第1讲 概率与测度
高等概率论
高等概率论第一章：测度与积分第一节：集族与测度(Ω,Φ,μ)---------测度空间①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体②Φ----------------σ代数（域）-------由Ω的一些子集组成σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数③μ：Φ+→R （[0,1]）集函数（是Ω的元素的一种测度或度量）例：Ω=[0,1].（a,b]?Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集，I 为区间，()I μ=I 的长度，Φ=B （[0,1]）=()σε--------包含ε的最小σ代数，[0,1]ε=中的一切开集测度的唯一扩张定理,{:()}n x x ωξω?∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数({})a b μξξ<≤---的分布①..()lim ()n x a e μξωμ→∞几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛（弱收敛）②ξ是一维可测函数，积分ξωμωΩ（）d ()-------数学期望积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞→∞ΩΩ=??Fatou 引理，Levy 引理记号、述语：大写英文字母表示Ω的子集（事件）花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类（集类，集族）AαBβXχ?δEεΦφΓγHηIι??KκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυ??ΩωΞξψψZζ 某集类对某种运算封闭：如A 对可数并封闭指：对?A1，A2，…A n ∈A ，则1i ∞=A i ∈A第二节：集族与测度1. 集合序列的极限设1,2,...,,...,A A An ?Ω111limsup {:}{,,...,}x K k k K k n kAn n An X A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω?∈== 可数个不同的，使至少一个发生111lim inf {:}{,,...,}x k k k k n kAn n An A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∈== 除有限个以外，都发生关系：lim inf lim sup n n An An →∞→∞如果lim inf lim sup n n An An →∞→∞=，称{}An 的极限存在，记为lim x An →∞特例：单调上升集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=单调下降集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=例：A,B 是Ω的两个子集，221,,1,2,n n A A A B n -=== ，则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞→∞==11((1),1(1))nn An n n=-+-，则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞==11(,1)(0,1)2211(,1)(0,1)22n n n n An Bn =-↑=-+↓2几种常用集类的定义：①A 称为一个π类：如果A 对有限交封闭②?称为一个λ类：如果：(a).ω∈ ?;(b). ?对真差封闭：若,A B ∈?,且A B ?,则B A -∈? （c ）?对单调上升（下降）集合列的极限封闭③环A ：如果A 对有限并、差运算封闭（交：()A B A A B =-- ）④代数Φ：如果Φ是环，且Ω∈Φ0（代数对一切有限次运算封闭）⑤σ环A ：如果A 对可数并、差运算封闭（?可数交封闭，极限运算封闭）⑥σ代数（域）Φ：如果Φ是σ环，且Ω∈Φ（σ代数对一切可数次集合运算封闭）⑦单调族M ：如果M 对单调上升（下降）列的极限封闭，即：如果An ∈M ，且An ↑，则1n An ∞=∈ M如果An ∈M ，且An ↓，则1n An ∞=∈ M代数、且又是单调族σ?代数π类、且又是λ类σ?代数A 是任意集类，分别称λ（）A ，σ（）A ，M （A ）是由A 生成的最小λ类，最小σ代数，最小单调类。
测度论与概率论基础pdf
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1 概率论与测度论
概率论与测度论是科学统计学研究中最基础的理论，构成数据分
析理论的基础。
概率论是一门探讨现实中诸种概率事件发生的概率分布规律的学科，是数学中一门分支，它以数学分析法研究概率，是研究随机性出
现的理论基础，其核心思想是将不可预言的机率性随机事件，用概率
的概念表示出来，以及用数学的方法分析事件发生的概率。
测度论是管理统计学中的一个专门领域，研究经济变量之间的焦点，总体分布特征，以及多维数据分析，刻画出复杂的统计变量之间
