二次函数值域最值及相关练习(高一提高)

【教学目标】学生掌握二次函数值域，二次函数在闭区间上的值域或最值求法，含参数二次函数闭区间上值域或最值求法以及与涉及“换元”的二次函数值域或最值求法；给定值域或最值求参数等题型。

【教学重点】含参数二次函数值域求法（包括表达式含参数和区间含参数）；

具有二次函数形式涉及换元的函数值域求法；

根据给定值域或最值求参数取值或取值范围.

【教学过程】

1. 二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)值域和最值

① a >0，有最小值y min =

4ac−b 24a ；值域为[4ac−b 24a ,+∞);若Δ<0，y >0恒成立 ② a <0，有最大值y max =4ac−b 24a ；值域为(−∞,4ac−b 24a

]. 若Δ<0，y <0恒成立 2. 二次函数闭区间上值域和最值

题型1：区间固定对称轴不固定

处理方法：根据对称轴与定义域的位置关系，利用二次函数单调性求最值。

例1.求二次函数6a )(2+-=x x x f ，x ∈[0，4]的值域，其中a 为参数。

[分析]根据对称轴位置进行分类讨论，通常分为区间左侧（-∞，0）、区间内[0,4]和区间右侧（4，+∞）；但是由于二次函数具有轴对称性，在区间的讨论可以分为两部分[0,2]和[2,4].

题型2：对称轴固定区间不固定

例 2.已知)(x f =,,342

R x x x ∈++用函))((R t t g ∈表示函数)(x f 在区间[]1,+t t 上的最小值，（1）求)(t g 的表达式；（2）求出)(t g 在[-3,3]上的最值

[分析]根据对称轴与区间的相对位置进行分类讨论，处理方法与例1基本一致

答案：（1）略（2）最小值-1，最大值24

3. 具有二次函数形式的复合函数值域（通常与指、对结合）

例3．求函数f (x )=22x −2x+2−4在[-2,4]上的值域。 [-8,188]

[分析]利用换元法，将函数变为二次函数，再在闭区间上求二次函数的值域

4.给定二次函数最值，求参数取值

例4.若函数y=3

4

x2−3x+4在区间[a,b]上的值域为[a,b]，求a,b的值。

[分析]根据对称轴的位置不同，由函数单调性确定值域列出方程组，再求出a,b的值。

答案：a=1,b=4

【随堂练习】

1.函数f(x)=−x2+2ax+1−a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值。（-1或2）

2.如果函数f(x)=(x−1)2+1定义域为[t,t+1]，求f(x)的最小值g(t)，求并g(t)在[0,2]上

的最值。

答案：最小值1，最大值2

3.已知函数f(x)=2(log2x)2+2a log21

x +b,且当x=1

2

时有最小值-8

（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)>0的解集。

答案：（1）f(x)=2(log2x)2+4log2x−6（2）x∈(0,1

8

)∪(2,+∞)

4.若函数f(x)=x2+ax+5对于任意t都有f(t)=f(−4−t)，且在区间[m,0]上的有最大

值5，最小值1，求实数m的取值范围（）

A.（−∞,2]

B. [−2,0]

C. [−4,−2]

D. [−4,0]

答案：C

5.已知函数

2

()

2

x

f x x

=-+在区间[,]

m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

答案：m=-8, n=0