二次函数值域最值及相关练习(高一提高)
高一数学复习考点知识专题提升练习26--- 一元二次函数(解析版)
答案：
解析：分析：当 时， ，根据二次函数的性质可求得最小值； ，分 ， ， 三种情况分别讨论，可求得a的取值范围.
详解：解： ， ，
当 时， ， ，函数 在 上单调递减，所以
又 ，
若 ，则 ，符合条件；
本题考查利用函数奇偶性求参数,考查二次函数定区间的最值问题,考查分类讨论思想.
17、已知二次函数 ，满足条件 和 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，求函数 在A上的最小值.
答案：（1） （2）
试题分析：(1)由 即可得出 ,将 代入 即可解得 ,进而得到 的解析式;
(2)由 的对称轴是 与 的位置关系不确定,故分三种情况讨论,确定单调性,即可求出函数 在A上的最小值.
若函数在 上不是单调函数,
则 ,故实数 的取值范围是 .
故答案为: ① ;②
三、一元二次函数的最值问题
1、函数 在 上的最大值为______，最小值为______.
答案：5-4
解析：由于函数 开口向上，对称轴为 ，故当 时取得最大值为 ，当 时取得最小值为 .
故填：（1） ；（2） .
2、函数y＝x2＋ax＋3(0<a<2)在[－1,1]上的最大值是________，最小值是________．
A．2B．3C．4D．5
答案：ABC
解析：函数 的部分图像如图， ， .
因为函数 的定义域为 ，值域为 ，
所以 的取值范围是 ，
故选ABC.
10、已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：通过二次函数图象，值域为 ，即图象的顶点落在 轴上.
高一数学第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试(提升)(解析版)
第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试（提升）第I 卷（选择题）一、单选题(每题5分，8题共40分)1．（2022·全国·专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵24(10)m ∆--<＝ ，解得14m >， 又∵14m >，∵140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件,故选:A. 2．（2022·四川成都）下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．()10y x x x=+≠ B ．222y x x -=+C ．()230y x x x =+≥D ．2211y x x =++【答案】D【解析】A.当0x <时，()()1122⎛⎫=--+≤--⋅=- ⎪--⎝⎭y x x x x ，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，112y x x x x=+≥⋅=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立；故错误；B. ()2222111y x x x =-+=-+≥，故错误； C. ())223023123=+≥=+=+≥y x x x xx x ，故错误；D. 22221121211y x x x x +≥+⋅=++2211x x ++0x =时，等号成立，故正确故选：D3．（2022·安徽·合肥已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）A 322+B ．324C 322+D ．328+【答案】A【解析】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∵211212324442444444m n m n m n m n x y m n n m n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 322324422==， 当且仅当244m n n m=，即22m =21n =时，等号成立， 故选：A.4．（2021·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．若2x >，则函数11y x x =+-的最小值为3 B ．若0x >，0y >，315x y +=，则54x y +的最小值为5C ．若0x >，0y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1D ．若1x >，0y >，2x y +=，则12y+的最小值为322+【答案】D【解析】选项A ：1111121?13111y x x x x x x =+=-++-=---，当且仅当()211x -=时可以取等号， 但题设条件中2x >，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若0x >，0y >，315x y+=，则()1311512151219415545419192?555x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝512x y y x =时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：32230xy x y xy xy xy -=+⇒+-当且仅当x y =时取等号，()0xy t t =，2230t t +-，解得31t -，即01xy ，故xy 的最大值为1，故C 错误； 选项D ：2x y +=，()11x y -+=，()()()21211212·11232?3221111x x y y x y x y x y x y x y --⎛⎫⎡⎤+=+-+=++++=+ ⎪⎣⎦----⎝⎭ 当且仅当22y x =又因为2x y +=，故222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即121x y+-最小值可取到322+， 故D 正确． 故选：D ．5．（2022·北京·101）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q+==，3300010Q Q =+ ，3300022306010Q Q ≥⋅⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立.所以f （Q ）的最小值是60.故选：B.6．（2022·山西现代双语学校南校）已知关于x 的不等式()()()2233100,0a m x b m x a b +--->>>的解集为1(,1)(,)2-∞-+∞，则下列结论错误的是（ ）A ．21a b +=B ．ab 的最大值为18C ．12a b+的最小值为4D ．11a b+的最小值为322+【答案】C【解析】由题意，不等式()()223310a m x b m x +--->的解集为(]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，可得230a m +>，且方程()()223310a m x b m x +---=的两根为1-和12，所以131223111223b m a m a m -⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-⨯=-⎪+⎩，所以232a m +=，31b m -=-，所以21a b +=，所以A 正确；因为0a >，0b >，所以2122a b ab +=≥18ab ≤，当且仅当122a b ==时取等号，所以ab 的最大值为18，所以B 正确； 由121244()(2)44448b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅+=， 当且仅当4b a a b =时，即122a b ==时取等号，所以12a b+的最小值为8，所以C 错误； 由()111122233232b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭ 当且仅当2b aa b=时，即2b a 时，等号成立， 所以11a b+的最小值为322+D 正确． 故选：C ．7．（2022·广东深圳·高一期末）设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b < B ．b aa b> C ．11a b a>- D ．2ab b >【答案】D【解析】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误； 因为0a b <<，所以0ab >，则10ab>， 所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，∵1a a b a >=，1b b b a =>，即b aa b<，故B 错误； ∵由()()()11a a b b a b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a -<-，即11a b a<-，故C 错误； 由0a b <<可得，2ab b >，故D 正确. 故选：D.8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（ ） A ．0a > B ．不等式20ax cx b ++>的解集为{|2727}x x < C ．0a b c ++< D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,2727x x x --<∴<+所以选项B正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误； 不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误. 故选：B二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。
微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)
微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】 题型一：定轴定区间型 题型二：动轴定区间型 题型三：定轴动区间型 题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数 【典型例题】 题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式． （2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ）A ．14B ．0C ．14-D ．1-例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）.(1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-， (1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)222,0⎡-⎣ B ．()0,222 C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【过关测试】 一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（ ）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（ ）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（ ） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2D ．单调递减且最小值为-24．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．46．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（ ） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（ ）. A ．7B ．11C ．12D ．168．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（ ）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．110．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（ ） A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（ ）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182三、填空题13．（2022·上海·复旦附中高一开学考试）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3yx上，设点M 的对称点坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =-++的最小值为______．14．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数22y x x c =-++，当12x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为______15．（2022·全国·高一专题练习）若函数()221f x x ax a =-+-在[0,2]上的最小值为1-．则=a ____．16．（2022·全国·高一专题练习）设函数()2,2,x x a f x x x a ⎧≤=⎨+>⎩，若()f x 有最小值，则a 的取值范围是______． 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，交y 轴于点C ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当1m x m -≤≤时，函数23y ax bx =+-有最小值2m ，求m 的值．18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2y x x a =-+，其中R a ∈． (1)若函数的图象关于直线1x =对称，求a 的值； (2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在[]13，-上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[]22-，为单调函数，求m 的值； (3)在区间[]12-，上的最大值为4，求实数m 的值．20．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数()()2210g x mx mx n m =-++>在区间[]0,3上有最大值4，最小值0.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()(2)f x g x a x =+-，且()f x 在[1,2]-的最小值为3-，求a 的值.1121．（2022·全国·高一课前预习）（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a 的值；（2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[-1，1]，求函数()f x 的最小值．22．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．。