的关系，是当今统计数据分析技术的重要组成部分，在数据分析中起
重要作用。
测度论的核心是如何定义历史数据及其关联性，以及用统
计学方法进行测量，发现数据之间的联系。
概率论与测度论是统计学研究的两个重要领域，其研究方法和应
用及其重要性都被科学工作者广泛认可，应用于实际中计算数据之间
的关系和多维统计变量分析，可以更好地根据数据特征提出发现性结论，发现更多有价值的信息，为后绥研究及应用奠定坚实的基础。
概率论与测度论的基础pdf资料可以在网络上搜索，例如国家统
计局的官网和学术网站上可以下载到很多免费的学术论文和专题资料，这些资料内容涵盖了测度论及其概率论基础方面的内容，可以为研究
者提供较为详细的理论介绍。
此外，还可以在图书馆或学校里查阅专业书籍来加深对概率论和测度论方面的理论探索和应用研究。
总之，概率论和测度论是具有极高学术价值的研究领域，是统计学研究的两个重要分支，为开展数据分析提供了重要的理论基础。
充分认识其重要性，科学研究者们应当认真学习，深入探索，以加快统计学研究领域的发展，最终发现更多有价值的内容，解决实际问题。
概率测度与勒贝格测度
概率测度与勒贝格测度【概率测度与勒贝格测度】——揭示事件发生可能性的真相一、引言概率测度和勒贝格测度是概率论和测度论中常见而重要的概念。
它们旨在帮助我们量化事件发生的可能性，并进一步理解事件的特征、结构和规律。
本文将从简到繁、由浅入深地探讨概率测度和勒贝格测度的原理与应用，以帮助读者全面、深刻地理解这两个关键概念。
二、概率测度的定义与特性1. 概率的概念：概率是用来度量事件发生可能性的一种方法。
以随机试验为例，设S为随机试验的样本空间，事件A是S的一个子集，而概率P(A)表示事件A发生的可能性。
2. 概率测度的定义：概率测度是一种将事件映射到[0,1]区间的函数，它满足三个基本性质：非负性、规范性和可列可加性。
3. 概率测度的应用：概率测度可用于计算事件的概率、描述随机变量的分布、推导统计性质等。
它是概率论中的核心概念。
三、勒贝格测度的引入与定义1. 度量论的背景：度量论是测度论的基础，旨在研究空间的度量和测量。
引入勒贝格测度是为了更全面地描述不连续和有间断的函数。
2. 勒贝格测度的定义：勒贝格测度是一种广义的测度，它通过分割测量空间并计算分割的大小来度量集合的大小。
它不仅仅依赖于区间长度，而是考虑了集合的整体特性。
3. 勒贝格测度的性质与应用：勒贝格测度满足可列可加性和位移不变性等基本性质，可用于描述集合的长度、面积、容量等。
它在几何学、测度论、积分论等领域有着广泛的应用。
四、概率测度与勒贝格测度的关系1. 概率测度的引入：概率测度是为了度量事件的发生可能性，它与概率论的关系紧密。
概率测度可以衍生出概率、条件概率、期望等概念，为概率论提供了理论基础。
2. 勒贝格测度与概率测度的联系：概率测度是勒贝格测度的特殊情况，既包含了勒贝格测度的基本性质，又满足概率的基本要求。
可以说，概率测度是一种特殊的勒贝格测度。
3. 概率测度与勒贝格测度的应用：概率测度和勒贝格测度在概率论和测度论的研究中有着重要的地位。
测度论基础
高等概率论（讲义）一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。
建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。
参考书[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980基本内容[1] 测度与概率[2] 随机变量的刻画：分布函数[3] 随机变量的刻画：特征函数[4] 随机变量的收敛性[5] 渐近分布理论第1章 Lebesgue 测度与概率1.1 集和类 ● 基本概念所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。
不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。
[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。
[2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。
如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。
[4] 集的基本运算（1）交。
集合A 与B 的交集：A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）简记为AB 。
概率与测度学习
要写四个字，很罗嗦。会占掉每日写字份额的。
可以说这个情况相当严重了，那么怎么办？把“死亡”，"存活"给数值化。
比如说{0，1}。只占2个字节，好开森~
总之呢，引入随机变量，就是为了将试验结果数值化
数值化之后又能干嘛呢？函数啊~~~会用excel不？别人一个一个改可能要改一天。你函数一用，瞬间秒杀。不仅如此，老板还特别高兴，因为你做得又快又好。
这个现象成功引起了注意，于是人们就会进行试验。（就比如说重复扔硬币的试验）
具有这种特性的试验，我们称之为随机试验。在概率论中，我们要研究随机现象，是通过大量的随机试，都有两个结果：‘正面’‘反面’
预先知道了所有结果，而且结果数量有两个
对，没错，这个人扔了两万四千次
简单起见，把sigma(X)理解成随机变量X所包含的所有信息就好。
