天津市天津一中2021届高三(上)第一次月考数学试题
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【详解】
画出函数 的图象如图所示．
不妨令 ，则 ，则 ．
结合图象可得 ，故 ．
∴ ．
故选：B．
【点睛】
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
【详解】
解： ，
则 是偶函数，
，
当 时， ，即函数在 ， 上为增函数，
则不等式 得 ，即 ，
则 ，得 ，得 ，
即不等式的解集为 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
8．B
【分析】
画出函数 的图象，不妨令 ，则 ．结合图象可得 ，从而可得结果．
13．
【分析】
由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
14．-40
【分析】
由题意，可先由公式得出二项展开式的通项 ，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数
20．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单减区间；
（2）若 存在极小值，求实数 的取值范围；
（3）设 是 的极小值点，且 ，证明： .
参考答案
1．A
【分析】
本题首先可以求出 ，然后根据交集的相关性质即可结果.
【详解】
因为全集 ， ， ，
所以 ， ，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的运算，主要考查补集和交集的相关性质，交集是两集合中都包含的元素所组成的集合，考查计算能力，是简单题.
（3）建立空间直角坐标系，求出各相关点的坐标，得到平面 及平面 的法向量，利用向量公式即可得解.
【详解】
解：（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，易知 为 中点，
在 中， ， 分别为 ， 中点，
∴ 为 的一条中位线，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）过点 作 交 于点 ，则点 到平面 的距离，即点 到平面 的距离，
当选取的是2名医生1名护士，共有 种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案.
综上所述：分配方案共有264种.
故选：A
【点睛】
此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.
7．C
【分析】
根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在 ， 上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
平均每月进行训练的天数
人数
10
60
30
（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取20个，再从抽取的20个人中随机抽取4个， 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求 的分布列及数学期望 .
天津市天津一中2021届高三（上）第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中 ________．
12．命题“ 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是．
13．已知 ，则 _______.
14．在 的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）
15．设函数 ， ，其中 ．若存在唯一的整数 使得 ，则实数 的取值范围是_____．
， ，
∴ 的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望 .
【点睛】
本题考查二项分布、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题.
18．（1）证明见解析；（2） ；（3）1.
【分析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，易知 为 中点，利用中位线的性质可得 ，进而得证；
（2）过点 作 交 于点 ，则转化为求点 到平面 的距离，解三角形易得 ，进而得解；
3．已知 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
4．函数 （实数 为常数，且 ）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，且 ，则 的值为（）.
A． B． C． D．
6．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有( )
因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ；
（2）①因为 ， ， ，
所以由余弦定理可得 ，
即 ， ，
因为 ，所以 .
② 的面积为 .
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理以及解三角形面积公式的应用，考查正弦定理边角互化、两角和的正弦公式以及诱导公式，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.
17．（1） ；（2）分布列见源自文库析，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，则点 到平面 的距离即为 的长度，
在 中， ， ，故 ，
又 ，故 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点 到平面 的距离为 .
（3）以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由（2）可得 ， ， ， ，
A．264种B．224种C．250种D．236种
7．已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
8．设函数 ，若互不相等的实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 内有且仅有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题
10．设复数 满足 ，则 _______.
16．（1） ；（2）①6；②6.
【分析】
（1）本题首先可根据正弦定理得出 ，然后根据两角和的正弦公式以及诱导公式得出 ，最后根据 以及 即可得出结果；
（2）①首先可根据余弦定理得出 ，然后通过计算即可得出结果；
②本题可利用解三角形面积公式求出结果.
【详解】
（1）因为 ，
所以由正弦定理可得： ，
即 ， ，
18．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形， ， ， 是 的中点， ，垂足为 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）求二面角 的正弦值.
19．已知函数 .
（1）若曲线 存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求 的单调区间；
（3）设函数 ，求证：当 时， 在 上存在极小值.
【详解】
（1）随机抽取1人，平均每月进行训练的天数不少于20天的概率为 ，
设随机抽取4个人，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为 ，则 ，
∴ .
（2）从这100个人中抽取20个人中，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为 人，
随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
， ， ，
4．B
【分析】
先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.
【详解】
由f（x）=0得x2+tx=0，得x=0或x=-t，即函数f（x）有两个零点，排除A，C，
函数的导数f′（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=[x2+（t+2）x+t]ex，
当x→-∞时，f′（x）＞0，即在x轴最左侧，函数f（x）为增函数，排除D，
三、解答题
16．在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， .
①求边 的值；
②求 的面积.
17．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
9．A
【分析】
试题分析：令 ，分别作出 与 的图像如下，
由图像知 是过定点 的一条直线，当直线绕着定点转动时，与 图像产生不同的交点.当直线 在 轴和直线 及切线和直线 之间时，与 图像产生两个交点，此时 或
故答案选 .
考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.
10．
【分析】
把已知等式变形，根据复数代数形式的乘除运算进行化简，再由复数模的计算公式求 .
