大一高等数学复习题2(含答案)
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高等数学二(含答案)
高等数学（二）一、选择题1函数1ln xy x-=的定义域是 （ D ） ](0,1) B (0,1)(1,4)C (0,4) D (0,1)(1,4A ⋃⋃2 设2,0,(x)sin ,0a bx x f bx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在x=0处连续，则常数a ，b 应满足的关系是 （ C ）A a<bB a>bC a=bD a ≠b3 设(sin )cos 21f x x =+ 则(sin )(cos )f x f x += （ D ） A 1 B -1 C -2 D 24 若(x)xln(2x)f = 在0x 处可导，且'00()2,()f x f x ==则 （ B ）221 B C D e 2e A e5 设(x)f 的一个原函数为xlnx ，则(x)dx xf =⎰ （ B ）22221111x (lnx)C B x (lnx)C24421111C x (lnx)CD x (lnx)C4224A ++++-+-+6 设'(x)(x 1)(2x 1),x (,)f =-+∈-∞+∞ ，则在（12，1）内，f （x ）单调（ B ） A 增加，曲线y=f （x ）为凹的 B 减少，曲线y=f （x ）为凹的 C 减少，曲线y=f （x ）为凸的 D 增加，曲线y=f （x ）为凸的 7 设(0,0)z(x y)e ,xy z y ∂=+=∂则（ C ） A -1 B 1 C 0 D 2 8 设2239k x dx =⎰ ，则k= （ 0 ）9 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ B ） A 0 B 1 C 2 D +∞ 10 {A ，B ，C 三个事件中至少有一个发生}这一事件可以用事件的关系表示为（ A ）A A ⋃B ⋃C B A ⋂B ⋃C C A ⋃B ⋂CD A ⋂B ⋂C 二 填空题11 设21(x)x f x=+ 则"(1)f =____4_____12 与曲线3235y x x =+- 相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程__y=-3x-6__ 13()sin x x dx +=⎰21cos 2x x C -+ 14 设ln ,z y x dz ==则 _y/x*dx+lnxdy_________ 15 0sin 2lim3x xx→= __2/3_______16函数z = 的定义域为__{(x,y)|x 2+y 2≤1}______ 17 设函数y=xcosx ，则y ’=_cosx-xsinx____18 设函数332,0(x),0x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则f （0）=____2__________19 曲线32113y x x =-+ 的拐点是__(1,1/3)_________20 若2n x y x e =+ 则(n)y = ___22n n x n A e + _____ 三、计算题 21 求极限02sin 2lim sin 3x x xx x→+-解：原式=00224lim lim 232x x x x xx x x→→+==---22计算lim x x →+∞22 lim limlimx x x x →+∞====解：原式 1=23 计算sin x xdx ⎰cos cos cos cosx sinx xd x x x xdx x =-=-+=-+⎰⎰解：原式24 计算4211xdx xπ++⎰442200424021=dx dx 1+x 1+x 1 =arctan ln(1x )21 =arctan ln(1)4216x x ππππππ+++++⎰⎰解：原式25 设z （x ，y ）是由方程2224x y z z ++= 所确定的隐函数，求dz222(x,y,z)x 42,2,242242224222F y z z F F Fx y z x y z F z x x x F x z z z F z x y y F y z z z z z x y dz dx dy dx dyx y z z=++-∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∴=+=+∂∂--解：设则有：26 设sin x y e x =，证明"'220y y y -+='""'sin cos sin cos cos sin 2cos 222cos 2(sin cos )2sin =0x x x x x x x xxxxy e x e xy e x e x e x e x e x y y y e x e x e x e x =+=++-=∴-+=-++解：27 （1）求曲线x y e = 及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D 的面积S （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V110011222001e e 1e =ee 222xx x xx x dx ee y e dx ππππ===-==-⎰⎰解：由题知曲线直线的交点：（1，） 则（1） （2））和（28 讨论函数21x y x=+ 的单调区间和凹凸区间，并求出极值和拐点的坐标。
大一高数期末考试复习题及标准答案
大一高数期末考试复习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b af x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2230x x e dx-⎰.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .本页满分36分 本页得分本页满分 12分 本页得分3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求n n x∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()x x x e x →-=21e .2．()()1200511xxx xe e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：本页满分 12分 本页得分本页满分15分 本页得分本页满分18分 本页得分本页满分7分 本页得分1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cdx x f dx x f ;(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-2032dxe x x .解：⎰⎰⎰----===20202322121,2t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=ee e t --------22．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3 C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------33．