近世代数基础课件

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第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
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第六章 群论补充
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第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
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第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
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四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
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1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
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第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
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第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
}
集合与元素的相关概念
}
}
集合的相关概念
集合的运算及运算律
}
集合的补充及说明
5
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 讲 —对应关系 映射 人造关系 对应关系(映射 人造关系) 对应关系 映射)(人造关系
1 2 3 4 5 6 7 8 映射概念回忆 映射及相关定义 映射的充要条件 映射举例 符号说明 映射的合成及相关结论 映射及其映射相等概念的推广 集合及其之间的关系——特殊 集合及其之间的关系 特殊 的映射（代数运算） 的映射（代数运算） 集合及其之间的关系——一一 9 集合及其之间的关系 一一 映射
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第4讲 有限群
1 群的分类及群的阶
2 有限群的判定定理 3 由有限集合上代数运算的运算表观 察代数运算的性质
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第5讲 子群的定义及性质
1 子群定义 2 子群的判别方法 3 子群的性质
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第6讲 群中元素的阶1 元素阶的定义 2 元素阶举例 3 元素阶的性质17
第7讲 循环群
1 循环群的定义及举例 2 循环群与元素阶的关系 3 循环群的一般形式 4 循环群的生成元的个数定理 5 循环群生成元的确定定理
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第7讲 特殊环
1 矩阵环 2 多项式环 3 剩余类环
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第8讲 商域 1 构造域的方法 2 挖补定理 3 扩域定理 4 扩域的形式 5 商域的定义及结论 6 举例
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第9讲 有限域
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第五章 整环里的因子分解
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第1讲 不可约元、素元、最大公因子 第2讲 唯一分解环 第3讲 特殊的唯一分解环
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第4讲 西罗定理
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第一章
绪 论
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第一讲
绪 论
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第一章 绪论
一 关于代 数的观念
二 数学史 的发展阶段
三 代数发展 的阶段（ 的阶段（数 学发展史） 学发展史）
四 代数学发 展的四个阶段
五 几类与近世 代数的应用有 关的实际问题
1 用字母 的代数
1 萌芽阶段
1 初等数学时 初等数学) 期(初等数学 初等数学
1 + 3 + 5 + 7 + L + (2n − 1) = n
2
不要认为简单的几何变换只能产生简单的代数结论, 55 恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重要的代数结 论(如勾股定理与勾股数.
2 简化文字阶段
缺乏符号运算的代数当然是相当原始的代数学.直到古希腊数 学后期,数学家丢番图才开始把通常的语言叙述作简化,利用简化 的文字符号代替一些相对固定的代数表达式.这一时期称为代数 的简化文字阶段,这一时期大致延续到欧洲文艺复兴时代. 丢番图对代数学的发展做出了突出的贡献,《算术》一书是丢 番图留下来的著作,该著作研究了一系列不定方程的求解问题.例 如把一个平方数表为两个平方数之和的问题.后来欧拉发现了正 整数能够表为两个整数平方和的充分必要条件.把一个给定的整 数表为四个数的和再加上这四个数的平方和.求两个有理数使它 们的和等于它们的立方和,例如七分之五与七分之八等等.正是在 丢番图关于整数诸如此类表法研究的基础上,17世纪伟大的法国 数学家费马(Pierre de Fermat,1601-1665)提出了不定方程 xn+yn=zn在n≥3时不可解问题.19世纪费马问题的研究也是导致近 56 世代数理想论产生的重要契机.
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二 数学史的发展阶段
1 萌芽阶段 2 初等数学阶段 3 高等数学阶段 4 近代数学阶段 5 现代数学阶段
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三 代数发展的阶段(数学发展史)
代数发展 的阶段
初等数学时期 初等数学） （初等数学）
变量数学时期 或高等数学时期 高等代数） （高等代数）
现代数学时期 （抽象代数 近世代数）） （近世代数））
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第8讲 变换群
1 变换、满变换、单变换、一一变换 的定义及符号说明 2 特殊集合关于乘法的结论 3 变换群举例 4 特殊的变换群
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第9讲 特殊子群
1 循环群子群的一些结论 2 循环群概念的推广 3 特殊子群的几何意义探讨 4 子群的陪集 5 正规子群与商群
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第10讲 群的同态与同构
1 群的同态的定义及举例 2 同态的性质及结论 3 同构的性质及结论 4 循环群的构造及循环群之间的同态 5 同态基本定理与同构定理
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第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 讲 ——商集 商集 1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 集合A 4 集合A上的等价关系与 集合A 集合A的分类之间的联系
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第三章 群
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第1讲 代数系统 第2讲 半群 第3讲 群的定义及性质 第4讲 有限群 第5讲 子群的定义及性质 第6讲 元素的阶 第7讲 循环群 第8讲 变换群 第9讲 特殊子群 第10讲 群的同态与同构 10讲 第11讲 群与对称的关系 11讲
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第11讲 群与对称的关系
1 序言 2 几何对称 3 代数对称
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第四章
环论
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第1讲 环的定义及基本性质 第2讲 特殊元素及性质 第3讲 环的分类及特殊环的性质 第4讲 环的特征 第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想 第6讲 环的同态与同构 第7讲 特殊环 第8讲 商域 第9讲 有限域
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第1讲 基本概念之集合及其之间的关系 —集合 集合
1 集合与集合元素的定义 2 集合与集合元素的表示符号 集合与集合元素之间的关系—— 3 集合与集合元素之间的关系 属于关系 4 集合的分类标准及分类 5 集合的表示方法 集合之间的内在关系——包含关 6 集合之间的内在关系 包含关 系 7 集合运算 8 运算律 9 特殊集合的表示符号 10 集合的补充说明 11 包含与排斥原理
5 开关线路的构 造与计数问题
6 数字通信 的可靠性问题
4 近代数学阶段
4 结构代数阶段
7 几何作图问题
8 代数方程根 式 的求解问题
5 现代数学阶段
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一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际 问题
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各种代数系统(代数结构),而对于代数结 构,其基本成分则是集合和集合上的映射. 而近世代数就像古典代数那样,是关 于运算的学说,是计算规则的学说,但它 不把自己局限在研究数的运算的性质上, 而是企图研究更具一般性的元素上运算 的性质,这种趋向是现实中的要求所提示 的.近世代数已广泛应用于近代物理学、 近代科学、计算机科学、数字通讯、系 统工程等领域.
