第二章流体静力学-静压强及其特性
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工程流体力学2
§2-1 流体静压强及其特性
静压强：当流体处于平衡或者相对平衡状态时， 作用在流体单位面积上的力。
p lim Fn
A 0
A
pn
特性一：
流体静压强的作用方向沿着
作用面的内法线方向。
静止流体对容器的作用一定垂直于固体壁面。
§2-1 流体静压强及其特性
特性二：
静止流体中的任一点上，来自任意方向上的静压强都是相等的。
三、流体静压强的测量和液柱式测压计
常见的测压仪器有：液柱式测压计；金属式压强计（利用
金属的变形来测量压强）；电测式仪表（将压强变化转化
为电信号的变化）等。
液柱式测压计的测量原理是以流体静力学基本方程 为依据的。
§2-3 重力场中流体的平衡
1、测压管
p pa
p p a gh
p pa
计。通常采用双U形管或三U形管测压计。
§2-3 重力场中流体的平衡
3. U形管差压计 用于测量两个容器或管 道流体中不同位置两点 的压强差。
p p A p B 2 gh 1 gh 2 1 gh 1 2 1 gh
§2-3 重力场中流体的平衡
§2-3 重力场中流体的平衡
水头：单位重量流体所具有的能量用液柱高度来表示。 静水头：位置水头和压强水头之和。
方程的几何意义：
在重力作用下，静止的不可压缩流体中各点的静水头都相等。
§2-3 重力场中流体的平衡
有自由液面的静压强公式： p0 p z z h g g
p p 0 gh
h 为任意点在自由液面下的深
度，即淹深。
流体内部的静压强包含两部分：
第二章流体静力学
A、9:1:10:2 B、相同 C、与形状有关
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
流体力学
l h
1
sin
作业：P.63～65 23 26 2 10 2 13
流体力学
小结1
作等压面 被测点 相界面 等高的两点必须在连 通的同一种液体中 沿液柱向上，压强减小 沿液柱向下，压强增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
x
y
z
j
p y
x
y
z
k
p z
x
y
z
i
p x
j
p y
k
p z
x
y
z
p
x
y
z
流体力学
压强梯度
2.2 静止流体平衡微分方程
静止流体受力平衡
f xyz pxyz 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部
大小与作用面方位无关，只是作 用点位置的函数
绝对压强、计示压强小结2
液柱式测压计
各种测压计的优缺点 指示液的选取 几个概念 相对静止、等压面
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
流体力学
l h
1
sin
作业：P.63～65 23 26 2 10 2 13
流体力学
小结1
作等压面 被测点 相界面 等高的两点必须在连 通的同一种液体中 沿液柱向上，压强减小 沿液柱向下，压强增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
x
y
z
j
p y
x
y
z
k
p z
x
y
z
i
p x
j
p y
k
p z
x
y
z
p
x
y
z
流体力学
压强梯度
2.2 静止流体平衡微分方程
静止流体受力平衡
f xyz pxyz 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部
大小与作用面方位无关，只是作 用点位置的函数
绝对压强、计示压强小结2
液柱式测压计
各种测压计的优缺点 指示液的选取 几个概念 相对静止、等压面
工程流体力学 第二章 流体静力学201012
Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = −g
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
流体力学第二章流体静力学
第二章 流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
流体静力学
p pa g (h h)
其表压力为
p g g (h h)
单管杯式测压计
p g g (h h)
根据体积平衡的原理
h
D 2
4
h
d 2
4
d2 h 2 h D pg d2 gh(1 ) 2 D
单管杯式测压计
P1 P2 P3
P4 P5
因为：
p A p1 1 gh 1
p3 p4 2 gh2 pB p5 3 gh3
所以：
p A pB ( 1h1 2 h2 3 h3 ) g
另一种方法：
根据“从一边开始，找等压面，向上减，向下加”的原则进行。
解：此处的等压面有两个，1—2—3和4—5。