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的值域为（）A．[0,3]B．[-1,0]C．[-1,3]D．[0,2]【答案】C.【解析】先将函数方程化为，，再由二次函数的图像知，当时，函数取得最小值且为-1；当时，函数取得最大值且为3.所以函数的值域为[-1,3]. 故应选C.【考点】二次函数的值域.2.函数的定义域为 .【答案】.【解析】∵，∴，∴函数的定义域为.【考点】函数的定义域.3.已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．【答案】【解析】由题意得：函数的值域包含，当时，满足题意；当时，要满足值域包含，需使得即或，综合得：实数的取值范围是.【考点】函数值域4.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）奇函数，（2）.【解析】（1）判断函数奇偶性，从两个方面入手，一要判断定义域，若定义域不关于原点对称，则函数就为非奇非偶函数，二在函数定义域关于原点对称前提下，判断与的关系，如只相等，则为偶函数，如只相反，则为奇函数，如既相等又相反，则既为奇函数又为偶函数，如既不相等又不相反，则为非奇非偶函数，本题定义域为R，研究与的关系时需将负指数化为对应正指数的倒数，（2）研究函数的值域，一要看函数解析式的结构，本题是可化为型，二是结合定义域利用函数单调性求值域.试题解析：（1）∵，， 4分∴是奇函数． 5分（2）令，则． 7分∵，∴，∴，∴，所以的值域是． 10分【考点】函数奇偶性，函数值域.5.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，所以函数的定义域为.【考点】函数的定义域.6.下列结论：①函数和是同一函数；②函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的递增区间为；④若函数的最大值为3，那么的最小值就是.其中正确的个数为 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】因为函数的定义域为R，的定义域为.所以①不成立. 由函数的定义域为，所以.所以函数要满足.所以函数的定义域为.故②不成立.因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确，所以③不成立.因为函数y=与函数y=的图像关于y轴对称，所以④不正确.故选A.【考点】1.函数的概念.2.函数的定义域.3.函数的对称性.7.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为．【答案】【解析】，即。
考点08 二次函数在闭区间上的最值(值域)问题的解法(解析版)
专题二函数考点8 二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【方法点拨】一、知识梳理二、二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【高考模拟】1．已知函数()bf x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为（ ）A ．22B 3C 2D 3【答案】B 【分析】由题设可得20(0)ax cx b x -+=≠，又()()f m f n c ==即,m n 为方程两个不等的实根，即有,c bm n mn a a+==，结合2||()4m n m n mn -=+-40a b c ++=得2||16()41b bm n a a-=⋅+⋅+.【解析】由题意知：当()bf x ax c x=+=有20(0)ax cx b x -+=≠， ∵()()f m f n c ==知：,m n 是20(0,0,0)ax cx b x a b -+=≠≠≠两个不等的实根.∴,c b m n mn a a +==，而2224||()4c ab m n m n mn a--=+-= ∵40a b c ++=，即4c b a =--，∴||m n -=b t a =，则||m n -==∴当18t =-时，||m n -故选：B 【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为,m n ，结合韦达定理以及||m n -=.2．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)【答案】C 【分析】由题设知()f x 关于3x =对称且开口向上，根据二次函数的对称性(1)(1)f x f -<有115x <-<，求解集. 【解析】依题意，有二次函数关于3x =对称且开口向上，∴根据二次函数的对称性：若(1)(1)f x f -<，即有115x <-<， ∴40x -<<. 故选：C 【点睛】关键点点睛：由题设可得()f x 关于3x =对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可. 3．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥， 利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【解析】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.4．已知函数2()26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[2,]b 上恰有两个零点，则实数b的最小值为（ ）A ．B ．4C ．2+D ．2+【答案】C 【分析】由函数在[2，]b 上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和b 时，解得a 的值，将a 的值代入使得函数值f （b ）0=求出b 的值即可． 【解析】因为函数2())|2|6f x x ax =+--在[2，]b 上恰有两个零点，所以在2x =与x b =时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b 取最小值， 若2x =，()f x 的零点满足f （2）2|222|60a =+--=，解得2a =，或4a =-，当2a =，2()|22|6f x x x =+--，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点，则f （b ）2|22|60b b =+--=，且2b >，解得2b =（舍)或4b =-（舍)，当4a =-时，2()|42|6f x x x =---且2b >，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点， 则f （b ）2|42|60b b =---=，2b >，所以2|42|6b b --=，即2426b b --=-整理2440b b -+=，解得2b =（舍)，或2480b b --=解得：2b =-（舍)或2b =+综上所述，当2b =+()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点．故答案为：2+ 【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则19m n+的最小值为（ ） A ．145B ．114C ．83D ．103【答案】B【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得2nn a =．求得6m n +=，()19119191066m m n m n n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果. 【解析】解：22n n S a =-，可得11122a S a ==-，即12a =，2n ≥时，1122n n S a --=-，又22n n S a =-，相减可得1122n n n n n a S S a a =-=-﹣﹣，即12n n a a -=，{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以2nn a =．64m n a a =，即2264m n ⋅=，得6m n +=，所以()191191911010666m m n m n m n m n n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 181663=⨯=， 当且仅当9n m m n=时取等号，即为32m =，92n =．因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 因为19196m n y m m +=+=-，在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3(,)2+∞上单调递增，所以当2m =，4n =时，19m n+取得最小值为114．故选：B. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知函数()11,021,232x x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若存在实数123,,x x x ，当12303x x x ≤<<≤时，()()()123f x f x f x ==，则()2312x f x x x +的最小值是（ ）.A ．58B ．516C ．532D ．564【答案】C 【分析】作出分段函数的图像，结合图像确定123,,x x x 的范围及等量关系，再将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【解析】 如图：122x x += ，312112x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即312112x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()33112312111222x x x f x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+ 令311,2x t t -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，,则()()2321212x f x t t x x =++ 当14t =时取得最小值532. 故选C【点睛】本题主要考查分段函数图像、函数零点、函数最小值的应用，解题中主要应用了数形结合的思想、换元思想、函数思想，属于中档题；解题的关键有两个：一是准确作出分段函数图像，利用已知条件确定出123,,x x x 范围以及122x x +=；二是将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的性质求最小值.7．已知实数x 、y 满足{24 2y xx y y ≤+≤≥-,若存在x 、y 满足()()22211(0)x y r r ++-=>，则r 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．423D ．523【答案】B【解析】试题分析：可行域为直线,24,2y x x y y =+==-围成的三角形区域， (),x y 到点()1,1-的距离最小值为2，所以r 的最小值为2考点：线性规划问题8．若实数a 、b 、c +∈R ，且2256ab ac bc a +++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．51- B ．51+C ．252+D ．252-【答案】D 【解析】因为2256ab ac bc a +++=-，所以2ab a ac bc +++()()a a b c a b =+++()()a c a b =++()262551=-=- ，所以()()()()22a b c a c a b a c a b ++=+++≥++=252-，当且仅当()()a c a b +=+时，等号成立. 