随机变量生成的 代数，指的是一组特殊事件组成的集合：这些事件是否发生，可以通过随机变量的取值明确判断出来。举个例子吧。比如今天可能下雨也可能不下，下雨时随机变量X=1，反之X=0。然而，下不下雨只是“今天”的一个属性，其它属性，比如我早饭吃的是火腿还是培根，也是全世界所包含的信息的一部分。假设整个概率空间由下面这些元素组成：
感觉上和什么松下，井上，差不多...想想还是中文名有讲究。
degenerate（退化）分布
那么开头举的那个鱼塘例子，里面鱼的存活情况满足什么分布呢？
二项分布很常用：比如说抛硬币
4的超几何分布是不是特别眼熟？就是概率论基础1中提到的“古典概型离不开排列组合”中提到的例子。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。（由二项式推导而来）
如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。
条件概率 测度论
条件概率测度论
条件概率和测度论是概率论的两个重要概念。
条件概率是指在某个条件或限制下，某一事件发生的概率。
测度论则是概率论的基础，它定义了概率空间和事件集合，并给出了概率测度的性质和运算规则。
在测度论中，概率空间是一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是一个样本空间，F是Ω上的一个σ代数，P是一个定义在F上的概率测度。
事件集合是由F中的元素构成的，每个元素都对应一个事件。
概率测度P给出了每个事件发生的概率。
条件概率是在某个已知条件下，某个事件发生的概率。
在测度论中，条件概率可以通过转移测度来定义。
转移测度是将一个概率测度从原来的样本空间Ω映射到另一个样本空间的一个函数。
在条件概率的定义中，转移测度的作用是将原来的概率测度P映射到一个新的概率测度P'上，使得P'满足条件概率的定义。
通过测度论和条件概率的定义，我们可以进一步探讨概率论中的其他概念，例如随机变量、分布函数、期望、方差等。
这些概念在概率论中有着广泛的应用，可以用于解决各种不确定性和风险问题。
依概率收敛和依测度收敛的关系
依概率收敛和依测度收敛的关系概率论和测度论是数学中重要的分支，它们用于描述随机现象和集合的性质。
在概率论中，我们常常关注随机事件的概率收敛性质，而在测度论中，我们则更关注集合的测度收敛性质。
本文将探讨依概率收敛和依测度收敛之间的关系。
我们来了解一下依概率收敛和依测度收敛的概念。
在概率论中，我们说随机变量序列{Xn}依概率收敛到随机变量X，如果对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0。
这意味着当n趋向于无穷大时，随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1。
而在测度论中，我们说测度序列{μn}依测度收敛到测度μ，如果对于任意给定的集合A，有lim(n→∞) μn(A) = μ(A)。
这意味着当n趋向于无穷大时，测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
然而，依概率收敛和依测度收敛并不是完全等价的。
虽然它们都描述了一种收敛性质，但在某些情况下它们并不一致。
具体来说，依概率收敛是针对随机变量序列的，而依测度收敛是针对测度序列的。
在概率论中，我们关注的是随机事件的发生概率，而在测度论中，我们关注的是集合的测度。
因此，依概率收敛更适用于描述随机事件的收敛性质，而依测度收敛更适用于描述集合的收敛性质。
依概率收敛和依测度收敛的定义也有所不同。
在依概率收敛的定义中，我们要求对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0。
这意味着随着n的增大，随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1。
而在依测度收敛的定义中，我们要求对于任意给定的集合A，有lim(n→∞) μn(A) = μ(A)。
这意味着随着n 的增大，测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
尽管依概率收敛和依测度收敛有一些区别，但它们之间存在一定的关系。
事实上，如果一个随机变量序列{Xn}依概率收敛到X，那么它一定也依测度收敛到X。
这是因为依概率收敛要求随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1，而依测度收敛要求随着n的增大，测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
测度论与概率论基础
测度论与概率论基础
基础统计学是数理统计学中的一个重要组成部分，其由概率论和测度论组成。
概率论是研究测量随机变量以及随机事件发生的可能性大小的一种数学理论。
测度论则是一门关于评估不同大小的不可测量的事物的数学理论。
它将数量抽象化，以捕捉这些事物的重要特征，使之可以用来作为研究中的依据。
概率论和测度论是基础统计学的基本内容之一，它能够帮助人们了解并分析测量的随机变量和随机事件，以及其发生的频率和可能性。
在概率论中，采用概率密度和分布函数来测量不同统计变量的可能性，这对了解数据具有重要意义。
一般来说，测量统计变量的概率密度和分布函数会存在差异，而且还可以通过数据收集和分析，以及进行相关推断和统计推断来评估不同变量之间的联系。
