矩阵位移法 PPT课件

自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物 理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩 阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，一 种三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方 法。采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子 计算机进行自动化计算的要求。
号规定与杆端力相同。
上述杆端位移分量可用矩阵表示为：
i端的位移分量为：
i
e
uvii
ui vi i
eT
i
j端的位移分量为：
j
e
u v
j j
u j v j j eT
j
单元e的杆端位移列阵为：
ui e
e
ie e
e j
vii
u
j
v j
ui vi i u j v j j e T
4EI l
ie
6EI l2
v
e j
2EI l
e j
e
F Sj
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
M
e j
6EI l2
vie
2EI l
ie
6EI l2
v
e j
4EI l
e j
将上面两式中的六个刚度方程合在一起,写成矩阵形式为:
EA
l
F
e Ni
0
矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式， 以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目 的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽管矩 阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所 需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算” 代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的 共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。
矩阵位移法的要点 ：
化整为零
集零为整
（离散化、单元分析） （结点力平衡、位移协调）
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇交点、 边界点、突变点或集中荷载作 用点等列为结点，结点之间的 杆件部分作为单元。
学习目的和要求
要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整 体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载 的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计 算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理 意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。 掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
(1) 单元刚度矩阵中各元素的物理意义
k e 中每一元素的物理意义就是当所在列对应的杆端位移分 量等于1(其余杆端位移分量为零)时,所引起的所在行对应的 杆端力分量的数值。
(2) 单元刚度矩阵的性质
1) 对称性 由反力互等定理可知,在单元刚度矩阵 k e 中位于 主斜线两边对称位置的两个元素是相等的,故 k e 是一个对称 方阵。
2) 奇异性 单元刚度矩阵 k e 是奇异矩阵。k e 的相应行列 式的值为零,逆矩阵不存在。因此,若给定了杆端位移 e ,则 可以由式(9-4)确定出杆端力F e ；但是给定了杆端力 F e 后, 却不能由式(9-4)反求出杆端位移 e 。由于讨论的是一般 单元(自由单元),两端设有任何支承约束,因此,杆件除了由杆端 力所引起的弹性变形外,还可以具有任意的刚体位移。
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法
图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形
外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个
转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一
般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i
点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转
l3
6EI l2
6EI
l2 2EI
l
6EI l2
4EI
l
（2）只考虑轴向变形的桁架单元
由于
vie
v
e j
ie
e j
0
， 可将式（9—5）
中删去第2、3、5、6行（列），则
EA
k
e
l EA
EEAlA
EA 1 l 1
1 1
l l
（3）只考虑弯曲变形的连续梁单元
由于
uie
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI
l2
2EI
l
0
6EI
l2
4EI
l
FNei
FSei
M
e i
FNej
FSej
M
e j
（9—5）
称为单元刚度矩阵 (简称为单刚)。它的行数等于杆端力列向 量的分量数,列数等于杆端位移列向量的分量数,因而 k e 是 一个6×6阶的方阵。值得注意的是杆端力列阵和杆端位移列 阵的各个分量,必须是按式(9-3)和(9-4)那样从i到j按一定次序 排列。否则,随着排列顺序的改变, 中各元素的排列亦将随之 改变。为清晰起见,在式(9-5)的上方注明杆端位移分量,而在右 方注明杆端力分量。
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
第二节 单元刚度矩阵
e i
u
e j
v
e j
e j
T
（9—4）
分别称为单元的杆端力列阵和杆端位移列阵，而
u
e i
EA
l
0
0
k e
EA
l
0
0
vie
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
e i
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2 2EI
l
u
e j
v
e j
e j
EA l 0
0 EA l 0
首先,由虎克定律可知:
e
F Ni
EA l
uie
EA l
u
e j
e
F Nj
EA l
uie
EA l
u
e j
其次,可由转角位移方程，并按规定的符号和正负号,可将单 元两端的弯矩和剪力表示为:
e
F Si
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI
l3
v
e j
6EI l2
e j
M
e i
6EI l2
vie
e
yi
e
F
e
xi
i
F
e
Ni
M
ei =M
e
i
o
e
F Sj
j
e
F yj
F
e
Nj
F
x e
xj
M
je=M
e
j
x
上图所示杆件ij，在局部坐标系中，仍按式(9-3)、(9-4)
一样，以 F e 、 e 分别表示杆端力列向量和杆端位移 列向量。而在结构坐标系中，用F e 和 e 来表示杆 端力列向量和杆端位移列向量，即
j
e
杆端内力的矩阵表示：
F
e
Fi e
F
e j
e
FNi FSi
M i
FNj
e T
FNi FSi M i FNj FSj M j
FSj
M j
2. 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
若忽略轴向变形和弯曲变形之间的相互影响,则可分别 导出轴向变形和弯曲变形的刚度方程。
F
e Si
M
e i
e
F Nj
0 EA
e F Sj
l
M
e j
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12 l
EI
3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3 6EI
l2
0
6EI l2 2EI l
3. 特殊单元的刚度矩阵
（1）不考虑轴向变形的刚架单元
由于
uie
u
e j
0
，可将式（9—5）中删去与轴向
变形对应的行和列（即第1、4行和1、4列），则
12EI
l3 6EI
e l 2
k
1 2E
l3 6EI
l2
I
6EI l2
4EI
l
6EI l2
2EI
l
1
2E I l3
6EI l2
1 2E I
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。