第二节 一阶微分方程的解法
常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
高数第4章第2节——一阶微分方程
例4 求解
解
分离变量,
并两端积分 得
dy y2
cos
xdx
,
解得
1 y
sin x C1,
即 1 sin x C , y
代入 y x0 1 , 得 C 1 ,
所求特解为 1 sin x 1 . y
说明：
初值问题:
g( y) dy f ( x) dx
y
x
x0
y0
的特解也可用变上限积分确定：
例1 求微分方程
解 分离变量,并两端积分,得 e ydy e2xdx,
解得 e y 1 e2x C , (C 为任意常数) 2
方程通解为 e y 1 e2x C ,(C 为任意常数). 2
例2 求微分方程
解
当
y0
时分离变量
,
得
dy y
2 xdx ,
两端积分
,
dy y
2
xdx,
得 : ln | y | x2 C1,
例8
解
由通解公式得：
y
e
4 dx x
sin x x4
e
4 dx
x dx
C
eln x4
sin x x4
e ln
x 4 dx
C
1 x4
(
sin
xdx
C
)
1 x4
(
cos
x
C
).
故所求通解为：y
1 x4
( cos
x
C ).
例9 解
由通解公式得：
故所求通解为：y cos x (tan x C ).
是线性方程 , 可用常数变易法或公式法求解.
例10 解
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
一阶线性微分方程及其解法2
f ( xy , x y)
2 2
x 2
2
xy
2
xy 2 f ( x, y ) x y 2 0
x2 y2 0 . x2 y2 0
1 , x 1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
0得 C
1 1 1 y 2 x 2x2
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u ux dx u 1
2
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 dx 1 du x u
u ln|u| ln|x| ln|c
y 3 x y
其中 P ( x ) 1 ,
dx
Q( x ) 3 x
e x 3 xe x dx C ex
x
3 xde
dxdx C 3x e
C
e x 3( xe x e x dx) C
k t e m
k t g e m dt
k k t t m e m g d (e m ) C C k
k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k
k t m
由 v t 0 0 得
1 1 C 1 x2 2 xC 2 2 x x x 2
1 , x 1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
0得 C
一阶微分方程的初等解法省公共课
这么变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
( y)
f
( x)dx
c
(2.2)
1
的某一原函数hf(
( x)的某一原函数F y)
(
x)
( y)
由(2.2)所确定的函数h( y) F (x) c就为(2.1)的通解.
第3页
定义1 形如
dy f (x)( y)
dx
dy F (x, y) dx
令u a2 x b2 y,则方程化为
f (a2 x b2 y)
du dx
dy a2 b2 dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
第20页
3
a1 b1
a2 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线,解以上方程组得交点( , ) (0,0).
它不包含在方程(2.2)的通解中, 必须予以补上.
例1 求微分方程 dy y(1 y ) 全部解.
dx
10
解: 方程两边同除以y(1 y ),再积分
10
dy y (1
y
)
dx
c1
10
积分得:
y
ln 10 y
x c1
第6页
从上式中解出y, 再将常数记为c, 得
y
10 1 cex
,
c 0.
4
c1 ) 2
(ln
4 cx
)2
,
此外还有解y 0,这个解未包含在通解中,应补上.
第8页
例3 求微分方程
dy p(x) y dx
第二节齐次方程一阶线性微分方程
dy y 形如 ( ) dx x
的微分方程称为齐次方程.
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
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o
x
切线与y轴的距离为Y0 y xy,由题意可得
下页
结束
铃
y y 若x 0, 方程为 y 1 . x x y 令u , 则有y xu, y u xu x du dx 分离变量 解得 xu x 2 x 2u2 C . x 1 u2 y 将u 代回上式,得当x 0时的通解为 x y x2 y2 C .