1 1 p x dydz pn dAn cos( n x) dxdydzX 0 2 6
因为： dAn cos( n x)
把PX，Pn和Fx 的各式代入得：
p x p n dx X 0 3 p x pn 略去高阶无穷小量，得到：
或：
A
Py
Pn
dz
Px o dy Pz dx x
设其中心点压力为p。进行受力分析。 以x方向为例：
p
表面力----作用于此六面体上的静压强
p dx x 2
z
dy p dz dx x
p
p dx x 2
在x轴方向上作用在微六面体上的压力共为： o
p dx p dx p p dydz p dydz dxdydz y x 2 x 2 x
Px
o dy
dx
因为 :微元四面体处于平衡状态， 故：作用在其上的一切力在任意 轴上投影的总和等于零。 y 对于直角坐标系，则：
第二章 流体静力学
工程实际：堤坝、闸门、桥墩 研究目标：合力的大小、方向、作用点 计算方法：解析法和图解法
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
流体静力学
a. 测压管:利用液柱高度表达压强的原理制成的简
单的测量装置。
pA hA
pAlsin
b. U型水银测压计
p 0 水 h m 银 水 h 1 h 2
pAp0水 h1
c. 组合水银测压计
p
h1 a
空 气
h2
a h3
b
p水银 gh3 水银 gh2
gh1
b
水银
d. U型管压差计
pBpA水银 h
方程： d p(X dYxd Z y)dz
令 dp＝0 得
Xd Y xd Z yd 0 z
等压面性质：
（1）等压面就是等势面。 dpdU
（2）作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于 通过该点的等压面。
证明：沿等压面移动无穷小距离dL＝idx+jdy+kdz, 则单位质量 力做的功应为Xdx+Ydy+Zdz，显然它等于零，所以，质量 力与等压面相垂直。
对于不可压缩流体，γ＝const，积分（2）式得：
pzC
（3）
代入边界条件：z＝0时，p＝p0
则 C= p0
pp0 z
令 -z＝h 则
pp0 h
（4） （5）
——静力学基本方程
适用条件：静止、不可压缩流体。
二、静力学基本方程式的意义 由（3）式： z p C （6）
1、几何意义
z 位置水头
p 压强水头 该点压强的液柱高度
Ah1h2Bh2h
e. 组合式U形管压差计
p 1 p 2H h g h 2 h 1
2、金属测压计 原理：弹性元件在压强作用下产生弹性变形。 分类：弹簧管式（a）、薄膜式（b）压力表。
3.电测式压力计
流体力学-流体静力学
边长 δx、δy、δz 静压强 px、py、pz和pn
密度 ρ
单位质量力的投影
fx 、fy、 fz
力在x方向的平衡方程为：
px
1 yz
2
pn
ABCD
cos pn ,
x
fx
1 xyz
6
0
px
1 yz
2
pn
ABCD
cospn, x
fx
1 xyz
6
0
由于
ABCD
cos pn ,
x
1 2
yz
px
pn
fx
特例二
边界条件 z 0 r R 时
得
C
pa
2R2
2
p pa
p
pa
g
2
R2 r2 2g
z
等角速旋转容器中液体的相对平衡
2.5静止液体作用在固体壁面上的总压力
意义：油箱、油罐及各种压力容器的设计等。往往以计示压强进行计算。
一、液体作用在平面上的总压力(大小、方向) 研究对象：如图
微元总压力 dFP ghdA gy sindA
求： H ?
已知：d1 45cm, d2 30cm, F1 3197N, F2 4945.5N,
13600kg / m3, pe 9810pa.
求： h ?
2.4 液体的相对平衡
1.水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡
静压强的分布规律 f x 0 f y a f z g
代入压强差公式 dp ady gdz
fx
x
fy
y
f grad
f z z
代入:
d
p
f xdx
f y dy
密度 ρ
单位质量力的投影
fx 、fy、 fz
力在x方向的平衡方程为：
px
1 yz
2
pn
ABCD
cos pn ,
x
fx
1 xyz
6
0
px
1 yz
2
pn
ABCD
cospn, x
fx
1 xyz
6
0
由于
ABCD
cos pn ,
x
1 2
yz
px
pn
fx
特例二
边界条件 z 0 r R 时
得
C
pa
2R2
2
p pa
p
pa
g
2
R2 r2 2g
z
等角速旋转容器中液体的相对平衡
2.5静止液体作用在固体壁面上的总压力
意义：油箱、油罐及各种压力容器的设计等。往往以计示压强进行计算。
一、液体作用在平面上的总压力(大小、方向) 研究对象：如图
微元总压力 dFP ghdA gy sindA
求： H ?