1 最初的文 字叙述阶段
1 项链问题
2 分子结构 的计数问题
2 解方程
2 初等数学阶段
2 变量数学时 高等代数) 期(高等代数 高等代数
2 代数的简 化文字阶段
3 正多面体 的着色问题
4 图的构造 与计数问题
3 各种代数 结构的理论
3 高等数学阶段
3 现代数学时 近世代数) 期(近世代数 近世代数
3 符号代数阶段
第一章 绪 论
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第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际 问题
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第二章 基本概念
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第1讲 集合及其之间的关系 ——集合 ——集合 第2讲 集合及其之间的关系 ——对应关系(映射)(人造关系) ——对应关系(映射)(人造关系) 对应关系 )(人造关系 代数运算适应的规则—— ——运算律 第3讲 代数运算适应的规则——运算律 与代数运算发生关系的映射—— ——同态映射 第4讲 与代数运算发生关系的映射——同态映射 第5讲 等价关系与分类
一 关于代数的观念
从人们的观念上来看,人们关于 从人们的观念上来看 人们关于 代数的观念大致有三种： 代数的观念大致有三种：
1 用字母的代数 2 解方程 3 各种代数结构的理论
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现代代数学的研究对象不再是以解 方程为中心,而重点是研究各样的代数结 构的代数性质以及它们之间的联系.当然, 所谓代数结构实际上就是带有运算的集 合.一般说来,这些运算还适合某些所希 望的若干条件. 初等代数、高等代数、线性代数都称为 经典代数.它的研究对象主要是代数方程 和线性方程组.而现代代数学也即近世代数 (又称为抽象代数),其主要内容是研究
计算的对象： 计算的对象： 数
计算的方法： 计算的方法： 加、减、 乘、除
计算的对象： 计算的对象： 若干不是数 的事物（ 的事物（向 矩阵、 量、矩阵、 线性变换） 线性变换）
计算的方法： 计算的方法： 类似于加、 类似于加、 减、乘、除 的运算
计算的对象： 计算的对象： 集合
计算的方法： 计算的方法： 运算（映射） 运算（映射）
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第2讲 群的直积
一 群的外直积 1 群的外直积的定义 2 群的外直积的基本性质 3 群的外直积定义的推广 4 群的外直积举例 二 群的内直积 1 群的内直积定义 2 群的内直积的充要条件 3 群的内直积定义的推广 三 群的内外直积
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第3讲
群在集合上的作用
一 群在集合上的作用的定义 二 群在集合上的作用举例 1 置换群在集合上的作用 2 群在自身集合上的作用 3 群的共轭变换定义了群在它自身上的作用 4 群在自身的全体子群的集合上的作用 三 X中的元素x在G下的轨道 1 X中的元素x在G下的轨道定义 2 X中的元素x在G下的轨道举例 四 轨道的相关结论
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第4讲 环的特征
1 环的特征的定义 2 特殊环的特征(数)及相关结论 3 举例
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第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想 1 子环 2 理想(主理想) 3 素理想和极大理想
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第6讲 环的同态与同构 1 环的同态及同构的定义 2 环的同态的举例 3 环的同态基本性质 4 商环及环的同态基本定理 5 环的同构基本定理
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第1讲 环的定义及基本性质
1 环的定义 2 环的举例 3 环的初步性质
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第2讲 特殊元素及性质
1 特殊元素之一—零元、负 元及单位元、逆元、零因子 2 零因子的性质 3 求环中的特殊元素——举例
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第3讲 环的分类及特殊环的性质
1 特殊环的定义 2 除环的性质 3 有限环的几个相关结论 4 域中元素的计算方法 5 循环环的性质
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第1讲 不可约元、素元、最大公因子
1 整环的单位定义及性质 2 整除的定义及性质 3 相伴关系的性质 4 不可约元 5 最大公因子 6 最大公因子、互素的概念推广到多元的 情形
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第2讲 唯一分解环 1 唯一分解元、唯一分解元的标准分 解式、唯一分解环、非唯一分解环 举例 2 最大公因子的存在性定理、不可约 元与素元的关系定理 3 唯一分解环的判定定理
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特殊群
第1讲 代数系统 1 代数系统及子代数系统的定义 2 代数系统的举例
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第2讲 半群
1 半群、子半群、交换半群的定 义及判定定理 2 半群的举例 3 半群中幂的定义及性质
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第3讲 群的定义及性质
1 群的第一定义 2 单位元及逆元的定义 3 群的第二定义 4 群的第三定义 5 群的第四定义 6 群的定义的等价证明 7 群的举例 8 群的重要性质