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x y
所求特解为 e ln | y | 1
返回 下页 结束 铃
x y
例5. 解微分方程
解: 方程变形为 d y 2 y y
分离变量
1 1 dx du dx 即 d u 2 u1 u x u u x
即
u1 C/x u
2 u x u 2u u
P ( x ) dx
P ( x ) dx , u( x ) Q( x )e dx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
记住此公式
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
y x ), 令 u y , y ux , y x x y u xu. cos u u sin u 代入原方程得 u xu u( ), u sin u cos u
一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程),(y x f dxdy =与0),,(='y y x F 的求解问题1 变量可分离方程 形如)()(y x f dxdy ϕ=的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x ,的连续函数。
1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdy ϕ=， 分离变量得dx x f y dy )()(=ϕ， 再积分，得⎰⎰=dx x f y dy )()(ϕ，这就是方程的通解。
注意：在变量分离的过程中，必须保证0)(≠y ϕ。
但如果0)(=y ϕ有根为0y y =，则不难验证0y y =也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
2）可化为可分离变量的方程)a 齐次方程)(x y g dx dy =， 令xy u =，方程可化为分离变量的方程，x u u g dx du -=)(。
)b 分式线性方程 222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=下面分三种情形来讨论：ⅰ）021==c c ，这时 yb x a y b x a dx dy 2211++= 为齐次方程。
ⅱ）02211≠b a b a 及02221≠+c c ，这时可作变换k y h x +=+=ηξ,，其中k h ,是线性代数方程⎩⎨⎧=++=++00222111c k b h a c k b h a 的唯一解，可将方程化为齐次方程 ηξηξξη2211b a b a d d ++=。
ⅲ）02211=b a b a 及02221≠+c c ，这时可设 λ==2121b b a a ，方程可化为222122)()(c y b x a c y b x a dx dy ++++=λ， 再令u y b x a =+22，则方程可进一步化为2122c u c u b a dx du +++=λ，这是一个变量可分离方程。
第六章微分方程第二节一阶微分方程
二
dx
u6
章
微 分离变量:
分
u 6 du 2dx u1
du 2u 2 dx u 6
方 程
积分得
u 5ln | u 1 | 2x C
代回原变量, 得原方程的通解:
x y 5ln | x y 1 | 2x C
y x 5ln | x y 1 | C
dx x 1
解法一 常数变易法
第 十
对应的齐次方程为 dy 2 y 0 dx x 1
二 章
分离变量得
dy 2dx
y x1
微 分
两边积分
ln | y | 2ln | x 1 | ln | C |
方
程
y C( x 1)2
由常数变易法令 y u( x)(x 1)2
sin u
x
微 分 方
两边积分
cos sin
u u
d
u
dx x
ln
|
C
|
程得
ln sinu ln x ln C , 即 sinu C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
- 11 -
第二节 一阶微分方程
2
3
y ( x 1)2
章
dx ( x 1)
微 分 方
y
e
2 dx
x1 [
(
x
3
1)2
e
2 dx x1
dx
c]
第十章第二节典型一阶微分方程
方程的主要特征：等式左端为一阶导数，等式右端
可分解成变量 x 的函数与变量 y 的函数之积. 4 4 dy 2 2 5 5 y dy 2 x dx 2 x y 例 dx
一、可分离变量的微分方程
dy 对于可分离变量的微分 方程 f ( x ) g( y ) （ 2） dx
若函数 g ( y )和 f ( x ) 均为连续函数, 且g( y ) 0, 1 dy f ( x )dx 分离变量 则由（2）可得， g( y ) 1 两端积分得， dy f ( x )dx g( y ) 1 和f ( x )的原函数, 设函数G ( y ) 和 F ( x ) 分别为
M M 0e
t
衰变规律
第二节 一阶微分方程 二、齐次微分方程
x dy y f 或y ( ) 的微分方程， 定义 形如 dx x y 称为齐次微分方程. 齐次微分方程的特点： 微分方程的右端为齐次函数.
（齐次函数是指： 若 F (tx, ty) t n F ( x, y ) 这里t为任意 实数，则称 F ( x , y )为齐次函数）．
第二节 一阶微分方程 一阶微分方程的基本形式为 F ( x,y,y' ) 0 或 y' f ( x , y )
或 M ( y )dy N ( x )dx
一阶微分方程的初值问题为
F ( x , y , y ) 0 y y x x 0 0
第二节 一阶微分方程
dx cos udu , x
微分方程的通解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
二、齐次方程
x y x y
x 例5 求(1 2e ) dx 2e (1 )dy 0满足条件y x 0 1的特解. y x/ y dx 2 ( x / y 1 ) e Solution. 原方程可化为齐次方程
高等数学第二节_一阶微分方程
3 .将 y,y代回 ,得 原 C 关 (x 方 )的 于 程 微 : 分方 C (x)Q (x)eP(x)d,x
4 .求 C (x ) 出 Q (x ) e P (x ) dd x C x , 5. 写出原方程的通:y 解 e P (x )d(C xQ (x )e P (x )dd x )x
yP (x )y0 .