故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为()()()2=51a c a b ++-.9．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意以为直径的圆与圆有公共点，则，解得．所以的最小值为1，故选D ．考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 10．已知函数()1ln ax f x xe x ax -=--，21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，函数()f x 的最小值M ，则实数M 的最小值是（） A ．1- B ．1e-C ．0D ．31e-【答案】C 【分析】求得()()11'1ax f x ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，先证明110ax e x --≤，可得当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，(),f x 单调递增，则()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(2210,,1ln t e M t e t a -⎤-=∈=-+⎦，()()22ln 10,t h t t t e e=-+<≤可证明()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ≥=，从而可得结果.【解析】 求得()()()1111111'11ax ax ax ax ax f x eaxe a e ax ax e x x x ----+⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭ 考察11ax y ex -=-是否有零点，令0y =， 可得1ln x a x -=，记()1ln xx xϕ-=，()2ln 2'x x xϕ-=,()x ϕ在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增， 所以()min x ϕ= ()2e ϕ 21e =-，即21ln 1x x e-≥-， 因为21a e ≤-,所以11ln 10ax x a e x x--≤⇔-≤， 故可知，当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +>≤单调递减， 当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +<≥单调递增，从而由上知()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设(()222210,,1ln 10t t e M t e t lnt t e a e -⎤-=∈=-+=-+<≤⎦， 记()()()22211ln 10,'0,t h t t t e h t e e t=-+<≤=-≤()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ∴≥=，M ∴的最小值为0.故选C.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数()f x 最值步骤：(1) 求导数()f x '；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 11．已知函数()1f x x a =+，若存在,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()sin cos 0f f ϕϕ+=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】 由题意，110sin cos aaφφ+=++ 有解∴sinφ＋a+cosφ＋a=0∴－（φ+4π） ∵φ∈（4π，2π）， ∴φ+4π∈（2π，34π），∴sin （φ+4π）∈（2，1）（φ+4π）∈（1∴-2a ∈（1∴a ∈12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
高一数学函数经典练习题(含答案)
《函 数》复习题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴33y x =+-⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++- 2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y =⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼y ⑽4y =⑾y x =-6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y =⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， ()g x ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
(完整版)二次函数值域习题
完整版)二次函数值域习题完整版) 二次函数值域习题引言二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
在学习二次函数时，我们不仅需要了解其基本知识和性质，还需要掌握如何求解二次函数的值域。
为了帮助大家更好地掌握二次函数值域的求解方法，本文将提供一些习题，并给出详细解答。
希望通过这些习题的练习，大家能够加深对二次函数值域的理解，提高解题能力。
习题部分1.求解函数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$ 的值域。
2.求解函数 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$ 的值域。
3.求解函数 $h(x) = x^2 + x + 1$ 的值域。
解答部分习题1给定函数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$，我们需要求解其值域。
首先，我们可以通过求导的方法来确定函数的开口方向。
求导得到 $f'(x) = 4x - 5$，令 $f'(x) = 0$ 可得 $x = \frac{5}{4}$。
由于二次函数的开口方向由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，开口方向向上；反之，开口方向向下。
因此，由于 $a = 2$，二次函数 $f(x)$ 的开口方向为向上。
接下来，我们需要找出二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标。
通过求导可得知，顶点的横坐标为 $x = \frac{5}{4}$。
将其代入原函数$f(x)$ 可得 $f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 3 = \frac{1}{8}$。
因此，二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标为 $(\frac{5}{4}。
\frac{1}{8})$。
由于二次函数的值域与其顶点的纵坐标有关，因此我们可以得出二次函数 $f(x)$ 的值域为 $[\frac{1}{8}。
+\infty)$。
习题2给定函数 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$，我们需要求解其值域。
高一数学二次函数求最值
8
6
6
6
4
4
x=1
4
x=1 k+2
5
10
2
x=1
2
2
k
5
15
k+2
5
k
10
10
k+2
15
5
x=1 k
10 15
k
15
5
10 5
k+2
2
2
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
10
10
4
当k+2≤1即k ≤-1时
2
x=1 k+2
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5 10 15
k
2
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
k+2
5
2
8
k
10
2
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
10 15
4
6
4
2
x=1 k k+2
5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10 15
2
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
y
-1
O
1
x
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知，关于的函数，则下列结论中正确的是（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】A【解析】函数=，可知：当时，函数有最大值，故答案选A．【考点】二次函数的值域.2.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．3.设在上的最大值为p，最小值为q，则p+q=【答案】2【解析】解：因为令，则所以，为上的奇函数，它的图象关于原点对称，设其最大值为，则其最小值为；所以，的最大值为，最小值为所以，故答案应填：2.【考点】函数奇偶性的应用.4.已知函数对任意实数恒有且当时，有且.(1)判断的奇偶性；(2)求在区间上的最大值；(3)解关于的不等式.【答案】(1)奇函数；(2)；(3)当时，当时，当时，当时,【解析】(1)赋值法：先令，再令(2)根据以及当时，有，利用函数单调性的定义判断得出为上的减函数；并由单调性求其最值;(3)由（1）和（2）的结论，先将不等式化为；再由函数的单调性转化为关于的不等式对的不同取值，分别讨论不等式的解.试题解析：解（1）取则取对任意恒成立∴为奇函数.（2）任取，则又为奇函数∴在（－∞，+∞）上是减函数.对任意，恒有而∴在[－3，3]上的最大值为6（3）∵为奇函数，∴整理原式得进一步可得而在（－∞，+∞）上是减函数，当时，当时，当时，当时,【考点】1、赋值法解决抽象函数的有关问题；2、函数单调性的定义；3、分类讨论的思想.5.已知在区间上是增函数，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的图像是开口向上以为对称轴的抛物线，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，故A正确。
高考数学 专题1 集合与函数 1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值学案 湘教版必修1
1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值[学习目标] 1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值．[知识链接]1．函数y ＝x 2－2x －3的对称轴为x ＝1，该函数的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)．2．函数y ＝x 2的最小值为0. [预习导引]二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )，当a ＞0(a ＜0)时，在区间(－∞，－b2a ]上递减(递增)，在[－b 2a ，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x ＝－b2a处取到最小(大)值f (－b 2a )＝－Δ4a ，这里Δ＝b 2－4ac .点(－b 2a ，－Δ4a)叫作二次函数图象的顶点.要点一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数解析式．解 方法一 利用二次函数一般式． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，①a －b ＋c ＝－1，②4ac －b 24a ＝8.③由①②得b ＝－a ，则2a ＋c ＝－1，即c ＝－2a －1. 代入③整理得a 2＝－4a ， 解得a ＝－4，或a ＝0(舍去)． ∴b ＝4，c ＝7.因此所求二次函数解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二 利用二次函数顶点式．设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，即m ＝12.又根据题意函数有最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a (x －12)2＋8，∵f (2)＝－1，∴a (2－12)2＋8＝－1.解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 利用两根式．由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1. 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， ∴4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解之得a ＝－4.