x−2sin2x⋅sin2x=2(cos2x+sin2x)⋅(cos2x−sin2x)=2cos2x=2sin(2x+π2)=2sin2(x+π4)，∴要得到y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)=2sin2(x+π12)的图象，只需要将函数y=f(x)=2sin(2x+π2)的图象向右平移π4−π12=π6个单位即可，故选B．7.答案：C解析：解：由三视图可知该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的几何体．设该三棱锥的外接球半径为R，∴2R=√12+12+12=√3，∴R=√32．∴外接球的表面积为S=4πR2=3π．故选：C．该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的，故正方体的体对角线等于外接球的直径．本题考查了常见几何体与外接球的关系，根据三视图得出三棱锥与正方体的关系是关键．8.答案：A解析：解：由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，故都是三班得冠军的概率为13×13×13=127，故选：A．由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，根据概率的乘法公式即可得到都是三班得冠军的概率．本题考查了概率的乘法公式，属于基础题．9.答案：B解析：解析：∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0对称，∴f(−x)=f(x)；∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称，∴f(1−x)=f(1+x)；∴f(−32)=f(32)=f(1+12)=f(1−12)=f(12)=(12)2=14．选B．由于函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称，可得出f(−x)=f(x)和f(1−x)= f(1+x)，结合函数在[0,1]上的解析式即可求得f(−32)的值．本题考查利用函数的图象的对称性求值的问题，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．10.答案：D解析：解：函数f(x)=cos(π6−2x)=cos(2x−π6)，把y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，得到：g(x)=cos(2x+π3−π6)=cos(2x+π6)，故：①g(π3)=cos5π6=−√32，②当x=π2时，g(π2)=cos7π6=−√32≠±1，③当x=π3时，g(π3)=cos5π6=−√32≠0，故：A、B、C错误．故选：D．首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数和余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，所以V A−BCD=13AB⋅S CDE=13⋅AB⋅12CD⋅EP=16⋅AB⋅2√5⋅√DE2−(DC2)2=√5 3⋅AB⋅√AD2−(AB2)2−5=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为V A−BCD=2√153，所以2√153=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为AB<2√2，所以解得AB=2；AE=1，DE=CE=√AC2−(AB2)2=√32−1=2√2，所以sin∠ACE=AEAC =13，所以sin∠ACB=2sin∠ACE⋅cos∠ACE=2⋅13⋅2√23=4√29，由题意可得D在底面的投影在中线CE所在的直线上，设为F，设DF=ℎ，设底面ABC的外接圆的半径为r，设圆心为O′，2r=ABsic∠ACB=4√29，所以r=9√28，O′E=CE−r=2√2−9√28=7√28，V A−BCD=2√153=13S ABC⋅ℎ=13⋅12AC2⋅sin∠ACB⋅ℎ=16⋅9⋅2√2⋅ℎ，解得ℎ=√302，所以EF=√DE2−DF2=√8−304=√22，所以O′F=EF+O′E=√22+7√28=11√28，过O′作OO′⊥面ABC的垂线，作OH⊥DF于H，则四边形HFO′O为矩形，设外接球的半径为R，取OA=OB=OD=R，在三角形OHD中，OD2=OH2+(DF−FH)2，即R2=O′F2+(√302−OO′)2=(11√28)2+(√302−OO′)2，①在三角形OO′中，OC2=CO′2+OO′2=r2+OO′2即R2=(9√28)2+OO′2，②，由①②可得R2=6112，所以外接球的表面积S=4πR2=4π⋅6112=613π，故选：B．由题意取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，再由体积可得AB的值，进而求出底面外接圆的半径，及D到底面的高，由题意求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题12.答案：D解析：解：当x>−1时，f′(x)=xe x(x+1)2，∴f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．∴当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=1+a．当x≤−1时，由二次函数性质可知f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,−1]上单调递增，∴当x=−2时，f(x)取得极小值f(−2)=−1．不妨设1+a<0，则f(x)=0有4个解，不妨设从小到大依次为t1，t2，t3，t4，则t1=−3，t2=−1，−1<t3<0，t4>0．再令1+a<−3，作出f(x)的函数图象如图所示：∵f[f(x)]=0，∴f(x)=t i，(i=1,2，3，4)．由图象可知f(x)=−3由2解，f(x)=−1有3解，f(x)=t3有4解，f(x)=t4有3解，∴f(f(x))=0最多有12解．故选：D．判断f(x)的单调性，作出f(x)的大致函数图象，求出f(t)=0的解，再根据f(x)的图象得出f(x)=t 的解得个数即可得出结论．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判定与函数极值的计算，属于中档题．13.答案：解析：14.答案：90°解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AD1//BC1，∴AD1与B1C所成角的大小为BC1与B1C所成角的大小，∵BCC1B1是正方形，∴BC1与B1C所成角的大小是90°，∴AD1与B1C所成角的大小为90°．故答案为：90°．利用正方形的性质求解．本题考查异面直线所成的角的大小的求法，解题时要认真审题，是基础题．15.答案：4解析：解：矩形ABCD ，AB =2，BC =1，∴CD =AB =2，∴DB =√BC 2+CD 2=√5，∴cos∠CDB =2√5，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠CDB =√5×2×√5=4，故答案为：4 根据矩形的性质和向量的数量积公式即可求出．本题主要考查矩形的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．16.答案：[−2,0)∪[1，+∞)解析：解：由e x −1=0，可得x =0，由x 2+x −2=0，可得x =−2或1，可得a =0或0<a <1时，f(x)有两个零点0，1；若a <−2时，f(x)有两个零点−2，1；若f(x)的零点只有一个零点0，可得a ≥1；若f(x)的零点只有一个零点1，得a <0，且−2≤a <1；可得−2≤a <0或a ≥1，故答案为：[−2,0)∪[1，+∞)．求得f(x)的零点，讨论a =0，a >0，a <0，结合恰有一个零点，可得a 的范围．本题考查分段函数的零点个数，考查分类讨论思想，以及方程思想，属于基础题．17.答案：(1)。

2019-2020学年河南省洛阳一高高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年河南省洛阳一高高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞02．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或34．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝05．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．136．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为．16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：120．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞0【分析】根据条件取特殊值，即可排除错误选项．解：根据非零实数a，b满足a＜b，取a＝﹣1，b＝1，则可排除A；取a＝，b＝，可排除B；取a＝﹣2，b＝﹣1，可排除D．故选：C．2．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与周期性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sin|x|，有f（﹣x）＝sin|﹣x|＝sin|x|＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于B，y＝cos2x，有f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于C，y＝x3，为幂函数，是奇函数但不是周期函数，不符合题意；对于D，y＝cos（+x）＝﹣sin x，既是奇函数，又是周期函数，符合题意；故选：D．3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或3【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得a（a+2）＝3，解可得a的值，据此分别验证两直线是否平行即可得答案．解：根据题意，已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则有a（a+2）＝3，即a2+2a﹣3＝0．解可得：a＝1或﹣3；当a＝1时，直线l1：3x+3y＝3，即x+y＝1，直线l2：x+y＝1，两直线重合，当x＝﹣3时，直线l1：﹣x+3y＝11，直线l2：x﹣3y＝1，两直线平行，故a＝﹣3；故选：A．4．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0【分析】根据题意，分直线l是否经过原点分2种情况讨论，分别求出直线l的方程，综合即可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①，直线l过原点，又由直线经过点（1，2），此时直线l的方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；②，直线l不过原点，设其方程为+＝1，又由直线经过点（1，2），则有+＝1，解可得a＝2，此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0，故直线l的方程为2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0，故选：D．5．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．13【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解：样本间隔为60÷4＝15，则2+15＝17，即另外一个学生的编号为17，故选：C．6．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±【分析】由已知分别求得cosα，sinβ的值，再求出α﹣β的范围及sin（α﹣β）的值，则答案可求．解：由，sinα＝，得cosα＝；由β∈（0，π），cosβ＝，得sinβ＝．且α﹣β∈（﹣π，），而sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝．∴α﹣β＝．故选：C．7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由棱台体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．∴该几何体的体积V＝．故选：B．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，从而落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，由此利用列举法能求出点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率．解：从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，所以落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，所以满足条件的事件有（﹣1，﹣2），（2，4），（3，6），（2，6），（3，7），共5个，所以点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为p＝．故选：D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数，排除BD，由，排除C．解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除B，D；又，故选：A．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值，得出结论．解：将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x+）的图象；再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝sin（x+）的图象．在区间[﹣，]上，+∈[，]，故当+＝时，g（x）取得最小值为，故选：A．11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π【分析】由已知将三棱锥P﹣ABC的外接球，转化为长2，宽2，高2的长方体的外接球，求出半径，可得答案．解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，故棱锥的底面面积为2，由PA⊥平面ABC，且三棱锥P﹣ABC的体积为，故棱锥的高为2，三棱锥P﹣ABC的外接球，相当于长2，宽2，高2的长方体的外接球，故球半径R＝[]＝，故球的体积V＝π，故选：A．12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）【分析】画出函数的图象，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求解2a+2b+2c 的取值范围．解：画出函数f（x）＝的图象如图：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），当图中红线，对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：0+2+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝﹣．【分析】根据题意，由直线的斜率公式可得tanα＝＝﹣，分析可得cosα＜0，由同角三角函数的基本关系式分析可得答案．解：根据题意，直线l的倾斜角为α，其斜率为﹣，则有tanα＝＝﹣，则＜α＜π，必有cosα＜0，又由sin2α+cos2α＝1，解可得：cosα＝﹣；故答案为：﹣14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是60°．【分析】先作出异面直线EF与A1C1所成角，再在正△BA1C1中即可得解．【解答】解：连接A1B，则A1B∥EF，则∠BA1C1为异面直线EF与A1C1所成角，在正△BA1C1中，∠BA1C1＝60°，故答案为：60°．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为﹣．【分析】建立坐标系，由已知求出AO，OB长，设P点坐标为（0，b），求出两个向量的坐标，进而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案．解：建立如图所示的坐标系，＝＝1，则AO＝1，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝，故A（﹣1，0），B（0，﹣），设P点坐标为（0，b），b∈[﹣，0]，则＝（1，b），＝（0，b+）＝，当b＝﹣时，取最小值﹣，故答案为：﹣16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为8．【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：因为f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（x）是R上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x2，x∈[0，1]时，f（x）＝x2，x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝﹣（x+2）2，x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）2，∴f（0）＝0，则f（﹣2）＝﹣f（0）＝0，f（2）＝0由h（x）＝（x﹣2）f（x）+1＝0得（x﹣2）f（x）＝﹣1，当x＝2时，（x﹣2）f（x）＝﹣1，不成立，即x≠2，则f（x）＝﹣，作出函数y＝f（x）和y＝﹣的图象如图：则两个函数关于点（2，0）对称，两个图象有4个交点，两两关于（2，0）对称，则函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为4+4＝8，故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．【分析】（1）利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．（2）利用向量的数量积转化求解向量的夹角的余弦函数值即可．解：（1）因为，是夹角为60°的单位向量，所以，，，（2），又，，∴．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．【分析】（1）由已知证明OQ∥A1P，OQ＝A1P，可得四边形A1PQO为平行四边形，得到A1O∥PQ，再由线面平行的判定可得PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AA1⊥底面ABC，得到BC⊥AA1，再证明AQ⊥BC，可得BC⊥平面AQP，从而得到BC⊥PQ．【解答】证明：（1）如图，连B1C，BC1相交于点O，∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝CC1，∵A1P∥CC1，，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P，∴四边形A1PQO为平行四边形，∴A1O∥PQ，∵A1O⊂平面A1BC1，PQ⊄平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1∵AB＝AC，BQ＝CQ，∴AQ⊥BC，∵AQ∩AA1＝A，∴BC⊥平面AQP，∵PQ⊂平面APQ，∴BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：1【分析】（1）由频率分布直方图，能求出m；（2）根据频率分布直方图，能估计这200名学生的平均分；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，由此能求出英语成绩在[90，120）的人数．解：（1）由频率分布直方图，得：10×（2m+0.02+0.03+0.04）＝1，解得m＝0.005；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分为：0.05×75+0.4×85+0.3×95+0.2×105+0.05×115＝93；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，∴英语成绩在[90，120）的有140人．20．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．【分析】（1）先利用数量积定义，求出f（x），然后将原式进行化简成A sin（ωx+θ）的形式，然后结合图象的性质即可求出结果；（2）根据已知条件，可先求出，进而求出，最后借助于两角差的余弦公式求出cosα．解：（1）依题意得：＝1+cos2x+sin2x＝．则．最小正周期为π．对称中心横坐标满足：，可得，故对称中心为．（2）由，可得．∵，∴．而上单调递增，故取值范围为（）；在上单调递减，取值范围为（）．∵，∴，则．∴，∴＝＝．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【分析】（1）设圆心坐标，利用弦心距，半弦长，半径所成直角三角形列方程可得圆心坐标，进而得方程；（2）利用P点所在直线设P点坐标，利用过A，P，C的圆以PC为直径，设圆上任一点M，满足MP⊥MC，结合数量积为0，可得圆系方程，解得定点坐标．解：（1）设圆心C（a，0）（a＞0），则C到直线3x﹣4y﹣4＝0的距离d＝，由弦长为，r＝2，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得d2＝r2﹣3，解得a＝3或a＝﹣（舍），∴圆C的方程为：（x﹣3）2+y2＝4；（2）由（1）知，C（3，0），设P（m，﹣m﹣5），∵PA为切线，∴PA⊥AC，∴过A，P，C的圆是以PC为直径的圆，设圆上任意一点M（x，y），则，∴（x﹣m，y+m+5）•（x﹣3，y）＝0，得（x﹣m）（x﹣3）+y（y+m+5）＝0，可得x2+y2﹣3x+5y﹣m（x﹣y﹣3）＝0，由解得或，故经过A，P，C三点的圆所过定点的坐标为（3，0）和（﹣1，﹣4）．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．【分析】（1）由题意设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），由恒等式可得m，n，k的关系，求得k；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），运用偶函数的定义和单调性的定义，求得m，n的关系，以及最值，可得m，n的值，进而得到所求解析式．解：（1）函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），可得3m＝4，m+nk＝2，3n＝3，解得k＝；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），由h（﹣x+1）＝h（x+1），可得m log3（9﹣x+1）+n（﹣x）＝m log3（9x+1）+nx，即为m log3＝2nx，即m log39﹣x＝2nx，可得﹣2mx＝2nx，即m＝﹣n，可得h（x）＝m[log3（9x﹣1+1）﹣（x﹣1）]＝m log3，令y＝，x≥2，再令3x﹣1＝t（t≥3），则y＝t+，设3≤t1＜t2，可得y1﹣y2＝t1+﹣t2﹣＝（t1﹣t2）•，由3≤t1＜t2，可得t1﹣t2＜0，t1t2＞1，即有y1﹣y2＜0，即y1＜y2，则y＝t+在[3，+∞）递增，可得y＝t+≥，当t＝3时取得等号，可得log3≥log3，h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．可得m log3＝2（log310﹣1），即m＝2，n＝﹣2，则h（x）＝2log3（9x﹣1+1）﹣2（x﹣1），。

