2020年北京西城区高三二模数学试卷
2020届北京市西城区高三诊断性考试(二模)数学试题(解析版)
2020届北京市西城区高三诊断性考试（二模）数学试题一、单选题1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =I （ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．{}2,0,2-D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】求出集合A ，利用交集的定义可得出集合A B I . 【详解】{}{}333A x x x x =<=-<<Q ，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-I .故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，进而可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】1z i i ⋅=-+Q ，211i i i z i i i-++∴===+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，涉及复数除法运算的应用，考查计算能力，属于基础题.3．下列函数中，值域为R 且区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．3y x =-B ．y x x =C ．1y x -=D ．y =【答案】B【解析】求出各选项中函数的值域，并判断出各函数在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出结论.【详解】对于A 选项，函数3y x =-的值域为R 且区间()0,∞+上单调递减；对于B 选项，22,0,0x x y x x x x ⎧-≤==⎨>⎩，当0x >时，20y x =>；当0x ≤时，20y x =-≤. 所以，函数y x x =的值域为R ，且在区间()0,∞+上单调递增；对于C 选项，函数1y x -=的值域为{}0x x ≠，且在区间()0,∞+上单调递减；对于D 选项，函数y =[)0,+∞，且在区间()0,∞+上单调递增.故选：B. 【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，同时也考查了函数单调性的判断，考查推理能力，属于基础题.4．抛物线24x y =的准线方程是（ ）． A ．1y = B ．1y =- C ．1x =- D ．1x =【答案】B【解析】Q 抛物线24x y =是焦点在y 轴，开口向上的抛物线，，且24p =12p∴= ∴准线方程为1y =-故答案选B5．在ABC V 中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．18B ．14C ．310D ．35【答案】A【解析】先根据大边对大角定理判断出ABC V 的最大角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】::4:5:6a b c =Q ，则C 为ABC V 的最大内角，设()40a t t =>，则5b t =，6c t =，由余弦定理得()()()2222224561cos 22458t t t a b c C ab t t +-+-===⨯⨯. 故选：A. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，涉及大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.6．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】B【解析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】指数函数3x y =为R 上的增函数，则0.20331a =>=；对数函数3log y x =为()0,∞+上的增函数，则333log 1log 2log 3<<，即01b <<； 对数函数0.2log y x =为()0,∞+上的减函数，则0.20.2log 3log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】作出几何体的直观图，可知该几何体为四棱锥，求出四棱锥的底面积和高，可求得该四棱锥的体积. 【详解】作出几何体的直观图如下图所示：可知，该几何体为四棱锥P ABCD -，且底面ABCD 为直角梯形，其面积为()12232S +⨯==，四棱锥P ABCD -的高为2h PD ==， 因此，该几何体的体积为1132233P ABCD V Sh -==⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，一般要将几何体的直观图作出来，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,0]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[5,)+∞【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程，根据题意得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22215x y a -++=-，由于该圆与x 轴、y 轴均有公共点，则505251a a a ->⎧-≥-≥，解得1a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],1-∞. 故选：A. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也要注意利用一般方程表示圆时的等价条件，考查计算能力，属于中等题.9．若向量a r 与b r不共线，则“0a b ⋅<r r ”是“2a b a b ->+r r r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据平面向量数量积的运算结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由于向量a r 与b r不共线，当0a b ⋅<r r 时，22222a b a a b b a a -=-⋅+>=r r r r r r r r ，则a b a ->r r r ，同理可得a b b ->r r r ，2a b a b ∴->+r r r r ，则“0a b ⋅<r r”⇒“2a b a b ->+r r r r ”；若a b ⊥r r ，22222a b a a b b a a -=-⋅+>=r r r r r r r r ，则a b a ->r r r ，同理a b b ->r r r， 所以，“2a b a b ->+r r r r ”⇒“0a b ⋅<r r”，因此，“0a b ⋅<r r”是“2a b a b ->+r r r r ”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.10．设函数()()1xf x x e =-，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,e B ．(20,e ⎤⎦C ．21,2e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，作出函数()y f x =与1y ax =-的图象，根据图象和整数解的个数得出关于实数a 的不等式组，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()1x f x x e =-Q ，()x f x xe '∴=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：()f x]极小值Z所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+. 则函数()y f x =在0x =处取得极小值，且极小值为()01f =-，如下图所示：当0a >时，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则()()11221f a f a ⎧<-⎪⎨≥-⎪⎩，解得2112e a +<≤；当0a <时，由于直线1y ax =-与x 轴的负半轴交于点1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭，当1x a<时，关于x 的不等式()1f x ax <-有无数个整数解，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数不等式整数解的个数问题求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题11．设平面向量()1,2a =-r ，(),2b k =r 满足a b ⊥r r，则b =r ____．【答案】【解析】利用垂直向量的坐标表示求出实数k 的值，利用向量模的坐标公式可求得b r的值. 【详解】()1,2a =-r Q ，(),2b k =r 且a b ⊥r r，40a b k ∴⋅=-=r r ，得4k =，则()4,2b =r ，因此，b ==r故答案为：【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，同时也考查了利用坐标计算向量的模，考查计算能力，属于基础题.12．若双曲线()2221016x y a a -=>经过点()2,0，则该双曲线渐近线的方程为____．【答案】2y x =±【解析】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程，求出实数a 的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程得241a=，0a >Q ，可得2a =， 所以，双曲线的方程为221416x y -=，因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x =±. 【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，考查计算能力，属于基础题. 13．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.【答案】乙、丁【解析】本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果. 【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖. 所以本题答案为乙、丁. 【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E 、F 、H 分别是棱PB 、BC 、PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于； ②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③【解析】取CD 的中点G ，PA 的四等分点I ，顺次连接E 、F 、G 、H 、I ，则平面EFGHI 即为过E 、F 、H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面，计算出截面面积，根据截面形状可判断命题①②③的正误.【详解】取CD 的中点G ，PA 的四等分点I ，顺次连接E 、F 、G 、H 、I ，则平面EFGHI 即为过E 、F 、H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面，如下图所示：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E Q 、F 分别为PB 、BC 的中点，//EF PC ∴且1232EF PC == EF ⊂Q 平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，//PC ∴平面EFH ， PC ⊂Q 平面PCD ，平面PCD I 平面EFH GH =，//GH PC ∴，H Q 为PD 的中点，G ∴为CD 的中点，1232GH PC ∴== 同理可得////EH BD FG ，且1222EH FG BD === PA ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD PA ∴⊥，Q 四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，PA AC A =Q I ，BD ∴⊥平面PAC ，PC ⊂Q 平面PAC ，BD PC ∴⊥，则EF EH ⊥，所以，四边形EFGH 为矩形，其面积为23226EF EH⋅== 设FG AC M =I ，BD AC N =I ，则M 为CN 的中点，N 为AC 的中点，1124CM CN AC ∴==，34AM AC ∴=， //PC Q 平面EFH ，PC ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面EFH IM =，//IM PC ∴，且3334IM PC ==， IEH ∴V 的边EH 上的高为33233IJ IM MJ =-== IEH V 的面积为11223622IEH S EH IJ =⋅=⨯=V 所以，截面面积为46656=①错误；该截面是一个五边形，命题②正确；由图可知，截面与四棱锥P ABCD -侧棱PA 、PB 、PD 相交，命题③正确. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积和体积计算，确定截面的形状是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、双空题15．设函数()2sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．【答案】π1【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得该函数的周期，求出函数()y f x =的最大值，可求得实数m 的最小值. 【详解】()2sin 22cos sin 2cos 21214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的周期为22T ππ==，函数()y f x =的最大值为()max 1f x =，由于对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则()max 1m f x ≥=.因此，实数m 1.故答案为：π1. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，考查计算能力，属于中等题.四、解答题16．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//DE BF ，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面//BCF 平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13-．【解析】（Ⅰ）推导出//BF 平面ADE ，//BC 平面ADE ，利用面面平行的判定定理可证明出平面//BCF 平面ADE ；（Ⅱ）分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出钝二面角D AE F --的余弦值． 【详解】（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE ． 同理，得//BC 平面ADE ．又因为BC BF B =I ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE ；（Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，可知DA 、DC 、DE 两两垂直，分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则()0,0,0D 、()0,0,2E 、()2,2,1F 、()2,0,0A ，所以()2,0,2AE =-u u u v ，()0,2,1AF =u u u v，设平面AEF 的法向量(),,n x y z =v，由00AE n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得22020x z y z -+=⎧⎨+=⎩， 令1y =，则2z =-，2x =-，得()2,1,2n =--v． 平面ADE 的一个法向量()0,1,0m =v．11cos ,133m n m n m n ⋅===⋅⨯v vv vv v ，因此，钝二面角D AE F --的余弦值为13-. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.17．从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答． 在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．【答案】选择①：（Ⅰ）*21()n a n n N =-∈；（Ⅱ）5．选择②：（Ⅰ）32()n a n n =-∈N *；（Ⅱ）6．选择③：（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；（Ⅱ）5．【解析】（Ⅰ）选择①，由11a S =求得p 的值，再由()12n n n a S S n -=-≥可求得数列{}n a 的通项公式；选择②，可知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式； 选择③，可知数列{}n a 是等差数列，求出公差d 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由21nm a a a =可得出m 关于n 的表达式，进而可求得m 的最小值． 【详解】选择①：（Ⅰ）当1n =时，由1111a S p ==+=，得0p =.当2n ≥时，由题意，得()21n S n =-，所以()1212nn n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()21n a n n N *=-∈；（Ⅱ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 选择②：（Ⅰ）因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=． 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列.所以()()()1113132n a a n d n n n N*=+-=+-=-∈；（Ⅱ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()232132n m -=⨯-． 化简，得2222342333m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6； 选择③：（Ⅰ）由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =. 所以()()1121n a a n d n n N*=+-=-∈；（Ⅱ） 因为1a 、n a 、m a 成等比数列，所以21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.18．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、L 、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）． 【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅲ）方差变大了． 【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅱ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， 由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2． 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40， 且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线4x =交于点P 、Q ，求PFQ ∠的大小．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）90PFQ ∠=o． 【解析】（Ⅰ）由已知条件求得a 、c 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，并求出点P 、Q 的坐标，计算出FP u u u r 、FQ uuur 的坐标，并计算出FP FQ ⋅u u u r u u u r，由此可得出PFQ ∠的大小. 【详解】（Ⅰ）由题意得121c aAF a c ⎧=⎪⎨⎪=-=⎩，解得2a =，1c =，从而223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，则()214410t ∆=+>恒成立，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+， 设点()4,P m ，()()11112,1,AM x y ty y =-=-u u u u r ，()2,AP m =u u u r，由//AM AP u u u u r u u u r得()1121y m ty =-，可得1121y m ty =-，即点1124,1y P ty ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理可得点2224,1y Q ty ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1123,1y FP ty ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭u u u r ，2223,1y FQ ty ⎛⎫= ⎪-⎝⎭u u u r ，()()()121221212124499111y y y y FP FQ ty ty t y y t y y ∴⋅=+=+---++u u u r u u u r222223634909613434t t t t t -+=+=-++++， 因此，90PFQ ∠=o.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中角的计算，涉及平面向量数量积以及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[]0,π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 【解析】（Ⅰ）利用偶函数的定义()()f x f x -=，化简后可得实数a 的值； （Ⅱ）利用导数分析函数()y f x =在()0,∞+上的单调性，进而可证得()2f x >； （Ⅲ）令()0f x =得cos xx a e =-，令()cos x xh x e =-，利用导数分析函数()y h x =在区间[]0,π上的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）函数()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，即()cos cos xx ae x ae x -+-=+，整理得()0x xa e e--=对任意的x ∈R 恒成立，0a ∴=；（Ⅱ）当1a =时，()cos x f x e x =+，则()sin x f x e x '=-，0x Q >，则e 1x >，1sin 1x -≤≤，()sin 0xf x e x '∴=->，所以，函数()cos x f x e x =+在()0,∞+上单调递增，∴当0x >时，()()02f x f >=；（Ⅲ）由()cos 0x f x ae x =+=，得cos xx a e =-，设函数()cos x xh x e =-，[]0,x π∈， 则()sin cos 4x xx x x h x e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，令()0h x '=，得34x π=． 