求几何体体积的常用方法总结精品PPT课件
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立体几何简单几何体的表面积和体积PPT课件
• (1)证明：EF∥平面PAD； • (2)求三棱锥E－ABC的体积V.
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• 分析：(1)由E、F为中点易想到中位线获证． • (2)求三棱锥E－ABC的体积，由于△ABC面积易求，需看E到平面ABC的距
离 是 否 可 求 ， 注 意 到 E 为 P B 中 点 ， PA ⊥ 平 面 A B C D ， 因 此 只 需 取 A B 中 点 G ， 则EG为高，或由E为PB中点知，E到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距 离 的 一 半 ． 而 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 PA ， 也 可 获 解 ． • 解析：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， • ∴EF∥BC. • 又BC∥AD，∴EF∥AD， • 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， • ∴EF∥平面PAD.
(3)如果正棱台的上、下底面的周长是 c′、c，斜高是 h′，那么它的侧面积是 S 正棱台侧＝12(c＋c′)h′
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• (4)棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱锥的全面积等于底面积与侧 面积的和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和．
• 5．祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱体(或锥体)体积相等． • 6．柱体体积V柱＝Sh.特殊地，圆柱体积V＝πr2h.
• 答案：B • 点评：不要将左视图的面积与三棱柱一个侧面的面积混淆.
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• [例2] (2010·陕西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA ⊥ 平 面 A B C D ， A P ＝ A B ， B P ＝ B C ＝ 2 ， E ， F 分 别 是 P B ， P C 的 中 点 ．
答案：C
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(理)(2010·北京西城抽样)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面 ABC，其 正(主)视图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧(左)视图
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• 分析：(1)由E、F为中点易想到中位线获证． • (2)求三棱锥E－ABC的体积，由于△ABC面积易求，需看E到平面ABC的距
离 是 否 可 求 ， 注 意 到 E 为 P B 中 点 ， PA ⊥ 平 面 A B C D ， 因 此 只 需 取 A B 中 点 G ， 则EG为高，或由E为PB中点知，E到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距 离 的 一 半 ． 而 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 PA ， 也 可 获 解 ． • 解析：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， • ∴EF∥BC. • 又BC∥AD，∴EF∥AD， • 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， • ∴EF∥平面PAD.
(3)如果正棱台的上、下底面的周长是 c′、c，斜高是 h′，那么它的侧面积是 S 正棱台侧＝12(c＋c′)h′
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• (4)棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱锥的全面积等于底面积与侧 面积的和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和．
• 5．祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱体(或锥体)体积相等． • 6．柱体体积V柱＝Sh.特殊地，圆柱体积V＝πr2h.
• 答案：B • 点评：不要将左视图的面积与三棱柱一个侧面的面积混淆.
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• [例2] (2010·陕西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA ⊥ 平 面 A B C D ， A P ＝ A B ， B P ＝ B C ＝ 2 ， E ， F 分 别 是 P B ， P C 的 中 点 ．
答案：C
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(理)(2010·北京西城抽样)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面 ABC，其 正(主)视图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧(左)视图
空间几何体的体积课件(共26张PPT)
解 因此剩余部分的体积是
5 V V1 6 V ,
所以棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为1:5. 想一想
如图7-52所示，三棱锥C-A'DD'的体积是三棱柱 B'CC'-A'DD'的体积的几分之几？三棱柱 B'CC'-A'DD '的体积是长方体ABCD-A'B'C'D'的体积的几分之几？
解则
V 122 2 4 2 .
3
3即该Leabharlann 锥的体积是 4 2 .3活动 3 巩固练习，提升素养
运用祖暅原理我们还能得出这样一个结论：一个 底面半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一个以上底面为 底面、下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体 积与一个半径为 R 的半球的体积相等. 试一试
运用祖暅原理推导球体体积公式？
式V柱体=Sh，可得底面积为S、高为h的锥体（棱锥、圆锥） 的体积计算公式：
V锥体
1 3
Sh.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例2 已知正四棱锥S-ABCD的棱长都是2，求该棱 锥的体积．
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 3 巩固练习，提升素养
解 将该长方体看成四棱柱ADD'A'-BCC'B'，设它的
底面ADD'A'的面积为S，高为h,则它的体积
V=Sh.