∴所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f (x )＝ax 2＋bx ＋c (一般式)、f (x )＝a (x －x 1)·(x －x 2)(两根式)、f (x )＝a (x －m )2＋n (顶点式)． 跟踪演练1 已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2＋4x .求f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，f (x －1)＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ，又f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2＋4x ， ∴2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2＋4x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，2b ＝4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2＋2x －1. 要点二 二次函数的增减性例2 f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m 的取值范围．解 函数的顶点横坐标为x ＝m8，又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数， ∴m8≤－2，即m ≤－16， 故m 的取值范围是{m |m ≤－16}．规律方法 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在(－∞，－b 2a ]上是递减函数，在[－b2a ，＋∞)上是递增函数．跟踪演练2 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， x ∈[－5,5]，1∈[－5,5]．∴当x ＝1时，f (x )min ＝1； 当x ＝－5时，f (x )max ＝37. (2)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2， 其顶点横坐标为x ＝－a .∵f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5.故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5. 要点三 求二次函数的值域或最值例3 求函数y ＝x 2－2ax －1在[0,2]上的值域． 解 ①当a ＜0时，y min ＝f (0)＝－1，y max ＝f (2)＝4－4a －1＝3－4a ，所以函数的值域为[－1,3－4a ]．②当0≤a ≤1时，y min ＝f (a )＝－(a 2＋1)，y max ＝f (2)＝3－4a ，所以函数的值域为[－(a 2＋1)，3－4a ]． ③当1＜a ≤2时，y min ＝f (a )＝－(a 2＋1)，y max ＝f (0)＝－1，所以函数的值域为[－(a 2＋1)，－1]．④当a ＞2时，y min ＝f (2)＝3－4a ，y max ＝f (0)＝－1， 所以函数的值域为[3－4a ，－1]．规律方法 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[m ，n ]，若是区间[m ，n ]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间[m ，n ]内还是在区间的左边或右边．在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得．跟踪演练3 已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2. (1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最值； (2)当x ∈[2,3]时，求f (x )的最值；(3)当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )． 解 (1)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 其图象顶点横坐标为x ＝1，开口向上， ∴当x ∈[0,4]时，∴f (x )max ＝f (4)＝42－2×4＋2＝10，f (x )min ＝f (1)＝1.(2)∵f (x )的顶点横坐标为x ＝1，开口向上， ∴f (x )在[2,3]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22－2×2＋2＝2，f (x )max ＝f (3)＝32－2×3＋2＝5. (3)g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ＋2，t ＞11，0≤t ≤1t 2＋1，t ＜0.1．若f (x )＝(m －1)x 2＋(m ＋1)x －1是二次函数，则( ) A ．m 为任意实数 B ．m ≠1C ．m ≠－1D ．m ≠1且m ≠－1答案 B解析 由m －1≠0，得m ≠1，故选B.2．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( ) A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－14答案 D解析 ∵f (x )＝(x ＋32)2－14，x ∈(－5,5)，∴当x ＝－32时，f (x )有最小值－14，f (x )无最大值．3．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调递减区间是________． 答案 (－∞，－34]和[0，34]4．已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈(－∞，－1]时是递减函数，则m 的取值范围是________． 答案 [－4，＋∞)解析 f (x )＝2(x －m4)2＋3－m 28，－1≤m4，即m ≥－4.二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．具体做法是：首先要采用配方法，化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )． 其次对区间进行讨论，可分成三个类型： (1)顶点固定，区间也固定．(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.一、基础达标1．二次函数y ＝2x 2－x ＋2014的开口方向是( ) A ．向上 B ．向下 C ．可能向上也可能向下 D ．向左答案 A解析 因为二次项系数2＞0，所以二次函数开口向上．2．函数f (x )＝－x 2＋2x －3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－2 B ．－2，－6C ．－2，－3D ．－3，－6答案 B解析 ∵f (x )＝－(x －1)2－2，∴当x ＝1时，有最大值－2；当x ＝3时，有最小值－6. 3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是递增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝2xC ．y ＝－2x ＋1D ．y ＝－x 2＋2x答案 C解析 y ＝x 2－2x ＋1在[1，＋∞)上递增，而在(0,1]上递减；y ＝2x在(0，＋∞)上是递减函数；y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在[0,1]上递增，[1,2]上递减．只有y ＝－2x ＋1在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递增，从而在(0，＋∞)上递增．4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点为(－1，－3)，则b ＋c ＝________. 答案 －6解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝－1，－4c －b2－4＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－4.∴b ＋c ＝－6.5．二次函数y ＝－x 2－4x ＋3的值域是________． 答案 (－∞，7]解析 因为y ＝－x 2－4x ＋3＝－(x 2＋4x ＋4)＋7 ＝－(x ＋2)2＋7.所以这个函数的值域是(－∞，7]．6．用长度为24m 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m. 答案 3解析 设隔墙长为x ，则y ＝x ·24－4x 2＝－2x 2＋12x ，当x ＝3时，y 最大．7．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值．(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是递增函数． (1)解 由f (1)＝0，f (3)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧12＋b ＋c ＝0，32＋3b ＋c ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－1，3b ＋c ＝－9，解得b ＝－4，c ＝3.(2)证明 设任意x ∈(2，＋∞)，且h ＞0， ∴f (x ＋h )－f (x )＝[(x ＋h )2－4(x ＋h )＋3]－(x 2－4x ＋3) ＝(x ＋h )2－x 2－4(x ＋h )＋4x ＝2xh ＋h 2－4h ＝h (2x ＋h －4)， ∵x ∈(2，＋∞)，∴2x ＋h －4＞0， ∴f (x ＋h )－f (h )＞0，即f (x ＋h )＞f (h )， 因此函数f (x )在区间(2，＋∞)上是递增函数． 二、能力提升8．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 由A ，C ，D 的图象知f (0)＝c ＜0.又abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴对称轴x ＝－b2a ＜0，∴B 错误． 9．函数y ＝1x 2＋2x ＋3的值域为( )A ．[0，12]B ．(－∞，12]C ．(0，12]D ．(0，12)答案 C解析 ∵x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2， ∴0＜1x 2＋2x ＋3≤12，∴函数y ＝1x 2＋2x ＋3的值域是(0，12]．10．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 由f (0)＝1可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， 故f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1，可得f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝2x ， 所以2a ＝2，a ＋b ＝0，故a ＝1，b ＝－1， 所以f (x )＝x 2－x ＋1.11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标分别是－2,6，图象与y 轴相交，交点和原点的距离为3，求此函数解析式． 解 设二次函数解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．∵与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝－2，x 2＝6.代入得y ＝a (x ＋2)(x －6)，y ＝a (x 2－4x －12)＝ax 2－4ax －12a .又∵图象与y 轴相交，交点和原点的距离为3， ∴|－12a |＝3.∴－12a ＝3或－12a ＝－3，即a ＝－14或a ＝14.∴所求函数解析式为y ＝－14(x 2－4x －12)＝－14x 2＋x ＋3或y ＝14(x 2－4x －12)＝14x 2－x －3. 三、探究与创新12．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2.对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．解 方法一 当a ＞0时，f (x )＝a (x －1a )2＋2－1a.∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜1a≤1，f (1)＝a －2＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1＜1a ＜4，f (1a )＝2－1a＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f (4)＝16a －8＋2≥0.∴a ≥1或12＜a ＜1或∅，即a ＞12；当a ＜0时⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －2＋2≥0，f (4)＝16a －8＋2≥0，解得∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， ∴不合题意．由上可得，实数a 的取值范围是a ＞12.方法二 ∵x ∈(1,4)时，f (x )＞0即ax 2－2x ＋2＞0， ∴a ＞－2(1x 2－1x)，又－2(1x 2－1x )＝－2(1x －12)2＋12，由1＜x ＜4，知1x ∈(14，1)，∴0＜－2(1x －12)2＋12≤12，∴a ＞12.13．已知函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1,1]上有最小值，记作g (a )． (1)求g (a )的函数表达式； (2)求g (a )的最大值．解 (1)由f (x )＝2x 2－2ax ＋3＝2(x －a2)2＋3－a 22，知图象顶点横坐标为x ＝a2，根据二次函数图象的顶点横坐标与题设区间的相对位置分类讨论． ①当a2≤－1，即a ≤－2时，g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－1＜a2＜1，即－2＜a ＜2时，g (a )＝f (a 2)＝3－a 22；③当a2≥1，即a ≥2时，g (a )＝f (1)＝5－2a .综合①②③，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5， a ≤－2，3－a22，－2＜a ＜2，5－2a ，a ≥2.(2)当a ≤－2时，g (a )≤1；当－2＜a ＜2时，g (a )≤3；当a ≥2时，g (a )≤1. ∴当a ＝0时，g (a )的最大值为3.。