【详解】
解： 函数 ,且
画出 的图象如下：
因为 ,且存在唯一的整数 使得 ,
故 与 在 时无交点,
,得 ；
又 , 过定点
又由图像可知,若存在唯一的整数 使得 时 ,所以
,
存在唯一的整数 使得
所以
.根据图像可知,当 时, 恒成立.
综上所述,存在唯一的整数 使得 ,此时
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点 右边的整数点中 为满足条件的唯一整数,再数形结合列出 时的不等式求 的范围.属于难题.
故选B．
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．D
【分析】
根据余弦的二倍角公式和正弦的和角公式将原式化简得 ，再将其两边平方和运用正弦的二倍角公式可得选项.
【详解】
因为 ， ， ，
， ， ，
， ，
故选：D.
【点睛】
本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值，关键在于熟练记忆三角恒等变换所需的公式，属于基础题.
6．A
【分析】
分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解.
【详解】
当选取的是1名医生2名护士，共有 种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案；
【详解】
的二项展开式的通项公式为 ，
r=0，1，2，3，4，5，
令 ，
所以 的二项展开式中x项的系数为 .
故答案为：-40.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.
15．
【分析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数 使得 数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.
【分析】
（1）设随机抽取4个人，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为 ，则 ，再根据二项分布的概率公式即可得解；
（2）抽取的20个人中，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为6人，而 的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的概率公式逐一求得每个 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.
2．B
【解析】
当 ”时，则 或
此时 可能无意义，故 不一定成立，
而当 时，则 或 ，“ ”成立
故“ ”是 的一个必要不充分条件．
故答案选
3．B
【分析】
利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较 的大小.
【详解】
∵ ， ， ，
∴ .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.
【详解】
解：∵ ，∴ ，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.
11．4.
【分析】
根据茎叶图，求得甲组数据的众数是 ，乙组数据的中位数为 ，列出方程，即可求解．
【详解】
由题意，根据茎叶图可得，甲组数据的众数是 ，乙组数据的中位数为 ，
因为甲的众数与乙的中位数相等，所以 ，解得 ．
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的众数、中位数的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．
【解析】
试题分析：根据命题的否定可知“ ， ”为真命题，所以有 或 ，解得 或 .
考点：1、命题；2、一元二次不等式.
【方法点晴】全称命题“ ， ”的否定为“ ， ”，当全称命题为假命题时，根据命题的否定可知，它的否定即存在性命题一定为真命题，从而将问题进行转化，转化为易于求解的问题，化归转化思想、分类讨论思想在解决这类问题中有着十分重要的作用.
画出函数 的图象如图所示．
不妨令 ，则 ，则 ．
结合图象可得 ，故 ．
∴ ．
故选：B．
【点睛】
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
【详解】
解： ，
则 是偶函数，
，
当 时， ，即函数在 ， 上为增函数，
则不等式 得 ，即 ，
则 ，得 ，得 ，
即不等式的解集为 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
8．B
【分析】
画出函数 的图象，不妨令 ，则 ．结合图象可得 ，从而可得结果．
13．
【分析】
由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
14．-40
【分析】
由题意，可先由公式得出二项展开式的通项 ，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数
20．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单减区间；
（2）若 存在极小值，求实数 的取值范围；
（3）设 是 的极小值点，且 ，证明： .
参考答案
1．A
【分析】
本题首先可以求出 ，然后根据交集的相关性质即可结果.
【详解】
因为全集 ， ， ，
所以 ， ，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的运算，主要考查补集和交集的相关性质，交集是两集合中都包含的元素所组成的集合，考查计算能力，是简单题.
（3）建立空间直角坐标系，求出各相关点的坐标，得到平面 及平面 的法向量，利用向量公式即可得解.
【详解】
解：（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，易知 为 中点，
在 中， ， 分别为 ， 中点，
∴ 为 的一条中位线，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）过点 作 交 于点 ，则点 到平面 的距离，即点 到平面 的距离，
当选取的是2名医生1名护士，共有 种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案.
综上所述：分配方案共有264种.
故选：A
【点睛】
此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.
7．C
【分析】
根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在 ， 上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
平均每月进行训练的天数
人数
10
60
30
（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取20个，再从抽取的20个人中随机抽取4个， 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求 的分布列及数学期望 .
天津市天津一中2021届高三（上）第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中 ________．
12．命题“ 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是．
13．已知 ，则 _______.
14．在 的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）
15．设函数 ， ，其中 ．若存在唯一的整数 使得 ，则实数 的取值范围是_____．
， ，
∴ 的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望 .
【点睛】
本题考查二项分布、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题.
18．（1）证明见解析；（2） ；（3）1.
【分析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，易知 为 中点，利用中位线的性质可得 ，进而得证；
（2）过点 作 交 于点 ，则转化为求点 到平面 的距离，解三角形易得 ，进而得解；
3．已知 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
4．函数 （实数 为常数，且 ）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，且 ，则 的值为（）.