洛阳市2019-2020高一期末质检理数答案

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考点17 分组求和法(1月)(期末复习热点题型)(人教A版2019)(解析版)

考点17 分组求和法一、单选题1．若数列{}n a 的通项公式是()()131nn a n =--，则1210···+a a a ++= A ．15 B ．12 C ．12-D ．15-【试题来源】吉林省蛟河市第一中学校2020-2021学年第一学期11月阶段性检测高二（理）【答案】A【解析】因为()()131nn a n =--，所以12253a a +=-+=，348113a a +=-+=，5614173a a +=-+=，7820233a a +=-+=，91026293a a +=-+=，因此1210···+3515a a a ++=⨯=．故选A ． 2．已知数列{}n a 满足11n n a a λ+=+，且11a =，23a =，则数列{}n a 前6项的和为 A ．115 B ．118 C ．120D ．128【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期12月质量检测（文）【答案】C【分析】由题干条件求得2λ=，得到121n n a a +=+，构造等比数列可得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列{}n a 前6项的和．【解析】21113a a λλ=+=+=，则2λ=，可得121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，有12nn a +=，得21n n a =-，则数列{}n a 前6项的和为()()6262122226612012⨯-+++-=-=-．故选C ．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+【试题来源】河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）（文）【答案】C【分析】根据递推公式a n +a n +1 ＝2n （n ∈N *）的特点在求S 2020时可采用分组求和法，然后根据等比数列的求和公式即可得到正确选项．【解析】由题意，可知2020122020123420192020()()()S a a a a a a a a a =+++=++++++132019222=+++2021223-=．故选C ． 4．定义：在数列{}n a 中，0n a >，且1n a ≠，若1n an a +为定值，则称数列{}n a 为“等幂数列”．已知数列{}n a 为“等幂数列”，且122,4,n a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则2009S 为 A ．6026 B ．6024 C ．2D ．4【试题来源】山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末（文）【答案】A【分析】根据数列新定义求出数列的前几项，得出规律，然后求和．【解析】因为122,4a a ==，所以334242a a a ==，32a =，4216a =，44a =，所以212n a -=，24n a =，*n N ∈，2009(24)100426026S =+⨯+=．故选A ．【名师点睛】本题考查数列的新定义，解题关键是根据新定义计算出数列的项，然后寻找出规律，解决问题． 5．数列111111,2,3,4,,248162n n +++++的前n 项和等于 A ．21122n n n +-++B ．2122n n n++C ．2122n n n +-+D ．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一6月月考（期末适应性）【答案】A 【解析】因，故，故选A ．6．已知一组整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足130m m a a +++=，其中m 为正整数，若12a =，则这组数前50项的和为 A ．-50 B ．-73 C ．-75D ．-77【试题来源】四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试【答案】C【分析】先利用已知条件写出整数列的前五项，得到其周期性，再计算这组数前50项的和即可．【解析】因为130m m a a +++=，12a =，所以2130a a ++=，得25a =-；3230a a ++=，得32a =-；4330a a ++=，得41a =-；5430a a ++=，得52a =-，由此可知，该组整数从第3项开始，以-2，-1，-2，-1，…的规律循环，故这组数的前50项和为()()25212475+-+--⨯=-．故选C ．7．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，23a =，23n n a a +=，则2020S = A ．1010232⨯-B ．101023⨯C ．2020312-D ．1010312+【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末【答案】A【分析】利用递推关系得出数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，对2020S 进行分组求和．【解析】因为11a =，23a =，23n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，且仅比均为3，所以101010102020132019242020133(13)()()1313S a a a a a a --=+++++++=+--1010232=⨯-．故选A ．【名师点睛】本题考查等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，考查分组求和法，解题时注意对递推式23n n a a +=的认识，它确定数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，而不是数列{}n a 成等比数列．8．已知数列{(1)(21)}n n -+的前n 项和为n S ，*N n ∈，则11S = A ．13- B ．12- C ．11-D ．10-【试题来源】山东省青岛胶州市2019-2020学年高二下学期期末考试【答案】A【分析】本题根据数列通项公式的特点可先求出相邻奇偶项的和，然后运用分组求和法可计算出11S 的值，得到正确选项．【解析】由题意，令(1)(21)nn a n =-+，则当n 为奇数时，1n +为偶数， 1(21)[2(1)1]2n n a a n n ++=-++++=，111211S a a a ∴=++⋯+ 123491011()()()a a a a a a a =++++⋯+++222(2111)=++⋯+-⨯+2523=⨯-13=-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查正负交错数列的求和问题，考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，13nn n a a +=，那么100S 的值为A ．()50231-B ．5031-C ．5032-D ．50342-【试题来源】吉林省四平市公主岭范家屯镇第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试【答案】A【分析】根据题中条件，得到23n na a +=，推出数列{}n a 的奇数项和偶数项都是成等比数列，由等比数列的求和公式，分别计算奇数项与偶数项的和，即可得出结果．【解析】因为11a =，13nn n a a +=，所以23a =，1123n n n a a +++=，所以1213n n n n a a a a +++=，即23n na a +=，所以135,,,a a a ⋅⋅⋅成以1为首项、3为公比的等比数列，246,,,a a a ⋅⋅⋅也成以3为首项、3为公比的等比数列，所以()()()5050100139924100313131313Sa a a a a a --=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+--505050313532322-+⋅-==⋅-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查等比数列求和公式的基本量运算，考查分组求和，熟记公式即可，属于常考题型．10．已知数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -++++=，记数列{2}n a n -的前n 项和为n S ，则n S =A ．2222nn n--B ．22122nn n---C ．212222n n n +--- D ．2222nn n--【试题来源】河北省秦皇岛市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】C【分析】利用递推关系求出数列{}n a 的通项公式，然后利用等差数列和等比数列的前n 项和公式进行求解即可．【解析】因为12321111(1)222n n a a a a n -++++=，所以有11a =，当2,n n N *≥∈时，有1231221111(2)222n n a a a a n --++++=-，(1)(2)-得，111122n n n n a a --=⇒=，显然当1n =时，也适合，所以12()n n a n N -*=∈，令 2n n a n b -=，所以2n n b n =-，因此有：2323(21)(22)(23)(2)(2222)(123)n n n n S n =-+-+-++-=++++-++++22112(12)(1)222 2.1222222n n n n n n n n n ++-+=-=---=----故选C.【名师点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，则n S =A ．2122n n ++-B ．212n n ++C ．22n -D ．22n n +【试题来源】四川省仁寿第二中学2020-2021学年高三9月月考（理）【答案】A【分析】根据已知条件求得n a ，利用分组求和法求得n S【解析】因为(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，所以()212nn a n =-+，则()()121212322121321222nnn S n n =++++⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()212121212nn n -+-=+-1222n n +=+-．故选A ．12．数列112、134、158、1716、的前n 项和n S 为A ．21112n n -+-B ．2122n n +-C ．2112n n +-D ．21122n n -+-【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期线上学习质量检测【答案】C【分析】归纳出数列的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用分组求和法可求得n S ．【解析】数列112、134、158、1716、的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，2341111113572122222n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()231111211111221352112222212n n n n n ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=++++-+++++=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-2112n n =+-．故选C ．13．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(32)n n a n +=-⋅-，则122020a a a ++⋯+=A ．-3027B ．3027C ．-3030D ．3030【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试【答案】C【分析】分组求和，结合等差数列求和公式即可求出122020a a a ++⋯+．【解析】12202014710...60556058a a a ++⋯+=-+-++-()()101010091010100917...6055410...60551010610104622⨯⨯⎛⎫=+++-+++=+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭3030=-．故选C ．14．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=A ．10B ．145C ．300D ．320【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期中【答案】C【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解．【解析】因为129a =-，()*13n n a a n N +=+∈，所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列，所以()11332n a a n d n =+-=-，所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >；所以()()12201210111220a a a a a a a a a +++=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+1101120292128101010103002222a a a a ++--+=-⨯+⨯=-⨯+⨯=．故选C ． 15．数列{}n a 的通项公式为2π1sin 2n n a n =+，前n 项和为n S ，则100S = A ．50 B ．-2400 C ．4900-D ．9900-【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理）【答案】C【分析】由πsin2n y =的周期为4，可得22222210010013579799S =+-+-+⋅⋅⋅+-，利用并项求和可得解．【解析】2111a =+，21a =，2313a =-，41a =，…，考虑到πsin2n y =的周期为4，所以()222222100100135797991002135799S =+-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯++++⋅⋅⋅+(199)50100249002+⨯=-⨯=-．故选C ．16．已知{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】广东省广州市增城区增城中学2020-2021学年高二上学期第一次段考【答案】C【分析】由2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，结合题设条件，推得11n n a a -+=，进而求得2019S 的值，得到答案．【解析】由题意，当2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，因为12n n a S n -+=，所以2()n n n S a a n +-=，即2n n S a n =+，当2n ≥时，1121n n S a n --=+-，两式相减，可得121n n n a a a -=-+，即11n n a a -+=，所以2345671,1,1,a a a a a a +=+=+=，所以()()()12345201820120991201911110102a a a a a a a S -=+++++++=+⨯=．故选C ． 17．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人 A ．225 B ．255 C ．365D ．465【试题来源】山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末月考【答案】B【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解析】当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==， 2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选B 18．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为 A ．1348 B ．1358 C ．1347D ．1357【试题来源】江苏省镇江市八校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】C【分析】由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又202067331=⨯+，由此可得答案.【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=，故选C. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，，则S 2019的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中考前热身【答案】C【分析】由2n ≥时，12n n a S n -+=，得到121n n a S n ++=+，两式相减，整理得()112n n a a n ++=≥，结合并项求和，即可求解．【解析】当2n ≥时，12n n a S n -+=，①，可得121n n a S n ++=+，②，由②－①得，112()1n n n n a a S S +--+-=，整理得()112n n a a n ++=≥，又由11a =，所以20191234520182019()()()1010S a a a a a a a =+++++++=．故选C ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =．则正确的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）（文）试卷【答案】D【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断．【解析】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确．故选D.21．已知正项数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且当*2,n n N ≥∈时，2n a =，数列()1cos 12n n n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前64项和为 A ．240 B ．256 C ．300D ．320【试题来源】重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】D【分析】由题意结合数列n a 与n S 2-=，由等差数列的性质即可得21n =-，进而可得当2n ≥时，88n a n =-，结合余弦函数的性质、分组求和法可得()()()642664648264T a a a a a a --=+++⋅⋅⋅+-，即可得解．【解析】由题意，当*2,n n N ≥∈时，12n n n S a S -==-，即2=，由0n S >2=，所以数列1=，公差为2的等差数列，()12121n n =+-=-，所以当2n ≥时，()222121188n a n n n ==-+--=-⎡⎤⎣⎦，设数列()1cos12nn n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为数列n T ，所以该数列前64项的和为 164234234cos 1cos 1cos 1cos 12222T a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++⋅++-⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6464cos 12a π⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅+ ⎪⎝⎭ ()()()262642664624486464a a a a a a a a a a =-+-⋅⋅⋅-+=+++⋅⋅⋅--+-641616320=+⨯=．故选D ．【名师点睛】本题考查了数列n a 与n S 的关系、等差数列的判断及性质的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题． 22．数列{}n a 的前n 项和为n S ，项n a 由下列方式给出1121231234,,,,,,,,,,2334445555⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若100k S ≥，则k 的最小值为 A ．200 B ．202 C ．204D ．205【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测【答案】C【分析】首先观察数列中项的特征，先分组求和，之后应用等差数列求和公式，结合题中所给的条件，建立不等关系式，之后再找其满足的条件即可求得结果．【解析】11212312112312334442222n n S n nn --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)1004n n -=≥．所以(1)400n n -≥，21n ≥．而当20n =时，95S =，只需要125212121m++⋅⋅⋅+≥，解得14m ≥．所以总需要的项数为1231914204+++⋅⋅⋅++=，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列求和公式，分组求和法，属于中档题目．23．已知数列{} n a 中，10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和为A ．10311102-+B ．1131902-+C ．1031902-+D ．11311102-+【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测【答案】C【分析】根据n 为奇数时，22n n a a +-=；n 为偶数时，23n n a a +=，得到数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；然后分别利用等差数列和等比数列前n 项和求解．【解析】因为10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和：数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；数列{}n a 中所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；所有()()2013192420......S a a a a a a =+++++++()()10113101012100213⨯-+=⨯++-1031902-=+，故选C ． 24．已知数列{}n a 的通项公式为2(1)n n a n =-，设1n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前200项和为 A ．200- B ．0 C ．200D ．10000【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期期中（理）【答案】A【分析】利用分组求和法及等差数列求和公式求解．【解析】记数列{}n c 的前200项和为n T ，122001223199200200201n T c c c a a a a a a a a =++=++++++++123419920012012[()()()]a a a a a a a a =++++++-+()()()2222[41169200199]1201=-+-++-+-22[3711399]1201=⨯+++++-()2100339921201402004040112002+=⨯+-=-+=-．故选A ．25．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，记n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，且存在*k N ∈，使得10k S +=成立，则 A ．10a d > B ．10a d < C ．1a d >D ．1a d <【试题来源】浙江省浙考交流联盟2020-2021学年高三上学期8月线上考试【答案】B【分析】由题意按照k 为奇数、k 为偶数讨论，利用并项求和法可得1k S +，转化条件得存在*k N ∈且k 为偶数时，102ka d --=，即可得解．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，所以当*k N ∈且k 为奇数时，112341k k k S a a a a a a ++=-+-++⋅⋅⋅-+()()()12341102k k k a a a a a a d ++=-++-++⋅⋅⋅+-+=≠；当*k N ∈且k 为偶数时，1123411k k k k S a a a a a a a +-+=-+-++⋅⋅⋅-+-()()()()1234111122k k k k ka a a a a a a d a kd a d -+=-++-++⋅⋅⋅+-+-=-+=--；所以存在*k N ∈且k 为偶数时，102k a d --=即102ka d =-≠，当2k =时，1a d =-，此时1a d =，故排除C 、D ；所以1a 与d 异号即10a d <，故A 错误，B 正确．故选B ． 26．已知函数()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++，则1232020a a a a ++++的值为A ．4040B ．4040-C ．2020D ．2020-【试题来源】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高二上学期开学考试（文）【答案】A【分析】由题意得2222(1)sin(1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++，从而可求出11a =，222232018201920203,,2019,2021a a a a a ==-⋅⋅⋅==-=，然后通过分组求和可得答案．【解析】因为()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++，所以2222(1)sin (1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++，所以11a =，222223452018201920203,5,,2019,2021a a a a a a a ==-==⋅⋅⋅==-=，所以1232020a a a a ++++13520192462020()()a a a a a a a a =+++++++++22222222222[(13)(57)(20172019)][(35)(79)(20192021)]=-+-+⋅⋅⋅+-+-++-++⋅⋅⋅+-+2(135720172019)2(35720192021)=-++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++10102020101020242222⨯⨯=-⨯+⨯1010202010102024=-⨯+⨯4040=，故选A.27．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，*122(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，设211(2)(2)n n n b a a n n --=-≥，则数列{}n b 的前40项的和为A ．860B ．820C ．820-D ．