已知：d1 45cm, d2 30cm, F1 3197N, F2 4945.5N,
13600kg / m3, pe 9810pa.
求： h ?
2.4 液体的相对平衡
1.水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡
静压强的分布规律 f x 0 f y a f z g
代入压强差公式 dp ady gdz
fx
x
fy
y
f grad
f z z
代入:
d
p
f xdx
f y dy
第二章 流体静力学
2、作用于六面体的质量力 x轴向
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
第二章 流体静力学
p0
A pa/g A' p2/g pe1/g z2
基准面 z1
测 压 管 水 头
p2 2
p0
A' pe2/g p2
2
z2
z1
p1 1
1
p1
在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，测压管水头线为水平 线。
24
2.3 重力作用下静压强的分布规律
4.帕斯卡原理
z
p0 p z h) （ a点压强： z g g
dp 0
Xdx Ydy Zdz 0
等压面特性： 1．在平衡液体中，通过任意一点的等压面，必与该点所受质 量力垂直。 2．当两种互不相溶的液体处于平衡状态时，分界面必定是等 压面。 等压面的判断： 只有重力作用下，同一种静止相连通的流体的等压面必是水平 面。自由表面、不同流体的交界面都是等压面。
p x p y p z pn
13
2.2
流体平衡微分方程式: 是表征液体处于平衡状 态下，作用于流体上各
流体的平衡微分方程
Pz’ A1 B1 Px A z B py dx y o x C Pz o x M C1 D1 Py’ Px’ dz D dy dz z B(A) Pz B1(A1) M ,p dx C(D) Pz’ C1(D1)
15 15 （Pa） p 15590 2 d 0.0352 4 列等压面１—１的平衡方程 4
p 油 gh Hg gh
解得Δh为：
油 15590 0.92 （㎝） h h 0.70 16.4 Hg g Hg 13600 9.806 13.6
P p lim A0 A
静压力 P 的单位：牛顿（N）； 静压强 p 的单位：牛顿／米2（N／m2）， 又称为“帕斯卡”（Pa）。
第二章 流体静力学
压强的国际制单位是N/m2或Pa；工程单位tf/m2是或kgf/cm2。
第二章 流体静力学
第一节 流体流体静压强及其特性
二 流体静压强的特性
p
p1
z B C Px
dy
dz dx
τ
A
Py Pn x
y
压强方向的假设
Pz
压强大小计算
1 Px p x dydz 2 1 Py p y dzdx 2 1 Pz p z dxdy 2
3
3
a图:
p1 p A hm ( y a)
p2 pB y
p1 p2
b图:
p A pB (hm a)
p1 p A A (Z1 hm ) p2 p3 `hm p3 pB B Z 2 p A A (Z1 hm ) pB B Z 2 `hm p A pB ( ` )hm
a 2
1 g h2 h1 ga
816kg / m 3 h
1 h1 2.5m
第五节 作用于平面的液体压力
一 解析法
hD hC h P b y
pa o
dP α a dA C D y yC yD
x
①受压面静水压力
dP pdA hdA
p dP pdA hdA sin ydA
p5 p4 (h5 h4 ) p4 p3 `( h3 h4 )
p3 p2 `( h1 h2 )
p5 `(h1 h2 h3 h4 ) (h5 h4 )
第四节 液柱测压计
【例】试求图中同高程的两条输水管道的压强差pA-pB，已知液面高 程读数z1=18mm,z2=62mm,z3=32mm,z4=53mm，酒精密度 ρ1=800kg/m3，水银密度ρ2=13600kg/m3 。 【解】 p1 p A gh p2 2 g z2 z1
第二章 流体静力学
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证明第一个特性
流体在静止时不能承受任何拉力和切应力。
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证明第二个特性
（1）表面力
1 dPx = px dAx = px dydz 2 1 dPy = p y dAy = p y dxdz 2 1 dPz = pz dAz = pz dxdy 2
dPn = pn dAn
从上面定义可知：绝对压强的数值只可能为正，而 相对压强的数值则可正可负。
