八.平稳随机过程

RZ (0) 2
因此，Z(t)是宽平稳的。
E Z 3t E X sin t Y cost3
E X 3 sin3 t E Y 3 cos3 t 3E X 2Y sin2 t cost 3E XY2 sin t cos2 t EX 3 EY 3 2 EXY 2 EX 2Y 0
E Z 3t 2 sin3 t cos3 t
因此，Z(t)不是严平稳的。
例2. 设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变 量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论 X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
解： mX (t) EX t E t2 Asin t B cost
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t) Asin t B cost
mY (t) EY t EAsin t B cost 0 RY (t1,t2 ) EY t1Y t2 EAsin t1 B cost1Asin t2 B cost2
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fX (x1, x2, , xn ; t1 , t2 , , tn )
则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
(2) 一、二维概率密度及数学特征
➢ 严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
f X (x1;t1) f X (x1;t1 )
2 (t) E[X 2(t)] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则 此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平 稳与宽平稳等价。
❖ 平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移 动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻 的影响；
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x，1 x2; )dx1dx2 RX ( )
CX (t1, t2 ) CX ( ) RX ( ) mX2
(3)严平稳的判断
按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难 的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是 严平稳的，具体方法有两个：
t1
f X (x1;t1) f X (x1;t1 ) f X (x1;0) f X (x1)
t1
E[ X (t)] x1 f X (x1)dx1 mX
E[ X 2 (t)]
x12
fX
(x1)d x1
X2
t1
t
D[X (t)]
(x1
mX )2
fX
(x1)d x1
平稳随机过程与各态历经过程
2020/4/9
1
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。
实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？ * 平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起
了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。 * 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下
(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)]与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程
若随机过程 X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
2 X
➢ 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关
f X (x1, x2;t1,t2 ) f X (x1, x2;t1 ,t2 )
t1
f X (x，1 x2;t1, t2 ) f X (x，1 x2;0, t2 t1) f X (x，1 x2; )
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( ) 。
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。 * 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
5.1 平稳随机过程
5.1.1 严平稳 (1) 定义
t1 t2
tn
n
如果对于任意的n和 维概率密度满足：
，随机过程
t1 t2
X(t)的tn
t
fX (x1, x2 , , xn ; t1, t2 , , tn )
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2