860-【试题来源】河南省开封市河南大学附属中学2020-2021学年高二9月质检【答案】A【分析】本题先对数列{}n a 的递推公式进行转化可发现数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列，通过计算出数列{}12n n a a --的通项公式可得1n b -的表达式，进一步可得数列{}n b 的通项公式，最后在求和时进行转化并应用平方差公式和等差数列的求和公式即可得到前40项的和．【解析】由题意，可知当3n ≥时，122n n n a a a --=+，两边同时减去12n a -，可得112112222(2)n n n n n n n a a a a a a a -------=+-=--，2123211a a -=-⨯=，∴数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列， 11121(1)(1)n n n n a a ---∴-=⋅-=-，*(2,)n n ≥∈N ，21211(2)(1)n n n n b a a n n ---∴==-⋅-，故2(1)(1)n n b n ⋅=-+，令数列{}n b 的前n 项和为n T ，则4012343940T b b b b b b =++++⋯++22222223454041=-+-+-⋯-+222222[(23)(45)(4041)]=--+-+⋯+-[(23)(45)(4041)]=--+-+-⋯-+23454041=++++⋯++40(241)2⨯+=860=．故选A ．【名师点睛】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，平方差公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．28．在数列{}n a 中，122,2a a ==，且11(1)(*),nn n a a n N +-=+-∈则100S =A ．5100B ．2600C ．2800D ．3100【试题来源】河南省洛阳市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】A【分析】转化条件为22n n a a +-=，进而可得21k a -，2k a ，由分组求和法结合等差数列的前n 项和公式即可得解．【解析】因为11(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，所以1211(1)n n n a a +++-=+-，所以()()122121n n n n a a ++-=+--+=，因为122,2a a ==，所以()211212k a a k k -=+-=，()22212k k a k a =+-=，*k N ∈，所以()()100123499100139924100S a a a a a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2100241002410025051002+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=⨯⨯=．故选A ．【名师点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了分组求和法的应用及转化化归思想，属于中档题．29．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为A ．20192020-B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-【试题来源】2020届广东省华南师范大学附属中学高三年级月考（三）（理）【答案】C【分析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代入化简n c ，最后利用分组求和法求结果．【解析】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，首项为1，所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==，所以()()21111121n n n n na c s n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项的和11111111202011223342020202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选C ． 30．若数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值是 A ．4B ．5C ．6D ．7【试题来源】山西省运城市2021届高三（上）期中（理）【答案】B【分析】求得1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，利用数列的单调性可求得满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值．【解析】数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，所以()()2121212121iji j i jij i j i j c a a a a +=⋅++=--+-+-=-．令1122n nn S c c c =+++，则()102,n n nn S S c n n N *--=>≥∈，所以，数列{}n S 为递增数列，当11222021nn c c c +++<时，所有的元素之和为246212121212021n n n S +=-+-+-++-<，当4n =时，24684222243362021S =+++-=<，当5n =时，246810522222513592021S =++++-=<，当6n =时，246810126222222654542021S =+++++-=>，故n 的最大值为5，故选B ．【点评】关键点【名师点睛】本题考查数列不等式的求解，解题的关键在于求出1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，在求解数列不等式时，要充分结合数列的单调性求解．31．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用．若将此数列{}n a 的各项除以2后的余数构成一个新数列{}n b ，设数列{}n b 的前n 项的和为n T ；若数列{}n a 满足：212n n n n c a a a ++=-，设数列{}n c 的前n 项的和为n S ，则20202020T S +=A ．1348B ．1347C ．674D ．673【试题来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期中【答案】B【分析】根据题意写出数列{}n a 的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，可得2020T ，再计算1n nc c +，结合等比数列的通项公式和求和公式，可得2020S ，进而得到所求和．【解析】“兔子数列”的各项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，∴此数列被2除后的余数依次为1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯⋯，即11b =，21b =，30b =，41b =，51b =，60b =，⋯⋯， ∴数列{}n b 是以3为周期的周期数列，20201231673()673211347T b b b b ∴=+++=⨯+=，由题意知22212112221121222121212()()1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a a a a a a a a a a a c a a a a a a a a a +++++++++++++++++-+---====----，由于212131c a a a =-=-，所以(1)n n c =-，所以2020(11)(11)(11)0S =-++-++⋯+-+=．则202020201347T S +=．故选B.【名师点睛】确定数列数列{}n b 是以3为周期的周期数列，利用周期性求出数列的和，摆动数列(1)n n c =-可以利用分组求和，是解决问题的关键，属于中档题． 32．已知函数()()()22,,n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时且()(1)n a f n f n =++，则121100a a a a ++++等于A ．0B ．100C ．-100D ．10200【试题来源】广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中质量测试【答案】B【分析】先求出通项公式n a ，然后两项一组，即可求解数列的前100项的和【解析】()(1)n a f n f n =++，∴由已知条件知，2222(1),(1),n n n n a n n n ⎧-+=⎨-++⎩为奇数为偶数，即()21,21,n n n a n n ⎧-+=⎨+⎩为奇数为偶数，(1)(21)n n a n ∴=-+，12(n n a a n +∴+=是奇数），123100123499100()()()2222100a a a a a a a a a a ∴+++⋯+=++++⋯++=+++⋯+=故选B ．【名师点睛】解答本题的关键是求出数列{}n a 的通项(1)(21)n n a n =-+，即得到12(n n a a n ++=是奇数）．33．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是 A ．8 B ．9 C ．10D ．11【试题来源】山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试（A ）【答案】A【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案．【解析】由题意得323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2nn +-()212312n n ⨯-=⨯-- 1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<；当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8．故选A ．【名师点睛】本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T ．34．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n b π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =A ．1B ．12C ．12-D ．-1【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末【答案】C【分析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S ．【解析】1(1)(1)n n na n a n n +=+++，111n na a n n+∴-=+， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为1，21(1)n n a n a n n ∴=+-⇒=，2cos3n n b n π∴=，3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，33cos 23k b k k k π==， 3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-=， ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故选C ．35．设()f n ()*n ∈N 的整数，如()()()()()11,21,324252f f f f f =====，，，若正整数m 满足()()()()11114034123f f f f m ++++=，则m = A ．20162017⨯ B ．20172018⨯ C ．20182019⨯D ．20192020⨯【试题来源】陕西省西安市高新一中2018-2019学年高二上学期期末（理）【答案】B【解析】设()f x j =，,*x j N ∈，n 是整数，则221124n n n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭不是整数，因此任意正整数的正的平方根不可能是1()2n n Z +∈形式，所以1122j j -<<+，221144j j x j j -+<<++，因为,*x j N ∈，所以221j j x j j -+≤≤+，故()f x j =时，2221,2,,x j j j j j j =-+-++共2j 个，设222111(1)(2)()p a f j j f j j f j j =+++-+-++，则22p ja j==，*p N ∈，由题意()()()()11114034123f f f f m ++++=，403422017=⨯，所以()()()()1111111111123(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f m f f f f f f ⎡⎤⎡⎤++++=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1114034(220171)(220172)()f m f m f m ⎡⎤+++=⎢⎥-⨯+-⨯+⎣⎦，故()2017f m =，m 为方程2017f =的最大整数解，所以22017201720172018m =+=⨯．故选B ．【名师点睛】本题主要考查数列与函数的关系、数列的应用，解题关键是设()f x j =，,*x j N ∈，确定x 的范围，得出x 的个数，然后计算出满足()f x j =的所有1()f x 的和为2．二、多选题1．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）．已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S ．下列结论正确的有A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 【试题来源】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三上学期月考（三）【答案】ACD【解析】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的；又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．2．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）．已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S ．下列结论正确的有A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【试题来源】江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中模拟（2）【答案】ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【解析】因为a 11＝2，a 13＝a 61+1，所以2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），所以a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，所以a 67＝17×36，所以S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（）12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1），故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足112a =-，且()1222n n a a n N n n *++=∈+，则10S =__________．【试题来源】广西桂林市第十八中学2021届高三上学期第二次月考（理）【答案】1011【分析】根据题中条件，由裂项的方法得到1112n n a a n n ++=-+，根据裂项相消与并项求和的方法，即可得出结果．【解析】因为()122211222n n a a n n n n n n ++===-+++，则()()()()()1012345678910S a a a a a a a a a a =+++++++++11111111113355779911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11011111=-=．2．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若11(1)(2)n n n na a +⎡⎤=+-+-⎣⎦（*n N ∈），则100S =__________．【试题来源】江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研【答案】101223- 【分析】分n 为奇数、n 为偶数两种情况讨论，可得数列{}n a 的特点，然后可算出答案．【解析】当n 为奇数时，()12nn a +=-，则()122a =-，()342a =-，，()991002a =-，当n 为偶数时，()12222nn n n n a a a +=+-=+，则232220a a =+=，454220a a =+=，，989998220a a =+=，又10a =，所以10110024100223S a a a -=+++=． 3．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =__________．【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期第二次质量检测（理）【答案】122n n +--【分析】根据题中条件，得到11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，判定数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，求出121n na =-，由分组求和的方法，即可求出结果．【解析】由12n n n a a a +=+得12121n n n n a a a a ++==+，所以11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，因此数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，又11a =，所以1112a +=，因此111222n n n a -+=⨯=，所以121n n a =-，因此()()2121222 (22212)n nn n n n S n +-=+++-=-=---．故答案为122n n +--．【名师点睛】求解本题的关键在于，根据12n n n a a a +=+，由构造法，得到111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法求解即可． 4．数列{}n a 的通项公式22cos4n n a n n π=-，其前n 项和为n S ，则2021S =__________．【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题【答案】1010．【分析】由于22cos(1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，可得数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，从而可求得其结果【解析】因为22cos (1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，所以数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，所以2021246820182020S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++246820182020=-+-+-⋅⋅⋅-+(24)(68)(20182020)=-++-++⋅⋅⋅+-+1010210102=⨯=．故答案为1010 5．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足21(1)nn n a a +-=--，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有__________．【试题来源】山东省聊城市2020-2021学年高三上学期期中【答案】255【分析】根据题目所给递推关系式，求得数列{}n a 项的规律，由此进行分组求和，求得数列前30项的和．【解析】由于()211nn n a a +-=--，当n 为偶数时，20n na a +-=，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于22a =，共有15项，和为15230⨯=；当n 为奇数时，22n n a a +-=；又11a =，所以前30项中的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，共有15项，和为151415122252⨯⨯+⨯=．故30天的总人数为30225255+=．故答案为255． 6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1cos2n n a n n N π=+⋅∈，则2020S =__________．【试题来源】上海市复兴高级中学2021届高三上学期期中【答案】3030【分析】根据题意，先确定cos2n π的周期，再求出一个周期的和，即可得出结果．【解析】由()4coscos 2cos 222n n n ππππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，知cos 2n π的周期为4，又11cos12a π=+=，212cos 12a π=+=-， 3313cos12a π=+=， 414cos 214a π=+=+，则1234426a a a a +++=+=，所以20202020630304S =⨯=．故答案为3030．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-．则数列{}n S 的前n 项和n T =__________．【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考（四）【答案】122n n +--【分析】通过前n 项和n S 与n a 的关系式以及等比数列的定义得出{}n a 及{}n S 的表达式，进而利用分组求和即可．【解析】由21n n S a =-，得111211a a a =-⇒=，由21n n S a =-，有1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，11222(2)n n n n n a a a a a n --=-⇒=，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n na ，122112nn n S -==--，()12122212n n n T n n +-∴=-=---．8．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a 、2a 、3a 、、n a 、，并记相应的极大值为1b 、2b 、3b 、、n b 、，则数列{}n n a b +前9项的和为__________．【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考【答案】11032【分析】求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的解析式，利用导数求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N *-∈上的极大值点与极大值，可得出数列{}n n a b +的通项公式，再利用分组求和法可求得数列{}n n a b +的前9项的和．【解析】函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，则()()21=-f x f x ，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，则当[)()1,x n n n N *∈-∈，()[)10,1x n --∈，()()()()()2112122212sin 1n n f x f x f x f x n x n ππ--=-=-==--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()12cos 1n f x x n πππ-'=--⎡⎤⎣⎦，当[)()1,x n n n N*∈-∈时，()[)10,1x n --∈，则()[)10,x n πππ--∈⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，可得()12x n πππ--=，解得12x n =-，当112n x n -<<-时，()0f x '>，当12n x n -<<时，()0f x '<．所以，函数()y f x =在12x n =-处取得极大值，即1122n n b f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又12n a n =-，1122n n n a b n -∴+=-+，因此，数列{}n n a b +的前9项的和991199121103222122S ⎛⎫+-⨯ ⎪-⎝⎭=+=-．【名师点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题．9．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________．【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可．【解析】因为121,(1)2nn n a a a +=+-=，所以当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，所以1002500502550S =+=，故答案为2550．【名师点睛】（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列；（2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n a a a =＋，=+，则5S 的值为__________．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（理）【答案】732【解析】122n n a a +=+，()1222n n a a +∴+=+，故数列{}2n a +是以2为公比，以223a +=为第二项的等比数列，故2232n n a -+=⋅，故2322n n a -=⋅-，()5531273225122S -∴=-⨯=-，故答案为732. 【名师点睛】1n n a pa q +=+(1,0p q ≠≠的常数)递推关系求通项，构造等比数列是解题关键，属于基础题． 11．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为__________．【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试【答案】3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案．【解析】由等比数列的前n 项和公式得()1314112821112n nn na q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===---，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下期末考试数学试卷有答案

