平面向量的减法运算课件
02-第二节 平面向量的运算-课时1 向量的加法运算、减法运算高中数学必修第二册人教版
= = ，所以四边形和四边形都是平行四边形，所以
= , = .
A √ 由平行四边形法则，得 + = .
B √ || = || = 1,|| = || = 1，所以|| = ||.
C × − = − = + ≠ .
D.
【解析】 + ( + ) + = + + + = .
)
2.如图所示的方格纸中有定点，，，，，
，，则 + =( C )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设 = + ，利用向量加法的平行四
边形法则作出向量，再平移即可发现 = .
1.（多选）如图，在等腰梯形中，//， = 2，
= = = 1，为的中点，则( ABD
A. + =
B.|| = ||
C. − =
D. + =
)
【解析】 由题意得|| = || = || = 1,//,//,所以
所以△是以∠为直角的直角三角形，
从而 ⊥ ，所以平行四边形是矩形.
根据矩形的对角线相等，知|| = ||，因此| + | = 4.
（2）若|| = || = | −
|+|
|，求
.
|−|
【解析】 如图所示，平行四边形中，设 = ，
（1）若|| = 7 + 1，|| = 7 − 1，且| − | = 4，求| + |；
【解析】 如图所示，设 = ， = ，以，为邻边作
平行四边形，则|| = | − | = | − |，|| = |
+| = | + |.
6.2.2 向量的减法运算(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
3
向量的减法运算 创设情境 问题2：类比实数x的减法，你认为向量的减法该怎样定义?
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
4
向量的减法运算 向量的减法
向量的减法 求两个向量差的运算叫做向量的减法
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)
问题3：任意两个非零向量a与b，根据减法的定义如何作图得到a-b？
解：因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以C→D＝A→E＝c， B→C＝A→C－A→B＝b－a， 故B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
14
3:6
向量的减法运算 方法小结
用向量表示其他向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则 和三角形法则. (2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是 否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有 共同起点的向量的终点？ (3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则.
（2）试探索不同情况下|a-b|，|a|，|b|之间的关系.
7
向量的减法运算 例练结合 例1 如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a−b，c−d．
a
b
d
c
b
d
a
c
O
8
向量的减法运算 例练结合
变式：如图，已知向量 a，b，c不共线，求作向量a b c .
法一：如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，再作O→C＝c， 则C→B＝a＋b－c.
4.如图所示，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； (2)用 b，c 表示D→B； (3)用 a，b，e 表示E→C； (4)用 c，d 表示E→C.
第1讲 平面向量的概念及加减运算(教师版)
第1讲 平面向量的概念及加减运算一、考点梳理考点1 基本概念既有大小，又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.|AB →|叫AB →的模或AB →的绝对值，表示向量AB →的长度.(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a∥b . ①规定：零向量与任一向量平行． 例1．（1）下列物理量中不是向量的有( )①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度． A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．（2）一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，①在四边形ABCD 中，AB ∥CD .①四边形ABCD 为平行四边形． ①AD →＝BC →，①|AD →|＝|BC →|＝200 km.（3）判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (4)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反； (5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．解析：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系． (3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(4)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．【变式训练1】．在下列命题中，真命题为( )A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量AB →与向量BA →的长度相等 C ．向量就是有向线段 D ．零向量是没有方向的解析：由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A 错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D 错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C 错误，故选B.【变式训练2】．在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2) 在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(图略)． 【变式训练3】．如图所示，①ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解析：(1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF =12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.考点2 向量的加法 三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a .平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．例2．（1）如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .解析：在平面内任取一点O (如下图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边做①OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .2（2）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________. 解析： (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0（1）BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解析：(1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. 【变式训练1】．(1)如图①所示，求作向量和a ＋b .(2)如图①所示，求作向量和a ＋b ＋c .解析：(1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图①所示．(2)方法一(三角形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．方法二(平行四边形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▭OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，再以OD ，OC 为邻边作①ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．【变式训练2】．(1)化简：①BC →＋AB →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.(2)如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量： ①OA →＋OE →； ①AO →＋AB →； ①AE →＋AB →.解析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．(1)①BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.(2)①由题图知，OAFE 为平行四边形，①OA →＋OE →＝OF →； ①由题图知，OABC 为平行四边形，①AO →＋AB →＝AC →； ①由题图知，AEDB 为平行四边形，①AE →＋AB →＝AD →.【变式训练3】．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)． (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →. 