测度论主要用于研究不能测量的变量和研究对象，常见的测度有比率测度和分类测度。
比率测度是一种表征一个特定对象的数量关系的测度，比如实验设计中的处理组和对照组；而分类测度则是将变量分为两类，可以用于研究多变量之间的关系。
概率论和测度论是建立在数学分析的基础上的，是统计分析的基础之一。
它们的基本原理被广泛用于科学研究、工程设计、营销策略分析和决策等领域。
概率论和测度论不仅在基础统计学中具有重要的地位，还是统计分析的重要工具。
只有理解概率论和测度论的基本原理，熟练掌握它们的理论和方法，才能正确应用其理论和方法进行统计分析。
测度论与概率论第一章第二节测度论中的常用集族(版本14523)
4
证明：往证： (1) ⇒ (2) 。 对任意 A∈ F ， Ac = X \ A∈ F
往 证 ： (2) ⇒ (3) 。 任 取 A, B∈F ， 则 Ac , Bc ∈F ， Ac ∪ Bc ∈ F ， 于 是
( ) A ∩ B = ： (3) ⇒ (1) 。 取 A, B∈F ， 则 Ac , Bc ∈F ， A \ B = A ∩ Bc ∈F ，
A ∩ B ∈F ， A∆B ∈F ， A ∪ B = ( A ∩ B) ∆ ( A∆B) ∈F 。
往 证 ： (2) ⇒ (3) 。 设 A，B ∈ F ， 因 为 F 对 并 运 算 和 对 称 差 运 算 封 闭 ， 所 以
A ∩ B = ( A ∪ B) ∆ ( A∆B) ∈F ，如果还有 A ⊃ B ，则 A \ B = A∆B ∈F 。
∀A, B ∈F ( X ) ， A \ B 为 X 的子集，所以 A \ B ∈ F ( X ) 。故 F ( X ) 为环。
【例 1.2.5】 例 1.3.1 和例 1.3.2 中的集族不是环，因为两个区间的差可能不是一个区间，如
[1,3) \ [2, 2.5) = [1, 2) ∪[2.5,3) 。
显然这 8 个半开半闭区间是两两不相交的，且属于 F ，故[a,b) \ [c, d ) ∈ F 。
综合以上分析，可知 F 为半环。
图 1.3.1
图 1.3.2
【例 1.2.3】 设 X 为任意集， F ( X ) 为 X 中的全体子集组成的集族，则 F ( X ) 为半环。
事实上
（1）φ ⊂ X ，所以φ ∈F ( X ) ；
1
（2）假设[a,b),[c, d ) ∈ F ，这里[a,b) = [a1,b1 )×[a2,b2 ) ，[c, d ) = [c1, d1 ) ×[c2 , d2 ) 。
测度与概率第二版教学设计
测度与概率第二版教学设计一、教材简介本教学设计针对《测度与概率》第二版（作者：周勇，出版社：高等教育出版社）这一教材进行。
该教材主要介绍测度论的相关概念及其在概率论中的应用。
二、教学目标1.理解和掌握测度论的基本概念，如测度、可测集、完全可测、Lebesgue测度等；2.掌握测度论在概率论中的应用，如随机变量、期望、条件概率、大数定律、中心极限定理等；3.能够运用测度论和概率论知识解决实际问题。
三、教学内容及安排第一章测度空间1.1 测度空间的概念1.2 测度空间的性质1.3 测度空间的例子教学方法：讲授 + 讨论第二章可测函数和可积函数2.1 可测函数2.2 相关定理2.3 可积函数第三章 Lebesgue测度3.1 Lebesgue测度的概念3.2 Lebesgue测度的性质3.3 Lebesgue可积函数教学方法：讲授 + 练习第四章随机变量4.1 随机变量的概念和分类4.2 随机变量函数的分布4.3 分布函数教学方法：讲授 + 讨论第五章期望5.1 期望的定义及性质5.2 切比雪夫不等式和Markov不等式5.3 Fatou引理和Lebesgue收敛定理教学方法：讲授 + 练习第六章条件概率6.1 条件概率的概念与性质6.2 独立性与无后效性6.3 贝叶斯公式第七章大数定律与中心极限定理7.1 大数定律7.2 中心极限定理7.3 证明教学方法：讲授 + 讨论四、教学评价方法1.平时出勤情况2.课堂参与情况3.期中、期末测验4.作业及其准确度5.自主学习情况五、教学资源1.化学与材料科学学院教学楼2.教学用书：《测度与概率》第二版3.录音笔、投影仪4.网络资源：自建教学网络平台，可供学生在线学习和练习六、教学实施本教学设计应由专业教师授课，推荐采用课堂讲授和小组讨论相结合的方式，以便更好地理解和掌握教材内容。
学生在听课的同时应积极参与讨论和练习，并按时完成作业和测验。
学生可在自主学习期间针对课堂中的难点和疑点进行互相探讨和学习。
测度与概率复习第一部分
这样一来，我们的美梦就破灭了，因此不得不做一些折衷。允许不可测集的存在，这样一来，我们的测度的定义域 A 就不能是所有子集了。例如，在实数轴上，在分析中很常用的一个测度是 Lebesgue 测度，它具有上面说的几条性质，因此以上面的方法构造出来的不可测集也是 Lebesgue 不可测的。Lebesgue 的测度可以通过一个叫做外测度的东西引入。在实数轴上这样来定义一个集合 A 的外测度
根据这个条件，我们可以证明测度的单调性，假设 A⊂B 都是可测集，那么由测度的非负性，立即得到
μ(B)=μ(A)+μ(B−A)≥μ(A)
