矩阵位移法 PPT课件

结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：在 原理上同源，在作法上有别。 前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手 段的不同，引起计算方法的差异。
与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力 法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有 易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。
号规定与杆端力相同。
上述杆端位移分量可用矩阵表示为：
i端的位移分量为：
i
e
uvii
ui vi i
eT
i
j端的位移分量为：
j
e
u v
j j
u j v j j eT
j
单元e的杆端位移列阵为：
ui e
e
ie e
e j
vii
u
j
v j
ui vi i u j v j j e T
F
e Si
M
e i
e
F Nj
0 EA
e F Sj
l
M
e j
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12 l
EI
3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3 6EI
l2
0
6EI l2 2EI l
3. 特殊单元的刚度矩阵
（1）不考虑轴向变形的刚架单元
由于
uie
u
e j
0
，可将式（9—5）中删去与轴向
变形对应的行和列（即第1、4行和1、4列），则
12EI
l3 6EI
e l 2
k
1 2E
l3 6EI
l2
I
6EI l2
4EI
l
6EI l2
2EI
l
1
2E I l3
6EI l2
1 2E I
F e Fxei
Fyei
M
e i
Fxej
Fyej
M
e j
T
(9-6)
e uie
vie
ie
u
e j
vej
e j
T
(9-7)
其中力和线位移与结构坐标系指向一致者为正，力偶和角位移 以逆时针方向为正，由x轴到 x 轴的夹角α以逆时针转向为正。
首先,由虎克定律可知:
e
F Ni
EA l
uie
EA l
u
e j
e
F Nj
EA l
uie
EA l
u
e j
其次,可由转角位移方程，并按规定的符号和正负号,可将单 元两端的弯矩和剪力表示为:
e
F Si
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI
l3
v
e j
6EI l2
e j
M
e i
6EI l2
vie
0
6EI l2
uie vie
uijee
v
e j
e j
4EI
l
（9—(101）1)
上式称为单元的刚度方程,它可简写为：
F e k e e
（9—2）
式中
F
e
F
e Ni
e
F Si
M
e i
e
F Nj
e
F Sj
M
e j
T
（9—3）
e uie
vie
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物 理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩 阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，一 种三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方 法。采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子 计算机进行自动化计算的要求。
e i
u
e j
v
e j
e j
T
（9—4）
分别称为单元的杆端力列阵和杆端位移列阵，而
u
e i
EA
l
0
0
k e
EA
l
0
0
vie
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
e i
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2 2EI
l
u
e j
v
e j
e j
EA l 0
0 EA l 0
矩阵位移法的要点 ：
化整为零
集零为整
（离散化、单元分析） （结点力平衡、位移协调）
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇交点、 边界点、突变点或集中荷载作 用点等列为结点，结点之间的 杆件部分作为单元。
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。
结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一 般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然 后按单元力学性质对每个单元建立单元刚度方程，在满足 变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体。 在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题 转化为简单单元分析和集合问题。
l3
6EI l2
6EI
l2 2EI
l
6EI l2
4EI
l
（2）只考虑轴向变形的桁架单元
由于
vie
v
e j
ie
e j
0
， 可将式（9—5）
中删去第2、3、5、6行（列），则
EA
k
e
l EA
EEAlA
EA 1 l 1
1 1
l l
（3）只考虑弯曲变形的连续梁单元
由于
uie
4EI l
ie
6EI l2
v
e j
2EI l
e j
e
F Sj
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
M
e j
6EI l2
vie
2EI l
ie
6EI l2
v
e j
4EI l
e j
将上面两式中的六个刚度方程合在一起,写成矩阵形式为:
EA
l
F
e Ni
0
j
e
杆端内力的矩阵表示：
F
e
Fi e
F
e j
e
FNi FSi
M i
FNj
e T
FNi FSi M i FNj FSj M j
FSj
M j
2. 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
若忽略轴向变形和弯曲变形之间的相互影响,则可分别 导出轴向变形和弯曲变形的刚度方程。
(1) 单元刚度矩阵中各元素的物理意义
k e 中每一元素的物理意义就是当所在列对应的杆端位移分 量等于1(其余杆端位移分量为零)时,所引起的所在行对应的 杆端力分量的数值。
(2) 单元刚度矩阵的性质
1) 对称性 由反力互等定理可知,在单元刚度矩阵 k e 中位于 主斜线两边对称位置的两个元素是相等的,故 k e 是一个对称 方阵。
矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为 杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语 和提法。
1、矩阵位移法的基本思路
