第2章2.6连续小波变换应用演示2015秋修

第2章 §2.6连续小波变换应用演示 1.连续小波变换性质
(1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各 个分量的小波变换之和。 (2)平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)， 则f(t－τ)的小波变换为
Wf (a，b－τ)
(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)， 则f(ct)的小波变换为
尺度
50 60 70 80 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
(4)探地信号的连续小波变换
尺度
50 40 30 20 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
(3)白噪声的连续小波变换
3 2 1 0 -1 -2 -3
0
100
200
300
400
500
600
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 80 70 60 50 40 ... 20 30 40
1 c
W f (ca, cb)
c>0
(4)自相似性：对应不同尺度参数a和不同平 移参数b的连续小波变换之间是自相似的。 (5)冗余性：连续小波变换把一维信号变换 到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表 述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公 式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接 反映，它主要表现在以下两个面： ①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是 唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构 不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅里叶反变 换是一一对应的。 ②小波变换的核函数即小波函数ψa，b(t)存在许 多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交 小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。
函数的连续小波变换
尺度
50 60 70 80 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
（2）正弦函数的连续小波变换
1
0.5
0
-0.5
-1
0
100
200
300
400
500
600
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 20 30 40 50 60 ... 80 70 60
图3.5.1
wk.baidu.com
小波变换的系数用图3.5.1所示的 灰度值图表征，横坐标表示变换系数 的系号，纵坐标表示尺度，灰度颜色 越亮，表示系数的值越大。
3.连续小波变换应用演示
（1）函数的连续小波变换
1 0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
δ
100
200
300
400
500
600
（1）
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 80 70 60 50 40 ... 20 30 40
小波变换在不同的(a，b)之间的相关 性增加了分析和解释小波变换结果的 困难，因此，小波变换的冗余度应尽 可能减小，它是小波分析中的主要问 题之一。在MATLAB中，可以用cwt 函数实现对信号的连续小波变换。
2. 例子
例3.5.1 已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋ 5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续小 波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、1.6、…、 3。其MATLAB程序如下： t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋ 5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，′db3′，′plot′)； title(′对不同的尺度小波变换系数值′)； Ylabel(′尺度′)； Xlabel(′时间′)； 程序输出结果如图1.11所示。