注意这里即使我们有真包含关系，也并不一定能得到严格的不等号，这是由于有零测集的存在，后面再说。接下来我们开始构造这个奇葩的不可测集。首先从区间 [0,1] 开始，根据前面的要求，我们有 μ([0,1])=1 。现在我们在这个区间内定义一个等价关系 ∼ ：a∼b 当且仅当 a−b∈Q ，Q 表示有理数。这个等价关系将 [0,1] 划分成一些互不相交的等价类，现在我们从每一个等价类里选取一个元素，构成一个集合 C （根据选择公理，这样的集合是可以构造出来的）。下面我们用反证法证明 C 就是一个不可测集。
现在让我们先把抽象的定义放一放，看看实数轴上的情况，也就是说，Ω=R 。一个最简单的例子就是令 A 为所有区间组成的集合，而定义 μ(I)=ℓ(I) ，其中 ℓ(I) 为区间 I 的长度，也就是两端点之差。容易验证，这符合测度的定义。这个定义虽然和我们所熟知的区间长度相吻合，但是，这把尺子可以说是功能相当有限，因为它只能测量区间，例如 [1,2]∪[3,4] 这个集合，就没有办法用这把尺子来测量，因为它不是一个区间。这多少让人有点失望，因为我们目测一下这个集合的大小“明显应该是” 2 嘛！——或者说，根据我们的 intuition ，我们希望它的大小应该是 2 的。这样一个连我们眼睛目测都比它好的度量，果断应该扔掉了！实际上，对于实数集这么具体的一个集合，我们当然要有点野心：希望定义一个测度，使得 R 的任何子集都是可测的！
概率测度和勒贝格测度
概率测度和勒贝格测度
概率测度和勒贝格测度是两种重要的数学工具，在概率论和测度论中发挥重要作用。
概率测度是一种用来刻画随机事件发生概率的测度。
它具有以下性质：
1. 非负性：对于任意的事件，其概率都是非负的。
2. 正则性：全样本空间的概率为1，即P（Ω）=1。
3. 可列可加性：对于任意可列个两两互斥的事件，其概率等于它们分别的概率之和。
勒贝格测度是一种用来刻画集合的大小的测度。
它具有以下性质：
1. 非负性：任何集合的勒贝格测度都是非负的。
2. 可数可加性：对于可数个两两互斥的集合，其勒贝格测度等于它们分别的测度之和。
3. 正规性：全集的勒贝格测度为正无穷大，空集的勒贝格测度为0。
4. 有限可加性：对于有限个两两互斥的集合，其勒贝格测度等于它们分别的测度之和。
5. 平移不变性：对于任意一个集合E，其中任一元素x加上一个常数a后，它的Lebesgue测度等于原来的测度加上a的测度。
在应用方面，概率测度和勒贝格测度在风险评估、随机过程建模、信号处理等领域都有广泛的应用。
总的来说，概率测度和勒贝格测度分别在刻画随机事件发生的可能性和刻画集合的大小上发挥了重要作用，是统计学和数学领域的重
要工具。
测度论基础与高等概率论
精彩摘录
在数学领域中，测度论和高等概率论是两个重要的分支，它们在理论和应用方 面都有着广泛的应用。《测度论基础与高等概率论》这本书系统地介绍了这两 个分支的基础知识和最新研究成果，是一本非常值得一读的数学著作。下面我 将从书中摘录一些精彩的语句，以帮助读者更好地理解这本书的内容。
“测度论是数学的一个重要分支，它研究的是数学结构上的‘量’的测量和计 算方法，是数学分析的延伸和深化。”
目录分析
《测度论基础与高等概率论》是一本深入探讨测度论和高等概率论之间关系的 学术著作。通过对这本书的目录进行深入分析，我们可以了解到作者的知识体 系和逻辑结构，同时也能对测度论和高等概率论有更深入的理解。
从整体上来看，这本书的目录结构非常清晰，章节安排合理。作者按照测度论 和高等概率论的发展顺序进行组织，使得读者可以更好地理解两者之间的关系。 具体来说，这本书可以分为以下几个部分：
作者简介
作者简介
这是《测度论基础与高等概率论》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
谢谢观看
这部分主要介绍了测度论的基本概念和性质，包括可测空间、可测函数、积分 等。这些内容是高等概率论的基础，为后续章节的学习奠定了基础。
这部分主要介绍了高等概率论的基本概念和性质，包括随机事件、随机变量、 随机过程等。这部分内容与测度论相互呼应，使得读者可以更好地理解两者之 间的关系。
这部分主要介绍了测度论和高等概率论在各个领域的应用，包括统计学、金融 学、信息论等。通过这些应用实例，读者可以更好地理解测度论和高等概率论 的实际意义和价值。
这部分主要对全书进行了总结，并对测度论和高等概率论未来的发展方向进行 了展望。通过这部分内容，读者可以更好地了解测度论和高等概率论未来的发 展趋势。
通过以上分析，我们可以看出，《测度论基础与高等概率论》这本书的目录结 构非常完整，章节安排合理，内容丰富。通过学习这本书，读者可以深入了解 测度论和高等概率论之间的关系，同时也可以更好地理解它们在各个领域的应 用。
概率论
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随机事件的关系与运算
6. 若事件E表示“事件A发生而事件B不 发生”,则称事件E为事件A与B之差,记 为E=A-B. A=“点数为偶数”,B=“点数大于3” A-B={点数为2} Ω-A称为A的逆事件,记为 A(表示A不发生) A=“点数为偶数” =A “点数为奇数”
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样本空间 对于事件及其运算,若应用点集的概
界数学史上著名的伯努利家族的雅各·伯 努利(Bemoulli，Jacob 1654～1705).从 17 世纪末到18 世纪,这个家族的三代人, 出了8 位杰出的数学家.雅各是其中最负盛 名的一位.他的数学几乎是靠自学成才的.