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭34π 3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦()h x ' +-()h xZ极大值]所以，函数()y h x =在30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减．又因为()01h =-，()h eππ-=，334422h ee ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()340h e h π⎛⎫> ⎪⎝⎭，如下图所示：所以，当342a e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x xa e =-在区间[]0,π内有两个不同解， 因此，所求实数a 的取值范围为342,2e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数求解函数的零点个数问题，考查推理能力与数形结合思想的应用，属于中等题. 21．设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =L ）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,,k N ∈L ，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+L L ）． （Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =L 能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-；（Ⅱ）100；（Ⅲ）N 存在最大值，为200．【解析】（Ⅰ）根据题意可得出结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论得出k a 可以等于1k -，可得出区间k I 的长度为1，结合①得出100N ≥，再由[]10,1I =，[]21,2I =，L，[]10099,100I =满足条件①、②可得出N 的最小值；（Ⅲ）利用反证法推导出111k k a a +->+，进而得出2001100a +>，由此得出[]()122000,100I I I ⊆U UL U ，进而得出200N ≤，再举例说明200N =成立，由此可得出正整数N 的最大值. 【详解】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-； （Ⅱ）记b a -为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，L，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤．由②，得1I 、2I 、L 、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100k I ≠∅I ．不妨设12n a a a <<<<L L ．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=L ．这与题意不符，故20a >. 如果111k k a a +-+≤，那么()11kk k I I I -+⊆U ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、L 、1k -、1k +、L 、N ）”矛盾，故111k k a a +->+．所以421a a >+，6412a a >+>，L，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆U UL U ．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=L ”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子 ．令()110012199k a k =-+-，其中1k =、2、L 、200，即1a 、2a 、L 、200a 为等差数列，公差100199d =．由1d <，知1k k I I +≠∅I ，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦U UL U ， 所以1I 、2I 、L 、200I 满足条件①．又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I -∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N -∉=-+L L ．（注：()1001199k -为区间k I 的中点对应的数）所以1I 、2I 、L 、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200． 【点睛】本题考查数列与区间的综合应用，考查反证法的应用，考查推理论证能力，属于难题.。
2020年北京市西城区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集，集合，，则集合A. B.C. D. ，2.设复数，则A. B. 2i C. D.3.焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是A. B. C. D.4.在锐角中，若，，，则A. B. C. D.5.函数是A. 奇函数，且值域为B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为D. 偶函数，且值域为R6.圆截x轴所得弦的长度等于A. 2B.C.D. 47.设a，b，c为非零实数，且，则A. B.C. D. 以上三个选项都不对8.设向量，满足，，则的最小值为A. B. C. 1 D.9.设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的▱ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在的展开式中，x的系数为______．12.在等差数列中，若，，则______；使得数列前n项的和取到最大值的______．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______．14.能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是______．15.已知函数的定义域为R，满足，且当时，有以下三个结论：；当时，方程在区间上有三个不同的实根；函数有无穷多个零点，且存在一个零点．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在三棱柱中，底面ABC，，D是的中点，且．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求直线BC与平面所成角的正弦值．17.已知函数同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为；最大值为2；；．Ⅰ给出函数的解析式，并说明理由；Ⅱ求函数的单调递增区间．18.随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量单位：人次与使用量单位：人次，数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率，当时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率．Ⅰ在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；Ⅱ从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；Ⅲ将Ⅰ中概率值记为对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”？说明理由．19.设函数，其中，曲线在点处的切线经过点．Ⅰ求a的值；Ⅱ求函数的极值；Ⅲ证明：．20.已知椭圆E：经过点，离心率为为坐标原点．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点不在坐标轴上，直线CD交x 轴于点P，Q为直线AD上一点，且，求证：C，B，Q三点共线．21.如图，表1是一个由个非负实数组成的40行20列的数表，其中2，，40；，2，，表示位于第m行第n列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列不改变该数所在的列的位置，得到表即，其中，2，，39；，2，，．表1表2Ⅰ判断是否存在表1，使得表2中的2，，40；，2，，等于？等于呢？结论不需要证明Ⅱ如果，且对于任意的，2，，39；，2，，20，都有成立，对于任意的，2，，40；，2，，19，都有成立，证明：；Ⅲ若2，，，求最小的正整数k，使得任给，都有成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，，，，．故选：D．进行补集和并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：，．故选：A．由z求得，利用两数和的平方公式展开即可得出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即，故要求抛物线的标准方程为，故选：D．根据题意，设要求抛物线的标准方程为，结合抛物线的几何性质可得p的值，代入抛物线的标准方程即可得答案．本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式，属于基础题．4.答案：C解析：解：在锐角中，若，，，由正弦定理，可得，由B为锐角，可得．故选：C．由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cos B 的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：根据题意，函数，其定义域为，有，即函数为奇函数，其导数，在区间和上都是增函数，且；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．根据题意，其出函数的定义域，分析可得，即函数为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间和上都是增函数，且；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意分析函数的定义域，属于基础题．6.答案：B解析：解：令，则圆的方程转换为，所以，，所以．故选：B．首先令，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．本题考查的知识要点：直线圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：设a，b，c为非零实数，且，所以对于选项A：当，，时，，故错误．对于选项B：当，，时，无意义，故错误．对于选项C：由于，，所以，故正确．对于选项D：由于C正确，所以选项D错误．故选：C．直接利用不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：，当时，取得最小值．故选：B．两边平方，得出关于x的二次函数，从而得出最小值．本题考查了平面向量的模长计算，考查二次函数的最值，属于基础题．9.答案：C解析：解：对于任意的，，即．，，任意的，，或．“为递增数列”，反之也成立．“对于任意的，”是“为递增数列”的充要条件．故选：C．对于任意的，，即可得：，，任意的，解出即可判断出结论．本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：B解析：解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B．可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．11.答案：30解析：解：展开式的通项公式为：；令x的指数为1，即；的系数为：；故答案为：30．先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数．本题考查二项式定理，解决的方法是利用二项展开式的通项公式，属于容易题．12.答案：9 5解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，解得：，．．令，解得．使得数列前n项的和取到最大值的．故答案为：9，5．设等差数列的公差为d，由，，可得，，解得：，可得令，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体．如图所示：所以．故答案为：．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案：答案不唯一，，解析：解：则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值为：满足即可，可取，，故答案为：，．由题意可得满足或者，即可，任意取满足m，n的值即可．本题考查双曲线，椭圆的性质，属于基础题．15.答案：解析：解：因为函数的定义域为R，满足，时，，所以；所以正确；的大致图象如图所示可得当时，方程在区间上有三个不同的实根；所以正确因为时，时，，又因为，所以函数由无数个零点，但没有整数零点，所以不正确；故答案为：．由题意可得函数的大致图象，可判断出所给命题的真假．本题考查函数的性质及命题真假的判断，属于中档题．16.答案：Ⅰ证明：连接，设，连接DE，由为三棱柱，得．又是的中点，．平面，平面，平面；Ⅱ解：底面ABC，，，CB，两两互相垂直，故分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，0，，2，，0，，，，．设平面的法向量为，由，取，得；设直线BC与平面所成角为．则．直线BC与平面所成角的正弦值为．解析：Ⅰ连接，设，连接DE，可得，再由直线与平面平行的判定得到平面；Ⅱ由底面ABC，，得CA，CB，两两互相垂直，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17.答案：解：Ⅰ若函数满足条件，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件，所以函数只能满足条件，，，由条件，可得，又因为，可得，由条件，可得，由条件，可得，又因为，所以，所以Ⅱ由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．解析：Ⅰ若函数满足条件，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件，由条件，利用周期公式可求，由条件，可得，由条件，可得，结合范围，可求，可得函数解析式．Ⅱ利用正弦函数的单调性即可求解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．18.答案：解：，，，，，．款软件中有4款有效下载软件，这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为．的可能取值有2，3，4，且，，，X 2 3 4P．不能认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．解析：计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；根据样本是否具有普遍性进行判断．本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，样本估计总体思想，属于中档题．19.答案：解：，则，，故取消在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，由可得，，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，证明：等价于，由可得当且仅当时等号成立，所以，故只要证明即可，需验证等号不同时成立设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，因为等号不同时成立，所以当时，．解析：由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a；先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；由于等价于，结合可得，故只要证明即可，需验证等号不同时成立结合导数可证．本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20.答案：解：Ⅰ由题意，得，，又因为，所以，，故椭圆E的方程为．Ⅱ，，，设，则，所以直线CD的方程为，令，得点P的坐标为，设，由，得显然，直线AD的方程为，将代入，得，即，故直线BQ的斜率存在，且．又因为直线BC的斜率，所以，即C，B，Q三点共线．解析：Ⅰ由，，，解得a，c，进而得出椭圆的方程．Ⅱ设，则，直线CD的方程为，令，得点P 的坐标，设，由，得显然，写出直线AD的方程为，得，所以，即C，B，Q三点共线．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解Ⅰ存在表1，使得，不存在表1，使得．证明：Ⅱ因为对于任意的，2，3，，，2，，都有．所以，，．所以，即．由于，2，，，2，3，，都有．所以，，．所以，即．解：Ⅲ当表1如下图时，0111101111101111011111011110111111101111011111011110其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个因此每行的和均为19，符合题意．重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此．以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行设为第r行的全部实数即包含，，，，假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的个数．这与表2中前39行中共有个数相矛盾．所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行设为第r行，的全部实数．其次，在表2中，根据重拍规则得：当时，，2，，．所以，所以．综上所述．解析：Ⅰ直接利用表格求出结果．Ⅱ利用行列式的变换的应用求出结果．Ⅲ利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论．本题考查的知识要点：行列式的变换的应用，组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题．。
北京市西城区2020届高三数学二模试题含解析
市西城区2020届高三数学二模试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（UA）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出U A，再求（UA）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（UA）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i【答案】A【解析】【分析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）2212i i=+-＝﹣2i .故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x 2＝4yB. y 2＝4xC. x 2＝8yD. y 2＝8x【答案】D【解析】【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cos B =（）A. 34B. 【答案】C【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的X 围，求出cos B ，进而得到答案. 【详解】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===， ∴由B为锐角，可得cos B ==． 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5. 函数f (x )＝x 1x-是（） A. 奇函数，且值域为（0，+∞）B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数，其导数f ′(x )＝121x +，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0； 其图象大致如图：其值域为R ；故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（）35【答案】B 【解析】【分析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.【详解】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0，所以124x x +=-，121=x x ，所以2121212|()423AB x x x x x x =-=+-故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（）A. a b b c ->-B. 111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解.【详解】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误.对于选项B ：当0,1,2a b c 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确.对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（）A.B. 【答案】B【解析】【分析】 两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题. ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x 的项系数，只要使得展开式中x 的指数是1，求得r ，代入数值即可求出含x 项的系数.【详解】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅， 令x 的指数为1，即r ＝1；∴含x 的项系数为：16530C ＝； 故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____.【答案】 (1). 9 (2). 5.【解析】【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出.【详解】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2＝16，a 5＝1，∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1＝9，d ＝﹣2.∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n .令a n ＝11﹣2n ≥0，解得n 112≤=512+.∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5.故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+45.【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为底面为边长为2，高为2正四棱锥体.如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）. 【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论：①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z .