二次函数的值域
一、定义域为R的二次函数的值域 定义域为R 求二次函数y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0 )当x ∈ R时的值域是先把它配方
b 4ac − b 2 为y = a x + + 2a 4a 4ac − b 2 4ac − b 2 当a > 0时y ∈ , + ∞ ;当a < 0时, 值域为 − ∞, ; 4a 4a
y
∴当x=0时，ymax=3 时 当x=a时，ymin=a2-2a+3 时
3 2 o a 1 x
求函数y=x2-2x+3在区间 ，a]上的最 在区间[0， 上的最 例2 求函数 在区间 并求此时x的值 的值。 值，并求此时 的值。 函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 解:函数图象的对称轴为直线 函数图象的对称轴为直线 抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在 ，a]上单调递减， 上单调递减， 当 时 函数在[0， 上单调递减 ∴当x=0时，ymax=3 时 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3 时 函数在[0,1]上单 上单 2.当1<a<2时,函数在 当 时 函数在 调递减,在 上单调递增, 调递减 在[1,a]上单调递增 上单调递增 ∴当x=1时,ymin=2 时 当x=0时，ymax=3 时
2
在区间[− 1，上有最小值，记作g (a ) 1]
(1)求g (a )的函数表达式；（ ）求g (a )的最大值。 2
设计意图： 设计意图：利用简单的原理解决复杂的问题
三、定函数动区间的二次函数的值域
求函数y=x2-2x+3在区间 ，a]上的最 在区间[0， 上的最 例2 求函数 在区间 并求此时x的值 的值。 值，并求此时 的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在 ，a]上单调递减， 上单调递减， 当 时 函数在[0， 上单调递减
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题(含答案解析)
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。
所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。
一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
【高中数学过关练习】过关练13-二次函数在闭区间上的最值问题
过关练13 二次函数在闭区间上的最值问题一、单选题1．（2022·山西运城·高一期末）已知二次函数()()2f x ax x c x =-+∈R 的值域为[)0,∞+，则41a c+的最小值为（ ） A ．16 B ．12 C ．10 D ．8【解析】由题意知0a >，140ac ∆=-=， ∴14ac =且0c >， ∴4148a c ac+≥=， 当且仅当41a c=，即1a =，14c =时取等号.故选：D.2．（2022·全国·高一期末）若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为（ ）A ．-1，-7B ．0，-8C ．1，-1D ．1，-7【解析】220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<， 2∴-，1是方程220ax bx ++=的根，且0a <，∴21221b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，1a ∴=-，1b =-，则二次函数2224241y bx x a x x =++=-+-开口向下，对称轴1x =，在区间[]0,3上，当1x =时，函数取得最大值1，当3x =时，函数取得最小值7- 故选：D ．3．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））函数()(||1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522+C ．32D ．2【解析】当x ≥0时，()()221111()244f x x x x x x ==-=--≥-﹣， 当x ＜0时，()()22111()24f x x x x x x =-=--=-++，作出函数()f x 的图象如图：当0x ≥时，由()f x =22x x -=，解得x =2． 当12x =时，()1124f =-．当x ＜0时，由21()4f x x x =--=-,即24410x x +=﹣，解得x 2444443244212-±+⨯-±-±-±===∴此时x 12-- ∵[,m n ]上的最小值为14-，最大值为2，∴n =21212m --≤≤， ∴n m -的最大值为1252222--=+， 故选：B ．4．（2022·重庆巫山·高一期末）若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】234y x x =--为开口方向向上，对称轴为32x =的二次函数 min 99254424y ∴=--=- 令2344x x --=-，解得：10x =，23x = 332m ∴≤≤即实数m 的取值范围为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C5．（2022·浙江台州·高一期末）已知函数()22f x ax x =+的定义域为区间[m ，n ]，其中,,a m n R ∈，若f （x ）的值域为[-4，4]，则n m -的取值范围是（ ）A ．[4，42]B ．[22，82]C ．[4，82]D ．[42，8]【解析】若0a =，()2f x x =，函数为增函数，[,]x m n ∈时，则()24,()24f m m f n n ==-==，所以2(2)4n m -=--=， 当0a >时，作图如下，为使n m -取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时14a =， 由22()424()424f n am m f m an n =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，即2240ax x +-=， 所以24,m n mn a a+=-=-，所以()22416482n m m n mn a a-=+-=+=82n m -≤ 当14a -<-时，即104a <<时，此时,m n 在对称轴同侧时n m -最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在对称轴右侧，则由22()24,()24f n an n f m am m =+==+=-， 解得24162416a an m -++-+-==416416141441414141422a a a a n m a aa a+--+--∴-===++-++-， 当且仅当1414a a +=- ,即0a =时取等号，但0a >，等号取不到，4n m ∴->，0a <时，同理，当14a =-时，max ()82n m -=14a >-时，()min 4n m ->， 综上，n m -的取值范围是[4,82]， 故选：C6．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数2,02()34,23x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，若存在实数1x ，2x （12x x <）满足12()()f x f x =，则21x x -的最小值为（ ） A ．712B ．22C ．23D ．1【解析】当0≤x ≤2时，0≤x 2≤4，当2<x ≤3时，2<3x －4≤5， 则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令12()()f x f x ==t ∈(2，4]， 则1x t 243t x +=， ∴2214143333t x x t tt -==， 32t ，即94t =时，21x x -有最小值712，故选：A.二、多选题7．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（ ）A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-【解析】由题可知，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-， 已知()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+， 则当0x >时，0x -<，则()()()1f x x x f x -=--=-，所以当[)0,x ∈+∞时，()()2211124f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，可知()00f =，()10f =，且最大值为14，无最小值，所以()f x 在[)0,∞+上正确的结论是ABC. 故选：ABC.8．（2022·贵州遵义·高一期末）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ）A ．2B ．-1C ．0D ．1【解析】当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值， 若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值， 若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数， 则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.三、填空题9．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______【解析】因为22()25(1)4f x x x x =-+=-+，所以当1x =时，min ()(1)4f x f ==，当5x =时，2max ()(5)(51)420f x f ==-+=，所以最大值和最小值之积为42080⨯=.故答案为：8010．（2022·广东汕头·高一期末）函数()()()2f x x a bx a =++是偶函数，且它的值域为(],2-∞，则2a b +=__________．【解析】()()()()22222f x x a bx a bx a ab x a =++=+++为偶函数，所以20a ab +=，即0a =或2b =-，当0a =时，()2f x bx =值域不符合(],2-∞，所以0a =不成立；当2b =-时，()2222f x x a =-+，若值域为(],2-∞，则21a =，所以21a b +=-.故答案为：1-.11．（2022·广东·华南师大附中高一期末）对x ∀∈R ，不等式2430mx x m ++->恒成立，则m 的取值范围是___________；若2430mx x m ++->在()1,1-上有解，则m 的取值范围是___________.【解析】（1）关于x 的不等式函数2430mx x m ++->对于任意实数x 恒成立，则()204430m m m >⎧⎨∆=--<⎩，解得m 的取值范围是()4,+∞.（2）若2430mx x m ++->在()1,1-上有解， 则2341x m x ->+在()1,1-上有解，易知当314x -<≤时23401xx -≥+， 当314x <<时23401x x -<+，此时记34t x =-， 则104t <<，()244253311624t g t t t t --==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()12g t >-， 综上可知，234112x x ->-+，故m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()4,+∞；1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭四、解答题12．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的值域. 