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频率又具有稳定性
他的名著《推测术》是概率论中的一个
丰碑.书中证明了极有意义的大数定律. 这个定律说明：当试验次数很大时，事 件出现的频率和概率有较大偏差的可能 性很小.因此可用频率来估计概率. 这个定律使伯努利的姓氏永载史册.
m1 n1 m2 n2 ms ns
稳定在概率 p 附近
当n→∞时,fn(A)= m/n →p(稳定于p), 则称p为事件A的概率。
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频率又具有稳定性
在实际中，当某事件的概率不易 求出时，人们常取实验次数很大时该 事件的频率作为概率的估计值，此 即——频率方法.
27
频率又具有稳定性
第一个科学地揭示其中奥秘的,是世
35
例: 将3封不同的信随机装入3个写有 不同地址的信封,求至少有一封信放对 信封的概率. 例：掷两枚骰子，求它们的点数之和
小于7的概率.
穷举法: 样本点数较少时使用
36
例: 10个球中有6个红球4个白球, 10个
人依次取1球,取后不放回, 求第5个人
取到红球的概率.
概率测度与测度空间
概率测度与测度空间1. 测度空间测度空间是概率论和统计学的基本概念之一。
它由三部分组成：样本空间、σ-域和测度。
样本空间（Sample Space）是指所有可能结果的集合。
例如，抛一枚硬币，样本空间为{正面, 反面}; 投掷一个六面骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}.σ-域（Sigma Algebra）是指样本空间的子集族，它满足以下条件：•空集⌀属于σ-域。
•σ-域中任意集合的补集也属于σ-域。
•σ-域中任意可数个集合的并集也属于σ-域。
测度（Measure）是指σ-域上的一个非负广义函数，它满足以下条件：•空集的测度为0。
•σ-域中任意可数个两两不相交集合的测度等于这些集合测度的和。
2. 概率测度概率测度是测度空间的一种特殊类型，它满足以下条件：•样本空间的测度为1。
概率测度可以用来表示随机事件的概率。
随机事件是指样本空间的一个子集，事件测度表示该事件发生的概率。
3. 概率测度的性质概率测度具有许多重要的性质，其中包括：•测度相加性：对于σ-域中的任意两个不相交集合A和B，有P(A∪B)= P(A)+P(B).•单调性：对于σ-域中的任意两个集合A和B，若A⊆B，则P(A)≤P(B). •条件概率：对于σ-域中的任意两个集合A和B，若P(B)>0，则P(A|B)= P(A∩B)。
P(B)4. 概率测度的应用概率测度在概率论和统计学中有着广泛的应用，其中包括：•计算随机变量的概率分布。
•推断未知参数。
•检验假设。
•随机过程建模。
5. 总结概率测度与测度空间是概率论和统计学的基本概念之一。
概率测度可以用来表示随机事件的概率，并具有许多重要的性质。
概率测度在概率论和统计学中有着广泛的应用，包括计算随机变量的概率分布、推断未知参数、检验假设和随机过程建模等。
概率 测度 函数 映射
概率测度函数映射概率、测度、函数和映射是数学中的关键概念。
它们在数学的各个领域都有重要的应用，从概率论到微积分，统计学和物理学。
一、概率概率是描述事件发生的可能性的数学术语。
在概率论中，我们通常用一个介于 0 和 1 之间的数来表示事件发生的可能性，其中 0 表示完全不可能，而 1 表示绝对的肯定。
概率可以有多种定义方法，其中一个基本的概念是“事件发生的次数与总次数之比”。
例如，如果一个硬币被抛 100 次，并且有 62 次出现正面向上，则正面向上的概率为 62/100，即 0.62。
二、测度测度是对某种约集的大小或量的描述。
在测度论中，我们通常考虑给定集合的大小、长度、体积、面积等等。
但是，测度的定义需要比概率更广泛。
与概率不同的是，测度不需要是介于 0 和 1 之间的数，因此可以用来描述各种类型的“大小”。
例如，给定实数集合，我们可以使用测度来描述该集合的长度或面积。
测度通常会具有某些重要的性质，包括：非负性、次可加性和可测性。
三、函数在数学中，函数指的是输入一个或多个变量，输出一个或多个变量的数学对象。
