第十二章级数练习题

第十二章 级数练习题
一、填空题
1、若级数
n1
(1) n1 np
发散，则
p
2、 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数，它在[ , ) 上的表达式为 f (x) x ，则 f (x) 的傅里叶
级数在 x 3处收敛于
，在 x 处收敛于
．
3、设幂级数 an xn 的收敛半径为 3，则幂级数 nan x 1 n1 的收敛区间为
n1
n
3、求幂级数
n1
xn 3n n
的收敛域及和函数．
s(x)
ln
3
ln
3
x
，（
3
x
3）
4、 求幂级数 x 2n 的和函数。 s( x) 1 ln(1 x 2 )
n1 2n
2
(1 x 1)
5、将
f
(x)
1 x(x
3)
展开为
x
2
的幂级数，并写出其收敛域。
6、求幂级数 (x 2)n 的收敛域．
）
n0
n0
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散
D. 敛散性不确定
11、下列正项级数收敛的是
（
）
A. 1
n2 3n 1
C.
1
n2 n(ln n)2
12、幂级数
n0
1 3n1
(x
1)n
的收敛区间为
A. (1, 1)
B. (3, 3)
B.
1
n2 n ln n
D.
1
n2 nn n
C. (2, 4)
B.
u
2 n
收敛，
n 1
C. unvn 收敛 n1
D.
unvn 发散
n 1
23、若幂级数 an x n 的收敛半径为 R ，则幂级数 an (x 2)n 的收敛区间为（ ）.
n0
n0
A. (R, R)
B. (1 R,1 R)
C. (,)
D. (2 R,2 R)
24、正项级数 un 的部分和数列{ Sn }有界是该级数收敛的（
（
）
D. (4, 2)
13、下列四个级数中，发散的级数是
A.
1
n1 n!
B.
2n
3
n1 1000n
C. n
2n
n 1
14、若级数 un 收敛，则下列级数收敛的是
（
n 1
A． un
n1 10
B． (un 10) n1
C．
10
u n1 n
D． (un 10) n1
15、函数 f (x) ln(1 x) 的幂级数展开为
n 1
n(n 1)xn
的和函数和
n 1
n(n
1)
1 2n
的和。
17、将函数 f (x) x(0 x ) 展成正弦级数。
18、判定级数的敛散性，如果收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.
1） (1)n1
n1 n
2）
n1
(1) n1
n 2 n1
19、判断级数 n2 的收敛性.
2n
8、若级数
1
u n1 n
收敛，则级数
n1
1 un
1 u n 1
的和为
_______
9、等比级数 aq n (a 0) ,当_______时级数收敛,当_______时级数发散. n0
10、函数
f
(x)
x2
1 x
展开为 x 的幂级数为__________________ 2
11、 n 2 n 的敛散性为________的级数.
n1
20、求幂级数
xn 的收敛域.
n1 n 2n
C、发散
D、无法确定
3、设幂级数 a2n x 1 2n 在 x 3时条件收敛，则该级数的收敛半径 R 为（ ） n1
A、 R=2
B、 R= 2
C、 R=3
D、 R= 3
4、若数列{un} 单调递减，且 un 0 ，而 (1)n1un 发散，则下列结论正确的（
）
n0
A.
lim
n
un
不存在
B.
。
n0
n1
4、级数 (1)nபைடு நூலகம் 收敛于
n1 n2n
。
5、若
lim
n
nun
k
（k
0
），则正项级数
n 1
un
的敛散性为
．
6、函数 f (x) ex2 在 x0 0 处展开的幂级数是 ________________.
7、幂级数 (1)n
n0
x n1 (n 1)2n1
的和函数为
_________.
.
n1
n
二、选择题
1、 cosx 的麦克劳林级数为（ ）
A、 (1)n
x 2n
n0
(2n)!
B、 (1)n
x 2n
n 1
(2n)!
C、
x2n
n0 (2n)!
D、 (1)n
x 2n1
n0
(2n 1)!
2、 若级数 an x 2n 在 x 2 收敛，则该级数在 x 5处（
）
n1
A、条件收敛 B、绝对收敛
B． e2x
C． e x2
D． 2e2x
7、下列级数发散的是
A． (1)n
3 4n2
n1
(n 1)(n 2)
B． (1)n
1
n1
n 1
C．
n1
(1)n1
1 3n
D．
1
3
n1 (2n 1) 2
8、若级数 an (x 2)n 在点 x 0 处条件收敛，则在 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 中使 n0
n1 n
12、已知级数 un 的部分和 Sn n3 ，则当 n 2 时， un _______ . n 1
13、级数 3n 的和为________．
n0 n!