其中，所有正确结论的序号是_____.【答案】①②.【分析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确； 对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时， 方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0，x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )，所以函数f (x )由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2.（1）求证：BC1∥平面AB1D；（2）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】【分析】（1）连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，可得BC1∥DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D的一个法向量与AB的坐标，1由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，由ABC﹣A1B1C1为三棱柱，得A1E＝BE.又∵D是A1C1的中点，∴BC1∥DE.∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=，由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，； 设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ.则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|66n BCn BC ⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由；（2）求函数()f x 的单调递增区间【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=， 又因为0>ω，所以2ω=.由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t U W=，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x %.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”？说明理由.【答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析. 【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）t A 9196=＞0.9，t B 8491=＞0.9，t C 6985=＜0.9，t D 5474=＜0.9，t E 6469=＞0.9，t F 6365=＞0.9. ∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为4263=. （2）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）22424625C C C ==，P （X ＝3）314246815C C C ==，P （X ＝4）4446115C C ==， ∴X 的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”.理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）证明:()2x x f x e e->. 【答案】（1）1a =；（2）极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【详解】解：（1）()ln f x a x a '+=，则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =，（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>， 易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e 时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值， 证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>， 由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①， 所以21ln x x x x x x e e e e-+≥-， 故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立） 设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增， 所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当0x >时，()2x x f x e e->. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y ≠，可得出220044x y -=，求出直线CD 的方程，可求得点P 的坐标，由4OP OQ =⋅，可求得点Q 的横坐标，代入直线AD 的方程可求得点Q 的坐标，验证BQ BC k k =，即可证得结论成立.【详解】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =， 由题意可得223210c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=； （2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A -、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y -=，直线CD 斜率为001CD y k x -=，则直线CD 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，可得001x x y =-，即点00,01x P y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x -=， 直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+， 所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQ y x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）.表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【解析】 【分析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【详解】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，.证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，.所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意.重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、 则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数. 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，， 所以39k ≤. 综上所述39k =.【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。
2020年西城高三二模数学试题及答案
图1
(
A)平行
(
B)相交
图2
(
C)异面且垂直
北京市西城区 2020 年 6 月高三数学试卷
(
D)异面且不垂直
第 2 页(共 6 页)
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第Ⅱ卷
(非选择题
共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 .
6
的展开式中,x 的系数为
11.在 (
1+5x)
i=1,2,…,40;
j=1,2,…,20)等 于
100-i-j? 等于i+2-j 呢? (结论不需要证明)
(Ⅱ )如果b40,20=1,且对于任意的i=1,
2,…,
39;
2,…,
20,都有bi,j -bi+1,j ≥1
j=1,
成立,对于任意的 m =1,2,…,40;n=1,2,…,19,都有bm,n -bm,n+1 ≥2 成立,
(
B)[
2,+ ¥)
(
C)(
1,2)
(
D)(- ¥,1)∪ [
2,+ ¥)
2 =
2.设复数 z=1+i,则z
(
A)-2
i
(
B)2
i
(
C)2-2
i
(
D)2+2
i
3.焦点在 x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为 4 的抛物线的标准方程是
(
A)x2 =4y
(
B)y2 =4x
(
C)x2 =8y
4.在锐角 △ABC 中,若 a=2,b=3,A =
人青睐 .根据调查统计,小型视频会议软件下载量前 6 名的依次为 A,B,C,D,E,F.
西城北京市2020年高三二模数学试题及答案(WORD版)
北 京 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2- （D ）{}2,1,0,1,2--02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限03．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =-（B ）y x x =（C ）1y x -=（D ）y =04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1y = （D ）1y =-05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）3506．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）208．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞09．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖____，____．15．在四棱锥P -，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD①截面的面积等于②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）． （Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．西城区高三诊 断 性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．A 3．B 4．D 5. A 6. B7. D8. A9. A10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．12．2y x =± 13．π1 14．乙，丁15．②③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ………………3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ………………6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ………………7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =-，(0,2,1)AF =. ………8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=--n .………………11分 平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-. ………………14分17．（本小题满分14分） 解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-， ……………… 3分所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，……………… 8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+，……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 有最小值5．……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=．………………2分所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ………………4分所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *. ………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21n m a a a =，……………… 8分即2(32)1(32)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 取到最小值6．………………14分 选择 ③：(Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-. 所以数列{}n a 是等差数列．……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=， 所以2d =． ……………… 4分所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *. ………………6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =，………………8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+，……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 有最小值5．……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1分由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=， 解得 2.4a =.……………… 2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=，………… 3分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2.因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=， (40)0.30.30.09P X ==⨯=.……………… 9分所以X 的分布列为：……………… 10分故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.…… 14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =， …………… 3分 从而b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．… 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．………… 9分直线MA 的方程为11(2)2yy x x =--． ……………… 10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -． ……………… 11分同理可得222(4,)2y Q x -． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =-，222(3,)2y FQ x =-． 因为121249(2)(2)yy FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=． 综上，90PFQ ∠=.……………… 14分20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=-. ……………… 6分 由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分 （Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得a = 设函数cos ()e xxh x =-，[0,π]x ∈ ……………… 10分 则sin cos ()e xx xh x +'=. ……………… 11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在3(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=， 所以当3ππ4[e ,)a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ)N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分 解答如下：（1）首先，证明200N ≤. 由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]kI ≠∅.不妨设12n a a a <<<<.如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =.这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>. 故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾，所以200N ≤. ……………… 12分 （2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1kk I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =-，所以12200,,,I I I 满足条件①.西城区2020年高三二模数学试题及答案(WORD 版)11 / 11 又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+.（注：100(1)199k - 为区间k I 的中点对应的数）所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分。
2020西城区高三二模数学试题
西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学 2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B I =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限03．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =-（B ）y x x =（C ）1y x -=（D ）y =04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1y = （D ）1y =- 05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）3506．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）208．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞09．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四15．在四棱锥P ABCD -,F H 分别是棱,,PB BC PD的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==． （Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小． 20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =L ）同时满足下列两个条件： ①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,,k N ∈L ，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+L L ）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =L 能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．。
2020年北京市西城区高三二模数学试题(含答案和解析)
