向量在不等式中的应用概述

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向量在不等式中的应用
1、数量积的定义：
若两个非零向量 a和b的夹角为 （ 0 ），那么
a与 b的数量积，记做 ab 我们把 | a || b | cos叫做
即： a b a b cos
求证： a b ab
问题1：当满足什么条件时，不等式取等号？
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变式3：已知 2 x 3 y 2, 求2 x y 的最大值
2 2
例1 2 函数 y＝3 x－2＋4 6－x的最大值是
【解析】 y＝3 x－2＋4 6－x ≤ 32＋42· (x－2)＋(6－x)＝10.
。
x－2 6－x 86 当且仅当 ＝ 时等号成立， 即 x＝ 时函数 3 4 25 取最大值 10.
x y ( x) ( ( a 当且仅当 x b )2 b y

2
y)
2


a x

2
b y

2
y b )2
a x ,即 x y
a 时取等号. b
( x y )min ( a
变式引申: 2 2 若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值 , 并求最小值点 .
例4： （ 王 161考 题9 ） x y 若 直 线 1通 过 点 M (cos , sin ), 则 a b A.a 2 b 2 1 B .a 2 b 2 1 1 1 1 1 C. 2 2 1 D. 2 2 1 a b a b
a b 例2 已 知x, y, a, b R , 且 1,求x y的 最 小 值 . x y a b 解 : x , y , a , b R , 1, x y
2
| m n || m | | n |
ac bd a b c d
2 2 2 2
例1 ：已知 x y 2, 求2 x 3 y的最大值
2 2
变式 1 ：已知 2 x y 2, 求2 x 3 y的最大值
2 2
变式2：已知 2 x 3 y 2, 求x y 的最大值
a a a1 a2 求证： b1 b2 b1 b2
2 1 2 2
例3： 设ai R, bi 0，i {1,2}
2
a1 a2 当且仅当 时取等号 b1 b2
变式题
已知实数 m，n>0.
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a b (a＋b) (1)求证：m＋ n ≥ ； m＋ n 1 2 9 (2)已知函数 y＝x＋ ， x∈0，2， 求它的最小值． 1－2x
解 : 由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) ( 2 x 3 y )2 1, 1 2 2 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. x 2 x 3 y 由 得 2 x 3 y 1 y
必修4, P108 ，B组第三题
已知a, b, c, d都是实数 ,
求证： (a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2 2
证明: (a b )(c d ) a c b d a d b c (ac bd) (ad bc) (ac bd )
求证： (a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2 2
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
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c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
变式 1 ：求函数 y 3 x-2 2 24 4 x的最大值 变式2：解方程 3 x-2 2 24 4 x 10
例2：已知a,b为实数,证明： (a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2 变式：已知a,b为实数,证明： (a4+b4) (a2+b2)≥ (a2b+ab2)2
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )， 则 上 述 不 等 式 的 坐 标 表 示 为 ？ x12 y12 x22 y22 x1 x2 y1 y2
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(当且仅当x1 y2－x2 y1＝0时取等号)
必修4, P108 ，B组第三题
已知a, b, c, d都是实数 ,


2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25
3 3.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______
4.设实数x , y满足3 x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大 值是 ______ 11
【解答】 (1)因为 m，n>0，利用柯西不等式，得(m
a2 b2 ＋ ≥(a＋b)2， ＋n)· n m
a2 b2 (a＋b) 所以m＋ n ≥ . m＋ n 2 9 22 32 (2) 由 (1) ， 函 数 y ＝ x ＋ ＝ ＋ 2 x 1－2x 1－2x (2＋3)2 ≥ ＝25， 2x＋(1－2x) 2 9 1 x∈0， 的最小值为 25， 所以函数 y＝x＋ 当 2 1－2x 1 且仅当 x＝ 时取得． 5
2 2
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
补充练习
1.若a , b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A )
C .
A. - 2 5 ,2 5 10 ,
10
D.
B . 2 10 ,2 10 5, 5