高等几何中的调和共轭

高等几何中的调和共轭

调和共轭是高等几何中最重要的概念之一, 有关平面图形与二次曲线的许多重要概念和性质都与此密切相关。它是联系高等几何中各主要概念的一条主线。本文系统讨论调和共轭概念在高等几何中的重要应用。

1 调和共轭的概念及其重要应用

调和共轭: 已知共线四点A、B、C、D, 如果按此顺序的交比(AB, CD) = - 1, 那么就称C、D 关于A、B 成调和共轭, 或称A、B、C、D 成调和点列。对偶地, 对于共点的四直线a、b、c、d, 如果按此顺序的交比(ab, cd) = - 1则称c、d 关于a、b 成调和共轭, 或称a、b、c、d 成调和线束。

下面列举出可由调和共轭导引出的一些重要概念, 这里略去了全部结论的证明。

(1) 射影变换: 射影变换是将成调和共轭的任意四元素仍变为调和共轭四元素的点变换或线变换。

(2) 线段的中点: 线段的中点是这直线上无穷远点关于线段两端点的调和共轭点。

角的平分线: 角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭。

( 3) 线段的调和中项: 若A、B、C、D 成调和点列, 则线段CD 是线段CA 和CB 的调和中项。

(4) 关于圆的反演: 平面上(不在圆周上的) 一点P 关于已知圆的反演点P′是点P 关于连线PP′与圆的两交点的调和共轭点。

(5) 对合对应: 对合对应中的任一对对应点关于这对合的两个二重元素成调和共轭。

(6) 完全四点形的调和性质: 完全四点形过每一对角点有一组调和线束, 即过这对角点

的对角三角形的两条边关于过这对角点的完全四点形的两条边成调和共轭。

完全四线形的调和性质: 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列, 即这对角线上的对角三角形的两顶点关于这对角线上的完全四线形的两顶点成调和共轭。

(7) 关于二次曲线的共轭点: 给定点P, 若另一点P′使得点P、P′关于它们的连线PP′与二次曲线# 的两交点成调和共轭, 则点P′称为点P 关于二次曲线# 的一个共轭点。不难看出, 平面上点关于圆的反演点是其特例。

(8) 二次曲线的射影概念

①极线: 点P 关于二次曲线# 的极线是点P 关于# 的共轭点的轨迹。

②切线: 二次曲线# 上一点P 处的切线就是该点P 关于# 的极线。

③自极三角形: 如果一个三角形的任意两个顶点关于二次曲线# 都成共轭点, 则称它为X关于# 的一个自极三角形。

需要强调指出, 自极三角形在射影几何、仿射几何以及欧氏几何的二次曲线一般理论中,对于曲线方程的化简、从而得到二次曲线的分类起关键作用。

(9) 二次曲线的仿射概念

①中心: 二次曲线# 的中心是无穷远直线关于# 的极点。

②直径: 二次曲线# 的直径是无穷远点关于# 的极线。

③共轭直径: 若二次曲线# 的两条直径的极点(无穷远点) 关于# 成共轭, 则称这两条直径互为共轭。

④渐近线: 二次曲线# 上的无穷远点处的切线(极线) 称为# 的渐近线。

⑤二次曲线# 的任一对共轭直径关于# 的两条渐近线成调和共轭。

(10) 垂直: 如果两条相交直线上的无穷远点关于两个共轭虚圆点I、J 成调和共轭, 则称这两条直线垂直。

以上几点足以说明调和共轭概念的重要性。下面讨论有关调和共轭的作图问题。

2 有关作图法

已知A、B、C 三点共线于l, 在直线l 上求作点C 关于A、B 的调和共轭点, 有以下几种方法。限于篇幅, 只给出作法, 具体作图过程及证明从略。

(1) 利用点关于圆的反演

以AB 为直径作一圆, 作出点C 关于该圆的反演点D, 则点D 即为点C 关于A、B 的调和共轭点。

(2) 利用完全四点形或完全四线形的调和性质

过点C 任作一直线, 在其上任取异于C 的两点Q、S, 分别连接S、A; Q、B 交于R , 连接Q 与A、S 与B 相交于点T , 再连接A 与B、R 与T 相交于点D, 则点D 即为所求。

(3) 利用“线段的中点与其所在直线上的无穷远点成调和共轭”过点C 任作一直线, 在其上取两点A ′、B′分别位于点C 的两侧, 并且A ′、B′到C 的距离相等。连A 与A ′、B 与B′相交于S 点, 过点S 作直线A ′B′的平行线交A、B、

C 所在直线l 于点D, 则点

D 即为所求。

(4) 利用“角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭”过点C 任作一条不与l 垂直的直线l′, 作线段AB 的垂直平分线与直线l′相交于E 点, 过

不共线三点A、B、E 作一圆, 交直线l′于另一点F, 再作∠A FB 的外角平分线与A、B、C 所在直线l 相交于D, 则点D 即为所求。

(5) 利用二次曲线极点、极线的作图法

过A、B 两点任作一圆, 作出点C 关于此圆的极线, 与A、B、C 所在直线l 相交于D, 则点D 即为所求。