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)cos 1(sin π=-=t t a t a 1= -------2切线方程为 )12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---. 5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求nn x ∞→lim .解：)1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(101-=+-+⎰dx x xx x ------------2 故 n n x∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D由222x y x+≤与y x≥所确定，试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21VVV-=[][]⎰⎰⎰---=-----=12212122)1(12)2()11(2dyyydyydyyπππ-------6)314(21)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy--------3法二：V=⎰---12)2)(2(2dxxxxxπ⎰⎰----=1122)2(22)2(2dxxxdxxxxππ------------------ 5[]⎰--+--=12234222)22(ππdxxxxxxππππππππ32213421323414121)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=xx------------- 43. 设1,a>atatf t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().t a问a为何值时)(at最小? 并求最小值.解:.lnlnln1)(ln)(aaataaatf t-==-='得由--------------- 3)(ln1lnln)(2eeaaaaat==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当ateaateaatea eee=<'<>'>-----2 故.11ln1)(,)(eeeetatea ee-=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理， 根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。
高数复习题与答案
复习题（一）一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续；B 、不连续；C 、为第一类间断点；D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ；B 、n x f n )]([；C 、1][+n f(x)n!；D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =，则dy=（ ）A 、x d e 22sin ；B 、x d e x sin sin ；C 、x d e x sin 2sin ；D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的 （ ）A 、充分条件；B 、必要条件；C 、充要条件；D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、 数列收敛是数列有界的（ ）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时，下列无穷小中，（ ）是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ；B 、1cos x -与 22x ；C 、1xe -与 2x ；D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+，则0x =是()f x 的（ ）A 、可去间断点；B 、跳跃间断点；C 、无穷间断点；D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导，则()f x 在0x 处（ ）A 、一定不连续；B 、一定无界；C 、不一定连续；D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线在2t π=处的切线方程是（ ）A 、x y π-=；B 、4x y π+=-；C 、x y π+=；D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+，则y '=（ ）A 、1sec 2x +；B 、2sec 2x +； C 、2sec x ；D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时，→都是无穷小，且))(o()(x x βα=,)(x β～)(x γ，则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续，且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ，则=)a (f ； 4、过曲线xxy -+=66上点（2，2）处的切线方程为 ； 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ，则=dy x d ln 。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
年夜一第二学期高数期末考试之公保含烟创作一、单项选择题 (本年夜题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极年夜值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本年夜题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 20)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7.=-+⎰2212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本年夜题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 延续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的延续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本年夜题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本年夜题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本年夜题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上延续且单调递加，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上延续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本年夜题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本年夜题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本年夜题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =.2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处延续.13. 