解析：(1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →)＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.考点3 向量的减法 相反向量(1)我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . (2)－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 向量减法的定义求两个向量差的运算叫做向量的减法．我们定义，a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量减法的几何意义 (1)三角形法则如图，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．(2)平行四边形法则如图①，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义， 知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .如图①，理解向量加、减法的平行四边形法则：在①ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .例3．（1）在①ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A ．FD →B ．FC → C ．FE →D ．BE →解析：由题意可知AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →．答案：D（2）化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB →B ．AD →C ．BC →D ．0解析：答案：D解法一：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →－BD →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(BA →－BD →)＝AD →＋DA →＝0． 解法二：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋DB →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(DB →＋BA →)＝AD →＋DA →＝0．【变式训练1】．如图，设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，OD →＝c ，则OB →＝解析：由于OB ＝DB －DO →，而DB →＝AB →－AD →＝a －b ，DO →＝－OD →＝－c ， 所以OB →＝a －b ＋c .【变式训练2】．化简：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 解析：解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．(1)解法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.解法二：原式＝AB →＋MB →－OB →－MO →＝AB →＋(MB →－MO →)－OB →＝AB →＋(OB →－OB →)＝AB →＋0＝AB →. (2)解法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.解法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.二、课堂检测1．下列物理量：①质量；①速度；①位移；①力；①加速度；①路程．其中是向量的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案 C 解析 ①①①①是向量． 2．下列说法中正确的个数是( )①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D3. 下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A 不正确；由A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B 不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C 不正确；D 中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D 正确． 4. 设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 5. 下列等式不成立的是( )A ．0＋a ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA → D.AB →＋BC →＝AC →答案C 解析：对于C ，①AB →与BA →方向相反，①AB →＋BA →＝0.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C7. a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 答案 C 解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →. 9. 在①ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( )A ．a ＋bB ．－a ＋(－b )C ．a －bD ．b －a 答案B ①BA →＝BC →＋CA →＝a ＋b ，①AB →＝－BA →＝－a －b . 10. (多选)若a ，b 为非零向量，则下列命题正确的是( )A ．若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同B ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反C ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则|a |＝|b |D ．若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同答案ABD 当a ，b 方向相同时，有|a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |；当a ，b 方向相反时，有|a |＋|b |＝|a －b |，||a |－|b ||＝|a ＋b |，故A ，B ，D 均正确．10. 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.12. 如图，在①ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________.11 答案0 因为D 是边BC 的中点，所以BE →－DC →＋ED →＝BE →＋ED →－DC →＝BD →－DC →＝0.13. 设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4 解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 14. 已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是________． 答案 [2,6) 根据题意得||a |－|b ||≤|a －b |＜|a |＋|b |，即2≤|a －b |＜6.15. 如图所示，P ，Q 是①ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ①AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →.又①BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，①BP →＋CQ →＝0，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
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即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
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解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
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[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
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(1)+;
→
→
→
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解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
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(2)++;
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→
→
→
→
解:(2)++=++
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=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
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解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
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[备用例 2] 化简:--.
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解:法一 --=-=.