西城区高三诊断性测试数学2020.5本试卷共6页,150分㊂考试时长120分钟㊂考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效㊂考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂第Ⅰ卷(选择题共40分)一㊁选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x||x|<3},B={x|x=2k,kɪZ},则AɘB=(A){0,2}(B){-2,2}(C){-2,0,2}(D){-2,-1,0,1,2}2.若复数z满足z㊃i=-1+i,则在复平面内z对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.下列函数中,值域为R且在区间(0,+¥)上单调递增的是(A)y=-x3(B)y=x|x|(C)y=x-1(D)y=x4.抛物线x2=4y的准线方程为(A)x=1(B)x=-1(C)y=1(D)y=-15.在әA B C中,若aʒbʒc=4ʒ5ʒ6,则其最大内角的余弦值为(A)18(B)14(C)310(D)356.设a=30.2,b=l o g32,c=l o g0.23,则(A)a>c>b(B)a>b>c(C)b>c>a(D)b>a>c7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(A)6(B)4(C)3(D)28.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴,y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(A)(-¥,1](B)(-¥,0](C)[0,+¥)(D)[5,+¥)9.若向量a与b不共线,则 a㊃b<0 是 2|a-b|>|a|+|b| 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.设函数f(x)=(x-1)e x.若关于x的不等式f(x)<a x-1有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是(A)(0,e](B)(0,e2](C)(1,e22](D)(1,e2+12]第Ⅱ卷(非选择题共110分)二㊁填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.设平面向量a=(1,-2),b=(k,2)满足aʅb,则|b|=12.若双曲线x2a2-y216=1(a>0)经过点(2,0),则该双曲线渐近线的方程为.13.设函数f(x)=s i n2x+2c o s2x.则函数f(x)的最小正周期为;若对于任意xɪR,都有f(x)ɤm成立,则实数m的最小值为.14.甲㊁乙㊁丙㊁丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如下表,其中 ɿ 表示猜测某人获奖, ˑ 表示猜测某人未获奖,而 ʻ 则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的,那么两名获奖者是,.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测ɿˑˑɿ乙的猜测ˑʻʻɿ丙的猜测ˑɿˑɿ丁的猜测ʻʻɿˑ15.在四棱锥P-A B C D中,底面A B C D为正方形,P Aʅ底面A B C D,P A=A B=4, E,F,H分别是棱P B,B C,P D的中点,对于平面E F H截四棱锥P-A B C D所得的截面多边形,有以下三个结论:①截面的面积等于46;②截面是一个五边形;③截面只与四棱锥P-A B C D四条侧棱中的三条相交.其中,所有正确结论的序号是.三㊁解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明㊁证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在几何体A B C D E F中,底面A B C D是边长为2的正方形,D Eʅ平面A B C D, D EʊB F,且D E=2B F=2.(Ⅰ)求证:平面B C Fʊ平面A D E;(Ⅱ)求钝二面角D-A E-F的余弦值.17.(本小题满分14分)从①前n项和S n=n2+p(pɪR),②a n=a n+1-3,③a6=11且2a n+1=a n+a n+2这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答.在数列{a n}中,a1=1,,其中nɪN*.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a1,a n,a m成等比数列,其中m,nɪN*,且m>n>1,求m的最小值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分14分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为8组:[0.486,0.536),[0.536,0.586), ,[0.836,0.886.企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于0.736的种子定为 A级 ,发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为 B级 ,发芽率低于0.636的种子定为 C级 . (Ⅰ)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是 C级 种子的概率; (Ⅱ)该花卉企业销售花种,且每份 A级 ㊁ B级 ㊁ C级 康乃馨种子的售价分别为20元㊁15元㊁10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费X元,以频率为概率,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍,那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明).19.(本小题满分14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F,点A(a,0),且|A F|=1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线M A,N A分别与直线x=4相交于点P,Q.求øP F Q的大小.北京市西城区诊断性测试高三数学第5页(共6页)20.(本小题满分15分)设函数f(x)=a e x+c o s x,其中aɪR.(Ⅰ)已知函数f(x)为偶函数,求a的值;(Ⅱ)若a=1,证明:当x>0时,f(x)>2;(Ⅲ)若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点,求a的取值范围.21.(本小题满分14分)设N为正整数,区间I k=[a k,a k+1](其中a kɪR,k=1,2, ,N)同时满足下列两个条件:①对任意xɪ[0,100],存在k使得xɪI k;②对任意kɪ{1,2, ,N},存在xɪ[0,100],使得x∉I i(其中i=1,2, , k-1,k+1, ,N).(Ⅰ)判断a k(k=1,2, ,N)能否等于k-1或k2-1;(结论不需要证明) (Ⅱ)求N的最小值;(Ⅲ)研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不存在,说明理由.西城区高三诊断性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．D 5.A 6.B7.D8.A9.A10.D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．12．2y x =±13．π114．乙，丁15．②③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE .………………3分同理，得//BC 平面ADE .又因为BC BF B = ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE .………………6分（Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，………………7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ，所以(2,0,2)AE =- ，(0,2,1)AF =.………8分设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ，由0AE ⋅= n ，0AF ⋅= n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩A BCFED yxz令1y =，得(2,1,2)=--n .………………11分平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-.………………14分17．（本小题满分14分）解：选择①：(Ⅰ)当1n =时，由111S a ==，得0p =.………………2分当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-，………………3分所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）.………………5分经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *.………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，………………8分即2(21)1(21)n m -=⨯-.………………9分化简，得22112212(22m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．………………14分选择②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=．………………2分所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列．………………4分所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *.………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，………………8分即2(32)1(32)n m -=⨯-.………………9分化简，得22223423(33m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6．………………14分选择③：(Ⅰ)由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-.所以数列{}n a 是等差数列．………………2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =．………………4分所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *.………………6分(Ⅱ)因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =，………………8分即2(21)1(21)n m -=⨯-.………………9分化简，得22112212(22m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．………………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，………………1分由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =.………………2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=，…………3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2.因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.………………5分（Ⅱ）由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=.………………7分随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40，且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=，(35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=.………………9分所以X 的分布列为：X 2025303540P0.040.20.370.30.09………………10分故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.……14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分从而b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =- ，(3,3)FQ = ，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠= ．…………6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分联立22(1), 3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAFNxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分同理可得222(4,2y Q x -．………………12分所以112(3,2y FP x =- ，222(3,)2y FQ x =- ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=，所以90PFQ ∠= ．综上，90PFQ ∠= .………………14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-，………………2分解得0a =.验证知0a =符合题意.………………4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-.………………6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，………………7分则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >.………………9分（Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得cos e xxa =-.设函数cos ()e xxh x =-，[0,π]x ∈，………………10分则sin cos ()e xx xh x +'=.………………11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x 3π(0,)43π43π(,π)4()h x '+0-()h x ↗极大值↘所以()h x 在3π(0,)4上单调递增，在3π(,π)4上单调递减.………………13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()e 42h -=，所以当3ππ42[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ42[e ,e )2--.………………15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-.………………3分(Ⅱ)记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥.………………6分又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =， ，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100.………………8分(Ⅲ)N 的最大值存在，且为200.………………9分解答如下：（1）首先，证明200N≤.由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]k I ≠∅ .不妨设12n a a a <<<< .如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N = .这与题意不符，故20a >.………………10分如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆ ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+ ”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>， ，200198199a a >+>，则2001100a +>.故12200[0,100]I I I ⊇ .若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i = ”矛盾，所以200N≤.………………12分（2）给出200N =存在的例子.令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k = ，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1k k I I +≠∅ ，则易得122001201[,]22I I I =- ，所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>，所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+ .（注：100(1)199k -为区间k I 的中点对应的数）所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. 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2020北京市西城区高三数学二模考试试卷
西城区高三诊断性测试数学2020.5本试卷共6页,150分㊂考试时长120分钟㊂考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效㊂考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂第Ⅰ卷(选择题共40分)一㊁选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x||x|<3},B={x|x=2k,kɪZ},则AɘB=(A){0,2}(B){-2,2}(C){-2,0,2}(D){-2,-1,0,1,2}2.若复数z满足z㊃i=-1+i,则在复平面内z对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.下列函数中,值域为R且在区间(0,+¥)上单调递增的是(A)y=-x3(B)y=x|x|(C)y=x-1(D)y=x4.抛物线x2=4y的准线方程为(A)x=1(B)x=-1(C)y=1(D)y=-15.在әA B C中,若aʒbʒc=4ʒ5ʒ6,则其最大内角的余弦值为(A)18(B)14(C)310(D)356.设a=30.2,b=l o g32,c=l o g0.23,则(A)a>c>b(B)a>b>c(C)b>c>a(D)b>a>c7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(A)6(B)4(C)3(D)28.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴,y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(A)(-¥,1](B)(-¥,0](C)[0,+¥)(D)[5,+¥)9.若向量a与b不共线,则 a㊃b<0 是 2|a-b|>|a|+|b| 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.设函数f(x)=(x-1)e x.若关于x的不等式f(x)<a x-1有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是(A)(0,e](B)(0,e2](C)(1,e22](D)(1,e2+12]第Ⅱ卷(非选择题共110分)二㊁填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.设平面向量a=(1,-2),b=(k,2)满足aʅb,则|b|=12.若双曲线x2a2-y216=1(a>0)经过点(2,0),则该双曲线渐近线的方程为.13.设函数f(x)=s i n2x+2c o s2x.则函数f(x)的最小正周期为;若对于任意xɪR,都有f(x)ɤm成立,则实数m的最小值为.14.甲㊁乙㊁丙㊁丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如下表,其中 ɿ 表示猜测某人获奖, ˑ 表示猜测某人未获奖,而 ʻ 则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的,那么两名获奖者是,.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测ɿˑˑɿ乙的猜测ˑʻʻɿ丙的猜测ˑɿˑɿ丁的猜测ʻʻɿˑ15.在四棱锥P-A B C D中,底面A B C D为正方形,P Aʅ底面A B C D,P A=A B=4, E,F,H分别是棱P B,B C,P D的中点,对于平面E F H截四棱锥P-A B C D所得的截面多边形,有以下三个结论:①截面的面积等于46;②截面是一个五边形;③截面只与四棱锥P-A B C D四条侧棱中的三条相交.其中,所有正确结论的序号是.三㊁解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明㊁证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在几何体A B C D E F中,底面A B C D是边长为2的正方形,D Eʅ平面A B C D, D EʊB F,且D E=2B F=2.(Ⅰ)求证:平面B C Fʊ平面A D E;(Ⅱ)求钝二面角D-A E-F的余弦值.17.(本小题满分14分)从①前n项和S n=n2+p(pɪR),②a n=a n+1-3,③a6=11且2a n+1=a n+a n+2这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答.在数列{a n}中,a1=1,,其中nɪN*.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a1,a n,a m成等比数列,其中m,nɪN*,且m>n>1,求m的最小值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分14分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为8组:[0.486,0.536),[0.536,0.586), ,[0.836,0.886)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于0.736的种子定为 A级 ,发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为 B级 ,发芽率低于0.636的种子定为 C级 . (Ⅰ)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是 C级 种子的概率; (Ⅱ)该花卉企业销售花种,且每份 A级 ㊁ B级 ㊁ C级 康乃馨种子的售价分别为20元㊁15元㊁10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费X元,以频率为概率,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍,那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明).19.(本小题满分14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F,点A(a,0),且|A F|=1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA,N A分别与直线x=4相交于点P,Q.求øP F Q的大小.20.(本小题满分15分)设函数f(x)=a e x+c o s x,其中aɪR.(Ⅰ)已知函数f(x)为偶函数,求a的值;(Ⅱ)若a=1,证明:当x>0时,f(x)>2;(Ⅲ)若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点,求a的取值范围.21.(本小题满分14分)设N为正整数,区间I k=[a k,a k+1](其中a kɪR,k=1,2, ,N)同时满足下列两个条件:①对任意xɪ[0,100],存在k使得xɪI k;②对任意kɪ{1,2, ,N},存在xɪ[0,100],使得x∉I i(其中i=1,2, , k-1,k+1, ,N).(Ⅰ)判断a k(k=1,2, ,N)能否等于k-1或k2-1;(结论不需要证明) (Ⅱ)求N的最小值;(Ⅲ)研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不存在,说明理由.。
北京市西城区2020年5月高三数学二模考试 数学试题与答案
18.(本 小 题 满 分 14 分 ) 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨
种 子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为8组:[0.486,0.536),[0.536,0.586), … , [0.836,0.886)加 以 统 计 , 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 .
1.设集合 A={x||x|<3},B={x|x=2k,k∈Z},则 A∩B=
(A){0,2} (B){-2,2}
(C){-2,0,2}
(D){-2,-1,0,1,2}
2.若复数z 满足z·i=-1+i,则在复平面内z 对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第 三 象 限
(D)第 四 象 限
前,四人的猜测如下表, 其 中 “√”表 示 猜 测 某 人 获 奖, “× ”表 示 猜 测 某 人 未 获
奖,而 “○”则表示对某人是否获奖未发表 意 见.已 知 四 个 人 中 有 且 只 有 两 个 人 的
猜测是完全正确的,那么两名获奖者是 , .
甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖
甲的猜测
√
×
×
(C)130
6.设 a=30.2,b=log32,c=log0.23, 则
(A)a>c>b (B)a>b>c
(C)b>c>a
(D)35 (D)b>a>c
北京市西城区诊断性测试 高三数学 第 1 页(共6页)
7.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是
(A)6
西城区高三诊断性测试
数学
2020.5
2020年北京市西城区高考数学二模试卷（解析版）
2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（?U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．设复数z＝1+i，则??2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i3．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x4．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，则cos B＝（）A．34B．√34C．√74D．3√345．函数f（x）＝x-1是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R6．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A．2B．2√??C．2√??D．4 7．设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．1＜1??＜1??C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对8．设向量→，→满足|??→|＝|??→|＝1，??→???→=12，则|??→+x??→|（x∈R）的最小值为（）A．√52B．√32C．1D．√??9．设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的?ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在（1+5x）6的展开式中，x的系数为．12．在等差数列{a n}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝；使得数列{a n}前n项的和S n取到最大值的n＝．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．14．能说明“若m（n+2）≠0，则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是．15．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论：①f（﹣1）=-12；②当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2）同时满足下列四个条件中的三个：）＝0．①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（-6（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，F．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t=，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由．19．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞-2??．20．已知椭圆E：22+??2??2=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），离心率为√32．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点（不在坐标轴上），直线CD交x轴于点P，Q为直线AD上一点，且→→=4，求证：C，B，Q三点共线．21．如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i，j ≥b i+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）．表1a1，1a1，2…a1，20a2，1a2，2…a2，20…………a40，1a40，2…a40，20表2b1，1b1，2…b1，20b2，1b2，2…b2，20…………b40，1b40，2…b40，20（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的b i，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（Ⅱ）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b i，j﹣b i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b m，n﹣b m，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；（Ⅲ）若a i，1+a i，2+…+a i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i ≥k，都有b i，1+b i，2+…+b i，20≤19成立．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（?U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【分析】进行补集和并集的运算即可．解：U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴?U A＝{x|x≥2}，（?U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）．故选：D．2．设复数z＝1+i，则??2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i【分析】由z求得??，利用两数和的平方公式展开即可得出．解：∵z＝1+i，∴??2＝（1﹣i）2＝﹣2i．故选：A．3．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x【分析】根据题意，设要求抛物线的标准方程为y2＝2px，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案．解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为y2＝2px，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选：D．4．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，则cos B＝（）A．34B．√34C．√74D．3√34【分析】由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cosB的值．解：∵在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，∴由正弦定理=??，可得sinB==3×122=34，∴由B为锐角，可得cos B=√??-??=√74．故选：C．5．函数f（x）＝x-1是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x-1，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（1 -??）＝﹣（x-1）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+12，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．6．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A．2B．2√C．2√??D．4【分析】首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．解：令y＝0，则圆的方程转换为x2+4x+1＝0，所以x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，所以|=|??-????|=√(????+????)-??????=??√??．故选：B．7．设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．1＜1??＜1??C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．解：设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，所以对于选项A：当a＝3，b＝2，c＝1时，a﹣b＝b﹣c＝1，故错误．对于选项B：当a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2时，1无意义，故错误．对于选项C：由于a＞c，b＞c，所以a+b＞2c，故正确．对于选项D：由于C正确，所以选项D错误．故选：C．8．设向量→，→满足|??→|＝|??→|＝1，??→???→=12，则|??→+x??→|（x∈R）的最小值为（）A．√52B．√32C．1D．√??【分析】两边平方，得出|→+x→|2关于x的二次函数，从而得出最小值．解：|→+x →|2=??→+2x??→→+x2??→=x2+x+1＝（x+12）2+34，∴当x=-12时，|→+x→|取得最小值√34=√32．故选：B．9．设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】对于任意的m∈N*，a m+2＞a m，即a m（q2﹣1）＞0．可得：{＞-??＞??，{????＜??????-??＜??，任意的m∈N*，解出即可判断出结论．解：对于任意的m∈N*，a m+2＞a m，即a m（q2﹣1）＞0．∴{＞-??＞??，{????＜??????-??＜??，任意的m∈N*，∴{＞??＞??，或{????＜????＜??＜??．∴“{a n}为递增数列”，反之也成立．∴“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的充要条件．故选：C．10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的?ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在（1+5x）6的展开式中，x的系数为30．【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数．解：展开式的通项公式为：T r+1=????16﹣r?（5x）r＝5r???????x r；令x的指数为1，即r＝1；∴x2＝的系数为：5C61＝30；故答案为：30．12．在等差数列{a n}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝9；使得数列{a n}前n项的和S n 取到最大值的n＝5．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d．可得a n．令a n≥0，解得n即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1＝9，d＝﹣2．∴a n＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n．令a n＝11﹣2n≥0，解得n≤112=5+12．∴使得数列{a n}前n项的和S n取到最大值的n＝5．故答案为：9，5．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为4+4√??．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体．如图所示：所以=??×??+??×12×??×√??+??=4+4√??．故答案为：4+4√．14．能说明“若m（n+2）≠0，则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是答案不唯一，m＝4，n＝2．【分析】由题意可得满足m＝n+2＞0或者m＜0，n+2＜0即可，任意取满足m，n的值即可．解：则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值为：满足m＝n+2＞0即可，可取m＝4，n＝2，故答案为：m＝4，n＝2．15．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论：①f（﹣1）=-12；②当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z．其中，所有正确结论的序号是①②．【分析】由题意可得函数f（x）的大致图象，可判断出所给命题的真假．解：①因为函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3，所以f（﹣1）=12f（﹣1+2）=12f（1）=12?（21﹣3）=-12；所以①正确；f（x）的大致图象如图所示可得当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；所以②正确因为x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3﹣0时，x＝log23，又因为f（x+2）＝2f（x），所以函数f（x）由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，可得BC 1∥DE ，再由直线与平面平行的判定得到BC 1∥平面AB 1D ；（Ⅱ）由CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，得CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1D 的一个法向量与→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，由ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，得A 1E ＝BE ．又∵D 是A 1C 1的中点，∴BC 1∥DE ．∵BC 1平面AB 1D ，DE ?平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（Ⅱ）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴→=(-??，??，??)，??????→=(??，-??，??)，→=(??，-??，??)．设平面AB 1D 的法向量为→=(??，??，??)，由{→?→=-++=??→??→=??-=??，取y ＝1，得??→=(??，??，??)；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ．则sin θ＝|cos ＜→，→＞|=|??→→||??→|?|→|=√66．∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为√66．17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2）同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（-6）＝0．（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则由f（0）＝A sinφ＝﹣1，推出与A＞0，0＜φ＜2矛盾，可得函数f（x）不能满足条件③，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（-6）＝0，结合范围0＜φ＜??2，可求φ=??3，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则f（0）＝Asinφ＝﹣1，这与A＞0，0＜φ＜2矛盾，故函数f（x）不能满足条件③，所以函数f（x）只能满足条件①，②，④，由条件①，可得2?? |??|=π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（-6）＝2sin（-??3+φ）＝0，又因为0＜φ＜2，所以φ=3，所以f （x ）＝2sin （2x+3）．（Ⅱ）由2k π-2≤2x+??3≤2k π+??2，k ∈Z ，可得：-5??12+k π≤x ≤??12+k π，k ∈Z ，可得f （x ）的单调递增区间为[-5??12+k π，12+k π]，k ∈Z ．18．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F ．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t =，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由．【分析】（I ）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（II ）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（III ）根据样本是否具有普遍性进行判断．解：（I ）t A =9196＞0.9，t B =8491＞0.9，t C =6985＜0.9，t D =5474＜0.9，t E =6469＞0.9，t F =6365＞0.9．∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为46=23．（II ）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）=42??2264=25，P （X ＝3）=??43??21??64=815，P （X ＝4）=4464=115，∴X 的分布列为：X 234P25815115E （X ）＝2×25+3×815+4×115=83．（III ）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．19．设函数f （x ）＝axlnx ，其中a ∈一、选择题，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）证明：f （x ）＞-2??．【分析】（I ）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（II ）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（III ）由于f （x ）＞-2??等价于xlnx -??????+2??＞0，结合（II ）可得f （x ）＝xlnx ≥-1??，故只要证明1-????≥??即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证．解：（I ）f ′（x ）＝alnx +a ，则f （1）＝0，f ′（1）＝a ，故取消y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程y ＝a （x ﹣1），把点（3，2）代入切线方程可得，a ＝1，（II ）由（I ）可得f ′（x ）＝lnx +1，x ＞0，易得，当0＜＜1时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞1??时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，故当x =1时，函数取得极小值f （1）=-1??，没有极大值，证明：（III ）f （x ）＞-2??等价于xlnx -??????+2??＞0，由（II ）可得f （x ）＝xlnx ≥-1（当且仅当x =1??时等号成立）①，所以xlnx -+2??≥1??-??????，故只要证明1-????≥??即可，（需验证等号不同时成立）设g （x ）=1-????，x ＞0则??′(??)=??-1????，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，函数单调递增，所以g （x ）≥g （1）＝0，当且仅当x ＝1时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当x ＞0时，f （x ）＞-2??．20．已知椭圆E ：22+??2??2=1（a ＞b ＞0）经过点C （0，1），离心率为√32．O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且→→=4，求证：C ，B ，Q 三点共线．【分析】（Ⅰ）由b ＝1，=√32，a 2＝b 2+c 2，解得a ，c ，进而得出椭圆的方程．（Ⅱ）设D （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），则024+??=1，直线CD 的方程为y =0-1??+??，令y ＝0，得点P 的坐标，设Q （x Q ，y Q ），由→→=4，得x Q =4(1-??0)（显然x Q ≠2），写出直线AD 的方程为y =00+2(??+??)，得Q （4(1-??0)??0，??0(4-4??0+2??0)??0(??0+2)），k BQ =-12．所以kBC ＝k BQ ，即C ，B ，Q 三点共线．解：（Ⅰ）由题意，得b ＝1，=√32，又因为a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，c =√??，故椭圆E 的方程为24+??=??．（Ⅱ）A （﹣2，0），B （2，0），设D （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），则024+????=1，所以直线CD 的方程为y =0-10??