洛阳市2019-2020学年高一年级质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B =，则满足条件的实数a 的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A.2sin y x =+B. cos y x =C. ln y x =D. x x y e e -=- 3.已知平行四边形ABCD 中，60,1,2ABC AB BC ∠===,则BA BD ⋅= A. 1 B. 2 C. 13+ D.2-4.执行如图所示的程序框图，若输入a,b 的分别为78,182，则输出的a = A. 0 B. 2 C. 13 D. 265.为了了解某服装厂某种服装的年产量x （单位：千件）对价格y （单位：千元/千件）的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计情况如下表：如果y 关于x 的线性回归方程为ˆ12.386.9yx =-+，且1270,65y y ==，则345y y y ++= A. 50 B. 113 C. 115 D. 2386.设直线32120x y --=与直线4310x y ++=交于点M,若一条光线从点()2,3P 射出，经y 轴反射后过点M,则入射光线所在直线的方程为A.10x y --=B.10x y -+=C.50x y --=D.50x y +-= 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 12 B. 9 C. 6 D. 368.已知曲线11:sin ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是A. 把1C 上个点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C9.在直三棱柱111ABC A B C -中，,6,8AB BC AB BC ⊥==若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为A. 624B.576C. 672D.72010.一位同学家里定了一份报纸，送报人每天都在早上6:20—7:40之间将报纸送达，该同学需要早上7:00——8:00之间出发上学，则该同学在离开家之前能拿到报纸的概率为 A.16 B. 13 C. 23 D.5611.在平面直角坐标系xoy 中，已知()150,0,,04O A ⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 上任一点M 满足4OM AM =，点P在直线)1y x =-上，如果曲线C 上总存在两点到P 的距离为2，那么点P 的横坐标t 的范围是A. 13t <<B. 14t <<C. 23t <<D. 24t << 12.已知两条直线()122:3,:261l y l y m m ==≤≤-，1l 与函数2log y x =的图象从左到右交于A,B 两点，2l 与函数2log y x =的图象从左到右交于C,D 两点，若,AC AB BD CD a B ABCD⋅⋅==，当m变化时，ba的范围是A. 352,4⎛⎫⎪⎝⎭B.352,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 172,32⎡⎤⎣⎦D.()172,32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1cos ,02απα=--<<，则角α= .（用弧度表示）14.某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了一些客户，得到了满意度评分的茎叶图，则这组评分数据的中位数为 .15.执行如图所示的程序框图，如果输入9x =时，299y =，则整数a 的值为 . 16.已知锐角,αβ满足()()sin cos 2cos sin αββαββ+=+，当α取得最大值时，tan 2α= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知点()()8,3,3,6-在函数()log ,02,0a x x x f x b x >⎧=⎨-≤⎩的图象上.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求不等式()0f x >的解集.18.（本题满分12分）已知向量2cos ,1,cos ,cos ,66a x b x x x R ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数().f x a b =⋅（1）求函数()f x 的图象的对称中心；（2）若,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值和最小值，并求出()f x 取得最值时x 的大小.19.（本题满分12分）学校高一数学考试后，对90分（含90分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，分数在120—130分的学生人数为30人. （1）求这所学校分数在90—140分的学生人数；（2）请根据频率分布直方图估计这所学校学生分数在90—140分的学生的平均成绩；（3）为进一步了解学生的学习情况，按分层抽样方法从分数子啊90—100分和120—130分的学生中抽出5人，从抽取的学生中选出2人分别做问卷A 和问卷B,求90—100分的学生做问卷A,120—130分的学生做问卷B 的概率.20.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AB PC ⊥,其中3, 6.BP BC PC ===（1）点,E F 分别为线段,BP DC 的中点，求证：//EF 平面APD ；（2）设G 为线段BC 上一点，且2BG GC =，求证：PG ⊥平面ABCD .21.（本题满分12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x B A x R πωϕωϕ⎛⎫=++>><∈ ⎪⎝⎭在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，当2x π=时，()f x 取得最大值5，当32x π=时，()f x 取得最小值-1. （1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,4x π∈时，函数()()()1212x x g x f x a +=-+有8个零点，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足2216PA PB +=，设点P 的轨迹为1C ，从1C 上一点Q 向圆()2222:0C x y r r +=>做两条切线，切点分别为,M N ，且60.MQN ∠= （1）求点P 的轨迹方程和；（2）当点Q 在第一象限时，连接切点,M N ，分别交,x y 轴于点,C D ，求OCD ∆面积最小时点Q 的坐标.。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期质量检测(期末)数学试卷(文科)

