有限单元法的基本思想
2_有限单元法的基本概念和理论基础
① ② Y2 X2
结点载荷
1 3
Fy12
Fy22
结点力
Fx22
2
Fx12
① ②
2
Fy23 Fx11
3
Fx23
8 /37
有限元法的基本概念
非法结构离散
结点不合法
不同材料
9 /37
有限元法的基本概念
单元类型
杆单元 梁单元
单元图形
结点数 结点自由度 2 2 2 3 3 4 3 4 4 2 2 2 6 3
∂x ∂σ y ∂y + + ∂y ∂τ yx ∂x ∂τ zy + + ∂z ∂τ yz ∂z +X =0 +Y = 0
∂τ zx ∂σ z + + +Z =0 ∂z ∂y ∂x τ xy = τ yx τ xz = τ zx τ yz = τ zy
21 /37
应力分量
可以证明： 这六个量在P点 可以证明：如果σ x、σ y、σ z、τ xy、τ yz、τ zx这六个量在 点 是已知的，就可以求得经过该点 经过该点的任何面上的正应力和剪应 是已知的 ， 就可以求得 经过该点 的任何面上的正应力和剪应 应力状态， 因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态 力 ， 因此 ， 这六个量可以完全确定该点的 应力状态 ， 它们就 称为在该点的应力分量。 称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此， 一般说来 ， 弹性体内各点的应力状态都不相同 ， 因此 ， 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量， 是坐标x 的函数。 是坐标 、y、z的函数。 的函数 六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示： 六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：
有限单元法的基本思想
有限元法分析流程
x
E 1 2
u x
v y
,
xy
E 2(1
)
v x
u y
y
E 1 2
v yLeabharlann u x
,
x
x
yx
y
fx
0, xy
x
y
y
fy
0
位移表示的平衡微分方程:
w
y u
z
y
0
z
0
y
0
x z
0
0
0
z
uv
0 w
y
x
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
物理方程
应力 ~ 应变
有限元法分析流程
x y
1
E 1
有限元法的基本思想总结弹性力学有关知识有限元法基本思想有限元法分析流程第二章有限元法的基本思想总结离散化连续无限自由度离散有限自由度任意点的位移结点位移未知量表示为结点位移应力边界条件等效结点荷载建立平衡方程求出结点位移弹性力学有关知识有限元法基本思想有限元法分析流程第二章弹性力学有关知识有限单元法的基本思想有限单元法分析流程弹性力学有关知识有限元法基本思想有限元法分析流程第二章几何模型弹性力学有关知识有限元法基本思想有限元法分析流程第二章几何模型收集资料明确计算目的选择力学模型三维or二维确定模型范围?地形地质结构周边环境?确定可简化的内容?荷载结构法?地层结构法重要误差来源?是否可以简化为平面问题
有限单元法的概念
有限单元法的概念
1、基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题。
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法)：根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。
(2) 变分法：直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。
(3) 加权余量法：直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。
2、有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数
(3) 形成单元性质的矩阵方程
(4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
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有限单元法
•
u ( x) N j
Ni
—i点单位位移对内位移所做的贡献
性质：本质上与位移函数有相同的形式
性质1：本端为1，他端为0 性质2：任意一点的总和为1
k i , j
N
k
( x) N i ( x) N j ( x) 1
•
数学意义 若结构被自然结点离散化为有限元的集合，实现了结构模型的离 散化，而形状函数完成了数学模型的离散化，这两个离散化的步骤构 成了有限元法的理论基础。
① 平面桁架单元（只有一个沿轴向位移）
λ [l11 l12 ] cos
l11 l12 λ l21 l22 0 0 0 cos sin 0 1 0
sin
sin cos 0 0 0 1
② 平面自由式单元（轴向位移、横向位移及转角）
1 l Q Fp , 2 8 ,
e
1 l , 2 8
T
T
xi Qe M x ( 1 ) l
e
xi l
T
1 Q M x 2
e
2 2 6 xi 6 xi 2 xi 3 xi 3 , 2 l2 l l l
Qe mz
0 mz
0
T
6x 6x N v 2 3 l l
2
, 1
4 x 3x 2 2 , l l
6x 6x2 2 x 3x 2 , 2 l2 l3 l l