分离变量, 得
dyP(x)dx, y
两端积分, 得
dyyP(x)dx,
ln y P (x )d x lC n 1 ,
线性齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx . 例6 求解微分方程 dyycotsd的 t 通 . 解
解: 分离变量, 得 两端积分, 得
高等数学第二节_一阶微分方程
第五章 微分方程 §2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次型方程 三、一阶线性微分方程 四、拓展与思考 五、小结
一阶微分方程的一般形式： F (x,y,y)0
初值问题：
y f (x, y),
y
xx0
y0.
一、可分离变量的微分方程
形如： y f1 (x )f2 (y )
将y和y代入原方程 C (x 得 )eP (x)dx Q (x),
即 C (x)Q (x)eP(x)dx
积分得 C (x ) Q (x )e P (x )dd x x C , 通解为 y (Q (x ) e P (x )dd x C x ) e P (x )dx
通解为 y (Q (x ) e P (x )dd x C x ) 0 或 Q (y ) 0 ,方程称为一阶线性齐次微分方程.
一阶微分方程及其解法
代回原变量，原方程的通解为：
y3 x2 y 3 2 ] ln ( x 2) ( ) C x2
四、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y dx
当Q ( x ) 0, 上述方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上述方程称为非齐次的.
例如
解： 将所给的方程写成 分离变量，得 两端同时积分，有 （两边同时乘以2） 即:
ln x d (ln x )
练习:1、 解：分离变量 两边积分 e 即 2、求方程的 解：分离变量
y dy 2 1 y
y
C
(C<0 ) 通解
2 2 ln( 1 y ) ln( 1 x ) ln C 两边积分
1 u )du 2 2 1 u 1 u
Y
X
u，
例4. 求解 积分得 代回原变量
X x 1, Y 得原方程的通解:
Y
Y
X
X
u，
Y
X
u
y5 x 1
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
作变换 x X h , y
dy a x b y c d x a 1 x b1 y c 1
y ( x 1) x C y x
( u 1) C 即 x u
代回原变量
得通解
(C 为任意常数)
例3 求微分方程 2 xydx ( x 2 y 2 )dy 0的通解. 解： 所给方程可变形为
y 这是齐次方程，令 u , x
则 代入原方程， 得 从而有 分离变量，得
例3 求微分方程 2 xydx ( x 2 y 2 )dy 0的通解. 分离变量，得 看做某个原函数 两边积分，得 积分后，得 即
《高等数学B》第十章 微分方程与差分方程 第2节 一阶微分方程
y 微分方程的解为 sin ln x C . x
dx dy . 例 6 求解微分方程 2 2 2 x xy y 2 y xy
y y 2 2 dy 2 y xy x x 2 2 , 2 dx x xy y y y 1 x x
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x )dxdx . Q( x ) e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例7 求方程 y 解
1 P( x) , x
1 sin x y 的通解 . x x
sin x Q( x ) , x
sin x 1 dx x e dx C x
u1 u ( u 2)
3 2
Cx .
微分方程的解为 ( y x )2 Cy( y 2 x )3 .
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式 :
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当 Q( x ) 0 , 上方程称为齐次的 .
当 Q( x ) 0 , 上方程称为非齐次的 .
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
dy 2 . 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ) . dx
dy Q( x ) P ( x ) dx , 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx 为 v ( x ) , ln y v ( x ) P ( x )dx , y
第二节 一阶微分方程
Q( x ) 1 x 2
ye
1 x
2x
dx 2
[ (1 x )e
1 x 2 dx
2x
dx C ]
e
ln( 1 x 2 )
[ (1 x )e
2
ln( 1 x 2 )
dx C ]
1 (1 x )[ (1 x ) dx C ] 2 1 x
2
练习 求微分方程 xy y(1 ln y ln x ) 的通解 dy y y 解 原方程化为 (1 ln ) dx x x dy du y 令u , y xu, 则 u x , dx dx x
du 代入上式, 得u x u(1 ln u) dx
2
(1 y 满足条件 y( ) 1的特解 . x x
解 (用常数变易法)
dy dx 1 先求y y 0的解, 分 离 变 量 ： , y x x C
y 两边积分：y ln x lnC 得 通 解 ： ln
齐次方程的通解为
y Ce
P ( x ) dx
.
