上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题(含解析)

复旦大学附属中学2020学年第一学期

高二年级数学 期中考试

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线l 过点()()1,0,2,3A B ，则它的点法向式方程为 . 2. 若行列式3

61

2

589

4 t

的元素6的代数余子式的值为18-，则实数t = ． 3. 在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△

ABC 面积的最大值为 .

4. 直线1

210111

x

y =的倾斜角是____________.

5. 设点(,)P x y 位于线性约束条件3

2102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩

所表示的区域内（含边界）

，则目标函数4z x y =+的最大值是 ．

6. 已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____________.

7. 已知方程221410x y k k

+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为 .

8. 已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2

y x =上移动，则△ABC 的

重心的轨迹方程为 .

9. 若实数,x y 满足条件111y x y x ⎧≥--⎪

⎨

≤-+⎪⎩

，则25x y +-的最大值是 .

10. 已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x E 的半焦距为c ，且b c 3=，若椭圆E 经过B A ,两

点，且AB 是圆222

:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为 . 11. 设y x ,满足22220x y x y +--=

______________.

12. 已知在面积为2的△ABC 中, O 、E 、F 分别是三条边AB 、AC 、BC 的中点,点

P 在直线EF 上，若90COP ∠=︒，则2

AC BP OB +的取值范围是 .

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. “1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（ ）.

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

14. 若椭圆()22

:

111

1122n x y C n N n n

*+=∈+-，n C 的面积记作n S ，则lim =n n S →+∞（ ）. A. 2π B. π C. 2 D. 1

15. 已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为

4，那么满足要求的直线l 的条数是（ ）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

16. 已知圆2

2

:1O x y +=上有三个不同的点,,A B C ，其中0OA OB =，若存在实数,a b 满足0OC aOA bOB ++=，则直线:10l ax by +-=与圆O 的位置关系为（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 三. 解答题（本大题共5题，共76分）

17.（本题14分）,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=. （1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；

（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值.

18.（本题14分）直线BC 经过定点)2,0(N ，点M 在直线BC 上，且OM BC ⊥. （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程．

（2）已知点()3,1T -，Q 是轨迹E 上一个动点，P 是直线:20l x y --=上的一个动点，求+TP PQ 的最小值.

19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），

步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；

步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．

所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.

若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；

（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为

4

的直线被椭圆截得的弦长.

20.（本题16分）

如图，已知半圆()2221:0C x y b y +=≤与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于E 点.半椭

圆2C ：()22

2210y x y a b

+=≥的上焦点为F ，并且△ABF 是面积为2的等腰直角三角形. 将满

足22

222221,0,0y x y a b x y b y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=≤⎩

的曲线记为Γ. （1）求实数,a b 的值；

（2）点P 在曲线Γ上，且3PE =，求EPF ∠；

以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分．．．．．．．．） （3）直线:2l y x =

与曲线Γ交于,M N 两点，在曲线Γ上再取两点,S T （,S T 分别在

直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积. （3）设()()0,T t t R ∈，M 是曲线Γ上任意一点，求MT 的最小值.

21.（本题18分）如图，已知双曲线C 的方程为122

22=-b

y a x （0a b >>），两条渐近线的夹

角为3

arccos

5

，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ=. （1）求双曲线C 的方程；

（2）当=1λ时，求PM PN 的取值范围；