弹性力学 第二章 应力状态分析
弹性力学 第二章 应力分析
ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，
∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0
∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
② 积分方程法 上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量 方程为
弹性力学的应力分析与优化
弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。
在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。
本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。
一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。
应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。
应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。
拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。
拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。
拉应力越大，物体的变形程度越大。
剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。
剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。
剪应力越大，物体的变形程度越大。
压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。
压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。
压应力越大，物体的变形程度越大。
在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。
解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。
数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。
二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。
优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。
优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。
形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。
例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。
形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
弹性力学第二章 应力理论
;
cos (),e2
()2
cos (),e3
()3
.
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ()g = g g = ijij
斜面剪应力
() n
2 n2
.
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－给定应力边界条件
若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应 力场的力边界条件：
➢定义式
面力：
P X lim
S0 S
Xi
lim
S0
Pi S
P
S
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
内力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。
内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
x y
yz
z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
ii jj ijij
1 2
I12 ijij
x xy zx I3 xy y yz eijk1i2j3k
zx yz z
xyz 2xyyzzx xy2z yz2x zx2y
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I12I2I30
求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：
( ) g
把斜面应力沿坐标轴方向分解：
( ) ( ) 1 e 1 ( ) 2 e 2 ( ) 3 e 3 ( )je j
则柯西公式的分量表达式为
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
弹性力学 应力状态
Fby 0
ij , i Fbj 0
§2.3 平衡方程5
考察主矩为零条件：
M
x
O ;
yz 1 1 yz y dy dxdz 2 dy yz dxdz 2 dy zy 1 1 zy dz dxdy dz zy dxdy dz 0 z 2 2
§2.4 应力状态1
•应力状态对于结构强度是十分重要的。
•为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以 描述应力状态的应力参数。 如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1. 应力张量可以描述其它应力参数
——斜面应力公式； 2. 坐标变换与应力张量关系 ——转轴公式。
§2.4 应力状态2
应力矢量与应力分量的关系
这就是著名的哥西公式，又称为斜面应力公式。它说明； 过一点三个互相垂直微分面上的九个应力分量完全确定了该点 的应力状态。这样，我们就可以把要了解各点应力状态的问
题，转化为去求各点的九个应力分量的问题。
§2.4 应力状态6
应力矢量不仅随位置改 变而变化，而且随截面 方位改变而变化。 同一点由于截面的法线 方向不同，截面上的应 力矢量也不同。
第二章 应力状态
弹性力学的研究对象为三维弹性体， 分析从微分单元体入手， 本章的任务就是从静力学观点出发，讨 论一点的应力状态，建立平衡微分方程 和面力边界条件。
目录
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 体力和面力 应力与应力张量 平衡微分方程 应力状态的描述 应力边界条件 主应力与应力主方向 应力球张量和球应力偏张量
§2.3 平衡方程2
主矢为零：
微分平行六面体单元
F 静力平衡条件:
清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案
第二章知识点： （1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。