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以毫无—点气体存在的绝对真空为零点 起算的压强，称为绝对压强。（如图）以P′ 表示。当问题涉及流体本身的性质，例如采 用气体状态力程进行计算时，必须采用绝对 压强。 当地同高程的大气压强Pa为零点起算的 压强。则称为相对压强，以P表示 上一页 下一页 返回
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压力中心D到B的距离:
一、液体静压强的基本方程式
研究倾斜微小圆柱体在质量力和表面 力共同作用下的轴向平衡问题。 轴向平衡：
P2 − P1 − G • cos α = 0
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一、液体静压强的基本方程式
轴向平衡：
P2 − P1 − G • cos α = 0
p 2 dA − p1dA − γ • ∇ldA cos a = 0
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1 ∑ Fx = px dAx − pn dAn cos(n, x) + X ρ dxdydz = 0 6
1 1 1 px dydz − pn dydz + X ρ dxdydz = 0 2 2 6
将
1 dAn cos(n, x) = dAx = dydz 2
代入上式，并略去高阶无穷 小量得：
第二章 流体静力学
作用在ACD面上的流 体静压强
pz
px pn
作用在BCD面上 的静压强
py 图2－3 微元四面体受力分析
作用在ABD面上 的静压强
①表面力：（只有各面上 的垂直压力即周围液体的 静水压力）
②质量力：
X d P d P Y d P Z n d P
p X d AX p X pY d A Y pY
X Y Z
以X方向为例： FX p X dA X p n dAn cos( n, X ) 因为
dAn cos( n, X ) dAx 1 dydz 2
1 Xdxdydz 0 6
代入上式得： 限得,即:
3 当四面体无限地缩小到0点时，上述方程中最后一项近于零，取极
p X pn
dp Xdx Ydy Zdz
（2-7）
上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全微分，令势数为W（x， y，z.），则W的全微分为： W W W
x W W W X ..... Y ......Z 因而有: x y z dW dx y dy z dz
Xdx 0
p X pn 0
同理：
pY pn
，
pZ pn
由此可见：
p X p Y p Z pn
上式说明，在静止流体中， 任一点流体静压强的大小与作 用面的方位无关，但流体中不 同点上的流体静压强可以不等，
因此，流体静压强是空间坐标的标量函数，即：
p p( X , Y , Z )
的规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地 球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性 作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
第二章 流体静力学(改)
Px Pn cos( n , x ) F x 0
Py Pn cos( n , y ) F y 0
Pz Pn cos( n , z ) Fz 0
整理得:
5
p x pn
p y pn
1 3
1 3
X dx 0
Y dy 0
p z pn
虚设液面与实际液面的距离为
p0 pa
P hc A
34
二、图解法
1. 压强分布图 为了直观、形象地表示压强分布，可先 确定作用面上压强的大小。根据压强的垂直性 确定其方向，然后绘制压强分布图。在压强分 布图中，各点的压强由一带箭头的线段来表示 ，箭头的方向垂直指向作用面，线段的长度与 该点压强大小成比例。由于对建筑物或结构物 产生力学效应的往往是相对压强，故压强分布 的绘制也采用相对压强。 下面，以下图中几种情形为例，介绍压强分 布图的绘制。
水平投影面积
dA x dA sin
51
1. 水平分力 Px
Px
dP
Az
x
hdA
Az
z
hc A z
h c 为曲面AB在铅直面投影面积Az的形心在零 压面下的垂直距离）。
2. 垂直分力 Pz Pz dP z
19
p0 pa p0 0 p0 0
p0 pa p0 0
p0 0
20
p A p B h ( 0 a h ) h ( a ) h
p A h
21
二. 压强的三种量度单位
1. 以单位面积上的力表示，即力/面积，国际单位是 N/m2或Pa 2. 以大气压的倍数表示 标准大气压（符号 atm），即0℃时海平面上的压强，数值上1 atm 等 于101.325 kp a 或760 mmH g 工程大气压（符号at ），相当于海拔200m处正常大气压，即1 kgf 2