解：2ln dy y x dx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本年夜题10分）14.解：由已知且2d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得 31,3221==C C故所求曲线方程为：xx e e y 23132+=-五、解答题（本年夜题10分）15.解：（1）依据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题（本年夜题有2小题，每小题4分，共12分）16.证明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx证毕.证：结构辅佐函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其满足在],0[π上延续，在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上辨别应用罗尔定理，知存在 ),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)汇编
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高数复习参考卷答案(2)
高等数学期末复习参考卷一、选择题：1。
下列函数中，（ B ）是基本初等函数。
A 。
()x x f sin 2=； B 。
()2xx f =; C 。
()()x x f +=1ln ; D.()2arcsin x x f =。
2.下列各对函数中,( D )中的两个函数相等。
A 。
()2)(x x f =,x x g =)(; B 。
11)(2--=x x x f ，1)(+=x x g ； C.2ln )(x x f =,x x g ln 2)(=； D 。
2)(x x f =,x x g =)(。
3.函数4ln y x=的定义域为（ D ）。
A. ［-2，2]; B. (0.)+∞； C.［—2，0］ ∪(0，2］； D.（0，1)∪(1，2］. 4。
变量（ D ）是无穷小量。
A 。
()2339x x x -→-; B.()1sin0x x→； C 。
()10xex →； D.()ln 1x x →。
5。
当0→x 时,下列无穷小量中与x 等价的是（ D ）.A 。
x cos 1-;B 。
x 2tan ；C 。
2arctan x ；D 。
x x +2. 6。
函数)(x f 在点0x 处有定义,是()x f 在点0x 处连续的（ A ）。
A.必要不充分条件; B 。
充分不必要条件； C.充分必要条件； D.既非必要又非充分条件。
7.函数)(x f 在[]b a ,上连续，是()x f 在[]b a ,上可导的（ B ）。
A. 充分不必要条件； B 。
必要不充分条件; C 。
充分必要条件； D. 既非必要又非充分条件. 8。
设)(x f 在点0x 处可导，则下列结论错误的是( B ）。
A 。
()x f 在0x 处有定义; B.()A x f x x =→0lim ,但()0x f A ≠;C 。
()x f 在0x 处连续;D 。
()x f 在0x 处可微.9。
能导出“()f x 在0x 可微"的条件是( D )。
大一高数试题和答案与解析
大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（），１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０②１③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二教期下数期终考查之阳早格格创做一、单项采用题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是共阶无贫小，但是不是等价无贫小；（B ）()()x x αβ与是等价无贫小；（C ）()x α是比()x β下阶的无贫小； （D ）()x β是比()x α下阶的无贫小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 正在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必正在0x =处博得极大值； （B ）函数()F x 必正在0x =处博得极小值；（C ）函数()F x 正在0x =处不极值，但是面(0,(0))F 为直线()y F x =的拐面；（D ）函数()F x 正在0x =处不极值，面(0,(0))F 也不是直线()y F x =的拐面.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、挖空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解问题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由圆程sin()1x ye xy ++=决定，供'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连绝，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 供'()g x 并计划'()g x 正在=0x 处的连绝性.10. 供微分圆程2ln xy y x x '+=谦脚=-1(1)9y 的解. 四、 解问题（本大题10分）11. 已知上半仄里内一直线)0()(≥=x x y y ，过面(,)01，且直线上任一面M x y (,)00处切线斜率数值上等于此直线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成里积的2倍与该面纵坐标之战，供此直线圆程.五、解问题（本大题10分）12. 过坐标本面做直线x y ln =的切线，该切线与直线x y ln =及x 轴围成仄里图形D.(1) 供D 的里积A ；(2) 供D 绕直线x = e 转动一周所得转动体的体积V .六、说明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 正在[]0,1上连绝且单调递减，说明对于任性的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 正在[]π,0上连绝，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .说明：正在()π,0内起码存留二个分歧的面21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(） 解问一、单项采用题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、挖空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e. 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解问题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：圆程二边供导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =.02()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 正在=0x 处连绝.13. 解：2ln dy y xdx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、 解问题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此圆程闭于x 供导得y y y '+=''2特性圆程：022=--r r 解出特性根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代进初初条件y y ()()001='=，得31,3221==C C故所供直线圆程为：x x e e y 23132+=-五、解问题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切面为)ln ,(00x x ，切线圆程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过本面，解出e x =0，进而切线圆程为：x e y 1=则仄里图形里积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=直线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得转动体体积为V 2D 绕直线x = e 转动一周所得转动体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、说明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.说明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：构制辅帮函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其谦脚正在],0[π上连绝，正在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F 由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存留),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .正在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗我定理，知存留),0(1ξξ∈战),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试之杨若古兰创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无量小，但不是等价无量小； （B ）()()x x αβ与是等价无量小；（C ）()x α是比()x β高阶的无量小； （D ）()x β是比()x α高阶的无量小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 和'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积V .六、证实题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证实对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证实：在()π,0内至多存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =.2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处连续.13. 解：2ln dy y xdx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得 31,3221==C C故所求曲线方程为：x x e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-因为切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=10121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得扭转体体积为V 2D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证实题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证实：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别利用罗尔定理，知存在 ),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。
大学高等数学试卷2(含答案,结构规整可直接考试)
高等数学一、填空（18分）1 已知22)/,(y x x y y x f -=+，则=),(y x f 。
2 设{}1:),(22≤+=y x y x D ，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Dd y x σ)14(22 。
3 设∑是锥面222z y x =+被平面1=z 所截得立体表面的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 。
4 级数∑∞=--11)1(n n n 的和为 。
5 把函数x +11展开成x 的幂级数得到：=+x11。
6 已知四个函数x x e e x x cos ,sin ,,-是某个四阶齐次线性微分方程的特解， 则该微分方程为 。
二、选择题（18分）1 有且只有一个不连续点的函数是（ ）（A ）xy （B ）)ln(22y x e x + （C ）yx x + （D ）xy arctan 。
2 旋转抛物面42222-+=y x z 在点)0,1,1(-处的法线方程为（ ）（A ）14141-=+=-z y x （B ）14141-=-+=-z y x （C ）14111-=+=--z y x （D ）44111z y x =+=--。
3 改换积分⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy的次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）⎰⎰--21011),(x dy y x f dx（B ）⎰⎰21/1),(xxdy y x f dx （C ）⎰⎰xxdy y x f dx /131),( （D ）⎰⎰-2121),(x xdy y x f dx4 若L 是抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段，则=⎰Lxds （ ）（A ）)155(121- （B ）155- （C ）121 （D ）)155(81-。