E-mail: wh@
LOGO
集中载荷
Q
e
N x
E-mail: wh@
LOGO
第二章 杆件结构有限元分析
《弹性力学问题的有限单元法》
《弹性力学问题的有限单元法》弹性力学问题的有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）是一种经典的多学科跨领域的计算方法，它用于估算连续体结构中非线性材料力学性能，如强度、刚度和破坏。
有限单元法已成为工程和材料科学中最重要的数值计算方法，可用于解决各种复杂多学科优化和设计问题。
有限单元法的基本思想是把复杂的连续体结构划分成许多小的、较容易处理的有限元素，而不是像一般的解析方法那样求取整体的解析解。
基于有限元素重要的性质，即小元素经过一系列的连接后就可以构成整个结构的模型，有限单元法的本质是数值分析，也就是根据模型的物理知识，选择有效的数值化方法，用数值计算的方法求解所要求的结果，从而使这些数值计算结果符合实际结构物理知识。
有限单元法是一种有效计算弹性力学问题的方法，它可以用来求解任意形状的结构问题，无论是有边界条件还是无边界条件，无论是线性或者非线性的形状变化，有限单元法都能够有效地应用。
其优势在于以节省计算时间和消耗的成本，在特殊的材料条件下，它可以比较快速地获得弹性力学问题的有效精确解。
其精度依赖于计算模型元素的类型、形状和几何尺寸等，因此通常需要调节元素的类型、形状和尺寸，以满足计算需要。
在计算机技术的发展下，有限单元法的计算能力越来越强大，可以对更多的复杂问题进行分析，可以更有效地解决工程设计中的实际问题。
由于计算机可以模拟各种变形和应力的变化，因此有限单元法可以为工程设计和材料研究提供更可靠的结果。
有限单元法在工程应用中的实际作用是显而易见的。
它不仅可以用来计算弹性结构中的材料力学特性，还可以分析复杂结构的动态响应。
此外，有限单元法还可以用来计算弹性结构中的表面张力、刚度，以及各种材料的裂缝扩展。
通过有限单元法的应用，可以获得有效的数值结果，从而提高设计效果和工程安全性。
因此，有限单元法对于材料科学和工程设计都具有重要价值，今后还将发挥更多的功能。
有限单元法是多学科跨学科的计算方法，它可以用来有效地分析复杂形状结构的力学特性，计算出精确的结果，从而提高工程设计的效果和安全性。
有限元法的基本思想
有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数在单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。
最后通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的袋鼠方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。
（有限元法分为三类：即位移法、力法、和混合法。
位移求解问题的步骤如下：结构的离散化、单元分析、单元集成、引入约束条件、求解线线方程组，得出节点位移、由节点位移计算单元的应力与应变。
）节点位移：节点在受力变形过程中，节点位置的改变，分为线位移、角位移。
节点载荷：作用在节点上的外载荷。
单元节点力：单元与节点之间的作用力。
杆件结构划分单元的原则：（1）杆件的焦点一定要取为节点。
（2）阶梯行杆截面变化处一定要取为节点（3）支撑点和自由端要取为节点（4）集中载荷处要取为节点（5）欲求位移的点要取为节点（6）单元长度不要相差太多弹性力学的几个基本假设：连续性假设、弹性假设、均匀性和各向同性假设、小变形假定、无初应力假设。
弹性力学几个基本概念：1、外力：作用于物体的外力，通常分为表面力和体积力。
面力：分布在物体表面上的外力体积力：分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量成正比且是各质点位置函数。
内力：弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在。
在选择多项式位移模式的时候考虑的因素：1、单元的完备性和协调性的要求2、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为N向各项同性。
3、多项式位移模式中的项数必须与单元多项式的项数与单元外节点的自由度相等弹性力学的典型问题：1、空间问题2、平面问题：平面应力问题、平面应变问题平面应力问题的特点：（1）长度尺寸远大于厚度（2）沿板面有平行版面的面力，且沿厚度均布：体力平行与版面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域中结构力学、流体力学、热传导等问题的数值求解。
它的基本思想是将一个复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对单元的力学行为进行建模，最终得到整个系统的数值解。
本文将围绕有限单元法的原理及其在工程领域中的应用进行详细介绍。
有限单元法的原理。
有限单元法的原理基于力学原理和数学方法，其基本步骤包括，建立数学模型、离散化、单元划分、建立单元刚度矩阵和载荷向量、组装和求解方程、计算结果后处理等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题选择合适的数学方程和边界条件，将问题转化为求解一组代数方程。
离散化是指将连续的物理问题划分成若干个小单元，每个单元内的物理行为可以用简单的数学方程描述。
单元划分是将整个结构或领域划分成若干个有限单元，通常采用三角形、四边形、四面体、六面体等几何形状。