+??，令y ＝0，得点P 的坐标为（01-??0，0），设Q （x Q ，y Q ），由→→=4，得x Q =4(1-??0)（显然x Q ≠2），直线AD 的方程为y =0+2(??+??)，将x Q 代入，得y Q =0(4-4??0+2??0)0(??0+2)，即Q （4(1-??0)0，??0(4-4??0+2??0)??0(??0+2)），故直线BQ 的斜率存在，且k BQ =-2=0(4-4??0+2??0)(??0+2)(4-4??0-2??0)=2??0-2??02+??0??04??02-2??0??0-4??0=-12．又因为直线BC 的斜率k BC =-12，所以k BC ＝k BQ ，即C ，B ，Q 三点共线．21．如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j≥b i+1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）．表1a 1，1a 1，2…a 1，20a 2，1a 2，2…a 2，20…………a 40，1a 40，2…a 40，20表2 b 1，1b 1，2…b 1，20b 2，1b 2，2…b 2，20…………b 40，1b 40，2…b 40，20（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（Ⅱ）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b i，j﹣b i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b m，n﹣b m，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；（Ⅲ）若a i，1+a i，2+…+a i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有b i，1+b i，2+…+b i，20≤19成立．【分析】（Ⅰ）直接利用表格求出结果．（Ⅱ）利用行列式的变换的应用求出结果．（Ⅲ）利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论．【解答】解（Ⅰ）存在表1，使得b i，j＝100﹣i﹣j，不存在表1，使得，??=??+??-??．证明：（Ⅱ）因为对于任意的i＝1，2，3，…39，j＝1，2，…20，都有b i，j﹣b i﹣1，j≥1．所以b1，20﹣b2，20≥1，b2，20﹣b3，20≥1，b39，20﹣b40，20≥1．所以（b1，20﹣b2，20）+（b2，20﹣b3，20）+（b39，20﹣b40，20）≥39．，即b1，20≥b20，40+39＝40．由于m＝1，2，…40，n＝1，2，3，…19，都有b m，n﹣n m，n+1≥2．所以b1，1﹣b1，2≥2，b1，2﹣b1，3≥2，b1，19﹣b1，20≥2．所以（b1，1﹣b1，2）+（b1，2﹣b1，3）+（b1，19﹣b1，20）≥38，即b1，1≥78．解：（Ⅲ）当表1如下图时，011 (1)011 (1)101 (1)101 (1)110 (1)110...1 (1)111 0111 0111 (1)111…1其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1．因此每行的和均为19，符合题意．重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k≥39．以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数（即包含a r，1，a r，2，…，a r．20），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数．这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾．所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行），的全部实数．其次，在表2中，根据重拍规则得：当i≥39时，b i，j≤b39，j≤a i，j，（j＝1，2，…，20）．所以b i，1+b i，2+…+b i，20≤a r，1+a r，2+…+a r，20≤19，所以k≤39．综上所述k＝39．。
2020年北京市西城区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3，4}，B={2,3，5}，则(∁U A)∪B=()A. {2}B. {2,5}C. {2,3，5}D. {2,3，4，5}2.已知复数z满足(1+i)z=(1−i)2，则z=()A. −1+iB. 1+iC. 1−iD. −1−i3.焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=±2xD. y2=±4x4.已知△ABC中，a=6，b=4，A=60°，则cosB=()A. √33B. 23C. √63D. √325.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=()A. −2B. 0C. 1D. 26.圆x2+y2−4x+4y+6=0截直线x–y−5=0所得的弦长为()A. 5B. √6C. 5√22D. 17.已知a<b<0，则()A. 1a <1bB. a2<abC. a2<b2D. 1a−b<1a8.已知向量a⃗=(2,1)，|a⃗+b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =1，则|b⃗ |=()A. 2B. 3C. 6D. 129.“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD这两条线段所在直线的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或异面二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 在二项式(x 2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是_____，含x 4的项的系数_______．12. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2=5，S 9=−9，则a 8的值为_______． 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______ ．14. 已知椭圆x 225+y 216=1与双曲线x 2m −y 25=1有共同的焦点F 1,F 2，则m =_________15. 已知函数f(x)={e x ,x ≥0−2x,x <0，则关于x 的方程f[f(x)]+k =0给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是______ (把所有满足要求的命题序号都填上)． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PC//平面BDM ；(Ⅱ)若PA =AB =2√2，BD =2√3，求直线BM 与平面PAC 所成角的正弦值．)的最小正周期为π，且图象上有一个最低17.已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0,|θ|<π2,−3)．点为M(7π12(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0,π]的单调递增区间18.随着科技的进步，视屏会议系统的前景愈加广阔，其中，小型视频会议软件格外受人青睐，根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名依次为A，B，C，D，E，F，在实际中，存在很多软件下载后未使用的情况，为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W(单位：人次)与使用量U(单位：人次)，数据用柱状图表示如下：，当t≥0.9时，称该软件为“有效下载软件”，调查公司以调查得到的定义软件的使用率t=UW使用率t作为实际中该款软件的使用率(Ⅰ)在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率(Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望(Ⅲ)将(Ⅰ)中的概率值记为x%，对于市场上所有小型会议视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由19. 设函数f(x)=xlnx ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数F(x)=f(x)−ax 2有两个极值点，求实数a 的取值范围；(3)当x 1>x 2>0时，m2(x 12−x 22)>f(x 1)−f(x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知点(1,32)在椭圆E:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB 的距离为2√217． (1)求椭圆E 的方程；(2)设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．21.数列{a n}满足a1+2a2+3a3+⋯+na n=2−n+2．2n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n，求{b n}的前n项和T n．(1+a n)⋅(1+a n+1)-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的运算，考查计算能力，属于简单题．利用补集和并集运算的定义即可求解．解：∵∁U A={2,5}，B={2,3，5}，∴(∁U A)∪B={2,3，5}，故选C．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，则z−可求．解：由(1+i)z=(1−i)2=−2i，得z=−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i，∴z−=−1+i．故选：A．3.答案：D解析：本题考查了抛物线的标准方程，属于基础题．焦点到准线的距离为p．解：焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2，可知：p=2，故抛物线方程为y2=±4x．故选D．4.答案：C解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可得sin B，由b<a，可得范围B<60°，利用同角三角函数基本关系式即可得解cos B的值．解：∵a=6，b=4，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB=b⋅sinAa =4×√326=√33，∵b<a，∴B<60°，∴cosB=√1−sin2B=√63．故选：C．5.答案：A解析：由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f(−1)=−f(1)，运算求得结果．解：∵函数f(x)为奇函数，x>0时，f(x)=x2+1x，∴f(−1)=−f(1)=−2，故选A．6.答案：B解析：计算直线和圆的相交弦长的通性通法就是，利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可．已知圆x2+y2−4x+4y+6=0，易得圆心和半径．再利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可算出弦长．解：已知圆x2+y2−4x+4y+6=0，易得圆心为(2,−2)，半径为√2．圆心为(2,−2)到直线x−y−5=0易得为√22．利用几何性质，则弦长为2√( √2 )2−(√22 )2 =√6．故选B．7.答案：D解析：解：对于A、B、C，令a=−2，b=−1，显然A、B、C错误；对于D，由a<b<0，得a<a−b<0，故1a−b <1a；故D正确；故选：D．根据特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D即可．本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．8.答案：B解析：解：∵|a⃗+b⃗ |=4，∴a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =16，∴5+|b⃗ |2+2=16，∴|b⃗ |=3故选：B．将|a⃗+b⃗ |=4两边平方可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.答案：C解析：。
2020届北京市西城区高三诊断性考试(二模)数学试题(解析版)
西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =I （ ） A. {}0,2 B. {}2,2-C. {}2,0,2-D. {}2,1,0,1,2--【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，利用交集的定义可得出集合A B I .【详解】{}{}333A x x x x =<=-<<Q ，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-I .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，进而可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限.【详解】1z i i ⋅=-+Q ，211i i i z i i i-++∴===+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，涉及复数除法运算的应用，考查计算能力，属于基础题. 3.下列函数中，值域为R 且区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. 3y x =-B. y x x =C. 1y x -=D. y =【答案】B 【解析】 【分析】求出各选项中函数的值域，并判断出各函数在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，函数3y x =-的值域为R 且区间()0,∞+上单调递减；对于B 选项，22,0,0x x y x x x x ⎧-≤==⎨>⎩，当0x >时，20y x =>；当0x ≤时，20y x =-≤.所以，函数y x x =的值域为R ，且在区间()0,∞+上单调递增；对于C 选项，函数1y x -=的值域为{}0x x ≠，且在区间()0,∞+上单调递减；对于D 选项，函数y =[)0,+∞，且在区间()0,∞+上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，同时也考查了函数单调性的判断，考查推理能力，属于基础题.4.抛物线24x y =的准线方程是（ ）． A. 1y = B. 1y =-C. 1x =-D. 1x =【答案】B 【解析】Q 抛物线24x y =是焦点在y 轴，开口向上的抛物线，，且24p =12p∴= ∴准线方程为1y =-故答案选B5.在ABC V 中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（ ） A.18B.14C.310D.35【答案】A 【解析】 【分析】先根据大边对大角定理判断出ABC V 的最大角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】::4:5:6a b c =Q ，则C 为ABC V 的最大内角，设()40a tt =>，则5b t =，6c t =，由余弦定理得()()()2222224561cos 22458t t t a b c C ab t t +-+-===⨯⨯. 故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，涉及大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题. 6.设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（ ） A. a c b >> B. a b c >> C. b c a >> D. b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】指数函数3xy =为R 上的增函数，则0.20331a =>=；对数函数3log y x =为()0,∞+上的增函数，则333log 1log 2log 3<<，即01b <<； 对数函数0.2log y x =为()0,∞+上的减函数，则0.20.2log 3log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：B.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】作出几何体的直观图，可知该几何体为四棱锥，求出四棱锥的底面积和高，可求得该四棱锥的体积. 【详解】作出几何体的直观图如下图所示：可知，该几何体为四棱锥P ABCD -，且底面ABCD 为直角梯形，其面积为()12232S +⨯==，四棱锥P ABCD -的高为2h PD ==， 因此，该几何体的体积为1132233P ABCD V Sh -==⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，一般要将几何体的直观图作出来，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8.若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1]-∞B. (,0]-∞C. [0,)+∞D. [5,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，根据题意得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22215x y a -++=-，由于该圆与x 轴、y 轴均有公共点，则5021a ->⎧≥≥，解得1a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],1-∞. 故选：A.【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也要注意利用一般方程表示圆时的等价条件，考查计算能力，属于中等题.9.若向量a r 与b r不共线，则“0a b ⋅<r r ”是“2a b a b ->+r r r r ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由于向量a r 与b r不共线，当0a b ⋅<r r 时，22222a b a a b b a a -=-⋅+>=r r r r r r r r ，则a b a ->r r r ，同理可得a b b ->r r r ，2a b a b ∴->+r r r r ，则“0a b ⋅<r r”⇒“2a b a b ->+r r r r ”；若a b ⊥r r，22222a b a a b b a a -=-⋅+>=r r r r r r r r ，则a b a ->r r r ，同理a b b ->r r r ，所以，“2a b a b ->+r r r r ”⇒“0a b ⋅<r r”，因此，“0a b ⋅<r r”是“2a b a b ->+r r r r ”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.10.设函数()()1xf x x e =-，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（ ） A. (]0,e B. (20,e ⎤⎦C. 21,2e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，作出函数()y f x =与1y ax =-的图象，根据图象和整数解的个数得出关于实数a 的不等式组，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()1x f x x e =-Q，()x f x xe '∴=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+. 则函数()y f x =在0x =处取得极小值，且极小值为()01f =-，如下图所示：当0a >时，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则()()11221f a f a ⎧<-⎪⎨≥-⎪⎩，解得2112e a +<≤；当0a <时，由于直线1y ax =-与x 轴的负半轴交于点1,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1x a<时，关于x 的不等式()1f x ax <-有无数个整数解，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.故选：D.【点睛】本题考查利用函数不等式整数解的个数问题求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设平面向量()1,2a =-r ，(),2b k =r 满足a b ⊥r r，则b =r ____．【答案】【解析】 【分析】利用垂直向量的坐标表示求出实数k 的值，利用向量模的坐标公式可求得b r的值.【详解】()1,2a =-r Q ，(),2b k =r 且a b ⊥r r，40a b k ∴⋅=-=r r ，得4k =，则()4,2b =r ，因此，b ==r故答案为：【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，同时也考查了利用坐标计算向量的模，考查计算能力，属于基础题.12.若双曲线()2221016x y a a -=>经过点()2,0，则该双曲线渐近线的方程为____．