棱锥C-A'DD'的底面积为 1 S，高为h，因此棱锥C-
5 V V1 6 V ,
所以棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为1:5. 想一想
如图7-52所示，三棱锥C-A'DD'的体积是三棱柱 B'CC'-A'DD'的体积的几分之几？三棱柱 B'CC'-A'DD '的体积是长方体ABCD-A'B'C'D'的体积的几分之几？
解则
V 122 2 4 2 .
3
3即该Leabharlann 锥的体积是 4 2 .3活动 3 巩固练习，提升素养
运用祖暅原理我们还能得出这样一个结论：一个 底面半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一个以上底面为 底面、下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体 积与一个半径为 R 的半球的体积相等. 试一试
运用祖暅原理推导球体体积公式？
式V柱体=Sh，可得底面积为S、高为h的锥体（棱锥、圆锥） 的体积计算公式：
V锥体
1 3
Sh.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例2 已知正四棱锥S-ABCD的棱长都是2，求该棱 锥的体积．
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 3 巩固练习，提升素养
解 将该长方体看成四棱柱ADD'A'-BCC'B'，设它的
底面ADD'A'的面积为S，高为h,则它的体积
V=Sh.
棱锥C-A'DD'的底面积为 1 S，高为h，因此棱锥C-
空间几何体的体积.ppt课件
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、
民生”三民主义，成为以后辛亥革命
的
指导思想。
(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也
没
有提出废除封建土地制度，是一个
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不彻
底的资产阶级革命纲领。
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
《空间几何体的体积》课件
03 空间几何体的体积公式推导
球体体积公式的推导
球体体积公式
V=4/3πr^3
推导过程
通过将球体切割为无数个小的锥体，利用锥体体积公式V=1/3πr^2h求和，再 利用极限思想求得球体体积公式。
圆柱体体积公式的推导
圆柱体体积公式：V=πr^2h
推导过程：将圆柱体切割为无数个小的长方体，利用长方体体积公式V=lwh求和 ，再利用极限思想求得圆柱体体积公式。
深入研究空间几何体的性质
除了体积之外，空间几何体还有许多其他的性质和规律，如表面积、重心、转动惯量等， 对这些性质的研究将有助于更深入地理解空间几何体的本质。
应用空间几何体的体积公式解决实际问题
空间几何体的体积公式在许多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等，未来 可以通过更深入的研究，将这些公式应用到更多的实际问题中去。
圆台体体积公式的推导
圆台体体积公式
V=πh(R^2+Rr+r^2)/3
推导过程
将圆台体切割为无数个小的锥体，利用锥体体积公式 V=1/3πr^2h求和，再利用极限思想求得圆台体体积公式。
04 空间几何体的体积应用实例
球体在生活中的应用实例
球体体积公式
V = (4/3)πr³
篮球
篮球是球体形状的典型代表，其体积可以通过球 体体积公式计算得出。
地球
地球是一个近似于球体的天体，其体积可以通过 球体体积公式进行估算。
圆柱体在生活中的应用实例
圆柱体体积公式：V = πr²h 水桶：常见的水桶是圆柱体形状，其体积可以通过圆柱体体积公式计算得出。
饮料瓶：饮料瓶的形状通常是圆柱体，其体积也可以通过圆柱体体积公式计算。
圆锥体在生活中的应用实例
空间几何体的体积及球的面积和体积ppt
2
11 3 旋转所得到的几何体的 表面积为 π R2. 2
4 1 1 又V球 π R 3 ,V圆锥AO1 AO1 π CO 2 π R 2 AO1 1 3 3 4 1 1 2 V圆锥BO1 BO1 π CO 1 π R 2 BO1 3 4 V几何体 V球 (V圆锥AO1 V圆锥BO1 ) 4 3 1 3 5 3 πR πR πR . 3 2 6
即h 2 R 2 r 2 . S 2 π rh 4 π r R 2 r 2 1 2 2 1 4 4 π r ( R r ) 4 π (r R ) R . 2 4 1 2 2 2 当且仅当 r R ,即r R, h 2R时,圆柱侧面积 2 2 1 4 最大, 最大值是 4 π R 2 π R2. 4
Vi
R
O
Si