可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。
（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量 （6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。
弹性力学的应力弛豫与塑性变形分析
弹性力学的应力弛豫与塑性变形分析弹性力学是研究物体在变形后能够恢复原状的力学学科。
在实际应用中，很多材料在受力后会发生塑性变形，即不能完全恢复原来的形状。
本文将重点探讨弹性力学中的应力弛豫和塑性变形现象，并分析其原因和应用。
一、应力弛豫应力弛豫是指材料在受力后，其内部应力随时间逐渐减小的过程。
这种现象可以在实验中观察到，常见于高分子材料、液晶等多种物质中。
应力弛豫的形成可以归结为材料内部的结构重排和分子运动。
在弹性力学中，材料受力后会发生分子位移和能量重分布，导致内部结构的变化。
这些变化需要一定的时间来完成，因此材料内部的应力也会随时间逐渐减小。
这种时间相关的应力变化称为弛豫，表现为应力-时间的曲线。
应力弛豫的具体原因可以从分子层面进行解释。
在材料受力后，分子会发生位移和转动，从而改变原有的排列和结构。
这些结构的变化需要时间来完成，直到达到新的力平衡状态。
因此，在应力弛豫过程中，材料内部的分子会经历一系列的位移和调整，导致应力逐渐减小。
应力弛豫对材料的影响是多方面的。
首先，它可以改变材料的物理性质，如导电性、热传导性等。
其次，它还可以影响材料的力学性能，如强度、刚度等。
因此，对于需要长时间保持稳定性能的材料，在设计和选择时需要考虑应力弛豫的效应。
二、塑性变形分析与应力弛豫不同，塑性变形指的是在外力作用下，材料发生的不可逆性变形。
这种变形无法通过解除外力或应力恢复为原始状态。
塑性变形是金属材料等多种材料中常见的力学现象。
塑性变形的发生需要材料达到一定的应力水平，使其超过了其弹性极限。
当材料达到弹性极限后，其内部原子会发生塑性畸变，从而导致整体的变形。
这种塑性畸变包括原子间的位移和滑移等，使得材料的晶格结构变得不规则。
塑性变形的原因可以从晶体结构和材料缺陷两个方面进行解释。
首先，晶体结构本身在受力时会发生弹性和塑性的变化。
其次，材料中的晶界、位错和孔隙等缺陷也会在受力时起到重要作用，促进塑性变形的发生。
2-第二章_各向异性材料的应力-应变关系【2024版】
S1132 S2232 S3332 S2332 S3132 S1232 S3232 S1332 S2132
S1113 S2213 S3313 S2313 S3113 S1213 S3213 S1313 S2113
S1121
S
2221
S3321 S2321
S3121
S1221
S3221
S1321
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
31
0
0
0
C45 C55
0
31
12 C16 C26 C36 0 0 C66 12
(2.17) (2.18)
显然，单对称材料的式(2.18)和一般各向异性材料的式(2.7)相比，独立的 弹性常数由21个减少到13个。 与式(2.18)相对应，其应变-应力的关系为:
1 S11 S12 S13 0
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
3'1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
(2.7)
(2.12)
这样由式(2.7)可得 1 C111 C12 2 C133 C14 23 C15 31 C1612 (2.13)
第二章应力分析
内力、外力及截面法
面力：分布在物体表面上各点的外力（风力，流体压力，土
压力和接触力 ）。
内力、外力及截面法
在 P点 周 围 ， 包 含 P点 ， 取 微 小 体 积 元 素 S
设 作 用 于 S的 外 力 为 Q ；
若 S 不 断 减 小 ， 则 Q和 Q / S 都 将 不 断 地 改 变 其 大 小 、 方向和作用点；
同 理 , F y 0, F z 0, 可 得 y 和 z 方 向 结 果 ， 写 在 一 起 为 ：
Y N = l xy + m y + n zy Z N = l xz + m yz + n z
X
N
l
x
m
yx
n
zx
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
2 2 2
yz
2 n l z x
Cauchy公式和上式表明，只要知道物体内一点九个应力 分量，就可以求出过此点任一斜微分面上的应力，同时，九 个应力分量（只有六个独立）完全确定了一点的应力状态。
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
◆一点的应力分量与所取的坐标系有关，当坐标改变时，同一 点的应力分量表示形式将发生相应的变化，而该点应力状态 不随之变化。
◆ 受 力 平 衡 ： Fx 0
BMC : ABC : x * l * S ; X
N
* S ;
yx
AMC :
* m * S ;
AMB :
MABC :
zx * n * S ;
X V ;
'
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
第二章_应力讲解
第二章 应力分析研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。
第1节 内力和外力1.1 外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。
我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。
1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。
量纲：力/（长度）3。
求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法：X X 2X X 2第2节 应力和应力张量2.1 应力当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法：过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力）FF -l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。
即n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++==,,1S n P B C S A B C ∆∆∆∆==0)()(=++-V f S t S t i i n ∆∆∆而 S n S t t i i i i ∆∆=-=-,)()(代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ∆∆或 )()(i i n t n t =展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n++= 或n t m t l t t z y x n )()()()( ++=2.1 应力张量每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1jxj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1(x 2x 1 x 1(x)x 3,,32S n PAB S n PAC ∆=∆∆=∆同理，得j yj j j z yz y yy x yx y e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==2323222121)()2(jzj j j z zz y zy x zx z e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==3333232131)()3(将法线方向n 取为单位长度，则将式（3.25）代入式（3.26），得3.3.2.讨论：） （ ３３３３３３２２２２２２253.l p l p l p l p ⎪⎪⎪⎭⎪⎬====σσσσ） （2631232221.l l l =++７）＝１ （）（）＋（） （２３３２２２２2311.p p p σσσ+（1）：如果以p 1，p 2，p 3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一椭球面方程，主半轴分别为σ1，σ2，σ3，称为应力椭球面。