建立单元刚度矩阵和载荷向量是对每个单元进行力学行为的建模，根据材料性质和几何形状计算单元的刚度矩阵和载荷向量。
组装和求解方程是将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量，然后通过数值方法求解代数方程组。
最后，计算结果后处理是对数值解进行分析和可视化，评估结构的性能和稳定性。
有限单元法的应用。
有限单元法在工程领域中有着广泛的应用，包括结构力学、流体力学、热传导等方面。
在结构力学中，有限单元法可以用于分析和设计各种结构，如桥梁、建筑、机械零件等。
通过对结构的受力分析，可以评估结构的安全性和稳定性，指导工程设计和施工。
在流体力学中，有限单元法可以用于模拟流体的流动行为，如水力学、空气动力学等问题的数值模拟。
在热传导中，有限单元法可以用于分析材料的热传导性能，评估材料的热稳定性和散热效果。
总结。
有限单元法作为一种数值分析方法，在工程领域中有着重要的应用价值。
通过对结构、流体、热传导等问题的数值模拟，可以为工程设计和科学研究提供重要的参考和支持。
什么是有限元方法基本思想是什么基本步骤
简写为
N
ui v i i u j j v j m u m vm
e
ui v i 0 0 0 Nj Nm u j 0 0 Ni Nj Nm vj um i vm IN i IN j IN m j m
回顾第一讲
什么是有限元方法？ 基本思想是什么？ 基本步骤是什么？ 单元分析时的基本数学方法有哪些？
第二讲 弹性力学平面问题的 有限单元法
1、有限单元法的计算步骤 2、平面问题的常应变(三角形)单元 3、单元刚度矩阵 4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 5、平面问题的矩形单元 6、六节点三角形单元 7、单元载荷移置 8、整体分析 9、整体刚度矩阵的形成 10、支承条件的处理 11、整体刚度矩阵的特点
e
[I]是单位矩阵， [N]称为形函数矩阵， Ni 只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
2 平面问题的常应变(三角形)单元
• 据弹性力学几何方程得 的应变分量 单元
u x 2 x v y y 6 5 xy u v 3 x y • 由于三节点三角形单元的位移 函数为线性函数，则单元的应 变分量均为常量，故这类三角 形单元称为常应变单元（位移 在单元内和边界上为线性变化， 应变为常量）
再把上式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表 示的单元应力表达式：
DB
e
式中：
——单元内任一点的应力列阵； D ——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）
有限单元法 -回复
有限单元法-回复
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程和科学领域中的结构、流体、电磁场等问题的数值模拟和分析中。
它通过将连续物理领域划分成有限数量的小单元，通过对这些小单元的离散化来近似原始问题，并建立了数学模型和计算方法来求解这些离散化问题。
有限单元法的基本思想是将一个连续域的物理问题转化为一个离散化的问题，在每个单元内用一个简单的数学模型来近似原始问题。
然后，将这些单元按照一定的规则连接起来，形成一个整体的离散化模型。
最后，通过求解这个离散化的模型，得到原问题的近似解。
有限单元法的优点在于它能够对非常复杂的结构和物理场进行数值分析，并能够通过调整离散化的单元来控制数值误差。
此外，有限单元法还具有灵活性和通用性，可以用于各种不同类型的问题，并可以与其他数值方法结合使用。
然而，有限单元法也存在一些限制和局限性。
首先，由于离散化过程中需要将连续域划分成有限数量的单元，所以如果划分得不合理，会导致无法准确模拟原始问题。
其次，由于有限单元法是基于局部逼近的思想，所以在求解过程中可能会产生一定的数值误差。
此外，有限单元法对问题领域的边界条件和材料参数的选择比较敏感，需要经验和专业知识的支持。
总之，有限单元法是一种有效的数值计算方法，具有广泛的应用和研究价值。
它
对于解决各种工程和科学领域中的实际问题提供了一种有效的数值模拟和分析工具。
第三章 有限单元法
般形式u 是
n
u u Niai Na i1 其中 是待定参数； 是称之为试探函数（或基函数，形函数），它取自完全
的函数ai序列，是线性独Ni立的。所谓完全的函数序列是指任一函数都可以用此序列
得到满足。这个结论的证明式显然的，假如微分方程 A(u) 在域内某些点或 一部分子域中不满足，即出现 A(u) 0，马上可以找到适当的函数V使(3.2.5)
的积分形式亦不等于零。上述结论则得到证明。
同理，假如边界条件(3.2.2)亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组
任意函数 V 应当成立
(3.2.7)
第2节：近似解法——加权余量法与变分原理
2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法
基于微分方程等效积分方法的加权余量法是求解线性和非线性微分 方程近似解的一种有效方法。有限单元法中可以应用加权余量法来建立 有限元求解方程，但他本身又是一种独立的数值求解方法。这一节中我 们将阐明加权余量法的基本概念，求解步骤和不同形式加权余量法的特 点。
2.1.1 等效积分的“弱”形式
在很多情况下可以对(3.2.8)式进行分部积分得到另一种形式
(3.2.9)