【答案】2y x =± 【解析】 【分析】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程，求出实数a 的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程得241a=，0a >Q ，可得2a =， 所以，双曲线的方程为221416x y -=，因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x =±.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，考查计算能力，属于基础题.13.设函数()2sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．【答案】 (1). π (2). 1【解析】【分析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得该函数的周期，求出函数()y f x =的最大值，可求得实数m 的最小值.【详解】()2sin 22cos sin 2cos 21214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的周期为22T ππ==，函数()y f x =的最大值为()max 1f x =，由于对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则()max 1m f x ≥=.因此，实数m 1.故答案：π1.【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，考查计算能力，属于中等题.14.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.【答案】乙、丁 【解析】 【分析】本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖. 所以本题答案为乙、丁.【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题. 15.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E 、F 、H 分别是棱PB 、BC 、PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于； ②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】取CD 的中点G ，PA 的四等分点I ，顺次连接E 、F 、G 、H 、I ，则平面EFGHI 即为过E 、F 、H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面，计算出截面面积，根据截面形状可判断命题①②③的正误. 【详解】取CD 的中点G ，PA 的四等分点I ，顺次连接E 、F 、G 、H 、I ， 则平面EFGHI 即为过E 、F 、H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面，如下图所示：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E Q 、F 分别为PB 、BC 的中点，//EF PC ∴且12EF PC == EF ⊂Q 平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，//PC ∴平面EFH ， PC ⊂Q 平面PCD ，平面PCD I 平面EFH GH =，//GH PC ∴，H Q 为PD 的中点，G ∴为CD 的中点，12GH PC ∴==同理可得////EH BD FG ，且12EH FG BD === PA ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD PA ∴⊥，Q 四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，PA AC A =Q I ，BD ∴⊥平面PAC ，PC ⊂Q 平面PAC ，BD PC ∴⊥，则EF EH ⊥，所以，四边形EFGH 为矩形，其面积为EF EH⋅==设FG AC M =I ，BD AC N =I ，则M 为CN 的中点，N 为AC 的中点，1124CM CN AC ∴==，34AM AC ∴=，//PC Q 平面EFH ，PC ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面EFH IM =，//IM PC ∴，且34IM PC ==IEH ∴V 的边EH 上的高为IJ IM MJ =-==IEH V 的面积为1122IEH S EH IJ =⋅=⨯=V .所以，截面面积=该截面是一个五边形，命题②正确；由图可知，截面与四棱锥P ABCD -侧棱PA 、PB 、PD 相交，命题③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积和体积计算，确定截面的形状是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//DE BF ，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面//BCF 平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F--余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）推导出//BF 平面ADE ，//BC 平面ADE ，利用面面平行的判定定理可证明出平面//BCF 平面ADE ； （Ⅰ）分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出钝二面角D AE F --的余弦值．【详解】（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE ． 同理，得//BC 平面ADE ．又因为BC BF B =I ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE ； （Ⅰ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，可知DA 、DC 、DE 两两垂直，分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则()0,0,0D 、()0,0,2E 、()2,2,1F 、()2,0,0A ，所以()2,0,2AE =-u u u v ，()0,2,1AF =u u u v ，的设平面AEF 的法向量(),,n x y z =v，由00AE n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，得22020x z y z -+=⎧⎨+=⎩， 令1y =，则2z =-，2x =-，得()2,1,2n =--v． 平面ADE 的一个法向量()0,1,0m =v．11cos ,133m n m n m n ⋅===⋅⨯v vv vv v ，因此，钝二面角D AE F --的余弦值为13-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.17.从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答． 在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．【答案】选择①：（Ⅰ）*21()n a n n N =-∈；（Ⅱ）5．选择②：（Ⅰ）32()n a n n =-∈N *；（Ⅱ）6．选择③：（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；（Ⅱ）5．【解析】 【分析】（Ⅰ）选择①，由11a S =求得p 的值，再由()12nn n a S S n -=-≥可求得数列{}n a 的通项公式；选择②，可知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式； 选择③，可知数列{}n a 是等差数列，求出公差d值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）由21nm a a a =可得出m 关于n 的表达式，进而可求得m 的最小值． 【详解】选择①：（Ⅰ）当1n =时，由1111a S p ==+=，得0p =.当2n ≥时，由题意，得()21n S n =-，所以()1212nn n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()21n a n n N *=-∈；（Ⅰ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 选择②：（Ⅰ）因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=． 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列.所以()()()1113132n a a n d n n n N*=+-=+-=-∈；（Ⅰ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()232132n m -=⨯-． 化简，得2222342333m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6；选择③：（Ⅰ）由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， 设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =. 所以()()1121n a a n d n n N*=+-=-∈；（Ⅰ） 因为1a 、n a 、m a 成等比数列，所以21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.18.某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、L 、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅰ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅰ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅰ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅰ）方差变大了． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅰ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （Ⅰ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论.【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， 由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2．因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件， 所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅰ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40， 且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅰ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线4x =交于点P 、Q ，求PFQ ∠的大小．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅰ）90PFQ ∠=o． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知条件求得a 、c 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（Ⅰ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，并求出点P 、Q 的坐标，计算出FP u u u r 、FQ uuur 的坐标，并计算出FP FQ ⋅u u u r u u u r ，由此可得出PFQ∠的大小.【详解】（Ⅰ）由题意得121c a AF a c ⎧=⎪⎨⎪=-=⎩，解得2a =，1c =，从而b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅰ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，则()214410t ∆=+>恒成立，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+， 设点()4,P m ，()()11112,1,AM x y ty y =-=-u u u u r ，()2,AP m =u u u r，由//AM AP u u u u r u u u r得()1121y m ty =-，可得1121y m ty =-，即点1124,1y P ty ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理可得点2224,1y Q ty ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1123,1y FP ty ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭u u u r ，2223,1y FQ ty ⎛⎫= ⎪-⎝⎭u u u r ，()()()121221212124499111y y y y FP FQ ty ty t y y t y y ∴⋅=+=+---++u u u r u u u r 222223634909613434t t tt t -+=+=-++++， 因此，90PFQ ∠=o.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中角的计算，涉及平面向量数量积以及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.20.设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅰ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅰ）若()f x 在区间[]0,π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅰ）详见解析；（Ⅰ）34,2e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义()()f x f x -=，化简后可得实数a 的值；（Ⅰ）利用导数分析函数()y f x =在()0,∞+上的单调性，进而可证得()2f x >； （Ⅰ）令()0f x =得cos xx a e=-，令()cos x xh x e =-，利用导数分析函数()y h x =在区间[]0,π上单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，即()cos cos xx ae x ae x -+-=+，整理得()0x xa e e--=对任意的x ∈R 恒成立，0a ∴=；（Ⅰ）当1a =时，()cos x f x e x =+，则()sin x f x e x '=-，0x Q >，则e 1x >，1sin 1x -≤≤，()sin 0xf x e x '∴=->，所以，函数()cos x f x e x =+在()0,∞+上单调递增，∴当0x >时，()()02f x f >=；（Ⅰ）由()cos 0x f x ae x =+=，得cos xx a e =-，设函数()cos x xh x e =-，[]0,x π∈， 则()sin cos 4x xx x x h x e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，令()0h x '=，得34x π=． 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：的所以，函数()y h x =在30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减．又因为()01h =-，()h eππ-=，3344h eππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()340h e h π⎛⎫> ⎪⎝⎭，如下图所示：所以，当34,2a e e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x xa e =-在区间[]0,π内有两个不同解，因此，所求实数a 的取值范围为342e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数求解函数的零点个数问题，考查推理能力与数形结合思想的应用，属于中等题.21.设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =L ）同时满足下列两个条件： ①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,,k N ∈L ，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+L L ）． （Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =L 能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-；（Ⅰ）100；（Ⅰ）N 存在最大值，为200．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意可得出结论；（Ⅰ）根据（Ⅰ）中的结论得出k a 可以等于1k -，可得出区间k I 的长度为1，结合①得出100N ≥，再由[]10,1I =，[]21,2I =，L，[]10099,100I =满足条件①、②可得出N 的最小值；（Ⅰ）利用反证法推导出111k k a a +->+，进而得出2001100a +>，由此得出[]()122000,100I I I ⊆U UL U ，进而得出200N ≤，再举例说明200N =成立，由此可得出正整数N 的最大值. 【详解】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-； （Ⅰ）记b a -为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，L，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅰ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤．由②，得1I 、2I 、L 、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100k I ≠∅I ．不妨设12n a a a <<<<L L ．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=L ．这与题意不符，故20a >. 如果111k k a a +-+≤，那么()11kk k I I I -+⊆U ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、L 、1k -、1k +、L 、N ）”矛盾，故111k k a a +->+．所以421a a >+，6412a a >+>，L，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆U UL U ．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=L ”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子 ． 令()110012199k a k =-+-，其中1k =、2、L 、200，即1a 、2a 、L 、200a 为等差数列，公差100199d =． 由1d <，知1k k I I +≠∅I ，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦U UL U ， 所以1I 、2I 、L 、200I 满足条件①． 又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I -∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N -∉=-+L L ．（注：()1001199k -为区间k I 的中点对应的数）所以1I 、2I 、L 、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200．【点睛】本题考查数列与区间的综合应用，考查反证法的应用，考查推理论证能力，属于难题.。
2020北京西城高三二模数学含答案