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4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
7.2-平面向量的加法、减法和数乘向量
a
交换律：
ab
总结： 向量的加法满足交换律与结合律。
ba
结合律：
a b c a b c
典例分析
例2：如图所示，已知 a， b，用向量加法的三角形 法则 作和向量a b。
a b
（1）
解析： 作AB a， BC b；
A B
C
a b AB BC AC
D O A B
C
练习3
如图所示，已知O是正六边形ABCDEF的中心， 则：
A F O E
（ 1 ） OA OC ______ OB ；
（2） BC EF ______ 0 ；
B
0 ； （ 3） OA FE ______
D C （4） AB BC CD DE EF FA ________ 0 。
（1）用向量加法的平行四边形法则作出 箭尾所受两个方向力F1、F2的合力F。 （2）如果力F1、F2的大小为100N，它 们的夹角为90°，则它们的合力F的大小 是多少？
典例分析
例3：如图所示，已知a， b，用向量加法的平行四边 形法则作和向量a b。
b
a
A
C
D
B
在平面内任取一点 A， 作AB b， AC a， 解： 以AC、AB为邻边作平行四边形 ABDC，
(3)b / / a(a 0)是b a成立的什么条件?
成立 充要
41
向量共线定理：
向量a (a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
平面向量的概念+加减法运算
b a，
连结OC，则 O C O A O B a b .
A
a
C
O ab
b
B
平行四边形法则
尝试练习二：
(3)已知向量a、b ，用向量加法的三角形法则和平行四边形
法则作出 a b
①
b
②
b
a
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a,bR，
有
abba,
( a b ) c a ( b c ) .
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
D. 3
C
D
当b ≠ 0时成立。
A
B
B
A
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段 表示
符号表示法： a ，b AB
长度（模）
(1 )
（2）当 a
A B A D D B ，b 共线时，怎样作
a( b2 ) baB 呢A ？ B C C A
( a3 ) OB AC B bA OABC
(4 )O D O A A D
OA
B
(5 a )O bA B O A B B A B O A
一般地 a b
三、几何意义
O A
b
ab
B
2．两个特殊向量：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
8.1向量的加法和减法(第2课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
+−
+
图1
+
+−
图2
题型五：向量减法的运算及几何意义
例5.化简：
(1)( + ) + (− − )；(2) − − .
解：(1)解法一：原式= + + + = ( + ) + ( + )
的规则 ， 可以称之为 “ 首尾规则 ”
例４
一物体受水平方向６Ｎ和铅垂方向８Ｎ的两个力的作用，求合力
的大小以及合力与铅垂方向偏离的角度．（结果精确到０．０１°）
解 如图8-1-9，设力的作用点为O，若向量Ԧ = 表示水平方
向6N的作用力，向量 = 表示铅垂方向8N的作用力，则合
力是. Ԧ = = Ԧ +
= ， = 2，为的的中点.试求：
(1) + ；(2) + + ；
(3) + + + .
解：由已知，得：四边形、四边形均为平行四边形.
(1) + = .
(2) + + = + = .
= + = .
解法二：原式= + − − = + ( − ) −
= + ( − ) = .
(2)解法一：原式= − = .
解法二：原式= − (简下列各式：
(平行四边形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向
(完整版)平面向量的减法运算
A、 AD =0 C、ABCD是矩形
思路分析：
B、AB =0或AD =0 D、ABCD是正方形
在平行四边形ABCD中，AB+AD = AB-AD ，
即 AC = DB ，可得ABCD是特殊的平行四边形 即是矩形。?
2 如图所示，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD
的交点。若 AB =a,BC =b,OB=c,试证明：
(1) (ra)r= a, a (a) = (a) a = 0
(2) r 0 = 0r
rr
rr r
(3) a = b, b = a, a b = 0
ar2.向量减法的平r行四Ouu边Cur 形= ar法则br
rB b
C
b
uuur r r BA = a b
O
r aA
例题分析：
例１、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d。
b
d
a
c
d b a
c
课堂练习：
1、如图，已知a、b，求作a-b。
(1)
(2)
b a
(3)
a
a
b
b
2、填空： AB-AD= DB BA-BC= CA BC-BA= AC OD-OA= AD OA-OB= BA
(4)
a
b
能力训练：
1、在平行四边形ABCD中，若
C AB +AD = AB -AD 则：
记作 a .