其中C,D,E,F是微分算子，它们中所包括的导数阶数较(3.2.8)式的A低，这样对于 函数u只需要求较低阶的连续性就可以了。在(3.2.9)式中降低u的连续性要求是以
提高v及 v 的连续性要求为代价的，由于原来对v及v (在(3.2.8)式中)并无连续要求
，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。 这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分 重要的。(3.2.9)式称为微分方程(3.2.1)和边界条件(3.2.2)的等效积分“弱”形式。值 得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数u的连续性要求降低了，但对实际的物理 问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了 过分“平滑”的要求。
有限元法简介
有限元法简介
有限元法(Finite Element Method，FEM)，也称有限单元法或有限元素法，基本思想是将求解区域离散为一组有限的且按一定方式相互连接在一起的单元组合体。
有限单元法分析问题的思路是从结构矩阵分析推广而来的。
起源于50年代的杆系结构矩阵分析，是把每一杆件作为一个单元，整个结构就看作是由有限单元(杆件)连接而成的集合体，分析每个单元的力学特性后，再集中起来就能建立整体结构的力学方程式，然后利用计算机求解。
有限元离散化是假想把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连(如图1所示)。
根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，把单元划分为各种类型。
节点一般都在单元边界上，节点的位移分量是作为结构的基本未知量。
这样组成的有限单元结合体，在引进等效节点力及节点约束条件后，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体。
图1 二维有限元离散图
1
在此基础上，对每一单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数来近似模拟其位移分量的分布规律，即选择位移模式，再通过虚功原理(或变分原理或其他方法)求得每个单元的平衡方程，就是建立单元节点力与节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种特性关系，按照保持节点位移连续和节点力平衡的方式集合起来，就可以得到整个物体的平衡方程组。
引入边界约束条件后，解此方程就求得节点位移，并计算出各单元应力。
完整的有限元分析(FEA)流程图如图2所示。
图2 有限元分析流程
2。
有限单元法基本思想-原理-数值计算过程
有限单元法学习报告在对力学问题分析求解过程中，方法可以概括为两种方法，一种为解析法，对具体问题具体分析，通过一定的推导用具体的表达式获得解答，由于实际工程中结构物的复杂性，此方法在处理工程问题是十分困难的；另一种是数值法，有限元法是其中一种方法，其数学逻辑严谨，物理概念清晰，又采用矩阵形式表达基本公式，便于计算机编程，因此在工程问题中获得广泛的应用。
有限元法基本原理是，将复杂的连续体划分为简单的单元体；将无限自由度问题化为有限自由度问题，因为单元体个数是有限的；将偏微分方程求解问题化为有限个代数方程组的求解问题。
通常以位移为基本未知量，通过虚功原理和最小势能原理来求解。
基本思想是先化整为零，即离散化整体结构，把整体结构看作是由若干个通过结点相连的单元体组成的整体；再积零为整，通过结点的平衡来建立代数方程组，最后计算出结果。
我将采用最简单的三结点三角形为基本单元体，解决弹性力学中的平面问题为例，解释有限单元法的基本原理、演示数值计算过程和一般性应用结论。
一、离散化解决平面问题时，主要单元类型包括三角形单元（三结点、六结点）和四边形单元（四结点矩形、四结点四边形、八结点四边形）等。
选用不同的单元会有不同的精度，划分的单元数越多，精度越高，但计算量也会越大。
因此在边界曲折，应力集中处单元的尺寸要小些，但最大与最小单元的尺寸倍数不宜过大。
在集中力作用点及分布力突变的点宜选为结点，不同厚度，不同材料不能划分在同一单元中。
三角形单元以内角接近60°为最好。
充分利用对称性与反对称性。
二、单元分析将一个单元上的所有未知量用结点位移表示，并将分布在单元上的外力等效到结点上。
1、位移函数选取：根据有限元法的基本思路，将连续体离散为有限的单元集合后，此时单元体满足连续性、均匀性、各向同性、完全线弹性假设。
单元与单元之间通过结点连接并传递力，位移法（应用最广）以结点位移8 i= （U i V i）T为基本未知量，以离散位移场代替连续位移场。
有限单元法
M
e
AL
1
210
0
0
1
0
6
0
11 l 0 210
9 70
13 420
l
1 l2 0
13 l
1
l2
105
420 140
0
1
0
0
6
3
0
9 70
13 l 0 420
13 35
11 210
l
0
13 l 420
1 l2 140
0
11 l 210
1 l2 105
一、基本思想
2、单元矩阵
c0 w1, c1 l1, c2 3w1 3w2 2l1 l2
c3 2w1 2w2 l1 l2
w(x,t) w1(t)w1(x) 1w2 (x) w2 (t)w3 (x) 2 w4 (x)
w1(x) 1 3x l2 2x
w3(x) 3 x l 2 2 x
l
l
3 ,w2 (x) l
u(x,t)
w( x, t )
N
(
x)
q
e
N
u1
0
0
w1
0
w2
u 2