dy P( x) y 0 dx
y Ce
P ( x ) dx
dy (si nx ) y 0 的通解 例1 求微分方程 dx
解 由原方程，知 P( x ) sinx 代入通解公式，
y Ce
P ( x ) dx
sinu Cx ,
y 代回原变量得方程的解为 sin ln x C . x
dy y2 例2 求微分方程 的通解. 2 dx xy x
y dy x y , 令u , y xu, 解 原方程化为 dx y x 1 x dy du du u2 则 u x , 代入上式, 得u x , dx dx dx u 1 u1 dx du 两边积分，得 u x u ln u ln x ln C1 , C1 ux e u . y 1 y 用u 代入， y Ce x (C ) 为所求通解. 得 C1 x
微积分 第七章 第二节 一阶微分方程
2.解法 作变量代换 u y ,
x
dy u x d u ,
dx
dx
即 y xu,
代入原式得
分离变量得
u
du x
f (u),
dx
du dx , 两边积分即得通解. f (u) u x
注意：须将u代回.
9
例6 求方程 dy y 3 tan y 的通解.
dx x
x
解 此题不能分离变量, 是齐次方程,
解
原方程变形为
dy dx
y2 xy x2
( y / x)2 , y x1
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u2 , dx u 1
即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
13
即 x du u2 u u ,
dx
2
2
解 dy cos x y cos x y 2sin x sin y ,
dx
2
2
22
dy 2 sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln | csc y cot y | 2cos x C
22
2
为所求通解.
6
例4 求方程(e x y e x ) dx (e x y e y ) dy 0
y
e
P
(
x
)dx
[
Q(
x
)
e
P
(
x
)dx
dx
C
]
17
y
e
P(
x
)dx
[
Q(
第二节一阶微分方程
则 通 解 为yCex2 .
2020/6/11
4
例3 求 方 程 d y co xy s co xy s的 通 解 .
d x 2
2
解 dycoxsycoxsy2sinxsiny,
dx
2
2
22
dy 2si ny
si
nxdx, 2
2
lncscycoty 2cosx C
一阶线性微分方程的标准形式:
dyP(x)yQ(x) dx
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的.
当 Q(x)0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2, dx xsi nt t2, 线性的;
dx
dt
yy2x y3, yco y s1, 非线性的.
2020/6/11
14
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 dy P(x)y0. dx
是齐次方程,
x
作变量代换u y , x
yxu,
dy uxdu,
dx
dx
代 入 原 方 程 得 uxduu1, dx u1
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
2020/6/11
10
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
积 分 得 aru c 1 ltn 1 a u 2 ( n ) l|n x | C , 2
2020/6/11
18
例11 求 方 程 y d x ( x y 3 ) d y 0 的 通 解 .
解 方程含有y3,故不是关于未知函数y线性方程,
可 把 y视 为 自 变 量 , 把 方 程 改 写 为 dx x y2 , dy y
一阶微分方程的通解
一阶微分方程的通解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢§2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§变量分离方程与变量替换§线性微分方程与常数变易法§恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。