5 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n n （B ）∑∞=-1884n n n n （C ）∑∞=+1824n n n n （D ）∑∞=⋅1842n nnn 。
高等数学2试题及答案
高等数学2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B3. 计算级数∑(1/n^2)（n从1到∞）的和。
A. 1B. π^2/6C. eD. ∞答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，则f'(x)等于：A. cos(x)B. -sin(x)C. cos(x)-xD. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的最小值。
答案：02. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
答案：13. 设函数f(x)=e^x，求f''(x)的值。
答案：e^x4. 设函数f(x)=ln(x)，则f(1)的值为：答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
解：∫(0,π) sin(x) dx = (-cos(x))|_0^π = 2。
3. 求级数∑((-1)^n * 1/n)（n从1到∞）的和。
解：该级数为交错级数，且满足收敛条件，因此其和为ln(2)。
4. 求函数f(x)=x^2-4x+c的顶点坐标。
解：顶点的x坐标为x=-b/2a=2，将x=2代入函数得y=-4+c，因此顶点坐标为(2, -4+c)。
5. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的切线方程。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，将x=2代入得f'(2)=9，f(2)=3。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试之阿布丰王创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则. 6.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高等数学第二章复习题及答案
高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。
2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。
3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。
4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。
5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。
6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。
7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。
8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。
9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。
10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。
11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。
12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。
13、设lny =_______________(0)y '''=。
14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。
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工程数学二复习题（教师用）一、选择题：1、下列等式中有一个是微分方程，它是（ D ）A 、)('='+'uv v u v uB 、'⎪⎭⎫⎝⎛='-'v u v v u v u 2 C 、dxe y d e dx dy x x)(+=+ D 、043=+'+''y y y 解：选项A 和B 是求导公式，选项C 为恒等式，选项D 符合微分方程的定义2、下列方程中有一个是一阶微分方程，它是（ C ）A 、y y x y x y ''='-22)(B 、0)(5)(7542=+-'+''x y y yC 、0)()(2222=++-dy y x dx y xD 、043=+'+''y y y x3、若级数∑∞=1n na与∑∞=1n nb都发散，则（ C ）A 、∑∞=+1)(n n nb a发散 B 、∑∞=1n n n b a 发散C 、∑∞=+1)(n n nb a发散 D 、∑∞=+122)(n n n b a 发散4、级数∑∞=1n na的部分和数列{}n S 有界是该级数收敛的（ A ）A 、必要非充分条件B 、充分非必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件 5、级数∑∞=1n n q a（a 为常数）收敛的充分条件是（ A ）6、若级数∑∞=1n na收敛，那么下列级数中发散的是（ B ）A 、∑∞=1100n naB 、∑∞=+1)100(n naC 、100+∑∞=1n n a D 、∑∞=+1100n n a解：选项B 中，因为0100)100(lim ≠=+∞→n n a ，所以该级数发散7、若级数∑∞=1n na发散，则（ D ）A 、0lim ≠∞→n n a B 、)(lim 21n n n n a a a S S +++=∞=∞→C 、∑∞=1n na任意加括号后所成的级数必发散D 、∑∞=1n na任意加括号后所成的级数可能收敛解：选项A 和B 均为级数发散的充分条件，但非要条件。