0
0
w3
0
w4
一、基本思想
2、单元矩阵
T 1 2
l 0
A
u 2
w2
Hale Waihona Puke dx1 2l
0
Au
w
u w
dx
1 2
l
A0
qeT
N
T
N
qe
dx
1 2
qe
T M e
有限单元法
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。
此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。
第3章：有限单元法的一般原理
第3章 有限单元法的一般原理 3.1.3 单元特性分析
第01篇 有限单元法基本理论
在位移法有限元中，首先要针对所选定的单元类型选择一简 单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单 元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式， 从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和 应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点 位移之间的特性关系，称为单元有限元方程。该方程可用矩阵形 式表示为： [F]e=[K]e[]e
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定系数的有限项 多项式作为近似函数。因为多项式的数学处理比较容易，尤其便于 微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。 当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应。但为了实用，通常 只取有限次多项式来近似。如3结点三角形单元位移函数的广义坐 标表示为：
（1）自然离散问题单元；
自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构（二力杆）的 离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为 杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情 况），以传递负荷。 x
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
备注：桁架问题（杆单元问题）需要两个坐标系来描述。固定的整体坐标系XY或 XYZ： （1）描述每个节点的位置，使用角度记录每个杆件（单元）的方向；施 加约束及载荷；（3）表示问题的解。单元坐标系用来描述杆件的轴向效应。杆 单元LINK每个节点只有平动自由度。
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
(c)位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性。
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α1 α4
α2 x α5 x
α3 α6
y y
应变
x 2， y 6， xy 3 5
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
虚功原理 ——建立等效积分形式的平衡方程
变形体中满足平衡的力系在任意 满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零，即体系外力的虚功与内力的 虚功之和为零。
有限元法分析流程
x
E 1 2
u x
v y
,
xy
E 2(1
)
v x
u y
y
E 1 2
v y
u x
,
x
x
yx
y
fx
0, xy
x
y
y
fy
0
位移表示的平衡微分方程:
x xy
x
xy y
y y
xz z yz
z
pvx pvy
0 0
xz x
yz y
z z
pvz
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
几何方程
应变 ~ 位移
u
第二章 有限元法的基本思想
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
弹性力学 有关知识
有限元法 基本思想
有限元法 分析流程
第二章
弹性力学有关知识
六大假设
有限元法基本思想
必要假定
有限元法分析流程
连续性
无初应力
完全弹性
基本假定
微小变形
均匀性
各向同性
第二章
弹性力学有关知识
主要物理量
荷载
Load
1
E
2
l
u x
v y
m
1
2
u y
v x
s
f
x
1求E解2 位m移vy表 示ux的 偏l 1 微2分 xv方 程uy 组 s ，f使y
其满足边界条件。
只在平面内有应变 εz=0, σz≠0
有限元法分析流程
几何形状 • 很长的柱形体 • 横截面大小和形状沿轴线长度不变；
边界条件 • 作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变。
第二章
弹性力学有关知识
平面问题
有限元法基本思想
有限元法分析流程
平衡方程：2 几何方程：3 物理方程：3
Stress：3 σx σy τxy
物体由于荷载引起形变时，物体内微元体的形状 和尺寸的相对改变。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
应变 Strain
ydy
z