【解析】（1）解：由()02f =可得2c =，()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++，由()()121f x f x x +-=-得221ax a b x ++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()222f x x x =-+.（2）解：由（1）可得：()()222211f x x x x =-+=-+， 则()f x 的图象的对称轴方程为1x =，()11f =， 又因为()15f -=，()22f =，所以，()f x 在区间[]1,2-上的值域为[]1,5.13．（2022·广东潮州·高一期末）()2f x x bx c =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3．(1)求实数b ，c 的值；(2)[]0,3x ∈时，求()f x 的值域．【解析】(1)解：由题意，1和3是方程20x bx c ++=的两根，所以1313b c +=-⎧⎨⨯=⎩，解得4,3b c =-=；(2)解：由（1）知，22()43(2)1f x x x x =-+=--，所以当[]0,2x ∈时，()f x 单调递减，当[]2,3x ∈时，()f x 单调递增， 所以min ()(2)1f x f ==-，max ()(0)3f x f ==， 所以()f x 的值域为[1,3]-.14．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()223f x x ax =++，[]4,6x ∈-．(1)当2a =-时，求()f x 的最值；(2)若()f x 在区间[]4,6-上是单调函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）当2a =-时，()()224321f x x x x =-+=--， ∴()f x 在[]4,2-上单凋递减，在2,6上单调递增，∴()()min 21f x f ==-，()()()()2max 4444335f x f =-=--⨯-+=.（2）()()222233f x x ax x a a =++=++-，∴要使()f x 在[]4,6-上为单调函数，只需4a -≤-或6a -≥，解得4a ≥或6a ≤-． ∴实数a 的取值范围为(][),64,-∞-+∞．15．（2022·北京通州·高一期末）已知二次函数2()21f x ax ax =-+. (1)求()f x 的对称轴；(2)若(1)7f -=，求a 的值及()f x 的最值.【解析】(1)解：因为二次函数2()21f x ax ax =-+， 所以对称轴212ax a-=-=． (2)解：因为(1)7f -=，所以217a a ++=. 所以2a =.所以2()241f x x x =-+． 因为20a =>， 所以()f x 开口向上，又2()241f x x x =-+对称轴为1x =，所以最小值为(1)1f =-，无最大值. 16．（2022·陕西·长安一中高一期末）函数2()22f x x x =-- (1)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的值域； (2)当[,1]x t t ∈+时，求函数()f x 的最小值．【解析】(1)解：由题意，函数()22()2213f x x x x =--=--，可得函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]12，上单调递增，所以函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为(2)6f -=，最小值为(1)3f -=-， 综上函数()f x 在上的值域为[]3,6-.(2)解：①当0t ≤时，函数在区间[],1t t +上单调递减，最小值为2(1)3f t t +=-； ②当01t <<时，函数在区间[],1t 上单调递减， 在区间[]1,+1t 上单调递增，最小值为(1)3f =-；③当1t ≥时，函数在区间[],1t t +上单调递增，最小值为2()22f t t t =--，综上可得：当0t ≤时，函数()f x 的最小值为23t -；当01t <<，函数()f x 的最小值为3-；当1t ≥时，函数()f x 的最小值为222t t --.17．（2022·福建泉州·高一期末）已知函数2()4(0)f x ax ax b a =-+>在[0,3]上的最大值为3，最小值为1-． (1)求()f x 的解析式；(2)若(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）()f x 的开口向上，对称轴为2x =， 所以在区间[]0,3上有：()()()()min max 2,0f x f f x f ==，即481133a a b a b b -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以()243f x x x =-+.（2）依题意(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，即2343,4x x mx m x x-+<>+-， 由于1x >，33424234x x x x+-≥⋅=， 当且仅当33x x x=⇒=. 所以234m >.18．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()()220f x mx mx n m =-+<在区间[]0,3上的最大值为5，最小值为1．(1)求m ，n 的值；(2)若正实数a ，b 满足2na mb -=，求114a b+的最小值．【解析】(1)由()()220f x mx mx n m =-+<，可得其对称轴方程为212mx m-=-=，所以由题意有(1)25(3)961f m m n f m m n =-+=⎧⎨=-+=⎩，解得1,4m n =-=.(2)由（1）2na mb -=为42a b +=，则111111171171725()()()(2)14242424848b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=+=， （当且仅当25a b ==时等号成立）. 所以114a b +的最小值为258.19．（2022·山东日照·高一期末）已知函数()223f x x ax =--.(1)若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；(2)已知()f x 在[)3,+∞上单调递增，求a 的取值范围； (3)求()f x 在[]1,2-上的最小值.【解析】（1）当1a =时，函数()223f x x x =--，不等式()0f x ≥，即223(1)(3)0x x x x --=+-≥，解得1x ≤-或3x ≥， 即不等式()0f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞.（2）由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，要使得()f x 在[)3,+∞上单调递增，则满足3a ≤， 所以a 的取值范围为(,3]-∞.（3）由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，当1a <-时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，所以()f x 最小值为()122f a -=-； 当12a -≤≤时，函数()f x 在[]1,a -递减，在[],2a 上递增，所以()f x 最小值为()23f a a =--；当2a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，所以()f x 最小值为()214f a =-， 综上可得，()f x 在[]1,2-上的最小值为()2min22,13,1214,2a a f x a a a a -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩. 20．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值. 【解析】(1)因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣0）＝﹣f （0）， 所以f （0）＝0，即n ＝0，所以f （x ）＝x |x ﹣m |， 又f （﹣1）＝﹣f （1），所以|1﹣m |＝|1＋m |，解得m ＝0，此时f （x ）＝x |x |，对∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ）， 所以f （x ）为奇函数,故m ＝0.(2)f （x ）＝x |x ﹣1|＋n ＝22,1,1x x n x x x n x ⎧-++⎨-+>⎩所以f （x ）在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1，n ]上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其中211(),()24f n f n n =+=，2111212()()()24f n f n n n n +--=--=，令214n n >+得，12n +>12n +>1()()2f n f >，2max ()f x n =.121n +<≤时1()()2f n f ≤，所以max 1()4f x n =+，因此y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值为2112,14212,n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪⎪⎩. 21．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围． 【解析】（1）∵()f x 的图象过点()1,1-， ∴21m n ++=-① 又()()23f f -=， ∴82183m n m n -+=++② 由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；（2）()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+，当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦；当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭； 当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min 221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦．综上，()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．（3）设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >． 22．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数()22f x x mx =--.(1)若0m >且()f x 的最小值为3-，求不等式()1f x <的解集； (2)若当21x ≤时，不等式()20f x x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）解：()f x 的图象是对称轴为2mx =，开口向上的抛物线，所以，()222min2232424m m mm f x f ⎛⎫==--=--=- ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =，由()1f x <得2230x x --<，即()()310x x -+<，得13x ，因此，不等式()1f x <的解集为()1,3-.（2）解：由21x ≤得11x -≤≤，设函数()()()2222g x f x x x m x =-=-+-，因为函数()g x 的图象是开口向上的抛物线，要使当21x ≤时，不等式()20f x x -<恒成立，即()0g x <在[]1,1-上恒成立，则()()1010g g⎧<⎪⎨-<⎪⎩，可得122010m m ---<⎧⎨+<⎩，解得3<1m -<-. 23．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． （2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．24．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知函数()2623f x ax x b =+-+（,a b 为常数），在1x =时取得最大值2. （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在3,2上的单调区间和最小值.【解析】（1）由题意知6126232a ab ⎧-=⎪⎨⎪+-+=⎩,∴32a b =-⎧⎨=⎩ , ∴ ()2361f x x x =-+-.（2）∵()()()22321312f x x x x =---=--+，∴当[]3,2x ∈-时，()f x 的单调增区间为[]3,1-，单调减区间为[]1,2，又()()32718146,2121211f f -=---=-=-+-=-， ∴ ()f x 最小值为46-.25．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知函数()22f x x mx =-+．