在数学中，函数是一个重要的概念，用于描述各种变化和关系。
函数可以用各种不同的方式来表示，包括公式、图形和文字描述。
例如，给定一个函数 f(x) = x^2，我们可以通过输入各种不同的 x 值来计算出相应的 f(x) 值。
四、映射映射是指将一个集合中的元素与另一个集合中的元素相对应的过程。
在映射论中，我们考虑将一个集合称为“源”，将另一个集合称为“目标”，并描述它们之间的映射关系。
映射可以用不同的方式来表示，例如箭头图和公式。
例如，如果我们有一个映射 f(x) = x + 3，它将输入 x 的值加上 3 并输出结果。
总结：概率、测度、函数和映射涉及到数学中的一些基本概念和原理。
它们在各种不同的数学应用中都有着重要的作用，包括统计学、微积分和物理学等。
理解这些概念可以帮助我们更好地理解数学原理，从而应用于各种不同的领域。
测度与概率第一章总结
测度与概率第一章总结咱们来唠唠测度与概率的第一章都学了啥吧。
一、基本概念。
测度和概率这俩概念可太重要啦。
测度就像是一种度量的方式，不过它比咱们平常理解的度量要更抽象一点呢。
比如说，在实数轴上，我们可以用长度来作为一种测度。
但是到了更复杂的空间里，就不是简单的长度概念啦。
而概率呢，其实就是一种特殊的测度，它是用来衡量某个事件发生的可能性大小的。
就像扔骰子，每个面朝上的概率就是一种对这个事件发生可能性的度量。
在这个过程中，我们还学了样本空间这个东西。
样本空间就像是一个大集合，里面包含了所有可能的结果。
比如说扔骰子，样本空间就是｛1，2，3，4，5，6｝这六个结果的集合。
每一个可能的结果就叫做样本点。
这就好比是这个大集合里的一个个小元素。
二、集合运算与测度。
我们还研究了集合的运算和测度之间的关系。
集合的并、交、补这些运算在测度里都有对应的规则。
就像两个集合的并集的测度，它和这两个集合单独的测度之间是有一定关系的。
比如说，如果A和B是两个集合，它们的测度分别是m(A)和m(B)，那么A并B的测度可不是简单的m(A)+m(B)哦，这里面还有一些重叠的部分要考虑呢。
如果A和B有交集，那这个交集的部分在计算A并B的测度的时候就被多算了一次，得减掉。
这就有点像我们数东西，不能重复计数一样。
而且啊，这种关系在概率里也同样适用。
当我们计算两个事件至少有一个发生的概率的时候，就跟集合的并集的概率类似。
这时候如果这两个事件不是互斥的，那它们同时发生的那部分概率就不能重复计算啦。
三、可测集。
可测集这个概念刚开始理解起来可能有点头疼。
简单来说呢，可测集就是那些能够合理地定义测度的集合。
不是所有的集合都能很方便地定义测度的哦。
就像有些奇奇怪怪形状的集合，可能就不太容易找到合适的测度来描述它。
但是那些比较规则的集合，像区间啊之类的，就比较容易确定是可测集。
我们还学了一些关于可测集的性质。
可测集在集合运算下有一些封闭性，比如说可测集的并集、交集、补集如果原来的集合是可测的，那运算后的集合还是可测的。
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独立性 定义 1.1.10 设 (,F ,P) 为概率空间，称两事件A，B 是 独立的 （independent） 如果
P( A B) P( A) P( B)
若 A={Hi;i =1,2,..}是由可测集类 Hi 组成的集族 ，称 A是独立的，如果对任意不同的i1,…,ik
随机数学
第1讲 概率与测度
教师: 陈 萍 prob123@
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引言
随机数学涉及4个主要部分:概率论,随机过程, 数理统计,随机运筹.本课程在对概率论作适当补 充的基础上,着重介绍随机过程的基本概念及主要 结论,以备在解决实际问题中的应用. 随机过程通常被视为概率论的动态部分,在概 率论中研究的随机现象,都是在概率空间上的一个 或有限多个随机变量的规律性.但在实际问题中, 我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程, 即随时间不断变化的随机变量,这就是随机过程所 要研究的对象.