流体力学 第二章 静力学(第二次课)
流体力学
内容回顾
关键问题1：流体静压强基本特性 特性一：流体静压强方向沿作用面的内法线方向。 特性二：静止或相对静止的流体中，同一点各个 方向的静压强大小相等。
静压强分布图
1. 大小：p= gh；大小与线段长度成比例。
2. 方向：垂直指向作用面；用箭头表示。 3. 压强分布图外包线：平面——直线；曲面——曲线。
p
A
0
大气压强 B
绝对真空
1、绝对压强只能是正 值，不能是负值；
2、相对压强可能是正 值，也可能是负值； 正值时称正压，负值 时称负压，负值的绝 对值又称真空度。
核心问题3：流体平衡微分方程
偏导数反映
的是函数沿 坐标轴方向 的变化率。
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
P2
p2 p1 h
微小圆柱体
含义：静止均质流体中任两点的压强差等于两点间
的深度差乘以重度。
移项
p2 p1 h
p2 p1 h
问题：液面压强为 p0，液体重度为 ，深度为 h ，
求 A 点压强 p 。
显然
p p0 h
流体静力学基本方程
的第一种形式
受力特点：质量力只有重力，表面力为沿作用面内法 G cos 0
P1
P1 p1dA, P2 p2dA,G l dA
l
Fx 0
h
p2dA p1dA l dA cos 0
G
p2 p1 h 0
h1 gh1
h1
h
h2
内容回顾
关键问题1：流体静压强基本特性 特性一：流体静压强方向沿作用面的内法线方向。 特性二：静止或相对静止的流体中，同一点各个 方向的静压强大小相等。
静压强分布图
1. 大小：p= gh；大小与线段长度成比例。
2. 方向：垂直指向作用面；用箭头表示。 3. 压强分布图外包线：平面——直线；曲面——曲线。
p
A
0
大气压强 B
绝对真空
1、绝对压强只能是正 值，不能是负值；
2、相对压强可能是正 值，也可能是负值； 正值时称正压，负值 时称负压，负值的绝 对值又称真空度。
核心问题3：流体平衡微分方程
偏导数反映
的是函数沿 坐标轴方向 的变化率。
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
P2
p2 p1 h
微小圆柱体
含义：静止均质流体中任两点的压强差等于两点间
的深度差乘以重度。
移项
p2 p1 h
p2 p1 h
问题：液面压强为 p0，液体重度为 ，深度为 h ，
求 A 点压强 p 。
显然
p p0 h
流体静力学基本方程
的第一种形式
受力特点：质量力只有重力，表面力为沿作用面内法 G cos 0
P1
P1 p1dA, P2 p2dA,G l dA
l
Fx 0
h
p2dA p1dA l dA cos 0
G
p2 p1 h 0
h1 gh1
h1
h
h2
流体力学与流体机械 第2版 第二章 流体静力学
2
第一节 流体静压强及其特性
静压强实例： ① 水淹到人体胸部时，呼吸困难；② 水箱下部开孔，水就流出；③高 山上大气压低，平地上大气压高。 静压强：当流体在平衡状态下，没有切应力，只有法向应力，法向应力 与作用面相垂直，另外，流体只能承受压力而不能抵抗拉力。在流体力学 中，把这个压应力称为静压强。
三、等压面 1. 等压面：流场中压强相等的点组成的平面或曲面。
pC dp 0
dp ( f xdx f y dy f z dz)
f xdx
f
y
dy
f z dz
0
f dr 0
等压面的微分方程
11
2. 等压面的性质
① 等压面就是等势面
② 等压面与质量力垂直
证:在等压面上任取一微元段 dr
dp dU
例：求重力场中只受重力的平衡流体 的质量力势函数。
f z g dU U dx U dy U dz
x
y
z
gz
U gz C
10
势函数U的物理意义 mgz代表质量为的物体在基准面上高度为z时的位置势能，质量力势函数
U=gz的物理意义是单位质量物体在基准面上高度为时所具有的势能。
( f xdx
f ydy
f z dz)
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dp
p x
dx
p y
dy
p z
dz
欧拉平衡方程式的综合表达式或者压强差公式
dp fxdx f ydy fzdz
二、质量力的势函数
dp fxdx f ydy fzdz
dU f xdx f ydy f zdz
dp dp
第一节 流体静压强及其特性
静压强实例： ① 水淹到人体胸部时，呼吸困难；② 水箱下部开孔，水就流出；③高 山上大气压低，平地上大气压高。 静压强：当流体在平衡状态下，没有切应力，只有法向应力，法向应力 与作用面相垂直，另外，流体只能承受压力而不能抵抗拉力。在流体力学 中，把这个压应力称为静压强。
三、等压面 1. 等压面：流场中压强相等的点组成的平面或曲面。
pC dp 0
dp ( f xdx f y dy f z dz)
f xdx
f