§变量分离方程与变量替换人口模型dt 求解即当是一个解. dy (2)当两边积分得ln y故一、变量分离方程dy 1.变量分离方程的形式f ( x)是x的连续函数是y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量当再两边积分( x )dxdyG( y)F(P31例1) 例1 求解方程2 yy 解: 先分离变量dy再两边积分,2说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或例2 求解方程解: 先分离变量再两边积分,2dydx2解得故通解为其中c为任意正常数.例3 求解方程例2)解得3即即333解: (1)当是一个解. (a当先分离变量, y xdx 再两边积分解得即( k为任意正常数) 综上, 通解为y a e为任意常数)故通解为其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 )(P33例4) 例4 求解方程( x ) y, 其中P ( x )是x 的连续函数. 解: (1)当是一个解. dy (2)当先分离变量再两边积分,解得ln ydy(P42习题1(2)) 练习解方程y2dx并求满足初值条件的特解. 解当0 : 是一个解.再两边积分解得即为任意常数) 1 综上, 通解为为任意常数), 另有解当先分离变量,P ( x )dx 即为任意非零常数综上, 通解为ce ( c为任意常数): 是P44页节中的一阶齐次线性微分方程.解(2): 将代入上述通解, 可确定1 故特解为1(P34例5) 二、可化为变量分离方程的类型y 1. 齐次微分方程y例5求解方程y dy u 解: 令则故uu du 是变量分离方程. 原方程化为即udyyy解法: 通过变量替换(令化为变量分离方程.:方程中不含未知函数及其导数的项称为自由项.当即是一个解.当先分离变量,u自由项＝0时：齐次自由项≠0时：非齐次再两边积分,解得即为非零任意常数)y 综上, 通解为为任意常数)(P35例6) 例6 求解方程解: 令则故u 原方程化为是变量分离方程.dy2. 形如的方程a b2dyc22常数) 原方程即当即是一个解.当先分离变量, 1 du令此时原方程化为是变量分离方程.只需令不全为与代表两条相交直线, 交点为通过坐标平移可将交点移到原点方程化为y2ab再两边积分,2解得即当(P38例例7 求解方程解: 解方程组x可得dY , 则令化为则式u 当因X , 则2是变量分离方程.原方程化为 d X X两边取微分, 得即故0为(*)式的解. 2 故0为原方程的解当先分离变量即再两边积分,2X再令则是变量分离方程.解得ln c 即X 2 (为非零任意常数) 代回可得为非零任意常数)即则式化为2思考与练习作业习题P42 1.(2)(4)(7)变量分离方程1.(5)2.(1)(3) 可化为变量分离方程§线性微分方程与常数变易法一、一阶线性微分方程 1. 一般形式y与y 之间是线性关系.自由项(与y,y 无关的项)3.一阶非齐次线性微分方程(1)形式解法第一步: 先求对应齐次微分方程的通解为任意常数) 第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.令P ( x ) dxdy2. 一阶齐次线性微分方程(1)形式为原方程的解,(2)解法分离变量法.见P33例4.通解为P ( x )dxP ( x )dx dy dc( x ) P ( x )dx 则dx代入原方程可得积分得(c为任意常数)(P45例1) dy 例1 求方程的通解. 解: 第一步: 先求对应齐次微分方程的通解.求解方程当且0, 先分离变量再两边积分得对应齐次方程的通解为n得对应齐次方程的通解为dy第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.dy令为原方程( x的解, dy dc( x ) 则dc( x ) 于是有dy积分得故所求通解为为任意常数: 也可直接套公式,P ( x )dxn也可直接套公式3练习解方程习题1(1))当先分离变量再两边积分dydy练习2t x 解方程习题1(2))解: 第一步: 求解方程dx解: 第一步: 求解方程x : dtx 当先分离变量x 再两边积分得对应齐次方程的通解为得对应齐次方程的通解为第二步: 令为原方程的解,dy dc( x ) dc(x ) 则于是有积分得c( x )dy第二步: 令为原方程的解,dt则3c( t )edc( t )于是有dc( t )5t 积分得故所求通解为为任意常数 2故所求通解为ce , c为任意常数(P46例2) dy 例2 求方程y 的通解注：方程变形为二、伯努利微分方程 1.形式常数当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程. 当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程.dy关于x为非齐次线性微分方程自变量为. yx 2x 解: 第一步: 求解方程 d dyx 2 当先分离变量dyx 2 再两边积分2.解法dy (1)方程两边除以y n , 化为方程Q( x )考虑是如何得到的: 令则 d x dx . dy dy得对应齐次方程的通解为x 2x 第二步: 令为原方程的解,2 dc( y ) x 1 则y 于是有积分得) 方程可化为一阶线性微分方程 d xdc( y )(3)利用常数变易法求得通解之后再变量还原.做变量替换即可化为一阶线性微分方程求解.故所求通解为c为任意常数例如求的通解dx 2 x 2 y此为伯努利方程第一步(P48例3) dy y 例3 求方程的通解. 解: 当是一个解.dy做变量替换则d x dxdyy2当第一步: 做变量替换z则得dx即于是有 d x x第二步一阶线性微分方程常数变易法, 可得第三步第二步: 解一阶线性微分方程 d x x常数变易法, 可得8代回原变量, 得通解x3 2c x 第三步: 变量代回, 得通解 1即通解为824思考与练习作业习题P48 1.(2)(3)(4)常数变易法1.