河南省洛阳市2019—2020学年高一质量检测数学试卷（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1页至2页，第II 卷3 至4页，共150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号写在答题卡上.2. 考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. y= tan2x 的最小正周期是A.π2B. πC. 2 πD. 3 π2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为A.710B. 15C. π2D. 3103. 已知函数f(x) = lnx+√16−2x ，则f(x)的定义域为 A. (0,1) B. (1,2] C.(0,4] D. (0.2]4. 已知直线a,b 与平面α,β,γ,下列条件中能推出α// β的是A. a 丄α，且a 丄βB. α丄γ，且β丄γC. a ⊂α，b ⊂β,a//bD. a ⊂α, b ⊂α a// β, b// β5. 在区间[一 1，1]上随机地取一个数x ，则cos πx2的值介于0到12之间的概率为A. 23B. 2πC. 12D. 136. 某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加,成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小 A. x 甲<x 乙，S 甲2>S 乙2B. x 甲>x 乙，S 甲2<S 乙2C. x 甲<x 乙，S 甲2<S 乙2D. x 甲>x 乙，S 甲2>S 乙27. 已知 a = sin33°，b = cos55°，c = tan35°,则a ，b ，c ，的大小关系是A. a < b < c.B. a < c< bC. b <a < cD. b < c <a8. 已知a ⃗,b ⃗⃗是不共线的非零向量. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ + 2b ⃗⃗, BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3a ⃗一b ⃗⃗, CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗ — 3b⃗⃗,则四边形ABCD 是 A.矩形 B.平行四边形C.梯形D.菱形9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3. 14.这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.则输出"的值为(参考数据：√3 ≈1. 732，sin15° ≈ 0. 2588， sin75°≈ 0. 1305 ) A. 12 B.24 C. 36 D. 4810. 已知的ΔOMN 三个顶点为O(0,0)，M(6,0),N(8,4)过点（3,5)作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为 A. 10√6 B. 20√6 C.30√6 D.40√611. 已知体积为4√3的三棱锥O —ABC 的顶点A,B,C 都在球O 的表面上，且 AB = 6，BC =2√3，AC = 4√3，则球O 的表面积是 A.16 π B. 32π C.64 π D.72 π 12. 已知四边形 ABCD 中，AC 丄 BD ，AB = BC =BD 2= 2，AC = CD = 2√3，点E 在四边形ABCD 上运动,则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗• AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是 A. 3 B. - 1C.- 3D.- 4第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 已知 cos θ= 45，且 θ∈(-π2，0 )，则 tan(π4 + θ) = .14. 函数y = log a ( 2x — 3 ) + 4 (a > 0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图像上，则f(3) = • 15. 若直线√3x-3y+9 = 0被圆（x 一2)2+ (y —3)2= r 2截得的弦长为√3r,则r = . 16. 已知f(x)=e x−1 +e 1−x + 2a 只有一个零点，则a = •三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分）已知平面向量 a ⃗=(1,x)，b ⃗⃗ = (2x + 3,-x ) • (x ∈N) (1) 若a ⃗与b ⃗⃗垂直，求x; (2) 若 a ⃗//b ⃗⃗,求 | a ⃗-b⃗⃗ |. 18. (本小题满分12分）已知某校高一（1)班数学老师根据本班50名同学的月考数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.(1)根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩. (2)用分层抽样方法从成绩低于115分的同学中抽取6名作问卷调查，再在抽取的这6名同学中任选2名谈话，求这两名同学数学成绩均在[105，115)中的概率.19. (本小题满分12分）已知函数f(x)=log2(2x+1)+kx(k∈R).(1) 若k=0,求不等式f(x)> 1的解集；(2) 若f(x)为偶函数，求k的值.20. (本小题满分12分）已知矩形ABCD中，AD =2AB= 2，E，F分别为AD，BC的中点，现将矩形ABCD沿EF 折起,使二面角D' — EF — B 为60°.(1) 求证EF丄AD'(2) 求四棱锥A — EFC'D'的体积.21. (本小题满分12分）已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2）的部分图象如图所示.(1) 将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移π3个单位长度.得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；(2) 当x∈[-π2，π12]时,求函数），y=f(2x+π12)−√2f(2x+π3)的值域。

2019-2020学年河南省洛阳市高一下期末数学试卷(有答案)

河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．集合A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，则A∩B=（）A．{3，7}B．{（3，7）}C．（3，7）D．[3，7]2．计算：1﹣2sin2105°=（）A．﹣B．C．﹣D．3．过点（3，1）且与直线x﹣2y﹣3=0垂直的直线方程是（）A．2x+y﹣7=0 B．x+2y﹣5=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=04．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sinx•cosxC．y=|cos2x|D．y=sin（2x+）5．如图所示的程序框图输出的结果是S=5040，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤6 D．i＞66．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是=0.7x+0.35，则实数m的值为（）A．3.5 B．3.85 C．4 D．4.157．在区间[﹣1，2]上随机取一个数，则﹣1＜2sin＜的概率为（）A．B．C．D．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．C．D．49．设向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），若∥，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则坐标原点O与圆（x﹣）2+（y+）2=2的位置关系是（）A．点O在圆外B．点O在圆上C．点O在圆内D．不能确定12．已知⊙O的半径为2，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若点A，B，O不共线，且|﹣t|≥||对任意t∈R恒成立，则•=（）A．4B．4 C．2D．2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n=_______．14．如图程序运行后输出的结果是_______．15．设f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，其中m，n，α，β均为实数，若f=_______．16．已知符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）的零点个数为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=4，||=，（ +）•（﹣2）=16．（1）求•；（2）求|+|．18．学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为n的样本，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出了如图的频率分布直方图，已知[50，60）与[90，100]两组的频数分别为24与6．（1）求n及频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数；（3）已知[90，100]组中有2名男生，4名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选2名作进一步调查，求2名学生中至少有1名男生的频率．19．已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+sin2ωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1M；（2）求直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值；（3）求点C到平面AB1M的距离．21．已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．22．如图，已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．集合A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，则A∩B=（）A．{3，7}B．{（3，7）}C．（3，7）D．[3，7]【考点】交集及其运算．【分析】联立A与B中二元一次方程组成方程组，求出方程组的解即可得到两集合的交集即可．【解答】解：联立A与B中方程得：，消去y得：3x﹣2=x+4，解得：x=3，把x=3代入得：y=9﹣2=7，∴方程组的解为，∵A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，∴A∩B={（3，7）}，故选：B．2．计算：1﹣2sin2105°=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用诱导公式，降幂公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：1﹣2sin2105°=1﹣2sin275°=1﹣（1﹣cos150°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．3．过点（3，1）且与直线x﹣2y﹣3=0垂直的直线方程是（）A．2x+y﹣7=0 B．x+2y﹣5=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k，然后利用直线的点斜式可求直线方程【解答】解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=﹣2所求直线的方程为y﹣1=﹣2（x﹣3）即2x+y﹣7=0故选：A．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sinx•cosxC．y=|cos2x|D．y=sin（2x+）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和差的三角函数、诱导公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性和奇偶性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由于y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故它的图象不关于y轴对称，故排除A；由于y=sinx•cosx=sin2x，为奇函数，它的图象关于原点对称，故排除B；由于y=|cos2x|的周期为•=，故排除C；由于y=sin（2x+）=cos2x，它的周期为=π，且它为偶函数，它的图象关于y轴对称，故满足条件，故选：D．5．如图所示的程序框图输出的结果是S=5040，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤6 D．i＞6【考点】程序框图．【分析】根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=10，S=1满足条件，执行循环体，S=10，i=9满足条件，执行循环体，S=90，i=8满足条件，执行循环体，S=720，i=7满足条件，执行循环体，S=5040，i=6由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为5040．故判断框内应填入的条件是i＞6．故选：D．6．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是=0.7x+0.35，则实数m的值为（）A．3.5 B．3.85 C．4 D．4.15【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：根据所给的表格可以求出=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+m+4.5）=，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=4，故选：C．7．在区间[﹣1，2]上随机取一个数，则﹣1＜2sin＜的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据三角函数的不等式求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由可﹣1＜2sin＜得﹣＜sin＜，∵﹣1≤x≤2，∴﹣≤≤，则﹣≤＜，即﹣≤x＜1，则对应的概率P===，故选：C8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，我们易判断出这个几何体的形状及结构特征，进而求出底面各边长，求出底面面积和棱锥的高后，代入棱锥的体积公式，是解答本题的关键．【解答】解：由已知中的三视图可得这是一个底面为梯形的四棱锥其中底面的上底为2，下底为4，高为2，则底面面积S==6棱锥的高H为2则这个几何体的体积V===4故选D9．设向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），若∥，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据两向量平行的坐标表示，利用同角的三角函数关系﹣﹣弦化切，即可求出答案．【解答】解：∵向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），∥，∴3cosθ=sinθ，可得：tanθ=3，∴====，故选：D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=kπ，|φ|＜，k∈z，可得φ=，f（x）=sin（2x+），故将f（x）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：D．11．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则坐标原点O与圆（x﹣）2+（y+）2=2的位置关系是（）A．点O在圆外B．点O在圆上C．点O在圆内D．不能确定【考点】分段函数的应用；对数函数的图象与性质；点与圆的位置关系．【分析】画出分段函数y=|lgx|的图象，求出ab关系，进而根据点与圆的位置关系定义，可得答案．【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1，则a+b＞2，故坐标原点O在圆（x﹣）2+（y+）2=2外，故选：A．12．已知⊙O的半径为2，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若点A，B，O不共线，且|﹣t|≥||对任意t∈R恒成立，则•=（）A．4B．4 C．2D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的减法的运算法则将向量进行化简，然后两边平方，设•=m，整理可得4t2﹣2tm﹣（4﹣2m）≥0恒成立，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，解不等式即可．【解答】解：∵|﹣t|≥||，∴|﹣t|≥|﹣|，两边平方可得：2﹣2t•+t22≥2﹣2•+2，设•=m，则有：4t2﹣2tm﹣（4﹣2m）≥0恒成立，则有判别式△=4m2+16（4﹣2m）≤0，即m2﹣8m+16≤0，化简可得（m﹣4）2≤0，即m=4，即有•=4，故选：B二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n=96．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．【解答】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=96．故答案为：96．14．如图程序运行后输出的结果是61．【考点】伪代码．【分析】经过观察为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：经过分析，本题为直到型循环结构，模拟执行程序如下：i=1，S=1执行循环体，S=5，i=3不满足条件i＞8，执行循环体，S=13，i=5不满足条件i＞8，执行循环体，S=29，i=7不满足条件i＞8，执行循环体，S=61，i=9此时，满足条件i＞8，跳出循环，输出S=61．故答案为：61．15．设f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，其中m，n，α，β均为实数，若f=2016．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据三角函数的诱导公式，列方程即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，f=msin+ncos+8=msinα+ncosβ+8=﹣2000，∴可得：msinα+ncosβ=﹣2008，则f+ncos+8=﹣msinα﹣ncosβ+8=﹣（msinα+ncosβ）+8=2016．故答案为：2016．16．已知符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）的零点个数为5．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用符号函数求出F（x）的解析式，然后求解函数的零点即可得到结果．【解答】解：符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）=，当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，﹣x2+2x+1=0，解得x=满足题意．当x=0或x=2时，﹣x2+2x=0，x=0或x=2是函数的零点．当x∈（0，2）时，﹣x2+2x﹣1=0，解得x=1满足题意．所以函数的零点个数是5．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=4，||=，（ +）•（﹣2）=16．（1）求•；（2）求|+|．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据条件，（ +）•（﹣2）=16，展开化简即可得•；（2）根据向量长度和向量数量积的关系即可求|+|．【解答】解：（1）∵（+）•（﹣2）=16，∴2﹣22﹣•=16，即•=2﹣22﹣16=16﹣2×3﹣16=﹣6；（2）|+|==．18．学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为n的样本，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出了如图的频率分布直方图，已知[50，60）与[90，100]两组的频数分别为24与6．（1）求n及频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数；（3）已知[90，100]组中有2名男生，4名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选2名作进一步调查，求2名学生中至少有1名男生的频率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由题意能求出样本容量n和x，y的值．（2）利用频率分布直主图能估计学生成绩的中位数和学生成绩的平均数．（3）记2名男生分别为a1，a2，4名女生分别为b1，b2，b3，b4，至少有一名男生的对立事件为抽到2名女生，由此利用对立事件能求出2名学生中至少有1名男生的频率．【解答】解：（1）由题意知样本容量n==150，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（2）估计学生成绩的中位数m=70+×10=71，估计学生成绩的平均数=55×0.16+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.04=70.6．（3）记2名男生分别为a1，a2，4名女生分别为b1，b2，b3，b4，抽取两名学生的结果有：基本事件总数n==15，其中至少有一名男生的对立事件为抽到2名女生，∴2名学生中至少有1名男生的频率p=1﹣=．19．已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+sin2ωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，两角差的余弦、正弦公式化简解析式，由周期公式求出ω的值，由正弦函数的对称轴求出函数f（x）图象的对称轴方程；（2）由正弦函数的增区间、整体思想求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=cos2ωx+sin2ωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=，∴最小正周期T==π，解得ω=1，则f（x）=由得，，∴f（x）图象的对称轴方程是；（2）由（1）得f（x）=，由得，，∴函数f（x）的单调递增区间是．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1M；（2）求直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值；（3）求点C到平面AB1M的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）证明线面平行，通常利用线面平行的判定定理，这里我们可以利用中位线的性质，得到线线平行；（2）过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M，故∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角；（3）M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等．【解答】（1）证明：连接A1B，交AB1于O，连接OM因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以O是A1B的中点因为O，M分别是A1B和BC的中点，所以OM∥A1C因为A1C⊄面AB1M，OM⊂面AB1M所以A1C∥面AB1M；（2）解：由题意BB1⊥AM，∵M是BC的中点，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面B1BM，∴平面AB1M⊥平面B1BM，过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M故∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角．Rt△BB1D中，BD==，∴sin∠BB1D=，∴直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值为；（3）解：M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等，由（2）可知点B到平面AB1M的距离BD=，∴点C到平面AB1M的距离为．21．已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．22．如图，已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，写出⊙P与⊙Q的方程，利用两圆的方程作差，得出公共弦MN所在的直线方程，从而求出直线MN恒过的定点S；（2）过点Q作QT⊥GH于T，根据垂径定理与切割线定理，即可求出|AH|•|AG|的取值范围．【解答】解：（1）设点M（m，0），其中m∈（﹣3，3），则C（m，m+3），F（m，3﹣m），P（，），Q（，）；易知⊙P的方程为： +=，即x2+y2﹣（m﹣3）x﹣（m+3）y﹣3m=0；①⊙Q的方程为： +=，即x2+y2﹣（3+m）x﹣（3﹣m）y+3m=0；②①﹣②得，公共弦MN所在的直线方程为6x﹣2my﹣6m=0，整理得3x﹣m（3+y）=0，所以MN恒过定点S（0，3）；（2）过点Q作QT⊥GH于T，则|TH|=|TG|，从而|AH|•|AG|=（|AT|﹣|TH|）•（|AT|+|TG|）=|AT|2﹣|TH|2=（|AQ|2﹣|QT|2）﹣（|HQ|2﹣|QT|2）=|AQ|2﹣|HQ|2=+﹣=6m+18；由于m∈（﹣3，3），|AH|•|AG|∈（0，36），即|AH|•|AG|的取值范围是（0，36）．。

洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高一数学答案

… …７分
∴ ∠犅犉犈即为二面角犅－犃犆－犈的平面角．
… …８分
设犃犅＝犅犆＝犪，则犃犆＝犃犇＝犆犇＝犅犇＝槡２犪
∴ 犅犉＝槡２２犪，犇犉＝槡２６犪，
在 △犅犉犇中，犅犇２＝犅犉２＋犇犉２， ∴ 犅犉 ⊥ 犇犉，即 △犅犉犇是直角三角形．
… …１０分
… …１１分 … …１２分
… …２分 … …３分
高一数学答案第２页（共４页）（２０２０．１）
设狓１＜狓２，则
犳（狓１）－犳（狓２）＝
１－犲狓１１＋犲狓１
－１１－＋犲犲狓狓２２
＝
（１－犲狓１）（１＋犲狓２）－（１－犲狓２）（１＋犲狓１）（１＋犲狓１）（１＋犲狓２）
… …２分
又犇犈 ∩ 犅犉＝犉，犇犉平面犅犉犇，犅犉犆平面犅犉犇，
∴ 犃犆 ⊥ 平面犅犉犇，
… …４分
又 ∵ 犅犇平面犅犉犇，
∴ 犃犆 ⊥ 犅犇．
… …５分
（２）连接犉犈， ∵ 犃犆 ⊥ 平面犅犉犇，犅犉平面犅犉犇，犉犈平面犅犉犇．
∴ 犃犆 ⊥ 犅犉，犃犆 ⊥ 犉犈，
… …３分
… …６分
狋
０
５
１０
１５
２０
犘１／万元
２０
３０
４０
５０
６０
犘２／万元
２０
２０槡２
４０
４０槡２
８０
… …８分
高一数学答案第１页（共４页）（２０２０．１）
… …１０分
房价按函数犘１＝犳（狋）呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按

2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(文科)

2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数y=2cos2x−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数2.为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：(1)在该校中随机抽取名学生，并编号；(2)在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；(3)请下列两类学生举手：(ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生；(ⅰ)摸到红球且不喜欢数学课的学生．如果总共有名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是()A. B. C. D.3.若函数f(x)=log a(x−2)(a>0,a≠1)恒过定点A，函数g(x)=a x−2(a>0,a≠1)恒过定点B，则A，B两点关于()A. y=x对称B. y=x−2对称C. y=−x对称D. y=−x−2对称4.设α，β表示两个不同平面，l，m表示两条不同的直线，则下列命题正确的是()A. 若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥βB. 若l⊥α，m//β，α⊥β，则l⊥mC. 若l//m，l⊂α，m⊥β，则α//βD. 若l⊥α，m⊥β，α//β，则l//m5.在区间[−2,3]上任取一个数a，则函数f(x)=x2−2ax+a+2有零点的概率为()A. 13B. 12C. 35D. 256.如图是某市歌手大奖赛中评委组为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和标准差分别为()A. 84，√1.6B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，√1.6 7.设 a =sin46°，b =cos46°，c =tan46°.则( )A. c >a >bB. a >b >cC. b >c >aD. c >b >a8.在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a⃗ +23b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 13a⃗ −23b ⃗ D. 23a⃗ −13b ⃗ 9. 执行完如图的程序框图后，S 与i 应满足的关系为( )A. S =3i −2B. S =7(i −2)C. S =8i −1D. S =9(i +2)10. 若圆关于直线和直线都对称，则的值为( ) A.B.C.D.11. 已知球面上有四点P ，A ，B ，C ，满足PA ，PB ，PC 两两垂直，PA =3，PB =4，PC =5，则该球的表面积是( )A.B.C.D.12. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 在△ABC 内及边界上，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( )A. √3B. 2√3C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知sin(α+β)=23，sin(α−β)=15，则tanαtanβ=______．14. 函数y =1x 的定义域是______ ，值域是______ ．15. 已知圆C ：x 2+y 2=12，直线l ：4x +3y =25，圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2的概率为______．16. 已知函数f(x)={3−x ,x ≤0√x,x >0，若函数g(x)=f(x)−x −k 有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知向量a ⃗ =(1,2)，向量b ⃗ =(−3,2)．(Ⅰ)若向量a ⃗ +k b ⃗ 与向量a ⃗ −3b ⃗ 垂直，求实数k 的值；(Ⅱ)当k 为何值时，向量a ⃗ +k b ⃗ 与向量a ⃗ −3b ⃗ 平行？并说明它们是同向还是反向．18. 寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”．(1)求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望．19. 已知函数g(x)=log 2(2x −1)，f(x)=log 2(x +2) (1)求不等式g(x)≥f(x)的解集；(2)在(1)的条件下求函数y =g(x)+f(x)的值域．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD//BC ，AC ⊥BD(Ⅰ)证明：BD ⊥PC(Ⅱ)若AD =6，BC =2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P −ABCD 的体积．21. 已知函数f(x)=(sin2x +cos2x)2−2sin 22x ． (Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象向右平移π8个单位长度得到的，当x ∈[0,π4]时，求y =g(x)的最大值和最小值．22. 已知点P 在圆O ：x 2+y 2=4上运动，PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，点A 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求点A 的轨迹E 的方程；(2)过点(0,32)的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，记△OMN 的面积为S ，求S 的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵y=2cos2x−1=cos2x，可知为偶函数，由周期公式可得，T=2πω=2π2=π，∴函数y=2cos2x−1是以π为最小正周期的偶函数．故选B．由y=2cos2x−1=cos2x，可判断函数的奇偶性，由周期公式可得，T=2πω可求周期．本题主要考查了三角函数的二倍角公式，函数的奇偶性及函数的周期公式的应用，属于基础性试题．2.答案：B解析：【试题解析】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先分别计算号数为偶数的概率、摸到白球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到白球且号数位偶数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得结论．解：由题意，号数为偶数的概率为12，摸到白球的概率为22+3=0.4，摸到红球的概率为1−0.4=0.6，那么按概率计算摸到白球且号数位偶数的学生有100×12×0.4=20个，一共有26学生举手，则有6个摸到红球且不喜欢数学课的学生，除以摸红球的概率就是不喜欢数学课的学生6÷0.6=10，那么喜欢数学课的有90个，即90÷100=90%，故选B．3.答案：B解析：解：由x−2=1得x=3，此时f(3)=log a1=0，即函数f(x)恒过定点A(3,0)，由x−2=0得x=2，此时f(2)=a0=1，即函数g(x)恒过定点B(2,1)，A，B的中点坐标为(52,12 )，AB的斜率k=1−02−3=−1，则与AB垂直的直线的斜率k=1，则A，B两点中垂线方程为y−12=x−52，即y=x−2，则A，B两点关于y=x−2对称，故选：B根据对数函数和指数函数过定点的性质，分别求出A，B的坐标，求出A，B的中垂线即可求出对应的对称轴方程．本题主要考查点的对称直线的求解，根据对数函数和指数函数过定点的性质，分别求出A，B的坐标是解决本题的关键．4.答案：D解析：⇒m⊥α，又l⊥α，得l//m．5.答案：D解析：解：若f(x)=x2−2ax+a+2=(x−a)2−a2+a+2没有零点，则−a2+a+2>0，解得−1<a<2，则函数y=f(x)有零点的概率P=1−2−(−1)3−(−2)=25，故选：D．找出函数f(x)有零点时对应的区域长度的大小，再将其与a∈[−2,3]，表示的长度大小代入几何概型的计算公式进行解答．本题主要考查了几何概型、二次函数的性质．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．6.答案：D解析：解：由已知的茎叶图可得七位评委为某参赛选手打出的分数为：79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数为(84+84+86+84+87)5=85，所以方差S2=15[(84−85)2+(84−85)2+(86−85)2+(84−85)2+(87−85)2]=1.6，标准差S=√1.6故选D由已知中的茎叶图，我们可以得到七位评委为某参赛选手打出的分数，及去掉一个最高分和一个最低分后的数据，代入平均数公式及方差公式，即可得到所剩数据的平均数和方差．本题考查的知识点是茎叶图，平均法及方差，其中根据已知的茎叶图分析出七位评委为某参赛选手打出的分数，是解答本题的关键．7.答案：A解析：本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调性和值域，属于基础题．由条件利用诱导公式、正弦函数的单调性和值域，得出结论．解：由a =sin46°，b =cos46°=sin44°，c =tan46°>tan45°=1，而y =sinx 在(0,π2)上是增函数且函数值小于1，可得c >a >b ，故选：A ．8.答案：A解析：解：∵DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +23b ⃗ ．故选：A ．由D 在边AB 上，且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后将CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示即可得解．本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理，属基础题．9.答案：B解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ，i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得 i =1，S =3 i =3，S =7 i =5，S =15 i =7，S =31 i =9，S =63此时满足判断框内的条件，退出循环，输出S ，i 的值为63，11，可得：S 与i 应满足的关系为S =7(i −2)．故选：B ．10.答案：D解析：试题分析：由圆的方程可得圆心的坐标为，又圆关于直线对称，所以直线都经过圆的圆心，所以，解得，所以，故选D ．考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系．11.答案：C解析：试题分析：由PA ，PB ，PC 两两垂直知，以PA ，PB ，PC 为棱的长方体的外接球就是题目中的球，根据长方体的性质可知，∴该球的表面积是，故选C考点：本题考查了空间几何体与球组合体的性质点评：掌握常见几何体的外接球的半径公式及球的体积、表面积公式是解决此类问题的关键12.答案：B解析：解：如图所示， A(0,√3)，B(−1,0)．设P(x,y)，(−1≤x ≤1,0≤y ≤√3)．PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,√3−y)+(−1−x,−y)=(−2x −1,√3−2y)． ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2x +1)2+(2y −√3)2=2+12)−√32)≤2√3，当且仅当x =1，y =0时取等号． ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为2√3．故选：B ．如图所示，A(0,√3)，B(−1,0).设P(x,y)，(−1≤x ≤1,0≤y ≤√3)．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2x −1,√3−2y).可得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2x +1)2+(2y −√3)2=2√(x +12)2+(y −√32)2，即可得出．本题考查了向量的坐标运算、模的计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合的能力，属于中档题．13.答案：137解析：解：由已知可得：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23①sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=15②由①②得，sinαcosβ=1330，cosαsinβ=730∴tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137故答案为：137．根据两角和与差的三角函数，分别求出sinαcosβ，cosαsinβ的值，进而求得tanαtanβ．本题考查了三角函数的和与差公式应用，考查计算能力，常考题型，属于基础题型．14.答案：{x|x ≠0}；{y|y ≠0}解析：解：由分式函数的性质可知，函数的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}，故答案为：{x|x ≠0}；{y|y ≠0}，根据函数成立的条件，结合分数函数的图象和性质即可得到结论．本题主要考查函数的定义域和值域的求解，比较基础．15.答案：16解析：解：由题意知圆x 2+y 2=12的圆心是(0,0)，圆心到直线的距离是d =|25|√32+42=255=5，由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l 的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l 与一点，根据上一问可知圆心到直线的距离是5，在这条垂直于直线l 的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长BC 对应的圆心角是60° 根据几何概型的概率公式得到P =60°360∘=16 故答案为：16根据几何概型，求出圆心到直线的距离，利用几何概型的概率公式分别求出对应的测度即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，利用条件确定圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2对应区域是解决本题的关键．16.答案：(0,14)解析：解：函数g(x)=f(x)−x −k 有且仅有两个零点， ∴y =f(x)与y =x +k 的图象的图象有且仅有两个交点，分别画出y =f(x)与y =x +k 的图象的图象，如图所示当b =0时，有一个交点，是一个临界值，当直线y =x +k 与f(x)=√x 相切时， ∴f′(x)=12x −12=1；∴x =14， ∴f(14)=12，故切点为(14,12)；故b =12−14=14；结合图象可得，k ∈(0,14) 故答案为：(0,14).由题意可转化为函数f(x)=与函数y =x +k 的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可．本题考查了导数的应用，函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用等，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12，由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23，两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。