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R 1 Vi S i R 3 1 1 1 1 V Si R S2 R S3 R ... Sn R 3 3 3 3 1 1 R( S i S 2 S3 ... S n ) RS 3 3 4 3 ② 球的体积: V R
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
RtB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
C1
C1
(2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得：R S 4R 2 3a 2
a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。
O A
O
R O O , ABC是 正 三 角 形 ， 2
11 3 旋转所得到的几何体的 表面积为 π R2. 2
4 1 1 又V球 π R 3 ,V圆锥AO1 AO1 π CO 2 π R 2 AO1 1 3 3 4 1 1 2 V圆锥BO1 BO1 π CO 1 π R 2 BO1 3 4 V几何体 V球 (V圆锥AO1 V圆锥BO1 ) 4 3 1 3 5 3 πR πR πR . 3 2 6
即h 2 R 2 r 2 . S 2 π rh 4 π r R 2 r 2 1 2 2 1 4 4 π r ( R r ) 4 π (r R ) R . 2 4 1 2 2 2 当且仅当 r R ,即r R, h 2R时,圆柱侧面积 2 2 1 4 最大, 最大值是 4 π R 2 π R2. 4
Vi
R
O
Si
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R 1 Vi S i R 3 1 1 1 1 V Si R S2 R S3 R ... Sn R 3 3 3 3 1 1 R( S i S 2 S3 ... S n ) RS 3 3 4 3 ② 球的体积: V R
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
RtB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
C1
C1
(2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得：R S 4R 2 3a 2
a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。
O A
O
R O O , ABC是 正 三 角 形 ， 2
空间几何体的表面积和体积教学ppt课件
2. 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公
式v=3 Sh进行计算即可.常用方法为：割补法和等体 积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分 割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积， 从而得出几何体的体积.
(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面. ① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ② 利用“等积性”可求"点到面的距离".
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是
正视图
侧视图
俯视图
解析： 此几何体为一圆锥与圆柱的组合体. 圆柱底面半径为r=a, 高为h₁=2a, 圆锥底面半径为r=a, 高为h₂=a . 故组合体体积为V=πr²h₁+
答案：
慎
KAODIAN
TUPO
JIEJIE
GAO
考点一
多面体的表面积
则三棱锥D-ABC 的体积为
()
A.
B.
C. a3
D.
解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点E, 沿AC折起后依题意得，当
BD=a 时，BE⊥DE, 所以DE⊥平面ABC, 于是三棱锥D-ABC 的高为DE=
a, 所以三棱锥D-ABC 的体积
答案： D
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为 解析： 正方体的体对角线为球的直径. 答案： 27π
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应 的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题.