a、来自百度文库法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件端点位移 结构结点位移
位移法
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体 情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力。 位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强， 目前广为采用。
M
e ii'
e
i
i
F
e
Si
e
uie
l
e
F Sj
M
e
j
e
j
j'
F
e
Nj
j
x
uje
vie vje
j端的杆端位移为uje 、vje和 je
，相应的杆端力为
F
e Nj
、e
F Sj
和M j。e
杆端力和杆端位移的正负号规定为：
x 杆端轴力
F
e N
与
轴正方向一致为正，杆端剪力F
e S
以与
y 轴正方
向相同为正，杆端弯矩 M e以逆时针转向为正，杆端位移的正负
u
e j
vie
v
e j
0
，可将式（9—5）中删去第
1、2、4、5行（列），则
4EI
k
e
l 2EI
l
2EI
l 4EI
4i 2i
2i 4i
i
4 2
2 4
l
(i EA) l
第三节 单元刚度矩阵的坐标变换
在上节中，单元刚度矩阵是建立在杆件的局部坐标系中的。 其目的是推导出的单元刚度矩阵形式最简单。如果从整体分析 的角度来考虑，对于整个结构，由于各杆轴方向不尽相同，因 而各单元的局部坐标也不尽相同，很不统一。为了便于整体分 析，在考虑整个结构的几何条件和平衡条件时，必须选定一个 统一的坐标系，称为结构坐标系(或整体坐标系)。为了与局部 坐标相区分，结构坐标系用xoy表示。
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
第二节 单元刚度矩阵
过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、
上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端和
末端。i端的杆端位移为ui、e vi
e和i
e，相应的杆端力为
F
e Ni
、F
e Si
和Mie
(各符号上面的一横代表是在局部坐标系中的量值，上标e表示是
单元的编号，下同)；
y
F
e
Ni
学习目的和要求
要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整 体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载 的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计 算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理 意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。 掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
e
yi
e
F
e
xi
i
F
e
Ni
M
ei =M
e
i
o
e
F Sj
j
e
F yj
F
e
Nj
F
x e
xj
M
je=M
e
j
x
上图所示杆件ij，在局部坐标系中，仍按式(9-3)、(9-4)
一样，以 F e 、 e 分别表示杆端力列向量和杆端位移 列向量。而在结构坐标系中，用F e 和 e 来表示杆 端力列向量和杆端位移列向量，即
为了推导结构坐标系下的单元刚度矩阵k e ，可采用坐标变换 的方法，即把局部坐标系中建立的单元刚度矩阵 k e 转换为结构 坐标系中的k e ，为此，首先讨论两种坐标系中单元杆端力的转 换式，得到单元坐标转换矩阵；其次再讨论两种坐标系中单元刚 度矩阵的转换式。
1. 单元坐标转换矩阵
y
y
F
e
Si
F
矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式， 以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目 的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽管矩 阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所 需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算” 代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的 共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。
2) 奇异性 单元刚度矩阵 k e 是奇异矩阵。k e 的相应行列 式的值为零,逆矩阵不存在。因此,若给定了杆端位移 e ,则 可以由式(9-4)确定出杆端力F e ；但是给定了杆端力 F e 后, 却不能由式(9-4)反求出杆端位移 e 。由于讨论的是一般 单元(自由单元),两端设有任何支承约束,因此,杆件除了由杆端 力所引起的弹性变形外,还可以具有任意的刚体位移。
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法
图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形
外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个
转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一
般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i
点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转
第九章 矩阵位移法
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求
目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构 分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了 广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习 目的。
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI
l2
2EI
l
0
6EI
l2
4EI
l
FNei
FSei
M
e i
FNej
FSej
M
e j
（9—5）
称为单元刚度矩阵 (简称为单刚)。它的行数等于杆端力列向 量的分量数,列数等于杆端位移列向量的分量数,因而 k e 是 一个6×6阶的方阵。值得注意的是杆端力列阵和杆端位移列 阵的各个分量,必须是按式(9-3)和(9-4)那样从i到j按一定次序 排列。否则,随着排列顺序的改变, 中各元素的排列亦将随之 改变。为清晰起见,在式(9-5)的上方注明杆端位移分量,而在右 方注明杆端力分量。