A． B． C． D．
6．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有( )
因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ；
（2）①因为 ， ， ，
所以由余弦定理可得 ，
即 ， ，
因为 ，所以 .
② 的面积为 .
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理以及解三角形面积公式的应用，考查正弦定理边角互化、两角和的正弦公式以及诱导公式，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.
17．（1） ；（2）分布列见源自文库析，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，则点 到平面 的距离即为 的长度，
在 中， ， ，故 ，
又 ，故 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点 到平面 的距离为 .
（3）以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由（2）可得 ， ， ， ，
A．264种B．224种C．250种D．236种
7．已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
8．设函数 ，若互不相等的实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 内有且仅有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题
10．设复数 满足 ，则 _______.
16．（1） ；（2）①6；②6.
【分析】
（1）本题首先可根据正弦定理得出 ，然后根据两角和的正弦公式以及诱导公式得出 ，最后根据 以及 即可得出结果；
（2）①首先可根据余弦定理得出 ，然后通过计算即可得出结果；
②本题可利用解三角形面积公式求出结果.
【详解】
（1）因为 ，
所以由正弦定理可得： ，
即 ， ，
18．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形， ， ， 是 的中点， ，垂足为 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）求二面角 的正弦值.
19．已知函数 .
（1）若曲线 存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求 的单调区间；
（3）设函数 ，求证：当 时， 在 上存在极小值.
【详解】
（1）随机抽取1人，平均每月进行训练的天数不少于20天的概率为 ，
设随机抽取4个人，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为 ，则 ，
∴ .
（2）从这100个人中抽取20个人中，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为 人，
随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
， ， ，
4．B
【分析】
先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.
【详解】
由f（x）=0得x2+tx=0，得x=0或x=-t，即函数f（x）有两个零点，排除A，C，
函数的导数f′（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=[x2+（t+2）x+t]ex，
当x→-∞时，f′（x）＞0，即在x轴最左侧，函数f（x）为增函数，排除D，
三、解答题
16．在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， .
①求边 的值；
②求 的面积.
17．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
9．A
【分析】
试题分析：令 ，分别作出 与 的图像如下，
由图像知 是过定点 的一条直线，当直线绕着定点转动时，与 图像产生不同的交点.当直线 在 轴和直线 及切线和直线 之间时，与 图像产生两个交点，此时 或
故答案选 .
考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.
10．
【分析】
把已知等式变形，根据复数代数形式的乘除运算进行化简，再由复数模的计算公式求 .
【详解】
解： 函数 ,且
画出 的图象如下：
因为 ,且存在唯一的整数 使得 ,
故 与 在 时无交点,
,得 ；
又 , 过定点
又由图像可知,若存在唯一的整数 使得 时 ,所以
,
存在唯一的整数 使得
所以
.根据图像可知,当 时, 恒成立.
综上所述,存在唯一的整数 使得 ,此时
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点 右边的整数点中 为满足条件的唯一整数,再数形结合列出 时的不等式求 的范围.属于难题.
故选B．
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．D
【分析】
根据余弦的二倍角公式和正弦的和角公式将原式化简得 ，再将其两边平方和运用正弦的二倍角公式可得选项.
【详解】
因为 ， ， ，
， ， ，
， ，
故选：D.
【点睛】
本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值，关键在于熟练记忆三角恒等变换所需的公式，属于基础题.
6．A
【分析】
分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解.
【详解】
当选取的是1名医生2名护士，共有 种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案；
【详解】
的二项展开式的通项公式为 ，
r=0，1，2，3，4，5，
令 ，
所以 的二项展开式中x项的系数为 .
故答案为：-40.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.
15．
【分析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数 使得 数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.
【分析】
（1）设随机抽取4个人，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为 ，则 ，再根据二项分布的概率公式即可得解；
（2）抽取的20个人中，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为6人，而 的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的概率公式逐一求得每个 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.
2．B
【解析】
当 ”时，则 或
此时 可能无意义，故 不一定成立，
而当 时，则 或 ，“ ”成立
故“ ”是 的一个必要不充分条件．
故答案选
3．B
【分析】
利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较 的大小.
【详解】
∵ ， ， ，
∴ .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.
【详解】
解：∵ ，∴ ，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.
11．4.
【分析】
根据茎叶图，求得甲组数据的众数是 ，乙组数据的中位数为 ，列出方程，即可求解．
【详解】
由题意，根据茎叶图可得，甲组数据的众数是 ，乙组数据的中位数为 ，
因为甲的众数与乙的中位数相等，所以 ，解得 ．
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的众数、中位数的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．
【解析】
试题分析：根据命题的否定可知“ ， ”为真命题，所以有 或 ，解得 或 .
考点：1、命题；2、一元二次不等式.
【方法点晴】全称命题“ ， ”的否定为“ ， ”，当全称命题为假命题时，根据命题的否定可知，它的否定即存在性命题一定为真命题，从而将问题进行转化，转化为易于求解的问题，化归转化思想、分类讨论思想在解决这类问题中有着十分重要的作用.