例 3 如图所示，半径为R的半圆 内 的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，
旋转一周得到一几何体，求该几何
空间几何体的体积PPT课件
类似地，底面积相等、高也相等的两个锥体，它
们的体积也相等。
由圆锥体积公式可知 V锥体=Sh/3
h
2020年9月28日
h
S
S
4
台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来 计算。如果台体的上、下底面面积分别为S‘， S，高是h， 可以推得它的体积是
1 V台体 3h(S
SSS)
h
2020年9月28日
空间几何体的体积
2020年9月28日
1
类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我 们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的 体积来度量几何体的体积。
一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那 么这个几何体的体积的数值就是多少。
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体=abc 或 V长方体=Sh
h
S
S
5
想 一 想 ？
上一节中，我们知道正棱柱、正 棱锥、正棱台的侧面积之间有一定 的关系。那么，这里柱体、锥体、 台体的体积公式之间有没有类似的
关系？
柱体、锥体、台体的体积公式之间的 关系如下：
S’=S
V柱体 Sh
2020年9月28日
V台 体1 3h(S SSS`) S’=0
V锥体
1 3
Sh
6
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
2020年9月28日
汇报人：云博图文 日期：20XX年10月10日
8
例 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重 5.8kg．已知底面六边形的边长是12mm， 高是10mm，内孔直径是10mm．那么约有 毛坯多少个？
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个 正六棱柱的体积与一个圆柱的体积 的差，再由比重算出一个六角螺帽 毛坯的体积即可．
几何体体积的 求法29页PPT
0、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
几何体体积的 求法
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
几何体体积的 求法
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
求几何体体积的常用方法总结精编版19页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
求几何体体积的常用方法总结精编版
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
求几何体体积的常用方法总结精编版
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
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的体积。
解法分析：V
D1
A1 DEB=1 V D A1EB1 1
C1 3 SA1EB1 DA
A1
D
B1
C
1 1 a2 a 32
1 a3 6
A
EB
例2、三棱柱ABC A' B'C'的
体积是36，点M在侧棱CC ' 上，
求四棱锥M ABB' A'的体积
A'
C'
B'
M
A
C
B
解
A'
：VABC A'B’C’ 转移顶点法
求几何体体积的常用方法
一、分割法
对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公
式，常常需要运用分割法，按照结论的要求，将原
几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求
和．
【例 1】 如右图，在多面体 ABCDEF 中，
已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且
△ ADE、△BCF 均为正三角形，
EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
VM ABB’A’ VM ABC
A
VM
ABB’A’
1 3
VABC
A'B’C’
A'
VM ABB’A’
2 3
VABC
A'B’C’
2 3
36
24
A
C' B'
M
C B
C'
M
B'
C B
例3：已知三棱锥P—ABC中，PA BC E, D BC
ED PA , PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积
三、等积转换法 “等积转换法”是针对当所给几何体的体积不能直 接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解 时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进 行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．
【例3】 在边长为a的正方体A B C D —
A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是棱A 1B 1、
和底面转换一下，变为求三棱锥P —A 1M N 的体积，显 然就容易解答了．
V V 解析
A1 MNP
P A1MN
11 3 2 A1M A1N A1P 1 1 1 a 2 a 3 a 1 a3.
3 2 2 3 4 24
例1：如图，在边长为a的正方体 ABCD A1B1C1D1
中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥 A1 DEB1
分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的 体积？ 解法分析： 易证四边形EBFD1为菱 形，
连结EF，则
A1
V V V D1 A1 EBFD1
A1 EFD1
A1 EBF
B1 E
A B
C1
V V A1 EFD1
1 F A1D1E
3 SA1ED1 a
F