第二章应力状态理论(弹性力学)
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
第二章弹性力学的基本方程
, , 1, 2
由此,向量 a可表示为
3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei i 1
三阶线性代数方程组
a11x a12 y a13 z P1
a21
x
a22
y
a23
z
P2
a31
x
a32
y
a33
z
P3
可表示为
ai1x1 ai2 x2 ai3x3 Pi
(c) 非循环序列:i, j, k中有两个以上得指标取
相同值
e112 e222 e323 0
利用置换符号可以简化公式
(1)行列式
a11 a12 a13 a a21 a22 a23
( xix j
) ,ij
例如:
xi
,i
ui x j
ui, j
2ui x j xk
ui, jk
ui xi
ui,i
u1,1
u2,2
u3,3
f xi
dxi
f ,i dxi
f ,1dx1
f ,2 dx2
f ,3dx3
4、 克罗内克(Kroneker)符号
定义: ij ei e j cos(ei ˆ e j )
Fx
1 dh 3
0
同理可得:
Tx xl yx m zx n Ty xyl y m zy n Tz xzl yz m z n
上式称为斜面应力公式,又称Cauchy公式。
2、斜面上得正应力与剪应力
Tν Txl Tym Tz n
xl 2 y m 2 z n 2 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
ei
弹性力学_第二章__应力状态分析
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
弹性力学第2章—应力
τyz
px
O
τzy
τxz
τzx
σz
σx
py
B
y
( ) σ x′
=
σ
x
l
2 x′x
+
σ
y
l
2 x′y
+
σ
z
l
2 x′z
+
2 τ xy lx′xlx′y
+ τ yz l lx′y x′z
+ τ zxlx′xlx′z
即 σ1′1′ = l1′il1′ jσ ij
σ σ 同理可得 σ1′2′ = σ l l1′i 2′ j ij ， = l l 1′3′ 1′i 3′ j ij
pn
=
lim
ΔSC →0
ΔP ΔSC
Bn
C σ n ΔP
P
ΔSC
τ
pn
n
A
O
y
x
2.1 应力的概念
应力的分解:
应力矢量分解为正应力（截面法向）和剪应力（切向）
正应力 剪应力
σn τn
= =
lim
ΔSC →0
lim
ΔSC →0
ΔPn ΔSC ΔPs ΔSC
⎫
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
pn = σ nn + τ ns
z
Bn
C σ n ΔP
P
ΔSC
τ
pn
n
A
σ n = pn ⋅ n
O
τ n = pn ⋅ s =
p2
−
σ
2 n
y
x
2.1 应力的概念
一点的应力状态：
过固体内部一点的所有截面上应力的集合
弹性力学3-应力状态、几何方程
s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章 平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征 过该点的任意斜截面上的应力 用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小， 趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
学习要点：1、体力；2、面力。
1、体力作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。
所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。
例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。
为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。
物体内任一点的体力用F b表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。
体力沿三个坐标轴的分量用F b i( i = 1,2,3)或者F b x, F b y, F b z表示，称为体力分量。
体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。
2、面力类似于体力，可以给出面力的定义。
对于物体表面上的任一点P，在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S，如图所示设△S 上作用的面力合力为△F，则P 点的面力定义为面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。
一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。
弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。
§2.2 应力和应力状态学习思路:物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之间将产生相互作用，物体内部相互作用力称为内力。
为讨论弹性体的强度，将单位面积的内力，就是内力集度定义为应力。
p n为过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。
讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。
凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。
显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。
不可能也不必要写出一点所有截面的应力。
为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
学习要点：1、应力矢量；2、应力矢量的分解；3、应力分量。
1、应力矢量物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。