2020北京西城高三二模数 学 2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2−（C ）{}2,0,2−（D ）{}2,1,0,1,2−−2．若复数z 满足i 1i z ⋅=−+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =−（B ）y x x =（C ）1y x −=（D ）y4．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =−（C ）1y =（D ）1y =−5．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）356．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）28．若圆22420x y x y a +−++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]−∞（B ）(,0]−∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞9．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2−>+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =−．若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=−a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a −=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____． 13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．15．在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD −所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于 ②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD −四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F −−的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=−，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，右焦点为F，点(,0)A a，且1AF=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点,M N，直线,MA NA分别与直线4x=交于点P，Q，求PFQ∠的大小．设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =−+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k −或12k−；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．2020北京西城高三二模数学参考到案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．A 3．B 4．D 5. A 6. B7. D8. A9. A10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．12．2y x =± 13．π1+ 14．乙，丁15．② ③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ……………… 3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ……………… 6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =−，(0,2,1)AF =. ……… 8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z −+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=−−n . ………………11分 平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F −−的平面角为θ，则 1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=−，即钝二面角D AE F −−的余弦值为13−. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n −=−， ……………… 3分 所以121n n n a S S n −=−=−（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=−，所以13n n a a +−=． ……………… 2分 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ……………… 4分 所以1(1)32()n a a n d n n =+−=−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分即2(32)1(32)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6． ……………… 14分 选择 ③： (Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++−=−.所以数列{}n a 是等差数列． ……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． ……………… 4分 所以1(1)21()n a a n d n n =+−=−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，…………… 1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =. ……………… 2分 由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， ………… 3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =−=. ……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=， (25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=. ……………… 9分 所以X 的分布列为：X20 25 30 35 40 P0.040.20.370.30.09……………… 10分 故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩解得2a =，1c =， …………… 3分 从而223b a c =−=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． … 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N −，(4,3)P −，(4,3)Q ，(1,0)F ，MPAF NxyOQ则(3,3)FP =−，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=． ………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =−，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =−⎧⎨+=⎩ 得2222(43)84120k x k x k +−+−=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k −=+． ………… 9分 直线MA 的方程为11(2)2y y x x =−−． ……………… 10分 令4x =，得1122P y y x =−，即112(4,)2y P x −． ……………… 11分 同理可得222(4,)2y Q x −． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =−，222(3,)2y FQ x =−． 因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+−−212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x −−=+−−2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x −++=+−++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k −−+++=+−−+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k −−++=+−−++0=， 所以90PFQ ∠=．综上，90PFQ ∠=. ……………… 14分 20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f −=，即ππe 1e 1a a −−=−， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=−. ……………… 6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈−， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=−>，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分（Ⅲ）由()e cos 0x f x a x =+=，得cos e xx a =−. 设函数cos ()e xx h x =−，[0,π]x ∈， ……………… 10分 则sin cos ()e xx x h x +'=. ……………… 11分 令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =−，π(π)e h −=，3π43π()e 42h −=，所以当3ππ4[e ,)2a −−∈时，方程cos e x x a =−在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2−−. ……………… 15分 21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k −. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a −为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②. 所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ) N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分 解答如下：（1）首先，证明200N ≤.由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]k I ≠∅.不妨设12n a a a <<<<. 如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =. 这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +−+≤，那么11k k k I I I −+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =−+”矛盾， 故111k k a a +−>+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>， 则2001100a +>.故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾， 所以200N ≤. ……………… 12分（2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =−+−，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =. 由1d <，知1k k I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =−， 所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I −∈，100(1)199i k I −∉(1,2,,1,1,)i k k N =−+.（注：100(1)199k − 为区间k I 的中点对应的数） 所以12200,,,I I I 满足条件②. 综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分 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2020年北京西城区高三二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设全集，集合，则集合（ ）．A. B. C. D.2.设复数，则（ ）．A. B. C. D.3.焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）．A. B. C. D.4.在锐角中，若，，，则（ ）．A.B.C.D.5.函数是（ ）．A.奇函数，且值域为B.奇函数，且值域为C.偶函数，且值域为D.偶函数，且值域为6.圆截轴所得弦的长度等于（ ）．A.B.C.D.7.设，，为非零实数，且，则（ ）．A. B. C.D.以下三个选项都不对8.设向量，满足，，则的最小值为（ ）．A. B. C.D.9.设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递增数列”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图的平行四边形由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图所示的六面体形状的香囊，那么在图这个六面体中，棱与所在直线的位置 关系为（ ）．图图A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面且不垂直二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在的展开式中，的系数为 ．12.在等差数列中，若，，则；使得数列前项的和取到最大值的．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．俯视图正（主）视图侧（左）视图14.能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组，的值是 ．15.已知函数的定义域为，满足，且当时，有以下三个结论：①；②当时，方程在区间上有三个不同的实根；③函数有无穷多个零点，且存在一个零点．其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在三棱柱中，底面，，是的中点，且．（1）（2）求证：平面．求直线与平面所成角的正弦值．（1）（2）17.已知函数同时满足下列四个条件中的三个．①最小正周期为；②最大值为；③；④．给出函数的解析式并说明理由．求出函数的单调递增区间．（1）（2）（3）18.随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔，其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前名的依次为，，，，，．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这款软件的下载量（单位：人次）与使用量（单位：人次），数据用柱状图表示如下：软件软件软件软件软件软件下载量（单位：人次）使用量（单位：人次）定义软件的使用率，当，时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率作为实际中该款软件的使用率．在这款软件中任取款，求该款软件是“有效下载软件”的概率．从这款软件中随机抽取款，记其中“有效下载软件”的数量为，求的分布列与数学期望．将（）中概率值记为．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”？说明理由．（1）（2）（3）19.设函数其中，曲线在点处的切线经过点．求的值．求函数的极值．证明：．（1）（2）20.已知椭圆经过点，离心率为，为坐标原点．求椭圆的方程．设，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：，，三点共线．（1）（2）（3）21.如图，表是一个由个非负实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的数．将表中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表（即，其中，，，；，，，）表表判断是否存在表，使得表中的等于？等于呢？（结论不需要证明）如果，且对于任意的，，，；，，，，都有成立，对于任意的，，，；，，，，，都有成立，证明：．若．求最小的正整数．使得任给．都有成立．【答案】解析:∵ 全集，，则，集合，∴ ，故选．解析:∵，，∴，故选．解析:∵焦点在轴的正半轴上，设其方程为，焦点到准线的距离为，∴抛物线的标准方程为．故选．解析:由正弦定理，故，．∵是锐角三角形，∴，故选．解析:D 1.A 2.D 3.C 4.B 5.方法一：函数定义域为，值域为，由，故函数为奇函数．故选．方法二：双撇函数定义域为，值域为，奇偶性为奇，单调性为，单调增，故选．解析:将圆方程化为标准方程，解得圆心为，半径，被轴所得弦的长度．解析:∵，，为非零实数，且，选项：∴，又∵，由于不等号不一致，不可加减，故排除；选项：若，，则不符合题意；B 6.C 7.选项：∵，∴，，∴，符合题意，故选．解析:∵，，∴，又∵设，∴时，，∴．故选．解析:∵为等比数列，∴，，充分性，对于任意的，，可得，①若，则，，且，故，，数列为单调递增；②若，则，，且，则，，故数列为单调递增；故若，数列为单调递增，满足充分性；反之亦然，可证明满足必要性，故为充分必要条件．故选．解析:B 8.C 9.B 10.由图可知：与相交．解析:，，，．解析:，，时，．解析:拔高作出立体图．为底面中心，11. ;12.13.，．，，或直接作高求高．．解析:当，且，此时方程表示椭圆，当双曲线，当圆，当时，该曲线代表圆（其他答案满足即可）．解析:函数的定义域为，满足，且当时，，作出函数的图象如图所示：对于①，，故①正确；表底侧(答案满足即可)14.①②15.（1）（2）对于②，由图象知，当时，函数的图象与直线在区间上恰好有个不同的交点，则当时，方程在区间上恰有三个不同的实根，故②正确；对于③，令得，则函数的零点为，，函数有无穷多个零点，但不存在整数零点，故③错误．综上错误，故选①②．解析:如图，连接．设，并连接．由三棱柱，得．又因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．因为底面，，所以，，两两垂直，故分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，（1）证明见解析．（2）．16.（1）（2）所以，，．设平面的法向量，由，，得，令，得．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．解析:若函数满足条件③，则，这与，矛盾，故不能满足条件③，所以函数只满足条件①，②，④．由条件①，得，又因为，所以，由条件②，得，由条件④，得，又因为，所以．所以．由，，得，所以函数的单调递增区间为，．（1），证明见解析．（2），．17.（1）概率是．（2）的分布列为：18.（1）（2）（3）（1）解析:根据数据，可得软件，，，，，的使用率，，，，，，所以软件，，，为“有效下载软件”，记事件为“在款软件中任取款，该款软件是有效下载软件”，则事件的概率．随机变量的可能取值为，，，则，，，所以随机变量的分布列为：所以随机变量的数学期望．不能认为大约有的软件为“有效下载软件”．若根据这款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体．用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取．但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前名”的软件，不是从所有软件中随机抽取款作为样本，故不能认为大约有的软件为“有效下载软件”．解析:由，得，则，，数学期望为．（3）不能认为大约有的软件为“有效下载软件”，证明见解析．（1）．（2）函数极小值，函数不存在极大值．（3）证明见解析．19.（2）（3）（1）（2）所以曲线在点处的切线为，将点代入切线方程，得．由题意，得，，令，得，随着变化，与的变化情况如下表所示：极小值所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数存在极小值，且极小值为，函数不存在极大值．“”等价于“”，由，得（当且仅当时等号成立），①所以，故只要证明即可（需验证等号不同时成立），设， ，则，因为当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以（当且仅当时等号成立），②因为①②两个不等式中的等号不同时成立，所以当时，．解析:由题意，得，，又因为，所以，，故椭圆的方程为．，，设，则，（1）．（2）证明见解析．20.（1）（2）（3）所以直线的方程为，令，得点的坐标为，设，由，得（显然），直线的方程为，将代入，得，即，故直线的斜率存在，且，又因为直线的斜率，所以，即，，三点共线．解析:存在表，使得；不存在表，使得等于．因为对于任意的，，，；，，，，都有，所以，，，，所以，即，又因为对于，，，；，，，，都有，所以，，，，所以，所以，即．当表如下图时：（1）存在表，使得；不存在表，使得等于．（2）证明见解析．（3）．21.其中，每行恰好有个和个；每列恰好有个和个；因此每行的和均为．符合题意．重新排序后，对应表中，前行中每行各数均为，每行的和均为；后行各数均为，因此．以下先证：对于任意满足条件的表，在表的前行中，至少包含原表中某一行（设为第行）的全部实数（即包含，，，）．假设表的前行中，不能包含原表中任一行的全部实数．则表的前行中至多含有表中的个数，这与表中前行中共有个数矛盾．所以表的前行中，至少包含原表中某一行(设为第行)的全部实数．其次，在表中，根据重排规则得：当时，，所以．所以．综上，．。