若级数发散，则任意加括号后所成级数可能收敛也可能发散8、若级数∑∞=1n na收敛，则下述结论中，不正确的是（ C ）A 、∑∞=-+1212)(n n n a a收敛 B 、∑∞=1n n ka 收敛 )0(≠kC 、∑∞=1||n na收敛 D 、0lim =→∞n n a解：选项A 中因为∑∞=-++++=+14321212)()()(n n n a a a a a a所以A 正确选项B 中由级数收敛性质知该级数收敛，所以B 正确 选项D 是级数收敛的必要条件，所以D 正确 选项C 中原级数收敛，∑∞=1||n na可能收敛也可以发散9、无穷级数∑∞=>-1)0()1(n n n nu u 收敛的充分条件是（ C ）A 、),2,1(1 =≤+n u u n nB 、0lim =∞→n n uC 、),2,1(1 =≤+n u u nn ，且0lim =∞→n n u D 、∑∞=+--11)()1(n n n n u u 收敛解：所给级数为交错级数，选项C 为交错级数判断收敛性的莱布尼茨定理中的条件10、设),2,1(10 =<≤n u n ，则下列级数中必定收敛的是（ D ）A 、∑∞=1n nuD 、∑∞=-12)1(n nn u 11、在球02222=-++z z y x 内部的点是（ C ） A 、（0，0，2） B 、（0，0，-2） C 、)21,21,21( D 、)21,21,21(--解：球的标准方程为1)1(222=-++z y x ，是以（0，0，1）为球心，1为半径的球面，12、设函数22),(yx xyy x f z +==，则下列各结论中不正确的是（ D ） A 、22),1(y x xy x y f +=B 、22),1(y x xyy x f +=C 、22)1,1(y x xy yx f +=D 、22),(yx xyy x y x f +=-+ 13、设函数z=f(x,y)在点(x 0，y 0)处存在对x ，y 的偏导数，则f ’x (x 0，y 0)=（ B ） A 、x y x f y x x f x ∆-∆-→∆),(),2(lim00000B 、x y x x f y x f x ∆∆--→∆),(),(lim 00000C 、x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000D 、0000),(),(lim x x y x f y x f x --→∆14、二元函数z=f(x,y)的两个偏导数存在，且0,0<∂∂>∂∂yzx z ，则（ D ） A 、当y 保持不变时，f(x,y)是随x 的减少而单调增加的B 、当x 保持不变时，f(x,y)是随y 的增加而单调增加的C 、当y 保持不变时，f(x,y)是随x 的增加而单调减少的15、 函数z=f(x,y)在点（x 0,y 0）处可微的充分条件是（ D ） A 、f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续B 、f(x,y)在点(x 0,y 0)处存在偏导数C 、0]),(),([lim 00000=∆'-∆'-∆→y y x f x y x f z y x ρD 、0]),(),([lim 00000=∆'-∆'-∆→ρρyy x f x y x f z y x ，其中22)()(y x ∆+∆=ρ解：二元函数在点（x 0,y 0）连续或偏导数存在均不能保证在此点可微 由全徽分的定义知选项D 正确16、已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),(（ B ）17、已知函数xy y x y x xy f ++=+22),(，则yy x f x y x f ∂∂∂∂),(,),(分别为（ A ） A 、-1，2y B 、2y ，-1 C 、2x+2y ，2y+x D 、2y ，2x解：设u=xy, v=x+y ，则f(u ，v)=(x+y)2-xy=v 2-u 所以f(x ，y)=y 2-x18、点),(00y x 使0),(='y x f x 且0),(='y x f y 成立，则（ D ） A 、),(00y x 是),(y x f 的极值点 B 、),(00y x 是),(y x f 的最小值点C 、),(00y x 是),(y x f 的最大值点D 、),(00y x 可能是),(y x f 的极值点 解：0),(='y x f x 且0),(='y x f y 是),(y x f 在),(00y x 有极值的必要而非充分条件19、设区域D 是单位圆122≤+y x 在第一象限的部分，则二重积分=⎰⎰Dxyd σ（ C ）A 、⎰⎰--221010x y xydy dx B 、⎰⎰-2101y xydy dxC 、⎰⎰-2101y xydx dy D 、⎰⎰10222sin 21dr r d θθπ20、⎰⎰-=110),(xdy y x f dx （ D ）A 、⎰⎰-xdx y x f dy 1010),( B 、⎰⎰11),(dx y x f dyC 、⎰⎰-110),(x dx y x f dy D 、⎰⎰-1010),(ydx y x f dy解：改变积分次序后，积分区域可记为}10,10|),{(y x y y x D -≤≤≤≤= 21、若⎰⎰=Ddxdy 1，则积分区域D 可以是（ C ）A 、由x 轴，y 轴及x+y-2=0所围成的区域B 、由x=1，x=2及y=2，y=4所围成的区域C 、由|x|=1/2，|y|=1/2所围成的区域D 、由|x+y|=1，|x-y|=1所围成的区域解：由二重积分的几何意义可知D 的面积为1，画出草图可知选项A 、B 、D 所给区域面积均为2，选项C 所给区域的面积为1二、填空题：1、微分方程0=+'y y x 满足条件1)1(=y 的解是（ xy 1=） 2、微分方程0)1()1(=--+dy x dx y 的通解是（ C y x =+-)1)(1( ）解：⎰⎰-=+x dxy dy 11，于是C x y ln )1ln()1ln(+--=+8、设y xz =，则dz=( dy yxy dx xy xy 222- ) 4、⎰⎰⎰⎰-+yydx y x f dy dx y x f dy 020211),(),(交换二次积分的次序为（⎰⎰-102),(xxdy y x f dx ）5、已知)2,2,1(),4,1,1(-=-=，则=⋅（ -9 ），与的夹角为（ π43） 6、二元函数y x z -=的定义域是（ 222{(,)|24,}D x y x y x y =≤+≤> ）。
三、计算题1、求级数 ++++7538642x x x x 的收敛域，并求和函数。
解：122)(-=n n nx x a212121||2)22(lim )()(lim x nx x n x a x a n n n nn n =+=-+∞→+∞→ 当1||2<x 即1||<x 时收敛，当1||2>x 即1||>x 时发散 当x=1时，原级数为∑∞=12n n 发散，当x= —1时，原级数为∑∞=-1)2(n n 发散所收敛域为（—1，1） 令∑∞=-=1122)(n n nxx S ，则S （0）=0⎰∑⎰∑∞=∞=-<-===xn xn nn x xx xdt ntdt t S 01122212)1|(|12)( )1|(|)1(21)(2222<-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴x x xx x x S 2、将函数xe x xf -=3)(展开成x 的幂级数。
参考答案：解：∑∞==1!n nxn x e ),(+∞-∞∈x∑∞=--=∴1!)1(n nn xn x e),(+∞-∞∈x 从而∑∞=+--==133!)1()(n n nxn x ex x f ),(+∞-∞∈x3、级数()∑∞=-2ln 11n nn是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 参考答案：解：因n n n 1ln 1|u |>=，而∑∞=21n n 发散，故∑∞=2ln 1n n 发散。
因此原级数不是绝对收敛，显然()nn ln 11ln 1<+， ,3,2=n ，且0ln 1lim =∞→n n ， 故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。