V V A1 EBF
1
A 1D 1、A 1A 上的点，且满足A 1M = 2 A 1B 1，
A 1N
=2N
D
1，A
1P =
3 4
A
1A
，如图，试求
三棱锥A 1—M N P 的体积．
分析
若用公式V =
1 3
Sh直接计算三棱锥A 1—M N P 的
体积，则需要求出△M N P 的面积和该三棱锥的高，
两者显然都不易求出，但若将三棱锥A 1—M N P 的顶点
解法分析： ED BC BC 平面PAD P PA BC
a E
b A
VP ABC VB PAD VC PAD
1
1
3 SPAD BD 3 SPAD CD
a
C
1 3
SPAD
CB1 31 2源自abaD B
1 a2b
6
垂面法
例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F
【例 4】下图是一个几何体的三视图，根据图中所 标的数据求这个几何体的体积．
分析 本题题设中三视图已经给出，欲求原几何体的 体积，需根据“长对正、高平齐、宽相等”的原则将 三视图还原成直观图．
解法分析：
V V V V B1 AD1C
ABCD A1B1C1D1
A1 AD1B1
B AD1B1
D1
V V C1
C1 AD1B1
D AD1B1
A1 D
A
B1
VABCD A1B1C1D1 4 2 3
= 24
C
VA1 AD1B1
1 1423 32
B
=4
VB1 AD1C 24 4 4 8
P —A B C D ，也易于计算．
二、补形法 利用平移、旋转、延展或对称等手段，将原几何体 补成便于求体积的几何体，如正方体、长方体等．
【例 2】四面体 S—A B C 的三组对棱分别相等，且依 次为 2 5、 13、5，求该四面体的体积． 分析 由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对 的面上的对角线长相等，因此可将四面体补成一个长 方体来解决．
解析 将四面体“补”成如图所示的长方体，使四面 体对棱分别为长方体相对面的对角线．
设长方体的三边分别为x，y，z，
x2 则 y2
y2 z2
(2 5)2, x ( 13)2 , 解得 y
4, 2,
z
2
x2
52 ,
z 3,
所以V 四面体=V 长方体-4V D —SAB
=V 长方体-4·
1 6
F A1EB
D
1
3 SA1EB a
C
V 2V 或者
：
A1 EBFD1
A1 EFD1
点评 转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的 方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个 理论依据，相应的方法叫等积法． 四、还原图形法
此类题主要是没有直接给出几何体，而是给出了几 何体的三视图，求体积时一般需要根据三视图还原 成直观图，再进行解答．
.
分析 由于本题中多面体A B C D E F 为非规则几何体， 不能直接求其体积，因此可以考虑用分割法，使其分 割为如图所示的两个体积相等的三棱锥与一个直三棱 柱． 解析 分别过A 、B 作E F 的垂线，垂足分
别为G 、H ，连结D G 、C H ，容易求得 E G =H F = 1 .
2
由题意得AG GD BH HC 3 , 2
·V 长方体
=
1 3
V 长方体=8.
点评 本题是通过将四面体的四个面向外拓展补为长 方体，则问题转化为求一个长方体和四个相等的且有 三个直角的三棱锥，再利用间接法求得最后的结果．
练习：已知：长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=4 ，BC=2，
BB1 =3，求三棱锥 B1 AD1C 的体积
S AGD
S BHC
1 2
2 1，
2
VABCDEF VE AGD VF BHC VAGDBHC
1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 .
2 2 32 2 2
3
点评 本题还可以这样来分割：取E F 的中点P ，则多面
体A B C D E F 分割成正四面体A D E P 、P B C F 和正四棱锥
解法分析：V
D1
A1 DEB=1 V D A1EB1 1
C1 3 SA1EB1 DA
A1
D
B1
C
1 1 a2 a 32
1 a3 6
A
EB
例2、三棱柱ABC A' B'C'的
体积是36，点M在侧棱CC ' 上，
求四棱锥M ABB' A'的体积
A'
C'
B'
M
A
C
B
解
A'
：VABC A'B’C’ 转移顶点法
求几何体体积的常用方法
一、分割法
对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公
式，常常需要运用分割法，按照结论的要求，将原
几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求
和．
【例 1】 如右图，在多面体 ABCDEF 中，
已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且
△ ADE、△BCF 均为正三角形，
EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
VM ABB’A’ VM ABC
A
VM
ABB’A’
1 3
VABC
A'B’C’
A'
VM ABB’A’
2 3
VABC
A'B’C’
2 3
36
24
A
C' B'
M
C B
C'
M
B'
C B
例3：已知三棱锥P—ABC中，PA BC E, D BC
ED PA , PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积
三、等积转换法 “等积转换法”是针对当所给几何体的体积不能直 接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解 时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进 行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．
【例3】 在边长为a的正方体A B C D —
A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是棱A 1B 1、
和底面转换一下，变为求三棱锥P —A 1M N 的体积，显 然就容易解答了．
V V 解析
A1 MNP
P A1MN
11 3 2 A1M A1N A1P 1 1 1 a 2 a 3 a 1 a3.