(11)(15) 伯努利方程§恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程 1. 预备知识(1)设u( x , y )是连续可微的函数, 则u( x , y )的全微分为2.恰当微分方程(1)定义若有函数u( x , y ), 使得du( x, y )则称M为恰当微分方程. 通解为(2)若则c .通解为(2)需要考虑的问题如何判别M ( x ,是恰当微分方程? 若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )?若不是恰当微分方程, 能否转化?3.方程为恰当微分方程的充要条件设M ( x , y ), N ( x, y )在某矩形域内是x, y的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数, 则方程M ( x为恰当微分方程的充要条件为已知0为恰当微分方程, 则存在二元函数u( x, y ), 使于是有y已知于是有需要构造二元函数u( x , y ), 使u于是有u这里是y的任意可微函数下面选择使解于是有于是有与x无关故于是有4. 恰当微分方程的解法(1)不定积分法第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)故为恰当微分方程.第二步: 求求第三步:由(2)方法 1 : 不定积分法u( x, y )因即故第四步: 通解为于是有故通解为y练习验证方程为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.(2)分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.: 应熟记一些简单二元函数的全微分.(书P54)x2故因即于是有2cos y 故通解为c .(P54例2) 例2 求方程的通解. 解: 方法2 : 分组凑微法方程即d( x 3 ) 3 y 2d( x 2 ) 3 x 2d( y 2 )d( y 4 ) d(3 x 2 y 2 )(P55例3) x 1 例3 求方程的通解.1 x 解故为恰当微分方程.(2)方法1:不定积分法方程即于是有故通解为3 2 2 4故y ) 因即y x 于是有故通解为6(P55例3) 1 x 例3 求方程的通解.1 x 解(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法x 1 方程即xdy 即d x y y2 方程即于是有故通解为(2)方法1:不定积分法因即3 2 于是有故通解为故(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解(3)线积分法《数学分析》中曲线积分与路径无关:P 在单连通域G上连续, 若函数P ( x , y ), Q( x, y )以及则下列命题等价对G内任意一点( x ,y ), 有曲线积分与路线无关,C ( A, B )故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法方程即方程即于是有故通解为只与位于G中的始点A与终点B有关在G内存在一个函数u( x , y ), 使: 判别恰当微分方程的充要条件, 其充分性也可使用线积分证明:已知(P53例1) 例4 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在全平面上连续,则存在函数u( x, y ), 使故N ( x , y)dy 为恰当方程. y 这时, 取则( x , y) ( x, y) u( x , y)y )dy,x0 y0x x0( x0 , y0 ) xy故取则Oy y0x( x, y)故恰当微分方程的通解为线积分法步骤: 第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)第二步: 取如原点(0, 0), ( x, y) 求第三步: 通解为N ( x, y)dy, 0(0,0) xy 0y( x, y)3 2 2 43 x2Ox故通解为7(P55例3) 1 x 例5 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在除去的平面上连续,二、积分因子1. 需要考虑的问题如何判别M是恰当微分方程?已经解决, 利用充要条件故取则( x, y)若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )? 已经解决, 三种方法(不定积分法, 分组凑微法, 线积分法). 若不是恰当微分方程, 能否转化?对一些非恰当方程, 乘上一个因子后, 可变为恰当方程.(0,1) xM ( x, y )dxy 1y 1O( x, y )故通解为x2.积分因子的定义如果存在连续可微函数使得( x , y ) 为恰当方程, 则称为方程的一个积分因子.1 , 1 均为方程的积分因子. 例6 验证12 , 12 , xy x y x2书例) y 证明(1)方程两边乘以验证12 , 得已化为恰当方程证明(2)方程两边乘以验证12 , 得 1已化为恰当方程.得证明(3)方程两边乘以验证0,已化为恰当方程方程两边同乘 1 , 得已化为恰当方程.P ( x ) dx 方程两边同乘e 得( x ) dx ,已化为恰当方程3.