r r 注：1.零向量的相反向量仍是零向量； 0=0
2.任一ar向量(与ar其)相=反(向ar量) 的 和ar 是= 零0r 向量；
uuur uuur 重要提示 : AB = BA
1.什么叫r 做向r量的差?什么是向量r 的r减法? 向量a加r 上rb的r相反r向量，叫做 a与b的差，
2.2.2平面向量的减法及几何意义
例2：如下图,已知向量 a , b , c , d , 求作向量
a b, c d .
A
B
C
b a
c
d
O
b
D
c
a
d
则 BA OA OB a b
DC OC OD c d
例3：如下图,
ABCD中, AB a , AD b ,
a
b
O
a b
a
A
向量减法的几何意义: a b OA OB BA, 表示 从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
练习:课本P87页T2. 例1:
化简：（ ） AC DB 1 AB
( A) AD ( B) AC (C )CD ( D) DC
一、向量减法运算的定义
(1)相反向量.
相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作 a ① a 和 a互为相反向量,于是 ( a ) a a
②规定:零向量的相反向量还是零向量,即 ③任一向量与其相反向量的和是零向量,即
规定:与向量 a 长度相等,方向
0 0
a
a (a ) (a ) a 0.
④如果 a 、b 是互为相反的向量,那么 a b, b a, a b 0. (2)向量减法的定义: a b a ( b )
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
ab
• 变式训练五
若 a b a b , 则a与a b的夹角为多少度？
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
平面向量的线性运算课件
A
2b
a
b
b
a
O
[类似题]已知非零向量e1和e2不共线，如果 AB e1 e2 ,
BC 2e1 8e2 ,CD 3 e1 e2 , 证明：ABD三点共线.
2.[逆向使用]已知非零向量e1和e2不共线，欲使ke1 e2和
e1 ke2共线，确定实数k的值.
3.[课本例题 ]如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 AB a, AD b，用a, b表示MA, MB, MC , MD.
完毕课本84页练习
平面对量旳线性运算
——向量旳减法运算
预备知识：相反向量
类比实数旳相反数旳概率，定义相反向量：
与a长度相等，方向相反旳向量， 叫做a旳相反向
量，记作-a ; -a与a互为相反向量
要求：零向量旳相反向量仍是零向量
所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；
3、
a=-b，b=-a，a+b=0
1.已知a,
b是两个非零向量,下列说法正确的有
概念辨析
_____ .
(1) 2a的方向与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的 2 ； 5
(2)a b与（b a）是一对相反向量；
(3)若a, b不共线，则 a( 0)与b不共线；
2.下列说法正确的个数是 _______
(1)若 a 0，则 0；(2)若 0，则 a 0；
探究：
问题：已知OA和OB不共线，AC t AB(t R), 试用OA和OB表示OC .
特例：对于OC (1 t)OA tOB,当t 1 时，你知道其几何意义 吗？ 2
中点公式向量表示法： C为AB中点，则OC OA OB 2
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
uuur
uuur
uuur
3.若| AB |＝5，| AC |＝8，则| BC |的取值范围是
( C)
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
4．若 a 与 b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
ABCD
中，设
uuur AB
uuur
＝a，AD
＝b，uBuCur
＝c，则
uuur DC
等于(
A)
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c
2.已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点， OA =a ， OB =b，OC =c，用 a，b，c 表示 OD .
【解析】 = - = - = - + =c-b+a.
B
ab
D
b a
d c
A
d b
cd
C a
c
O
作法：如图，在平面内任取一点O，作OuuAur
r a,
uuur OB
r b,
uuur OC
cr ,则OuuDur
r d,
BA a b,DC c d.
【变式练习】
如图，已知a,b, 求作 a b.