3 2 2 3 4 24
例1：如图，在边长为a的正方体 ABCD A1B1C1D1
中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥 A1 DEB1
分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的 体积？ 解法分析： 易证四边形EBFD1为菱 形，
连结EF，则
A1
V V V D1 A1 EBFD1
A1 EFD1
A1 EBF
B1 E
A B
C1
V V A1 EFD1
1 F A1D1E
3 SA1ED1 a
F
V V A1 EBF
1
A 1D 1、A 1A 上的点，且满足A 1M = 2 A 1B 1，
A 1N
=2N
D
1，A
1P =
3 4
A
1A
，如图，试求
三棱锥A 1—M N P 的体积．
分析
若用公式V =
1 3
Sh直接计算三棱锥A 1—M N P 的
体积，则需要求出△M N P 的面积和该三棱锥的高，
两者显然都不易求出，但若将三棱锥A 1—M N P 的顶点
解法分析： ED BC BC 平面PAD P PA BC
a E
b A
VP ABC VB PAD VC PAD
1
1
3 SPAD BD 3 SPAD CD
a
C
1 3
SPAD
CB1 31 2源自abaD B
1 a2b
6
垂面法
例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F
【例 4】下图是一个几何体的三视图，根据图中所 标的数据求这个几何体的体积．
分析 本题题设中三视图已经给出，欲求原几何体的 体积，需根据“长对正、高平齐、宽相等”的原则将 三视图还原成直观图．
解法分析：
V V V V B1 AD1C
ABCD A1B1C1D1
A1 AD1B1
B AD1B1
D1
V V C1
C1 AD1B1
D AD1B1
A1 D
A
B1
VABCD A1B1C1D1 4 2 3
= 24
C
VA1 AD1B1
1 1423 32
B
=4
VB1 AD1C 24 4 4 8
P —A B C D ，也易于计算．
二、补形法 利用平移、旋转、延展或对称等手段，将原几何体 补成便于求体积的几何体，如正方体、长方体等．
【例 2】四面体 S—A B C 的三组对棱分别相等，且依 次为 2 5、 13、5，求该四面体的体积． 分析 由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对 的面上的对角线长相等，因此可将四面体补成一个长 方体来解决．
解析 将四面体“补”成如图所示的长方体，使四面 体对棱分别为长方体相对面的对角线．
设长方体的三边分别为x，y，z，
x2 则 y2
y2 z2
(2 5)2, x ( 13)2 , 解得 y
4, 2,
z
2
x2
52 ,
z 3,
所以V 四面体=V 长方体-4V D —SAB
=V 长方体-4·
1 6
F A1EB
D
1
3 SA1EB a
C
V 2V 或者
：
A1 EBFD1
A1 EFD1
点评 转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的 方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个 理论依据，相应的方法叫等积法． 四、还原图形法
此类题主要是没有直接给出几何体，而是给出了几 何体的三视图，求体积时一般需要根据三视图还原 成直观图，再进行解答．
.
分析 由于本题中多面体A B C D E F 为非规则几何体， 不能直接求其体积，因此可以考虑用分割法，使其分 割为如图所示的两个体积相等的三棱锥与一个直三棱 柱． 解析 分别过A 、B 作E F 的垂线，垂足分
别为G 、H ，连结D G 、C H ，容易求得 E G =H F = 1 .
2
由题意得AG GD BH HC 3 , 2
·V 长方体
=
1 3
V 长方体=8.
点评 本题是通过将四面体的四个面向外拓展补为长 方体，则问题转化为求一个长方体和四个相等的且有 三个直角的三棱锥，再利用间接法求得最后的结果．
练习：已知：长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=4 ，BC=2，
BB1 =3，求三棱锥 B1 AD1C 的体积
S AGD
S BHC
1 2
2 1，
2
VABCDEF VE AGD VF BHC VAGDBHC
1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 .
2 2 32 2 2
3
点评 本题还可以这样来分割：取E F 的中点P ，则多面
体A B C D E F 分割成正四面体A D E P 、P B C F 和正四棱锥