内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。
内力的分布一般是不均匀的。
为了描述任意一点M的内力，在截面上选取一个包含M的微面积单元ΔS，如图所示则可认为微面积上的内力主矢ΔF的分布是均匀的。
设ΔS 的法线方向为n，则定义：上式中p n为微面积ΔS 上的平均应力。
如果令ΔS 逐渐减小，并且趋近于零，取极限可得上述分析可见：p n是通过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。
应力p n是矢量，方向由内力主矢ΔF确定，又受ΔS方位变化的影响。
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。
这种性质称为应力状态。
因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。
应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。
显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。
不可能也不必要写出一点所有截面的应力。
为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
2、应力矢量的分解讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。
为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
应力矢量的一种分解方法是将应力矢量p n在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用p x, p y, p z表示其分量，则p n=p x i + p y j+ p z k，这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。
它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程。
另一种分解方法，如图所示，是将应力矢量p n沿微分面ΔS的法线和切线方向分解。
与微分面ΔS 法线n方向的投影称为正应力，用 n表示；平行于微分面ΔS的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用τn表示。
弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。
由于微分面法线n的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力σn的方向。
但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力τn不仅需要确定截面方位，还必须指明方向。
3、应力分量为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截取一个平行六面体单元，如图所示。
将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向3个坐标轴投影，可以得到应力分量σij。
应力分量的第一脚标i 表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线的方向；第二脚标j 表示应力的方向。
如果应力分量与j 坐标轴方向一致为正，反之为负。
如果两个脚标相同，i＝j，则应力分量方向与作用平面法线方向一致，这是正应力，可以并写为一个脚标，例如σx。
如果两脚标不同，i≠j，则应力分量方向与作用平面法线方向不同，这是切应力，例如τxy。
六面体单元的3对截面共有九个应力分量σij。
应该注意：应力分量是应力矢量在坐标轴上的投影，因此是标量，而不是矢量。
在已知的坐标系中应力状态通常用应力张量表示。
使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态。
§2.3 斜截面上的应力应力矢量与应力分量学习思路:应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且也由于截面的法线方向n的方向改变而变化，研究这一变化规律称为应力状态分析。
如果应力分量能够描述一点的应力状态，那么应力分量与其它应力参数必然有内在联系。
本节分析应力矢量与应力分量之间的关系，为深入讨论应力状态作准备。
利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元，通过四面体单元探讨坐标平面的应力分量和斜截面上的应力矢量的关系。
根据平衡关系，推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力分量之间的关系。
分析表明：一点的应力分量确定后，任意斜截面的应力矢量是确定的。
学习要点：1、分四面体单元；2、应力矢量与应力分量。
1、微分四面体单元一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。
为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元，如图所示。
斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。
设斜截面上的应力为p n，i，j和k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，p n 在坐标轴上的投影分别为p x, p y, p z。
则应力矢量可以表示为p n= p x i+ p y j+ p z k同样，把单位体积的质量所受的体积力F b沿坐标轴分解，有F b= F b x i+ F b y j+ F b z k设S为ΔABC的面积，则ΔOBC=lS, ΔOCA=mS, ΔOAB=nSΔABC的法线方向的单位矢量可表示为n= l i+ l j + m k2、应力矢量与应力分量微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设h为O点至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得将公式代入上式，则对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，因此与1相比为小量，趋近于零，因此同理如果采用张量记号，则上述公式可以表示为上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。
这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。
因此应力分量可以确定一点的应力状态。
§2.4 平衡微分方程学习思路:物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。
平衡不仅是指整个物体，而且弹性体的任何部分也是平衡的。
本节通过微分平行六面体单元讨论弹性体内部任意一点的平衡。
应该注意：在讨论微分单元体平衡时，考虑到坐标的微小变化将导致应力分量的相应改变。
即坐标有增量时，应力分量也有对应的增量。
这个增量作为高阶小量，如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑的。