4 网络最大流问题

µ µ
+ −
,

f ij , 若 (vi , v j ) ∉ µ .
去掉所有的标号，对新的可行流f’={fij’} 重新进入
标号过程。
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例1 用标号法求右下图所示网络的最大流。弧 旁的数是（cij,fij）。
式中 v(f) 称为一个可行流的流量,即发
点的净输出量(或收点的净输入量)
2、最大流问题
maxv( f ) f
0≤ fij ≤cij,(vi,vj)∈A
s.t.
∑
fij −
v( f ),(i = s)
∑ f ji = 0,(i ≠ s,t)
(vi ,v j )∈A
(v j ,vi )∈A
一、基本概念
(一)、网络与流
一个有向图D=(V,A,C)称为一个网络．其中，
V 是D的顶点集；A是弧集；C是各弧上容量集
{cij:cij=c(vi,vj)} .在V中指定了两个顶点vs,vt,分别 称为发点和收点，其余的顶点称为中间点．
定义弧集A上的一个函数
f：(vi,vj)→f(vi,vj) 简为记网为络fi的j. (一10个,5)流v,并2 称((3f5(,,2v2)i,)vj)为弧v5((1v1i,,6v)j)上v 6的流量，
2 、若μ是网络中联结发点vs和收点vt 的一条链, 定义链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分为两类: 一类是弧的方向与链的方向一致,称为前向弧,前向 弧的全体记为μ+ ,另一类弧与链的方向相反,称为 后向弧,后向弧的全体记为 μ－。
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− v( f ),(i = t)
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(三)、增广链 1 、给定一个可行流f={fij},
fij < cij的弧称为非饱和弧;f ij = cij的弧称为饱和弧 ; fij > 0的弧称为非零流弧; f ij = 0的弧称为零流弧 .
v4
(5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
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5、c在ontinvue3d,v4中任选一个进行检查 。 例如：在弧（v3,vt）上, f3t=1<c3t=2,则vt的标 号为(v3,l(vt))。 其中,
∀aij = (vi ,v j ) ∈ A ⇒ 0 ≤ fij ≤ cij ;
(2) 平衡条件.
对中间点:流出量=流入量,即
∑ ∑ ∀i(i ≠ s,t) ⇒ fij − f ji = 0;
(vi ,v j )∈A (v j ,vi )∈A
∑ ∑ 对于发点vs,
f sj −
f js = v( f );
(vs ,v j )∈A
(v j ,vs )∈A
∑ ∑ 对于收点vt,
f tj −
f jt = − v ( f ).
( vt ,v j )∈ A
( v j ,vt )∈ A
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二、求最大流的标号法(Ford,Fulkerson) 1 、标号过程
开始:先给vs标上(0,+∞)，此时vs是标号而未检 查的顶点,其余都是未标号顶点。一般地,取一个 标号而未检查的点vi,对一切未标号点vj： (1)若在弧(vi,vj)上fij<cij，则给vj标号(vi,l(vj)) ,这里 l(vj)=min(l(vi),cij-fij)。此时，点vj成为标号而未检 查的点。 (2)若在弧(vj,vi)上fji>0，则给vj标号(-vi,l(vj))。这 里l(vj)=min(l(vi),fji)。此时，点vj成为标号而未检 查的点。
3 、设f是一个可行流,μ是从vs到vt的一条链,称 μ为一条增广链,如果满足
(1)(vi , v j ) ∈ µ + ⇒ 0 ≤ f ij < cij ,
即正向弧集中每一条弧 是非饱和弧 ;
(2)(vi , v j ) ∈ µ − ⇒ 0 < fij ≤ cij ,
µ是一条增广链
即反向弧集中每一条弧是非零流弧 后向弧集合 µ − = {(v5 , v4
(四)、截集
1 、设S,T是V的真子集,S∩T＝ Ф,把始点在S,终 点在T中的所有弧构成的集合,记为(S,T).
2 、给定网络D=(V,A,C) ,若点集V被剖分为两个 非空集合V1,V2，使vs∈V1,vt∈V2,则弧集(V1,V2)称 为分离vs和vt的截集.
3 、截集(V1,V2)中所有弧的容量之和称为此截 集的容量,记为c(V1,V2),即
vs成为已检查点,v1成为已标号但未检查点。
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3 、检查v1。 在弧(v1,v3)上,f13=c13=2,不满足标号条件; 在弧(v2,v1)上,f21>0,则记v2的标号为(-v1,l(v2))
v1
( 4 ,1)
(3,3)
(8,3)
(5,1)
( 6 ,3 ) PDF created with pdfFactory Pro trial version
(17 ,2) v4
(二)、可行流与最大流
1、可行流
一个流称为一个可行流,如果满足以下条件:
(1) 容量限制条件.
Contents
图的基本概念 最小支撑树问题 最短路问题 最小费用最大流问题 中国邮递员问题 旅行售货员问题 匹配问题
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To be continued
网络最大流问题
引例 基本概念 最大流算法 算例
= min[+∞,5 − 1] = 4
(4,3)
(3,3)
(5,3) vt
v2 (4,3) (3,3)
vs
(0,+∞)
(1,1) (1,1)
(5,1) v1(vs,4) (2,2)
(3,0)
(2,1) v3
vs (5,1)
(1,1) (1,1) (2,2)
v1
v4 (5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
第一个标号 ， 若为vi (或 − vi )， 则找出(vi , vk )(相应
地(vk , vi ))。 再检查vi的第一个标号 ， 依此下去，
直到vs为止。 此时被找的弧就构成了 增广链µ。
(2)调整量：θ=l(vt),即vt的第二个标号；
(3)流的调整。令

f ij f ij
+θ −θ
,若 (vi , v j ) ∈ , 若 (vi , v j ) ∈
在弧(vs,v2)上fs2=cs2=3,不满足标号条件；
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continued
在弧(vs,v1)上,fs1<cs1 ,则v1的标号为 (vs,l(v1)),其中,
l(v1 ) = min[l(vs ), (cs1 − f s1 )]
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continued
引 例 假设某公路网的每条公路只允许单向行
驶，这样的公路网称为单行公路网．为了保证道
路畅通,交管部门对每条公路在单位时间内通过的
车辆数目要作一个限制.如图为一单行公路网.
(3,2) (4,1)
v5 (11,6) v6
(3,3)
前向弧集合 µ+ ={(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v5,v6)}
(8,3) v3
(5,1) (6,3)
(17,2) v4
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2 、调整过程
(1)寻找若v以t的v第t为一终个点标的号增为广vk链(或--−--v(k反),则向弧追(踪vk ,法vt )):
(相应地(vt , vk ))是链µ上的弧。 接下来检查vk的
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于是，vi成为标号且已检查过的点。重复上述 步骤，一旦vt被标上号,表明得到一条从vs到vt 的增广链μ，转入调整过程。
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行 不下去时，则算法结束。此时的可行流就是最 大流。
∑ c(V1,V2 ) =
cij
(vi ,v j )∈(V1 ,V2 )
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定理 1 可行流 f 是最大流的充要条件是不存 在关于f的增广链.
定理2 任一个网络D=(V,A,C)中,从vs到vt的 最大流的流量等于分离vs与vt的最小截集的容 量.
v2(−v1,1) (4,3) v4(v2,1)
(3,3)
(5,3) vt
ห้องสมุดไป่ตู้
v2(−v1,1) (4,3) (3,3)
(v0,s+∞) (5,1)