y
dy
f z dz
0
f dr 0
等压面的微分方程
11
2. 等压面的性质
① 等压面就是等势面
② 等压面与质量力垂直
证:在等压面上任取一微元段 dr
dp dU
例：求重力场中只受重力的平衡流体 的质量力势函数。
f z g dU U dx U dy U dz
x
y
z
gz
U gz C
10
势函数U的物理意义 mgz代表质量为的物体在基准面上高度为z时的位置势能，质量力势函数
U=gz的物理意义是单位质量物体在基准面上高度为时所具有的势能。
( f xdx
f ydy
f z dz)
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dp
p x
dx
p y
dy
p z
dz
欧拉平衡方程式的综合表达式或者压强差公式
dp fxdx f ydy fzdz
二、质量力的势函数
dp fxdx f ydy fzdz
dU f xdx f ydy f zdz
dp dp
第二章 流体静力学第一节 流体静压强及其特性
p2 dA p1dA ldA cos 0
消去dA，并由于△Ɩ G· cos =△h，整理得压强关系式：
p2 p1 h 或 p h 或 p2 p1 + h
倾斜微小圆柱体的端面是任意选取的。因此，可以得出普遍关系式： 即静止液体中任两点的压强差等于两点间的深度差乘以容重。压强 随深度不断增加，而深度增加的方向就是静止液体的质量力——重力 作用的方向。所以，压强增加的方向就是质量力的作用方向。
这就是液体静力学基本方程式的另一种形式，也是我们常用的 水静压强分布规律的一种形式。 结论：在同一种液体中，无论哪一点(Z+P/ γ)总是一个常数。
几何意义：
位置水头z ：任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位 重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。
p ：表示单位重量流体从压强为大气压算 压强水头 起所具有的压强势能，简称压能（压强水头），是该点在压 强作用下沿测压管所能上升的高度。
相对压强的实际意义
1．假定容器的活塞打开，容器内外气体 压强一致，po＝pa，相对压强为零。
2．假定容器的压强po＞pa ，这个超过大气压强的部分， 对器壁产生的力学效应，使器壁向外扩张。如果打开活塞， 气流向外流出，流出速度与相对压强的大小有关。 3．假定容器压强严po ＜ pa 。大气压强的部分对器壁产生 力学效应，使容器向内压缩。打开活塞，空气一定会吸入， 吸入的速度也和负的相对压强大小有关。
当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0， 所以有：px=pn 。 类似地有：px=py=pz=pn
说明：
1. 静止流体中不同点的压强一般是不等的，一 点的各向静压强大小相等。
2.运动流体是理想流体时，由于μ=0，不会产 生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分 布特性。
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理论课教案教案编号
编写教师编写日期年8月26 日审核教师审核日期年月日教学班级
教学日期2014年月日
课程名称流体力学泵与风机
课题：第二章流体静力学
2-1流体静压强及其特性
教学目标：1．流体静压强的定义；
2．流体静压强的特性。
教学重点：流体静压强的两个特性；
教学难点：两个特性的的理论推导。
教学方法：讲授法、练习法
其它说明：
时间分配教学组织1分钟小结与作业5分钟引入新课4分钟分钟讲解新课80分钟分钟
课后记事
教学内容
教学方法 [复习引入]
高中物理所学压强，水中物体压强分布。
[讲解新课]
第二章 流体静力学 §2-1流体静压强及其特性
一、流体静压强的定义
流体的静压力是作用在某一面积上的总压力；流体的静压强则是作用在某一面积上的平均压强或某一点压强。
二、流体静压强的特性
1.静压强的垂向性
流体不能承受拉力；且具有易流动性，静止时不能承受切向力，故静压强方向与作用面的内法线方向重合。
流体静压强的方向只能是垂直指向作用面。
2. 静压强的各向等值性
作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方位无关。
说明：
1） 静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各向静压强大小相等。
2） 运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。
[小结与作业]
1．流体静压强的两个特性；
2．作业：简述流体静压强的两个特性。
讲授 讲授
A P
A P p A d d lim
0=
∆∆=→∆。