1, x 0
14、设
f
(x)
是以
2
为周期的函数，且
f
(x)
1
x2,
0 x ，则 f (x) 的 Fourier 级数在
该级数收敛的点有
A． 0 个
B．1个
C． 2 个
D． 3 个
9、下列级数中，绝对收敛的是
（
）
A．
sin
n 1
n
B． (1)n sin
n1
n
C．
n1
(1) n
sin
n2
D． cos n n 1
10、设幂级数 an x n (an 为常数 n 0,1,2, ），在点 x 2 处收敛，则 (1)n an （
展开成
1
x
的幂级数．
12、判断级数的敛散性.
1
1) n1 ln2 n
nn
2) n1 n!
(
n
)n
3) n1 2n 1
sin n
13、判断级数 n1 n2 条件收敛还是绝对收敛。
14、求幂级数
n1
(1)
n
(
x2n 2n
) 1
的收敛域．
xn
15、求幂级数 的和函数。 n1 n
16、求幂级数
（
）
n 1
A．条件收敛 B．绝对收敛
C．发散
D．无法确定
17、若幂级数 an x n 的收敛半径为 R ，则幂级数 an (x 2)2n 的收敛区间为
n0
n0
A． ( R, R )
B． (2 R, 2 R)
C． (R, R)
D． (2 R, 2 R )
18、下列级数绝对收敛的是
A． (1)n
）.
n 1
A. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件
B. 充分条件但非必要条件 D. 既非充分条件也非必要条件
25、
幂级数
x
5n
的收敛域为
n1 n
()
A. 4,6 B. 4,6 C. 4,6 D. 4,6
三、计算题
1、
判定级数
n 1
n 3n
sin 2
n 6
的敛散性。
2、 判定级数 (1)n ln n 1 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
B．1个
C． 2 个
D． 3 个
20、若级数 un 收敛，下列判断正确的是（
）。
n 1
A． | un |, | un |2 均收敛，
n1
n1
B. | un | 收敛， | un |2 发散
n1
n 1
C. | un | ， | un |2 均发散
n1
n 1
D. 不确定
21、若级数 un 收敛，下列判断正确的是（
x 处收敛于____________, x 处收敛于____________, x 2 处收敛于____________, 2
15、若级数
un
n1
的通项为
u
n
，
lim
n
u
n
0 ，则级数
un
n1
.（填收敛或发散）
16、 1 1 1
.
12 23 34
17、级数 (1)n (x 1)n 的收敛域为
lim
n
un
存在且必等于零
C.
lim
n
un
存在且必不等于零
D.
lim
n
un
存在且可能等于零
5、设 an (x 1)n 在 x 2 处条件收敛，则它在 x 2 处 n1
（）
A.发散
B.条件收敛
C.绝对收敛
D.敛散性未定
6、幂级数 (1)n 2n xn 的和函数 S (x) 为
n0
n!
A． e x
1
n1
n
B．
(1) n
n1
3n 22n
C． (1)n n 1
n1
2n 1
D． (1)n
n
n1
2n2 1
19、若幂级数 an (x 3)n 在点 x 1处发散，在点 x 5 处收敛，则在点 x 0 ， n0 x 2 ， x 4 ， x 6 中使该级数发散的点的个数有
A． 0 个
）。
n 1
A． | un |, | un |2 均收敛，
n1
n1
B. | un | 收敛， | un |2 发散
n1
n 1
C. | un | ， | un |2 均发散
n1
n 1
D. 不确定
22、若正项级数 un vn ，收敛，下列判断错误的是（
）。
n 1
n1
A． (un vn ) 收敛， n1
（
）
D. 1
n2
n 1
）
（）
A． x x2 x3 ,1 x 1 23
B． x x2 x3 ,1 x 1 23
C． x x2 x3 ,1 x 1 23
D． x x2 x3 ,1 x 1 23
16、级数 an (x 1)n 在 x 1 处收敛，则此级数在 x 2 处
n0 n 1
7、求幂级数
n0
1
n (3) n
(x
1)n
的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.
8、将
2x 4 x2
展开为
x 的幂级数，并写出收敛区间.
9、求级数
3n
xn 的收敛半径及收敛及和函数.
n0 n 1
10、求幂级数
n1
n 2n
x2n
的收敛域及和函数。
11、将
f
(x)
2x2
3x x