（1）若()f x 在区间(],1-∞上有最小值为1-，求实数m 的值；（2）若4m ≥时，对任意的12,1,12m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有()()21244mf x f x -≤-，求实数m 的取值范围．【解析】（1）可知()f x 的对称轴为2m，开口向上， 当12m ≤，即2m ≤时，()2min 2124m m f x f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 解得23m =-23，∴23m =- 当12m>，即2m >时，()()min 131f x f m ==-=-， 解得4m =，∴4m =． 综上，23m =-4m =．（2）由题意得，对1,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，()()2max min 44m f x f x -≤-． ∵1,122m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，11222m m m⎛⎫-≥+- ⎪⎝⎭，∴()2min224m m f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()max 13f x f m ==-．∴()()22max min1444m m f x f x m -=-+≤-， 解得5m ≥，∴5m ≥．26．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.(1)求函数()f x 在区间[]1,1-上的值域；(2)当x ∈R 时，函数y a =-与()3y f x x =-的图像没有公共点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)解：设()()20f x ax bx c a =++≠､∴()1()22f x f x ax a b x +-=++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴1a =，1b =-，又()01f =，∴1c =，∴()21f x x x =-+.∵对称轴为直线12x =，11x -≤≤，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f -=， ∴函数的值域3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)解：由（1）可得：()2341y f x x x x =-=-+∵直线y a =-与函数()3y f x x =-的图像没有公共点∴()2min 41a x x -<-+， 当2x =时，()2min 41=3x x -+-∴3a -<-，∴3a >.27．（2022·陕西安康·高一期末）已知二次函数()[]21,1,2f x x ax x =++∈-．(1)当1a =时，求()f x 的最大值和最小值，并指出此时x 的取值； (2)求()f x 的最小值，并表示为关于a 的函数()H a ．【解析】(1)当1a =时，()21f x x x =++，对称轴为12x =-，开口向上，所以()f x 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()2min111312224f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2max 22217f x f ==++=.所以当12x =-时，()f x 的最小值为34，当2x =时()f x 的最大值为7.(2)()21f x x ax =++的对称轴为2a x =-，开口向上，当12a-≤-即2a ≥时，()21f x x ax =++在[]1,2-上单调递增， ()()()2min 1112f x f a a =-=--+=-，当122a -<-<即42a -<<时，()21f x x ax =++在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时()22min 112224a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当22a-≥即4a ≤-时，()21f x x ax =++在[]1,2-上单调递减， ()()2min 222152f x f a a ==++=+，所以252,4()1,4242,2a a a H a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.28．（2022·北京平谷·高一期末）已知二次函数()()211f x ax a x =-++.(1)当对称轴为1x =-时， （i ）求实数a 的值；（ii ）求f （x ）在区间[]22-,上的值域. (2)解不等式()0f x ≥. 【解析】(1)解：（i ）由题得(1)(1)11,12,223a a a a a a a -++-==-∴+=-∴=-； （ii ）()212133f x x x =--+，对称轴为1x =-， 所以当[]2,2x ∈-时，max 124()(1)1333f x f =-=-++=.min 445()(2)1333f x f ==--+=-.所以f （x ）在区间[]22-,上的值域为54[,]33-. (2)解：()2110ax a x -++≥，当0a =时，10,1x x -+≥∴≤；当0a >时，121(1)(1)0,0,1ax x x x a--≥∴=>=， 当01a <<时，不等式的解集为1{|x x a≥或1}x ≤； 当1a =时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为{|1x x ≥或1}x a≤；当0a <时，121(1)(1)0,0,1ax x x x a--+≤∴=<=， 所以不等式的解集为1{|1}x x a≤≤. 综上，当0a =时，不等式的解集为{|1}x x ≤； 当01a <<时，不等式的解集为1{|x x a≥或1}x ≤； 当1a =时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为{|1x x ≥或1}x a≤；当0a <时， 不等式的解集为1{|1}x x a≤≤. 29．（2022·重庆·高一期末）已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围． 【解析】(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2ax =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当02a<时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解； 当>12a时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =； 当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解， 综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()()2+91010+1+22+12102+1+1+1g x x x x x x x ==-≥⋅=，当且仅当10+1+1x x =，即101x =， ()2+9+1x g x x =在(101⎤-⎦，上递减，在)101,⎡+∞⎣递增， 而21013<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =，所以a 的取值范围为13932⎛⎤⎥⎝⎦，．30．（2022·河北秦皇岛·高一期末）已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-． (1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．(2)证明：对任意[]11,2x ∈，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立．【解析】(1)解：因为()g x 的值域为[)0,∞+，所以()()222414420a a a a a ∆=--=-+=-=，解得2a =．(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得()1111f x x x =+在[]1,2上单调递增，所以()152,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．设()21g x x ax a =-+-在[]1,3-上的值域为M ，当12a≤-，即2a -时，()g x 在[1,3]-上单调递增，因为max ()(3)8212g x g a =-=，min ()(1)24g x g a -==-，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当32a，即6a 时，()g x 在[1,3]-上单调递减，因为max ()(1)212g x g a -==，min ()(3) 824g x g a =--=，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当132a -<<，即26a -<<时，22min 11()1(2)(4,0]244a g x g a a a ⎛⎫==-+-=--∈- ⎪⎝⎭，max ()max{2, 82}[4,12)g x a a =-∈，所以52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；综上，52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在[1,2]上的值域是()g x 在[1,3]-上值域的子集恒成立，所以对任意1[1,2]x ∈总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立.31．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）． （1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式： （2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）由于0a >，当[1,2]x ∈时，2211()212124f x ax x a a x a a a ⎛⎫=-+-=-+-- ⎪⎝⎭①若1012a <<，即12a >，则()f x 在[1,2]为增函数 ，()(1)32g a f a ==-； ②若1122a ≤≤，即1142a ≤≤时，11()2124g a f a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；③若122a >，即104a <<时，()f x 在[1,2]上是减函数，()(2)63g a f a ==-； 综上可得163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩； （2）21()1a h x ax x-=+-在区间[1,2]上任取1212x x ≤<≤， ()()()212121211221212111a a a h x h x ax ax x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=+--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]211212(21)x x ax x a x x -=--（*） ()h x 在[1,2]上是增函数 ()()210h x h x ∴->∴（*）可转化为12(21)0ax x a -->对任意12,[1,2]x x ∈且12x x <都成立，即1221ax x a >- ①当0a =时，上式显然成立 ②12210,a a x x a ->>，由1214x x <<得211a a-≤，解得01a <≤； ③12210,a a x x a-<<，由1214x x <<得，214a a -≥，得102a -≤<， 所以实数a 的取值范围是1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。
高三数学二次函数的值域
对称轴
图（4）
练习2：已知函数y=x2-2ax-2+a,x∈[0,1] 时函数最小值为-2，求a.
对称轴x=a 2
0
1
对称轴
图（1）
对称轴x=a 2
0
对称轴
1
图（2）
图3
第2类:函数对称轴固定，动区间
例3 求y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值。 解: 对称轴 x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3
思考： 已知f(x）=x2-2x+3在[0，a]上最大值 3,最小值2，求a的范围。
y
3 2 o
1
2
x
练习 3 ：求f ( x) [ x (3 2a)] 12a 8a , x [a,)最小值
2 2
练习： 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上最大值
a 解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a] 2 a 1 1 故a>-1, 2 > - 2 ,∴对称轴在x= - 2 的右边. a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时 , 由二次函数图象 2 a a 可知: ymax =f ( )= 4 y 2 a a2 (2)当a< 时,即-1<a<0时, 4 2
3、由图（3）得：