z
γyz
dz dx
dy
O
y
O
y
x
x
单元体任一边的线长度的相对改变称为正应变； 单元体任意两边所夹直角的改变称为切应变。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
节点 单元
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元模型—节点与单元
有限元法分析流程
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度并存在 相互物理作用。 自由度(DOFs) ：用于描述一个物理场的响应特性。
学科 结构 热 电 磁
自由度 位移 温度 电位 磁位
UY UZ
UY ROTY
UX ROTZ UZ
弹性力学 有关知识
有限元法的 基本思想
有限元法 分析流程
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
求解位移表示的偏微分方程组，使其满足边界条件。
E
1 2
2u ( x2
1
2
2u y 2
1
2
2v ) xy
fx
0
E
1 2
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
位移 Displacement
矢量，物体质点的位置变化
Displacement
x axis: u y axis: v
z axis: w
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
变形 Deformation
变形
位移
形变
应变 Strain
)
n(1
2nq
)]
R2 r2
(1
)(1
n)
n E(1 ) E(1 )
第二章
弹性力学有Байду номын сангаас知识
有限元法基本思想
有限单元法
有限元法分析流程
离散为单元内近似函数
近似函数
等效积分形式
有限差分法
偏微分方程
解析法
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限单元法是什么？
有限元法分析流程
三个自由度 UX UY UZ
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元模型—节点与单元
有限元法分析流程
具有公共节点的单元之间存在信息传递
. . . . . .. . 1node
2 nodes
. A. B. . A. B.
第二章
弹性力学有关知识
插值—单元形函数
有限元法基本思想
有限元法分析流程
真实位移分布
UX ROTX
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
有限元模型—节点与单元
单元: 一组节点自由度间相互作用的描述。 不同单元类型，结点自由度不同。
二维杆 二维梁 三维梁
两个自由度 UX UY
三个自由度 UX UY ROTZ
六个自由度 UX UY UZ ROTX
L
ROTY ROTZ
两个自由度 UX UY
2v ( y 2
1
2
2v x 2
1
2
2u ) xy
fy
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
E,
E,
真实系统
q
2r
ρ
2R
R2
2
q1 ,
R2
2
q1
u
(1
)
R2q1
E
，其中：
q1
[(1
x
y
xzy
x v
y w
z u v
x
0
0
yz
zx
y x
v wz x
应变 Strain
z εz
γyx
γzy
γyz
εy
γxz γxy εx
εy
γyx y
有限元法分析流程
Strain
x
εz
Normal Strain:εx、εy、εz Shear Strain : γxy 、γyz 、γzx
Principal strain: ε1、ε2、ε3
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限单元法(Finite element method)：
一种把连续系统分割成数目有限的 单元，在单元内进行插值以求解偏微分 方程边值问题的数值方法。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元模型—节点与单元
有限元法分析流程
有限元模型由一些简 单形状的单元组成， 单元之间通过节点连 接并传递信息。
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
应力 Stress
z
z
zx
zy
xz xy x
yz
yx y y
第一主应力
1
2
第三主应力
3
第二主应力 x
Stress Normal Stress: σx、σy、σz
Shear Stress: τxy、τyz、τzx
Principal stress: σ1、σ2、σ3
已知 未知
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
三大方程
平衡方程
应力 ~ 荷载
几何方程
应变 ~ 位移
物理方程
应力 ~ 应变
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
平衡方程
应力 ~ 荷载
有限元法分析流程
x
15个基本未知量
荷载
应力 应变 位移
{Pc}={ pcx pcy pcz}T {Ps}={ psx psy psz}T {Pv}={pvx pvy pvz}T
{σ}={σx σy σz τxy τyz τzx }T {ε}={εx εy εz γxy γyz γzx }T