高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数

1.对数

（1）对数的定义：

如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .

（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:

①log a （MN ）=log a M +log a N .

②log a

N

M

=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）

④对数换底公式：log b N =

b

N

a a log log （a ＞0，a ≠1，

b ＞0，b ≠1，N ＞0）.

2.对数函数

（1）对数函数的定义

函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1

对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？

在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象

a <11))

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.

（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.

④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

基础例题

题型1（对数的计算）

1．求下列各式的值． （1）35

5log ＋

21

2

log 1505

log －14

5log ； （2）log 2

1

25

×log 318×log 519.

练习题 1．计算：lg 12－lg 5

8

＋lg12.5－log 89·log 278；

2.log 535＋

21

2

log －log 5

150－log 514； 3.log 21

25

×log 318×log 519.

4. 3991

log log 4log 32

+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-

221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.

2lg 2lg3

111lg 0.36lg823

+++

例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z

＞1. (1)求证：

2x ＋1y ＝2z

； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．

练习题．已知log 189＝a ，18b

＝5，用a 、b 表示log 3645.

题型二：（对数函数定义域值域问题）

例1．已知函数()22log 1

x f x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x

--<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．

2．设函数2

2log (22)y ax x =-+定义域为A ．

（1）若A R =，求实数a 的取值范围；

（2）若2

2log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．

练习题1．已知函数()()

2lg 21f x ax x =++

（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； （2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域

2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.

题型三（奇偶性及其单调性）

例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x

－1. (1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12

log 24)的值．

2. 已知f （x ）=log 3

1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.

3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.

4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域； （Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性；

（Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.

练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；

(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围

2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12

()log f x x =.

（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2

(1)2f x ->-；