对称轴x=a 2
0
1/2
1
ymax f (1) 4 2a ymin f ( a ) 3 a 2
4、由图（4）得： 当
1 a 1 2
对称轴
图（3）
对称轴x=-
a 2
人教版高中数学必修第一册-二次函数在给定区间上最值问题-专题强化训练【含答案】
二次函数在给定区间上最值问题二次函数的单调性与对称轴和开口方向有关，往往来讲，二次函数的开口方向一般是给定的，在此情况下，二次函数的单调性就和对称轴与闭区间的位置关系有关。
因而在求最值时，往往需要讨论对称轴和区间的位置关系，这类题目在后续学习中经常遇见。
例题精讲:一．选择题（共7小题）1．若函数2()5f x x mx =++在区间[1，5]上单调递增，则m 的取值范围为()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．[10-，)+∞D ．(-∞，10]-2．已知函数2247y x ax =++在区间[3-，1]-上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]B ．[6，)+∞C ．(-∞，2][6 ，)+∞D ．(-∞，1][3 ，)+∞3．若二次函数2()21f x ax ax =++在区间[2-，3]上的最大值为6，则(a =)A ．13B ．13-或5C ．13或5-D ．13-4．若函数2()43f x x x =--在区间[n ，]m 上的值域为[7-，2]，则m n -的取值范围是()A ．[1，5]B ．[2，7]C ．[3，6]D ．[4，7]5．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为()A ．0B ．12C ．1D ．26．已知函数2()2(2)1f x ax a x =--+，[1x ∈-，3]是单调函数，则a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[1-，0]C ．[1-，1]D ．[1-，2]7．函数2()2f x x x =--在[a ，]b 上的值域是[3-，1]，若1b =，则a b +的取值集合为()A ．[3-，1]-B ．[2-，0]C ．[4-，0]D ．[2-，1]二．解答题（共5小题）8．已知函数2()f x x ax=-（1）若在区间[1，)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．9．已知函数2()41f x x mx =-+，m R ∈．（1）若关于x 的不等式()0f x <解集为空集，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间[2-，)+∞上是单调增函数，求f （1）的最小值．10．山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略．济南新旧动能转换先行区肩负着山东新旧动能转换先行先试的重任，某制造企业落户济南先行区，该企业对市场进行了调查分析，每年固定成本1000万元，每生产产品x （百件），需另投入成本()R x 万元，且210300,060()10006103000,60x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩，由市场调研知，每件产品售价6万元，且全年内生产的产品当年能全部销售完．（1）求年利润()W x （万元）关于年产量x （百件）的函数解析式．（利润=销售额-成本）（2）年产量x 为多少（百件）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？11．已知函数2()3f x x ax =+-．（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()26f x ax - 对任意[1x ∈，3]恒成立，求实数a 的取值范围．12．已知函数2()1f x x ax =-+．（1）求()f x 在[0，1]上的最大值；（2）当1a =时，求()f x 在闭区间[t ，1]()t t R +∈上的最小值．参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】解：2()5f x x mx =++ 在区间[1，5]上单调递增，12m∴-，故2m - ．故选：A ．2．【解答】解：函数的对称轴是x a =-，若函数在区间[3-，1]-上是单调函数，则3a -- 或1a -- ，解得：3a 或1a ，故选：D ．3．【解答】解：显然0a ≠，有2()(1)1f x a x a =+-+，当0a >时，()f x 在[2-，3]上的最大值为f （3）151a =+，由1516a +=，解得13a =，符合题意；当0a <时，()f x 在[3-，2]上的最大值为(1)1f a -=-，由16a -=，解得5a =-，所以，a 的值为13或5-．故选：C ．4．【解答】解：2()43f x x x =-- ，f ∴（2）7=-，(1)f f -=（5）2=，()f x 在区间[n ，]m 上的值域为[7-，2]，∴当1n =-，2m =或2n =，5m =时m n -的最小值3，当1n =-，5m =时，m n -取得最大值6，故m n -的范围[3，6]故选：C ．5．【解答】解：因为2()2a f x x ax =-+的开口向上，对称轴2ax =，①122a 即1a 时，此时函数取得最大值g （a ）f =（1）12a=-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值g （a ）(0)2af ==，故g （a ）1,12,12aa a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，故当1a =时，g （a ）取得最小值12．故选：B ．6．【解答】解：当0a =时，函数()41f x x =+，为增函数，符合题意；当0a ≠时，函数2()2(2)1f x ax a x =--+的对称轴为2a x a-=，且函数在区间[1-，3]是单调函数，∴21a a -- ，或23a a- ，解得01a < 或10a -< ．综上，实数a 的取值范围是[1-，1]．故选：C ．7．【解答】解：22()2(1)1f x x x x =--=-++，1x ∴=-时，()f x 取到最大值1，方程223x x --=-的根是3x =-或1．若1b =，则31a -- ，a b ∴+的取值集合围是：[2-，0]．故选：B ．二．解答题（共5小题）8．【解答】解：（1）函数()f x 的对称轴是2a x =，若在区间[1，)+∞上是增函数，则12a，解得：2a ；（2）①12a即2a 时，()f x 在[1，2]递增，故()min f x f =（1）1a =-，②122a <<即24a <<时，()f x 在[1，)2a 递减，在(2a，2]递增，故2()()24mina a f x f ==-，③22a即4a 时，()f x 在[1，2]递减，故()min f x f =（2）42a =-．9．【解答】解：（1）()0f x < 解集为空集，∴判别式△2160m m =- ，解得016m ．（2）2()41f x x mx =-+，图象开口向上，对称轴8mx =，因为函数()f x 在区间[2-，)+∞上是单调增函数，所以28m- ，解得16m - ，f （1）4m =-是关于m 的减函数，所以当16m =-时，f （1）取最小值为20．10．【解答】解：（1）当060x <<时，22()600(10300)1000103001000W x x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，10001000()600(6103000)1000102000W x x x x x x=-+--=--．2103001000,060()1000102000,60x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+⎪⎩；（2）当060x <<时，22()10300100010(15)1250W x x x x =-+-=--+，当15x =时，()1250max W x =万元；当60x 时，()W x 单调递减，4150()(60)3max W x W ==．∴年产量x 为60（百件）时，企业所获利润最大，最大利润是41503万元．11．【解答】解：（1）由不等式()4f x >-的解集为R ，234x ax ∴+->-解集为R ，即210x ax ++>解集为R ，可得△0<，即240a -<，解得22a -<<，故a 的取值范围是(2,2)-．（2）由不等式()26f x ax - 对任意[1x ∈，3]恒成立，()26f x ax ∴- ，即2326x ax ax +-- 对任意[1x ∈，3]恒成立，即230x ax -+ 对任意[1x ∈，3]恒成立，3()min a x x ∴+ ，[1x ∈，3]；3x x += ；当且仅当3x x=，即x =a ∴故a 的取值范围是(-∞，．12．【解答】解：（1）2()1f x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =，所以在区间[0，1]的哪个端点离对称轴远，则在哪个端点处取得最大值，当122a 即1a 时，()f x 取得最大值f （1）2a =-，当122a >即1a >时，()f x 的最大值(0)1f =，（2）当1a =时，2()1f x x x =-+的对称轴12x =，当12t 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递增，所以2()()1min f x f t t t ==-+，当112t +即12t - 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递减，2()(1)1min f x f t t t =+=++，当112t t <<+即1122t -<<时，()f x 在1(,)2t 上单调递减，在1(2，1)t +上单调递增，故13()()24min f x f ==，令()()min g t f x =，则2211,2311(),42211,2t t t g t t t t t ⎧-+⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪++-⎪⎩．。
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【教学目标】学生掌握二次函数值域，二次函数在闭区间上的值域或最值求法，含参数二次函数闭区间上值域或最值求法以及与涉及“换元”的二次函数值域或最值求法；给定值域或最值求参数等题型。
【教学重点】含参数二次函数值域求法（包括表达式含参数和区间含参数）；
具有二次函数形式涉及换元的函数值域求法；
根据给定值域或最值求参数取值或取值范围.
【教学过程】
1. 二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)值域和最值
① a >0，有最小值y min =
4ac−b 24a ；值域为[4ac−b 24a ,+∞);若Δ<0，y >0恒成立 ② a <0，有最大值y max =4ac−b 24a ；值域为(−∞,4ac−b 24a
]. 若Δ<0，y <0恒成立 2. 二次函数闭区间上值域和最值
题型1：区间固定对称轴不固定
处理方法：根据对称轴与定义域的位置关系，利用二次函数单调性求最值。
例1.求二次函数6a )(2+-=x x x f ，x ∈[0，4]的值域，其中a 为参数。
[分析]根据对称轴位置进行分类讨论，通常分为区间左侧（-∞，0）、区间内[0,4]和区间右侧（4，+∞）；但是由于二次函数具有轴对称性，在区间的讨论可以分为两部分[0,2]和[2,4].
题型2：对称轴固定区间不固定
例 2.已知)(x f =,,342
R x x x ∈++用函))((R t t g ∈表示函数)(x f 在区间[]1,+t t 上的最小值，（1）求)(t g 的表达式；（2）求出)(t g 在[-3,3]上的最值
[分析]根据对称轴与区间的相对位置进行分类讨论，处理方法与例1基本一致
答案：（1）略（2）最小值-1，最大值24
3. 具有二次函数形式的复合函数值域（通常与指、对结合）
例3．求函数f (x )=22x −2x+2−4在[-2,4]上的值域。
[-8,188]
[分析]利用换元法，将函数变为二次函数，再在闭区间上求二次函数的值域
4.给定二次函数最值，求参数取值
例4.若函数y=3
4
x2−3x+4在区间[a,b]上的值域为[a,b]，求a,b的值。
[分析]根据对称轴的位置不同，由函数单调性确定值域列出方程组，再求出a,b的值。
答案：a=1,b=4
【随堂练习】
1.函数f(x)=−x2+2ax+1−a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值。
（-1或2）
2.如果函数f(x)=(x−1)2+1定义域为[t,t+1]，求f(x)的最小值g(t)，求并g(t)在[0,2]上
的最值。
答案：最小值1，最大值2
3.已知函数f(x)=2(log2x)2+2a log21
x +b,且当x=1
2
时有最小值-8
（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)>0的解集。
答案：（1）f(x)=2(log2x)2+4log2x−6（2）x∈(0,1
8
)∪(2,+∞)
4.若函数f(x)=x2+ax+5对于任意t都有f(t)=f(−4−t)，且在区间[m,0]上的有最大
值5，最小值1，求实数m的取值范围（）
A.（−∞,2]
B. [−2,0]
C. [−4,−2]
D. [−4,0]
答案：C
5.已知函数
2
()
2
x
f x x
=-+在区间[,]
m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。
答案：m=-8, n=0。