线性代数综合练习题

时间：120分钟 线性代数综合练习题

一、选择题(每小题 3分，共15分)： 1 •设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得 B ,再把B 的第二列加到第

列得C ， 则满. 足 A Q=C 的可逆矩阵 Q 为］

( )0 0 1 0

0 1 0

(A ) 1 0 0 ； (B ) 1 0 1

1 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 (C ) 1 0 0 ; (D ) 1 0 0

0 1 1

0 0 1 则必有( 2. 设 A 、 (A ) (B ) (C )

(D ) B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，

的列向量组线性相关， 的列向量组线性相关， 的行向量组线性相关， 的行向量组线性相关，

B 的行向量组线性相关; B 的列向量组线性相关; B 的行向量组线性相关;

B 的列向量组线性相

关。

3. 下列向量集按 R n 中， R n 中， R n 中，

R n 中， (A) (B) (C) (D) R n

的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是( )o 坐标满足X 1+X 2+…+X n = 0的所有向量； 坐标是整数的所有向量； 坐标满足X 1+X 2+…+X n =1的所有向量；

坐标满足X 1 = 1，X 2，…，X n 可取任意实数的所有向量。 -A 2) -1有一个特征值等于

3

4 .设入=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵 ()o 5.任一个 4 ；

3 n 阶矩阵, (A )合同； 二、填空题(每小题 2 1 .设矩阵A= 1

0 3 1 (B ) - ； (C )- 4 2

都存在对角矩阵与它(

(B )相似; 3分，共15分)

1 0

2 0，矩阵 B 满足：ABA *=2BA 0 1

1 (D ) — o

4

) (C )等价; (D )以上都不对。

+E ,其中A *为A 的伴随矩

1 2 1 X 1 1

2.已知线性方程组2 3 a 2 X 2 3无解，贝U a 1 a 2 X 3 0

阵，E 是三阶单位矩阵，则 |B|= ________________ O

a 1

2

3 .若A= b 1 0为正交矩阵，则a = ，b

0 X Z

1

4•设A为n阶矩阵，且|A|M0, A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A 有特征值入，则(A*) 2+E必有特征值_________________________ 。

5 .若二次型f= 2X12+X22+X32+2 x1 X2+t x2 X3是正定的，则t的取值围是

、(15 分)

(1 a)x1 X2 X3 X4 0

设有齐次线性方程组：2X1(2 a) X2 2x3 2X40

3X13X2(3 aX 3X40

4X14X24X3 (4 a) X4 0 试问a取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解

四、(10分)

设R3的两组基为：

1 (1,0,1)T,

2 (1,1,0)T,

3 (0,1,1)T和 1 (1,1,1)T, 2 (1,1,2)T, 3 (1,2,1)T，向量a = (2, 3, 3) T

(1)求基1, 2, 3到基1, 2 , 3的过渡矩阵；

(2)求a关于这两组基的坐标。

五、(15分)

设三阶实对称矩阵A的特征值为入1 = -2，入2 = 1 (2重)，a仁(1，1，1) 是属于入1 = -2的特征向量。试求：

(1)属于入2 = 1 (2重)的特征向量;

(2) A的伴随矩阵A。

六、(10分)

设二次型f X12 2

X2

2

X3 2ax-! X22X1X3 2bx2x3

X1 y1 化

为：2 2

通过正交变换X2 P y f y 2y3，求a、b

X3 y3

七、(10分)

已知A，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵, 试证：A-2E可逆。并求出(A-2E) -1=?

八、（10分）

设A为n阶矩阵，且r（A） n 1, A22A,n 1 ,其中A i是A中元素

a H的代数余子式（i=1, 2,…，n）。试证：A的伴随矩阵A*的特征值是0和1, 并说明各个特征值的重数。

线性代数综合练习参考答案

、选择题:

1.( D); 2 (A); 3. (A); 4. (B); 5. C);

(1)当a=0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为:

X1+X2+X3+ X4=0由此得一基础解系为:

y i ( 1, 1, o, 0)T

y2( 1, 0, 1, 0)T, 故全部解为：X C1y1C2y2C3y3

y( 1, 0, o, 1)T

(其中C1,C2,C3为任意常数)……(7分)

当a =-10时，r (A) =3<4,故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为:

x30，解之，可得一个基础解系为:

& 0

y= (1，2，3, 4) T,故全部解为:

备注：此题也可另解

v |A|= ( a+10) a3

•••当|A|=0时，

即

a=0或a =-10时，齐次线性方程组有无穷解。

1 1 0 1 1 1

四、解：(1)记B=(

1 ,

2

,

3 ) = 0 1 1，C=

(

1 ,

2 ,

3 )：

=1 1 2

1 0 1 1

2 1

1

1. 1；

2. -1;

3. 1

2，

1 a 1 1

三、解：A=

2 2 a 2

3 3 3 a

4 4 4

1- 4

2；.

2

|A| 1 ；

5

.-2 t

1 1 a 1 1 1

2 行2a a 0 0

B

3 3a 0 a 0

4 a 4a 0 0 a

1 a 1 1 1

(2)当a丰0时，B 2 1 0 0

3 0 1 0

4 0 0 1

a 10 0 0 0

2 1 0 0

30 10

40 0 1

2x1

3x1

4x1

X2

X=ky (其中k为任意常数) ...... (15分) 、填空