积分因子的确定是方程的积分因子的充要条件是:由求导的乘法法则, 得是方程的积分因子的充要条件是:若存在仅与x有关的积分因子上式即可变形为仅与x有关仅与x有关是方程的积分因子的充要条件是:(3)方程0有仅与x 有关的积分因子的充要条件是:仅与x有关, 即其积分因子为.8(4)方程0有仅与y 有关的积分因子的充要条件是:仅与y有关, 即例6 求方程的通解. 22解: 首先该方程不是恰当微分方程.y2其积分因子为.然后寻找积分因子.因为Nx故积分因子为y2 原方程两边乘e , 可得( 2 e xy2 利用恰当方程求解方法可得为任意常数.(P58例5) dy x 2 例7 求解方程dxdy 2 2 x 1 解: 因为故方程即(P55例6) 例8 求解方程解法1: 首先该方程不是恰当微分方程.但是注意到即其实是恰当方程的分组凑微法所以说即上式 d( x1 为积分因子12 y 1 , 可得原方程两边乘y 2 y y2 y2故积分因子为即故通解为为任意常数利用分组凑微法可得x d( y ) d(ln | y |)故通解为为任意常数. 另有解(P55例6) 例8 求解方程解法2: 方程可以变形为xdy y(P55例6) 例8 求解方程dy y 关于x 为一阶继续变形为线性非齐次方程y x x 第一步: 求解方程 d dy 先分离变量当y再两边积分y dy 继续变形为当dy解法3: 方程可以变形为y即dyy令则故原方程化为即1 dx 是变量分离方程.y当即是一个解.当两边积分uu2x得对应齐次方程的通解为即x x 第二步: 令为原方程的解, x 1 则d dy于是有积分得c(解得变量还原,即为任意常数)故所求通解为为任意常数另有解另有解9思考与练习作业习题P60 1.(1)用两种方法求解：不定积分法和分组凑微法2.(3)(4)(5)先判别是否恰当方程,然后选取相应做法思考与练习作业习题P69 1.(1)(3)10二阶及高阶微分方程的求解与应用二阶及高阶微分方程的求解与应用学姓班学号名级院2016xxxxxxxxxxxxx摘要：本人认为第三章略微复杂，在课上时感觉自己听懂了，但是课后发现又会出现好多问题。
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常数变易法例题
对应齐次方程为 分离变量得 两边积分有
令y C( x)sin x.
C ( x) 2 x
cot xdx y． Ce Celn sin x C sin x
则有: y C( x)sin x C( x) cos x
C( x) x 2 C
代入原非齐次方程， 得
ln(1 x )(1 y ） ln(Cx )
2 2 2
2 2 2 (1 x )(1 y ) Cx 因此， 通解为
CR
于是， 所求特解为
(1 x )(1 y ) 10x
2 2
2
例题
例 衰变问题 : 衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正比,已知 M
t 0
M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量
故所求通解为
y ( x C)sin x
2
公式法例题
P( x) cot x,
Q( x) 2 x sin x.
根据公式有:
cot xdx cot xdx ye ( 2 x sin xe dx C )
e ln sin x ( 2 x sin x e ln sin x dx C ) 1 sin x ( 2 x sin x dx C ) sin x sin x ( 2 xdx C ) sin x ( x 2 C ).
一阶线性非齐次方程解法
讨论: 设y=f(x)是解, 则
df ( x) P( x) f ( x) Q( x) dx
df ( x ) Q( x ) 变形 P ( x ) dx , f ( x) f ( x)
Q( x ) dx P ( x )dx , 积分 ln f ( x ) f ( x)
积分得 c( x ) Q( x )e 非齐方程通解 y e
P ( x )dx
dx C ,
P ( x )dx
P ( x )dx
( Q( x )e
dx C )
例
求解微分方程
y y cot x 2 x sin x.
y y cot x 0
1 dy cot xdx y
第二讲 一阶微分方程的解法
教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解 方法 难 点：一阶线性非齐次微分方程的 通解 重 点：可分离变量的微分方程、齐 次方程和一阶线 性微分方程
主视图
一阶微分方程 解法
可分离变量法 齐次微分方程 一阶线性 微分方程 伯努利方程
解题步骤
一阶齐次 微分方程
一阶非齐次 微分方程 通解
a 2 xy [ C (ln x ) ] 1. 所以， 原方程通解为 2 回主视图
通解
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
P ( x )dx
P ( x ) dx
( Q( x )e
e
P ( x )dx
dx C )
Ce
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解 所以
2 tan u
x
2
.
ln sin u 2 ln x ln c ln cx .