2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)

2019-2020学年河南省洛阳市高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．直线3x﹣y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．135°2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）＝lnx+，则f（x）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，2]C．（0，4]D．（0，2]4．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β5．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．6．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图，根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A．甲＜乙，S甲2＞S乙2B．甲＞乙，S甲2＜S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙27．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．489．已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4010．已知体积为4的三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，则球O的表面积是（）A．16πB．32πC．64πD．72π11．若向量的模均为1，且＝0，则|3|的最大值为（）A．5+2B．3C．5D．712．已知函数，当时，时，则ω的值最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且，则tanα＝．14．若直线x﹣3y+9＝0被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为r，则r＝．15．已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则等于．16．已知f（x）＝e x﹣1﹣e1﹣x+x，则不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2的解集是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，求的值．（2）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，求x1+x2的值．18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[105，115）中的概率．19．已知△P1P2P3三个顶点的坐标分别为P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cosγ，sinγ），且++＝（O为坐标原点）．（1）求∠P1OP2的大小；（2）试判断△P1P2P3的形状．20．已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E，F分別为AD，BC的中点，现将矩形ABCD 沿EF折起，使二面角D'﹣EF﹣B为60°．（1）求证：EF⊥AD'；（2）求AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值．21．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求函数的值域．22．已知动点M到两定点A（1，1），B（2，2）的距离之比为．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l：2x+y﹣6＝0夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．直线3x﹣y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．135°解：直线3x﹣y+1＝0的斜率为k＝＝，∴tanα＝，∴倾斜角是60°．故选：B．2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A．B．C．D．解：某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，甲同学先抽，基本事件总数n＝10，他抽到的出场序号小于4包含的基本事件个数m＝3，则他抽到的出场序号小于4的概率为p＝．故选：D．3．已知函数f（x）＝lnx+，则f（x）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，2]C．（0，4]D．（0，2]解：由，得0＜x≤4．∴函数f（x）的定义域为（0，4]．故选：C．4．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确；选项C，a⊂α，b⊂β，a∥b，α与β可能相交，故不正确；选项D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β相交，所以D不正确；故选：A．5．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为．故选：A．6．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图，根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A．甲＜乙，S甲2＞S乙2B．甲＞乙，S甲2＜S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙2解：由茎叶图可得甲小组中的20个数据分别为：45，49，51，58，61，63，71，73，76，76，77，77，77，80，82，83，86，86，90，93．＝（45+49+51+58+61+63+71+73+76+76+77+77+77+80+82+83+86+86+90+93）＝72.7．由茎叶图可得乙小组中的20个数据分别为：53，63，66，71，72，74，75，75，75，77，78，78，78，79，81，84，85，86，93，94．（53+63+66+71+72+74+75+75+75+77+78+78+78+79+81+84+85+86+93+94）＝76.85．则甲＜乙，再由茎叶图可知，甲小组的数据比较分散，乙小组的数据集中在茎7上，相对集中，故＞．故选：A．7．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c解：因为正弦在（0°，90°）上单调递增；且sinα＜tanα；又a＝sin33°，b＝cos55°＝sin（90°﹣35°）＝sin35°，c＝tan35°，∴sin33°＜sin35°＜tan35°；即a＜b＜c；故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．48解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．9．已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40解：设△OMN的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得，解得．∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD|＝2＝4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|•|BD|＝×10×4＝20．故选：B．10．已知体积为4的三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，则球O的表面积是（）A．16πB．32πC．64πD．72π解：∵AB＝6，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴V O﹣ABC＝S△ABC•OD＝××6×2×OD＝4．∴OD＝2，∵OD＝＝＝2，解得OA＝4，即球O的半径为4，∴O的表面积是4π×42＝64π．故选：C．11．若向量的模均为1，且＝0，则|3|的最大值为（）A．5+2B．3C．5D．7解：∵，∴，且的模均为1，∴设，∴，∴＝＝，其中，∴sin（θ+φ）＝﹣1时，取得最大值7．故选：D．12．已知函数，当时，时，则ω的值最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：因为x∈[0，]，f（x）＝sin（ωx﹣）最大值为，又因为f（x）＝sin（ωx﹣）的最大值小于等于1，所以≤1，即0＜ω≤3，题中已知ω＞0且为正实数，所以ω的可能值为1，2，3，当x∈[0，]时，ωx﹣∈[﹣，﹣]，若﹣≥，即ω≥时，函数f（x）＝sin（ωx﹣）最大值为1，则＝1，即ω＝3，满足题意，若﹣＜，即0＜ω＜时，函数f（x）＝sin（ωx﹣）在[0，]上单调递增，当x＝时，函数f（x）有最大值，此时有＝sin（﹣），满足此方程的正实数ω最多有一个．故ω的值有两个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且，则tanα＝﹣．解：∵，∴sinα＝﹣，∵，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝﹣．故答案为：﹣．14．若直线x﹣3y+9＝0被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为r，则r＝2．解：因为直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为，因为圆心（2，3）到直线的距离d＝＝1，所以r2＝（）2+1，所以r＝2．故答案为：2．15．已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则等于3．解：∵||＝1，||＝，＝0，⊥＝＝＝|OC|×1×cos30°＝＝1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵＝m+n＝n+m∴，两式相比可得：＝3．故答案为：316．已知f（x）＝e x﹣1﹣e1﹣x+x，则不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2的解集是[2，+∞）．解：构造函数，那么g（x）是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，h（x）的定义域为R，且，所以h（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以g（x）图象关于（1，0）对称．不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2 等价于f（x）﹣1+f（6﹣3x）﹣1≤0，等价于g（x）+g（6﹣3x）≤0⇒g（x）≤g[2﹣（6﹣3x）]＝g（3x﹣4）结合g（x）单调递增可知，x≤3x﹣4⇒x≥2，所以不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2 的解集是[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，求的值．（2）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，求x1+x2的值．解：（1）由2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy得，lg（x﹣2y）2＝lg（xy），∴（x﹣2y）2＝xy，∴x2﹣5xy+4y2＝0，∴（x﹣y）（x﹣4y）＝0，∴或4；（2）根据题意，2x1+lnx1＝3，ln（1﹣x2）﹣2x2＝1，令1﹣x2＝t，则2t+lnt＝3，∵f（x）＝2x+lnx在（0，+∞）上单调递增，∴t＝x1，∴x1+x2＝1．18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[105，115）中的概率．【解答】（本大题12分）解：（1）由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：＝123.6……………………………………………………………………（2）由频率分布直方图得分数低于115分的同学有（10×0.004+10×0.02）×50＝12人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[95，105）有1人，用a表示，分数在[105，115）中的有5人，用b1，b2，b3，b4，b5表示，则基本事件有（a，b1），（a，b2），（a，b3），（a，b4），（a，b5），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共15个，满足条件的基本事件为（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共10个，所以这两名同学分数均在[105，115）中的概率为：．………………………………………………………………19．已知△P1P2P3三个顶点的坐标分别为P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cosγ，sinγ），且++＝（O为坐标原点）．（1）求∠P1OP2的大小；（2）试判断△P1P2P3的形状．解：（1）由题意可得||＝||＝||＝1，∵+＝﹣，∴（+）2＝2，∴2+2•+2＝2，∴2•＝﹣1，即•＝﹣，∴cos∠P1OP2＝＝﹣，∵∠P1OP2∈（0，π），∴∠P1OP2＝．（2）∵＝﹣，∴||＝＝＝，同理可得，||＝||＝，∴△P1P2P3的形状为等边三角形．20．已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E，F分別为AD，BC的中点，现将矩形ABCD 沿EF折起，使二面角D'﹣EF﹣B为60°．（1）求证：EF⊥AD'；（2）求AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值．解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴EF⊥AE，EF⊥D′E，又∵AE∩D′E＝E，∴EF⊥平面AD′E，∵AD′⊂平面AD′E，∴EF⊥AD'．（2）解：取D′E的中点H，连结AH，HC′，由EF⊥平面AD′E可知：AE⊥EF，D′E⊥EF，∴∠D′EA是二面角D′﹣EF﹣B的平面角，∴∠D′EA＝60°，∵AE＝D′E＝1，∴△AD′E是等边三角形，∴AH⊥D’E，由（1）知平面EFC′D⊥平面AD′E，且平面EFC′D′∩平面AD′E＝ED′，∴AH⊥平面EFC′D′，∴∠AC′H为AC′与平面EFC′D′所成角，在Rt△AC′H中，AH＝，AC′＝，∴sin∠AC′H＝＝＝，∴AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值为．21．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求函数的值域．解：（1）由图象知T＝﹣＝，得周期T＝2π，即＝2π，得ω＝1，∵0＜φ＜，∴由五点对应法得×1+φ＝，得φ＝，即f（x）＝A sin（x+），∵f（0）＝A sin＝A＝2，得A＝4，则f（x）＝4sin（x+），将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝4sin （2x+），再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，即g（x）＝4sin[2（x+）+]＝4sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，即g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．（2）＝4sin（2x+）﹣4sin（2x+）＝4（sin2x cos+cos2x sin）﹣4cos2x＝2sin2x﹣2cos2x＝4sin（2x﹣），∵x∈[﹣，]时，∴2x﹣∈[﹣，﹣]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，4sin（2x﹣）∈[﹣4，2]，∴y∈[﹣4，2]，即函数的值域为[﹣4，2]．22．已知动点M到两定点A（1，1），B（2，2）的距离之比为．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l：2x+y﹣6＝0夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值和最小值．解：（1）设M（x，y），由题意知，化简得2（x﹣1）2+2（y﹣1）2＝（x﹣2）2+（y﹣2）2，∴x2+y2＝4，即动点M的轨迹C的方程为x2+y2＝4．（2）记圆C上任意一点P到直线l的距离为d，因为直线PQ与直线l夹角为30°，所以|PQ|＝2d，因为圆心C（0，0）到直线l的距离为，且圆C的半径为2，，即直线l与圆相离，∴，∴．。