则称μ为可测空间(,F)上的测度(measure )，且称 (,F,μ)为测度空间(measure space ). 特别，当μ( )=1时，称μ为概率测度(probability measure), 记为P，并称(,F,P) 为概率空间 (probability space). 此时,称F可测集A为事件，A的测度P(A)称为事件A发 生的概率。
Hi1 Hi1 ,...Hik Hik
P(Hi1 ... Hik ) P( Hi1 )...P( Hik )
称随机变量族 {Xi;i=1,2,…} 是独立的，如果 生成 -代数族{ (Xi), i=1,2,…} 是独立的.
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定理1.1.7 . 设 (,F,P)为概率空间, 若Ct, t∈T 为独立 的 -类 , 则(Ct), t∈T 为独立的 -代数. 注：称集类C为 类，若满足 A,B C AB C 推论1. 设 (,F,P)为概率空间, 若 {Ai, i=1,…,m, m+1,…,m+n} 为m+n个独立的 事件 , g, h表示两个事件运算，则 g( A1,…, Am)与h( Am+1,…, Am+n)独立. 推论2. 设 (,F,P)为概率空间, 若{Xt, t∈T }为独立的 随机变量族 , {gt, t∈T }为Borel可测函数族，则 {gt (Xt), t∈T }独立.
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将一枚硬币连抛三次,样本空间为 HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT 以 X k , k 1, 2,3 分别表示第k次抛出正面H的次 数, 记 F , Fk X k , k 1,2,3 (1) 试判断下列集合分别关于 F , Fk , k 1, 2,3 的可测 性.
A HHH , HHT , HTH , B HHH , HHT , THH , THT D HHH , TTT 1 若在 , F , P上定义概率 P , 8 C HHH , HHT ,
试写出随机变量 X k , k 1, 2,3 的导出分布.
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1.1 测度与可测函数
概率与测度中的基本术语及符号: E--随机试验; --样本空间; ω--样本点; A--集类;
定义 1.1.1 设F是空间上的集类，称 F 为 -代数（域） （ -algebra ）, 若满足: ① ∈ F ; ② F ∈ F FC∈ F ； ③ A1,A2,… ∈ F Ai∈ F 注: 如果F 是 -代数 ,则 F 对F上的所有集合运算封闭；且对极限运算封闭.
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定义 1.1.2 设 U 是由 的子集构成的集类 . 称包含U. 的最小-代数,即 ( U ) {H ; a lg ebra of , U H} 为由U生成的-代数（ the -algebra generated by U.）
定义 1.1.3 设F为空间 的子集组成的 σ代数，称 二元组 (,F) 为可测空间 （measurable space）;
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的任一子集 F 称为F- 可测（F-measurable） 的 , 如果 F∈ F .
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定义 1.1.4 设(,F)为可测空间，μ: F R+ ，若 (1) μ()=0; (2) 若 A1,A2,… ∈ F ,且 {Ai}i≧1 两两不交，则
( Ai ) ( Ai )
i 1 i 1
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随机变量
定义 1.1.6 设 (,F) 与（E，E）为可测空间 , 函数 X: →E称为F-可测的（F-measurable）, 如果对任意 UE， X 1 (U ) ( , X ( ) U ) F 注: (p7 th1.1.6-1.1.7) (1)可测函数的"函数"仍可测; (2)可测函数的单调极限仍可测 特别，若 (,F,P)为概率空间，(E,E)=(Rn,B)，则可 测函数X称为n维随机变量（随机变量）; 1 ( X ) { X ( B); B B }.为由X生成的σ代数 ; 记 称
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例1.1.1 几个常见的-代数：
1）称 {, }为最“粗”的 -代数，而称 ()= {的所有子集} 为最“细”的 -代数； 2）设 A ，则 {, , A, Ac}是- 代数； 3）设F1，F2 是 的子集组成的两个 -代数，令 F3=F1F2 ，则F3 也为- 代数； 4）设 是实数域Rn ， 是由 Rn上的一切开 集 生成的 -代数，称之为Borel 代数，B中的元素称 为Borel集.
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概率的运算性质补充：
1）下（上）连续性：设 {An,n1}F, 若An↓A, 则P(An) ↓ P(A); 若 An↑A, (n→∞), 则P(An)↑P(A);
2）加法公式： 设{Ai,i=1,…,n}为事件列，则
n n n P Ai P( A i ) (1)k 1 P( Ai1 ... Aik ) k 2 i1 ...ik i 1 i 1
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课程的主要内容
1. 测度论基础与随机过程的基本概念
2. 泊松过程与更新过程
3. 马尔科夫链
4. 鞅与Brown 运动 5. 随机微分方程
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参考书
[1] 陈萍等编， 随机数学，国防工业出版社，2008
[2] Bernt ksendal, Stochastic Deferential Equations, Springer-Verlag, 1998 [3] 冯予等编， 概率论与数理统计，国防工业出版 社，2005 [4] 工程数学--积分变换