2
sin u cx . 把变量代回得微分方程的解为
y sin cx 2 . x
例题
例
2 2 ( y 3 x ）dy 2 xydx 0 求解微分方程 满足初始条件 y x0 1 的特解．
代入原式
du du f ( u) u u x f ( u), 即 . dx dx x
可分离变量的方程
当 f (u) u 0时, 得
du dx f ( u) u x
例题
例 求解微分方程
解
y 令u ， 则 dy xdu udx， x du dx
y y y 2 tan . x x
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例题
dy 2 xy 的通解. 例 求解微分方程 dx
dy 解 分离变量 2 xdx , y
两端积分得 dy y 2 xdx x du 则 u y , dy dy
x 1 3 2 2 y dx y 3x x dy 2 xy 2 y
2
y 令u , x
du 1 5u 2 y dy 2u
2u 1 1 5u 2 du y dy
1 1 2 ln(1 5u ) ln y ln C 5 5
3 y y dy 3 1 y C xe e dy C 2 2y 3 以条件 C x 2, y 1 代入， 得 2 3 dy y
因此， 所求特解为
3 y2 x y 2 2
回主视图
回主视图
当Q( x ) 0, 上方程称为一阶线性非齐次方程.
例如 dy y x 2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
回主视图
一阶线性齐次微分方程解法
线性齐次方程
dy P ( x ) y 0. dx
例题
例 求微分方程 ( y 2 6x) y 2 y 0 满足初始条件 y
x 2
1的特解．
解 这个方程不是未知函数 y 与 y 的线性方程， 但是可以将它变形为
dx 6 x y 2 dy 2y
dx 3 y x dy y 2
dx
若将 x 视为 y 的函数， 则对于 x( y ) 及其导数 dy 而言， 方 程(11)是一个线性方程， 由通解公式(10)得
当n 0,1时，方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 经过变量代换化为线性微分方程.
即令 z y1n ,则上式化为 1 dz P( x) z Q( x) 1 n dx
从而化为一阶线性方程
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx
du 1 1 1 dx u
du 1 dx u
分离变量， 并两边积分
u 2 x C
2
微分方程的通解为
( x y) 2 2x C
回主视图
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为一阶线性齐次方程.
f ( x) e
Q( x ) dx f ( x)
e
p( x )dx
, 记 c( x ) e
Q( x ) dx f ( x)
,
非齐方程通解形式 y f ( x ) c( x ) e
p( x )dx
回主视图
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
微分方程的通解为 y 5 5x 2 y 3 C 将初始条件 y x0 1 代入通解中， 得到 C 1 所求特解为
y 5x y 1
5 2 3
例
求解微分方程
dy 1 1 dx x y
例题
dy du 1 解 令 x y u, 则 y x u, dx dx
设解为
y c( x )e
P ( x )dx
C c( x )
y c( x )e P ( x )dx c( x )[ P ( x )]e P ( x )dx ,
dy P ( x ) y Q( x )得 将y和y代入原方程 dx
P ( x )dx c ( x )e Q( x ),
ln y x 2 C1
x2
y ce 为所求通解.
例题
2 2 ( 1 y ) dx xy ( 1 x )dy 0 满足初始条件 例 求微分方程 y(1) 2 的特解．
解
分离变量， 得
y 1 y x 1 dy dx dy dx 2 2 1 y2 x(1 x 2 ) 1 y x 1 x 1 1 1 2 2 两边积分 ln(1 y ) ln x ln(1 x ) ln C 2 2 2
非齐次方程特解
P ( x ) dx Q( x )e dx
dy P ( x ) y Q( x )的通解是 dx
对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和.
回主视图
伯努利方程
一般地,形如 dy
dx
P ( x ) y Q( x ) y
n
( n 0,1)
的方程,称为伯努利(Bernoulli)方程.
dy y P ( x )dx ,
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
回主视图
线性非齐次方程
dy P ( x ) y Q( x ). dx
常数变异法
可分离变量法
如果一阶微分方程能化为
g( y )dy f ( x )dx 则称为可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,两边积分得
g( y )dy f ( x )dx
M M 0 e t
解题步骤
利用微分方程解决实际问题的步骤：