（2）
（1）a
ab
a
b
b
（3）
a
（4）
ab
a
b
r
b r ra
.
7.在平行四边形 ABCD 中，| + |=| - |，则有
()
A. =0 C.ABCD 是矩形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aa a
OA B C
－a
a
uuur
OC = a＋a＋a
－a －a
uuur
P NMO
用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？
（2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
探究： uur uur 给定平面内两个向量 e、1 e2，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？
N
B
uuv
e2
A
uv e1
M
e2
分解
a
平移
共同起点
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
取等号.
思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关 系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
理论迁移
例1 如图，已知向量a，b，c，求作
O L
uuuur 则OM＝
uuur uuur OA OB (线段AB中点的向量表达式）
2
例2.设ueu1r,ueu2r是不共线的非零向量， （ 1） 证 明 ：u且ar,ubuuarr可=以ueu1r作- 2为ueu2r一,ubr组= ue基u1r +底3eu；u2r
高中数学第一篇教材过关第六章 6.2平面向量的运算6.2.2向量的减法运算课件新人教B版必修第二册
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列等式中,正确的个数是 ( C ) ①0-a=-a;②-(-a)=a; ③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-b); ⑥a+(-a)=0. A.3 B.4 C.5 D.6 解析 只有⑥不正确.
素养演练 直观想象——利用几何图形的性质判断 已知O为四边形ABCD所在平面外的一点,且向量OA,OB,OC,OD满足OA+ OC= OB+OD,则四边形ABCD的形状为 平行四边形 .
解析 ∵OA+OC=OB+OD,∴OA-OD=OB-OC, ∴ DA=CB ,∴| DA|=|CB |,且DA∥CB, ∴四边形ABCD是平行四边形. 素养探究:向量a+b,a-b的几何意义表示的是平行四边形的对角线,所以要熟悉 并会应用平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质,解题过程中 体现了直观想象的核心素养.
思维突破 向量减法运算的常用方法
特别提醒 掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识,可以将 杂乱的向量运算有序化处理.
跟踪训练 1-1 化简:(1)OA-OD+ AD; (2) AB+DA+BD- BC-CA. 解析 (1)解法一:OA-OD+ AD= DA+ AD=0. 解法二:OA-OD+ AD=OA+ AD-OD=OD-OD=0. (2) AB+DA+BD- BC-CA= AB+ DA+ BD+CB+ AC=( AB+ BD)+( AC+CB)+ DA= AD+ AB+DA= AD+ DA+ AB=0+ AB= AB.
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量是二维空间中的有方向的量，可以通过各种运算来进行计算和处理。
本文将涉及到平面向量的基本运算，包括向量的加法、减法、数乘、模长和单位向量等。
并将通过具体实例和图表来帮助读者更好地理解和应用这些运算。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量的操作。
设有两个向量A和A，分别表示为：A = (A₁, A₁)A = (A₂, A₂)则向量A和A的加法运算为：A + A = (A₁ + A₂, A₁ + A₂)在坐标平面上，A + A的结果就是将向量A的起点放在向量A的终点，然后连接向量A的起点和向量A的终点。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
设有两个向量A和A，分别表示为：A = (A₁, A₁)A = (A₂, A₂)则向量A和A的减法运算为：A - A = (A₁ - A₂, A₁ - A₂)在坐标平面上，A- A的结果就是连接向量A的起点和向量A的终点。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的操作。
设有一个向量A，表示为：A = (A, A)A为实数，则向量A的数乘运算为：AA = (AA, AA)在坐标平面上，将向量A的长度缩放A倍，方向保持不变。
四、向量的模长向量的模长，也称为向量的长度，表示为向量起点到终点的距离。
设有一个向量A，表示为：A = (A, A)则向量A的模长为：|A| = √(A² + A²)模长为非负实数，表示向量的大小。
五、单位向量单位向量是指模长为1的向量。
通过将一个非零向量除以它的模长即可得到单位向量。
设有一个非零向量A，表示为：A = (A, A)则单位向量A为：A = (A/|A|, A/|A|)其中，|A|为向量A的模长。
单位向量在方向上与原向量相同，但长度为1。
六、向量的运算性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
平面向量的减法运算ppt课件
(3) OA OB BC ；
(4) BA BC ；
(5) AB BC AD ；
(6) AB DA BD BC CA ．
课堂探究
小结
相反向量
与向量 Ԧ 长度相同，方向相反的向量，
叫做 Ԧ 的相反向量，记作−．
Ԧ
向量的
减法运算
减法运算
向量 加上的相反向量，叫做
数的减法法则来定义向量的减法？
与实数运算类似，我们利用“相反
向量”，通过向量的加法来定义减
法．
自学指导1
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向
量，叫做的相反向量，记作−．
−
➢ 任意向量与其相反向量的和是零向量，即a + −a = 0
➢ 如果a，互为相反向量，那么a = −, a + = 0
学习目标
1.识记相反向量的概念及相关性质.