2023-2024学年河南省洛阳市宜阳第一高级中学清北园研学班高一(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年河南省洛阳市宜阳第一高级中学清北园研学班高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.可化为()A. B.C. D.2.已知，，，则的值是()A.B.C.24D.3.已知函数的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是()A.B.C.D.4.已知函数，则()A.B. C.0D.5.下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. B.C.D.6.已知，则a ，b ，c 的大小关系是()A.B.C.D.7.若正数x ，y 满足，则的最小值为()A. B. C.12D.168.已知和分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且，则()A.B.C.1D.2二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题是真命题的是()A.若，则B.若，且，则C.若，则D.若，，则10.函数，对于任意，，当时，都有成立的必要不充分条件是()A. B. C. D.11.下列命题中正确的是()A.“”是“”的充分不必要条件B.方程有一正一负根充要条件是“”C.“幂函数为反比例函数”的充要条件是“”D.“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”12.下列命题正确的是()A.的定义域为，则的定义域为B.函数的值域为C.函数的值域为D.函数的单调增区间为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合，，则______.14.若函数的单调递增区间为且函数的单调递减区间为则实数______.15.若a，，且，则ab的最小值是______.16.已知定义在R上的奇函数与偶函数满足，若恒成立，则实数m的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分计算：；若，求下列式子的值：①；②18.本小题12分已知函数是奇函数.求的定义域及实数a的值；用单调性定义判定的单调性.19.本小题12分已知指数函数在其定义域内单调递增.求函数的解析式；设函数，当时，求函数的值域.20.本小题12分已知函数判断函数的奇偶性，并说明理由；解不等式21.本小题12分已知函数是定义在R的偶函数，当时，请画出函数图像，并求的解析式；，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式不需要写解答过程，并求的最小值.22.本小题12分2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.求2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.答案和解析1.【答案】A【解析】解：故选：将根式化为有理数指数幂的形式，即可得答案．本题主要考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，，，，所以，，所以故选：根据指数幂的运算求出a、b的值，再代入计算可得．本题考查指数幂的运算，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．根据函数的图象过定点，可得函数的图象经过的定点P的坐标．【解答】解：由于函数的图象过定点，当时，，故函数的图象恒过定点，故选：4.【答案】A【解析】解：函数，所以故选：利用给定的函数关系，依次代入计算即得．本题主要考查函数值的求解，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由基本初等函数的性质可知，在R上单调递减，A错误；在，上单调递增，但在定义域内不是增函数，B错误；，所以不是奇函数，C错误；由，可知在定义域内是奇函数，又，在上是增函数，在上单调递增，且在R上连续不断，故在定义域内既是奇函数又是增函数，D正确．故选：由奇函数和增函数的性质一一分析即可．本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，设，则在单调递增，所以，设，则在单调递增，所以，因为，，所以，综合可得：故选：设，由指数函数的性质可得，再设，利用中间值“1”比较可得，综合可得答案．本题考查函数单调性的性质和应用，涉及幂函数、指数函数的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由已知可得，，，两边同除xy得，所以当且仅当时等号成立．故选：利用乘“1”法即可得到答案．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：因为，令，可得，又因为和分别是定义在R上的奇函数和偶函数，可得，所以故选：令，可得，结合奇偶性的定义分析求解．本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．9.【答案】CD【解析】解：当，时，A，B显然错误；若，则，则，C正确；若，，则，D正确．故选：举出反例检验选项A，B，结合比较法检验选项C，结合不等式性质检验选项本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：由题意可得函数在R上单调递减，可得解得，所以不等式成立的充要条件为，则它的必要不充分为AD，故选：由题意可得不等式成立的充要条件，进而选出必要不充分条件．本题考查充要条件，必要不充分条件的求法，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A，由可得，故充分性成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件，故A错误．对于B，方程的有一正一负根，设为，，则，解得，满足充分性，当时，，，则方程有一正一负根，满足必要性，所以方程有一正一负根充要条件是“”，故B正确．对于C，若幂函数为反比例函数，则，解得，满足充分性，当时，函数为幂函数，也为反比例函数，满足必要性，所以“幂函数为反比例函数”的充要条件是“”，故C正确．对于D：若函数在区间上不单调，则，所以“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”，故D正确．故选：由题意，根据集合间的关系可判断A；由一元二次方程根的分布结合韦达定理判断B；根据幂函数的性质及反比例函数的定义即可判断C；根据二次函数的单调性即可判断本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，命题真假的判断，属于基础题．12.【答案】AB【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数定义域、值域的求解，函数单调性的判断，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．利用复合函数的定义域判断选项A，利用换元法以及二次函数的性质判断选项B，由基本不等式成立的条件，即可判断选项C，利用函数单调区间的表示形式，即可判断选项【解答】解：对于A，函数的定义域为，所以，解得，所以的定义域为，故选项A正确；对于B，函数，令，则，所以，则函数的值域为故选项B正确；对于C，函数，但是等号取不到，故选项C错误；对于D，函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，，故选项D错误．故选：13.【答案】【解析】解：由，即，解得，所以，又，所以，所以故答案为：首先解一元二次不等式求出集合A，根据二次函数的性质求出集合B，最后根据交集的定义计算可得．本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了集合交集运算，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：由函数的单调递增区间为得令，函数是定义域内的减函数，要使函数的单调递减区间为则的对称轴方程，即故答案为：由函数的单调递增区间为求解a值，再由函数的单调递减区间为列式求得m值．本题考查复合函数的单调性及其求法，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】9【解析】解：由于a，，则，即，于是，，当且仅当取等号，故ab的最小值是故答案为：由基本不等式，根据条件可得关于ab的不等式，解之即可．本题考查基本不等式求最值的基本应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为是奇函数，所以，是偶函数，所以因为，所以，所以，所以，所以，对恒成立，又因为恒成立，所以恒成立，令，则在上单调递增，所以所以，根据基本不等式解，得，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以实数m的取值范围是故答案为：先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为对恒成立，令，由单调性得出t的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数m的取值范围．本题考查了函数的奇偶性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．17.【答案】解：；若，①，故；②，又，故【解析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解；①先对所求式子进行平方，即可求解；②先对所求式子进行平方，结合即可求解．本题主要考查了指数运算性质的应用，属于基础题．18.【答案】解：由，得，所以的定义域为，因为是奇函数，则，即，即，所以，则，所以；，，，，由，得，，，则，即，所以在上单调递减，同理在上单调递减．【解析】根据分母不等于零即可求出函数的定义域，根据函数为奇函数可得，进而可求出a；利用作差法判断即可．本题考查函数的奇偶性相关知识，属于中档题．19.【答案】解：是指数函数，，解得或，又在其定义域内单调递增，所以，；，，，令，，，，，，的值域为【解析】根据指数函数定义和单调性可解；令，利用二次函数的单调性求解可得．本题主要考查函数的性质，属于基础题．20.【答案】解：的定义域为R，且，所以为奇函数；由于为单调递增函数，故均为单调递减函数，因此为定义域内的单调递减函数，因此在R上是奇函数且是减函数，由不等式得；所以，即得或【解析】根据函数奇偶性的定义即可求解，根据函数的单调性以及奇偶性即可求解．本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．21.【答案】解：根据函数的奇偶性，结合题意，画出函数的图像，如图所示：设，则，则，又函数是定义在R的偶函数，所以，则；函数的图像，如图所示．因为，当时，令，解得，则当时，，当时，令，解得，则当时，，所以，画出函数的图像，如图所示，结合图像可知，当时，【解析】本题考查了函数的图像与性质应用问题，是基础题．根据题意，由函数的奇偶性可得时，解析式，然后画出函数图像即可；根据题意，由的定义可得其函数解析式，画出其函数图像，结合图像即可得到其最小值．22.【答案】解：由题意知，利润收入-总成本，所以利润；所以2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系为：；当时，，所以当时，年利润的最大值为；当号，，当且仅当，即时取得等号；综上，当产量为百辆时，年利润取得最大，最大利润为4400万元．【解析】根据年利润=销售额-投入成本-固定成本，分和写出与x的分段函数关系式；分别求出时和时的最大值，比较即可得出答案．本题考查了函数与基本不等式的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．。

河南省洛阳市(新版)2024高考数学人教版质量检测(预测卷)完整试卷

河南省洛阳市（新版）2024高考数学人教版质量检测(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于M ，N 两点，若M ，N 两点到直线的距离之和等于11，则这样的直线（）A ．不存在B ．有且仅有一条C ．有且仅有两条D ．有无穷多条第(3)题如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念．何尊的形状可近似看作是由上部分圆台和下部分圆柱的组合体，组合体的高约为40cm ，上口直径约为28cm ，圆柱的底面直径约为18cm ．取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为1296cm 2，则该组合体上部分圆台的体积约为（）A ．6448cm 3B ．6548cm 3C ．5548cm 3D ．5448cm 3第(4)题甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A ．甲更合算B ．乙更合算C ．甲乙同样合算D ．无法判断谁更合算第(5)题已知，则（）A．B．C．D．第(6)题在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为．则（）A ．2B．C ．－2D．第(7)题已知，，则（）A．B．C．D．第(8)题设，则“且”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，，则（）A．函数在上的最大值为3B．，C．函数在上没有零点D．函数的极值点有2个第(2)题如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（）A．点的坐标为，5，B．点关于点对称的点为，8，C．点关于直线对称的点为，5，D．点关于平面对称的点为，5，第(3)题甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中正确的是（）A．事件，，是两两互斥的事件B．事件与事件为相互独立事件C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设双曲线C：的右焦点为，直线：与双曲线交于，两点.若，则实数的取值范围为___________.第(2)题已知复数为虚数单位，则_________.第(3)题已知函数为奇函数，则_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.第(2)题已知函数.(1)求函数在区间上的最小值；(2)不等式对于恒成立，求实数a的取值范围.第(3)题某企业招聘，一共有名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在内，按照，，…，分组，得到如下频率分布直方图：(1)求图中的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）(3)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取人，估计应该把录取的分数线定为多少.第(4)题已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，证明：在上单调递增；(3)判断与的大小关系，并加以证明．第(5)题为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村城市总计从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.(1)补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望.附：.。

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2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期质量检测（期末）
数学（理）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。

第I卷1至2页. 第II卷3至4页。

考试时间120分钟.
第I卷(选择题，共60分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2. 考试结束，将答题卡交回.
―、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线3x - + 1 = 0的倾斜角是
A. 30°
B.60°
C. 120°
D. 135°
2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场
顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为
A. B. C. D.
3. 已知函数f(x) = lnx+，则f(x)的定义域为
A. (0,1)
B. (1,2]
C.(0,4]
D. (0.2]
4. 已知直线a,b与平面下列条件中能推出//的是
A. a丄，且a丄
B. 丄，且丄
C. a，b
D. a b a// b//
5. 在区间[一1，1]上随机地取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为
A. B. C. D.
6. 某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗
赛，满分100分，每组20人参加,成绩统
计如图：
根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均
成绩及方差大小
A. B.
C. D.
7. 已知a = sin33°，b = cos55°，c = tan35°,则a，b，c，的大小关系是
A. a < b < c.
B. a < c< b
C. b <a < c
D. b < c <a
8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边
形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积，
并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确
到小数点后两位的近似值3. 14.这就是著名的“徽率”，如
图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.则输出"的值为
(参考数据：1. 732，sin15° 0. 2588，
sin75° 0. 1305 )
A. 12
B.24
C. 36
D. 48
9. 已知的ΔOMN三个顶点为O(0,0)，M(6,0),N(8,4)过点（3,5)作其外接圆的弦，若最长弦
与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为
A. 10
B. 20
C.30
D.40
10. 已知体积为4的三棱锥O—ABC的顶点A,B,C都在球O的表面上，且AB = 6，BC = 2，
AC = 4，则球O的表面积是
A.16
B. 32
C.64
D.72
11. 若向量的模均为1，且= 0,则| 3丨的最大值为
A. 5 + 2
B. 3
C.5
D.7
12. 已知函数，当时，时，则的
值最多有
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知,且，则= .
14. 若直线被圆截得的弦长为，则=
15. 已知=1，,点C在∠AOB 内，且∠AOC = 30。

，
若= m + n ( m, n)，则等于 .
16. 已知，则不等式的解集是 .
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分）
(1)已知2，求的值.
(2)设满足，满足求的值_____.
18. (本小题满分12分）
已知某校高一（1)班数学老师根据本班50名同学的月考数学成
绩，绘制频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；(2)
用分层抽样的方法从成绩低于115分的同学中抽取6名作问卷
调查，再在抽取的这6名同学中任选2名谈话.求这两名同学数
学成绩均在[105，115)中的概率.
19. (本小题满分12分）
已知Δ三个顶点的坐标分别为，
且+ + = ( O 为坐标原点）.
(1) 求∠的大小；
(2) 试判断Δ的形状.
20. (本小题满分12分）
已知矩形ABCD中,AD = 2AB=2，E,F分別为AD，BC的
中点,现将矩形ABCD沿EF折起，使二面角D' -EF - B 为
60°.
(1) 求证EF丄AD';
(2) 求AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值.
21. (本小题满分12分）
已知函数的部分图象如图所示.
(1) 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短
为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度.得到
函数的图象，求的单调递增区间；
(2) 当[-，]时,求函数），的值域。

22. (本小题满分12分）
已知动点M到两定点A (1，1),B (2,2)的距离之比为.
(1) 求动点M的轨迹C的方程；
(2) 过曲线C上任意一点P作与直线夹角为30°的直线，
交于点Q，求|PQ|的最大值和最小值.
洛阳市2019——2020学年高一质量检测
数学试卷参考答案（理）
一、选择题
1一5 BDCAD 6—10AABBC 11-12 DC
二、填空题
13. - 14. 2 15. 3 16. [2, +)
1。