2.类比实数的减法运算，识记平面向量的减法运算法则及几何意义.
3.会利用向量的减法法则解决实际问题.
准备好学案6.2.2
课本、笔记本、草稿纸
平面向量的减法运算
高中必修二第六章
2
复习巩固
已知非零向量a, b, 求a b.
①向量加法的三角形法则：(位移）
➢ 零向量的相反向量仍是零向量。
自学指导1
我们规定，向量 加上
Ԧ
的相反向量，叫做Ԧ 与 的差，
即 − = + (−)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向
量相当于加上这个向量的相反向量.
向量的减法运算
问：结合着向量加法的学习，思考向量减法的几何意义是什么呢？
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即: a b = a (b)
r
求两个向量差的运算叫做向量的减法
a
rrrrBiblioteka 2.已知向量rra,
b
,如何作出 向量
a - br?r
r b
r
3.差向量 a - b 的方向与原来两个向量 a
向有什么关系?如何用一句话来表达?
, b的方r
b
OaA rr
ab
向量减法的角形法则： 共起点,箭头指向被减向量
B
uuur r r
记作 a .
r r 注：1.零向量的相反向量仍是零向量； 0=0
2.任一ar向量(与ar其)相=反(向ar量) 的 和ar 是= 零0r 向量；
uuur uuur 重要提示 : AB = BA
1.什么叫r 做向r量的差?什么是向量r 的r减法? 向量a加r 上rb的r相反r向量，叫做 a与b的差，
b
d
a
c
d b a
c
课堂练习：
1、如图，已知a、b，求作a-b。
(1)
(2)
b a
(3)
a
a
b
b
2、填空： AB-AD= DB BA-BC= CA BC-BA= AC OD-OA= AD OA-OB= BA
(4)
a
b
(1) (ra)r= a, a (a) = (a) a = 0
(2) r 0 = 0r
rr
rr r
(3) a = b, b = a, a b = 0
ar2.向量减法的平r行四Ouu边Cur 形= ar法则br
rB b
C
b
uuur r r BA = a b
O
r aA
例题分析：
例１、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d。
uBuAur=
a
b r
r
AB = b a
特例:
r ra b
(1)
uuur r OA = a
(1) O A B
r ar b (3)
rr
ab
(3) B
OA
uuur r OB = b
r a r b
(2)
rr ab
O B A (2)
r ra b
(4)
rr ab
A
O
(4)
B
说明：1.关于相反向量
r r r r r rr
平面向量的减法运算
温故
1.向量加法的三角形法则: 2.平行四边形法则:
首尾相连，由首至尾
C ab b
A a B
共起点
Ba
b
a
b
C
b
O
a
A
3.向量加法的交换律
:
ar
r b
=
r b
ar .
4.向量加法的结合律
: (ar
r b)
cr
=
ar
r (b
cr )
r
r
与r向量 a长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，