关于抛物线焦点的公式

北京四中

撰稿：安东明编审：安东明责编：辛文升

本周重点：圆锥曲线的定义及应用

本周难点：圆锥曲线的综合应用

本周内容：

一、圆锥曲线的定义

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：｛P| |PF i|+|PF2|=2a, （2a>|F i F2|）｝。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即｛P|||PF i|-|PF2||=2a, （2a<|F i F2|）｝。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆

锥曲线。当01时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

2 2 2 2

1. 椭圆：-、+ ：=1 （a>b>0）或L " =1 （a>b>0）（其中，a2=b2+c2）

r1 7 y

2. 双曲线： --：=1 （a>0, b>0 ）或- -匚=1 （a>0, b>0 ）（其中，c2=a2+b2）

3. 抛物线：y2=±2px（p>0 ），x2=±2py （p>0 ）

三、圆锥曲线的性质

2 3

* y

1.椭圆：- + ：•=1 ( a>b>0)

（1）范

围：|x| Sa |y|

（2）顶点：(±,0), (0, ±)

（3）焦

点：

(±,0)

c

（4）离心

率

:e= J € (0,1)

2

a

（5）准

线：

x=± -

才A

2.双曲线： 2 2-二=1 (a>0, b>0（1）范

围：|x| >a,€R

（2）顶点：(±,0)

（3）焦

点：

(±,0)

(4) 离心率：e=€ (1,+ %)

(5) 准线：x=± -

h

(6) 渐近线：y=± -<：x

3. 抛物线：y2=2px(p>0)

(1)范围:x>0, y€ R

(2)顶点：(0,0)

P

(3)焦点：(二,0)

(4)离心率：e=1

£

(5)准线：x=--

四、例题选讲:

例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是。

解：由题：2b=2 ,b=1,a=2 ,c=广=「，则椭圆中心到准线的距离：一=厂；二；

。

注意：椭圆本身的性质(如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等)不受椭圆的

位置的影响

例2.椭圆朋+ 4 =1的离心率e= ?，则m= ____________________ 。

3m-41解：(1)椭圆的焦点在x 轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2== "'' =- m=8。

J c

4 -

啊

1

(2)椭圆的焦点在y 轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2== r =J ' m=2。

注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。

例3.如图：椭圆L、+ ° =1 (a>b>0)，F l为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点,

PF i丄x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。

解：设椭圆的右焦点为F2,由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a

T PF1 丄x 轴，••• |PF1|2+|F1F2f=|PF2|2,

即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4C2,

〕见|4|PF]|・

P马卜|朋|=・—

••• L a |=|PF1|=m。

••• PO//AB，• A PFO S A BOA,

竺=凹百』厂仝近

•〜一打- 'c=b

又解，T PF1 丄x 轴，•设P(-C, y)。

1^1 £££ £由第二定义：'■■ =e 二＞|PF t|=e(x o+ 亡)=

肚(-C+ 亡)=山，由上解中A PFO S A BOA,得到b=c「d e= - 。

例4.已知F t，F2为椭圆-'」+ “〜=1的焦点，P为椭圆上一点，且/ F I PF2=，求AF1PF2的面积。

分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式,

注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S= ' absinC。

1 K

解法一 :S A=J |PF i| |PF2| si n

|PF i|+|PF2|=2a=20，

陌

4X36=4C2=|F I F2|2=|PF I|2+|PF2|2-2|PF I||PF J|C0S」，

即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4 36，

|PF1| |PF2|=-

1 血前也包•••S A亠3」d =」"'。

1. 丄

、一 A 勺

解法二：S A=|F1F2| |y P|= J 32 3y P=6|y P|，

由第二定

=e —|PF1|=a+ex p=10+ X P，

义:

由第一定义：|PF 2|=2a-|PF i |=10-」X P .

4c 2=|F i F 2|2=(10+ X P )2+(10-」X P )2-2(10+ X P )(10- X P )COS ,

4聖希

S A =6|y p |=6 x =

|PF i |，|PF 2|O

分析：先要根据题意画岀图形，然后根据已知量，将关于 |PF 1|, |PF 21的表达式写岀来，再求 解。

J J

例6.椭圆：】-+ •「=1内一点A ( 2 , 2), F 1, F 2为焦点，P 为椭圆上一点，求|PA|+|PF 1|

的最值

解：|PA|+|PF 1|=|PA|+2a-|PF 2|=10+|PA|-|PF 2| < |Aff+10=2

|PA|+|PF 1|=|PA|+10-|PF 2|=10-(|PF 2|-|PA|) >-1AF 2|=10-2 ' 注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边。

144=100+

27

44x25

'；=丁

16

,-=64(1-

: )=64 x1=,

注意：两个定义联合运用解决问题。 都试试。

从三角形面积公式均可得到结果。

初学时最好两种办法

F y 2

例5.椭圆：二+匚=1的焦点为

F i 和F 2,点P 在椭圆上，若线段PF i 的中点在y 轴上，求:

解：如图，J O 为F 1F 2中点，PF 1中点在y 轴上,

PF 2〃y 轴，••• PF 2丄X 轴,

由第一定义：|PF 1|+|PF 2|=2a=4「, |PF 1|2-|PF 2|2=|F 1F 2|2,

(|PF 1|-|PF 2|)(|PF 1|+|PF 2|)=4 X =36 ,

|P5；|-|^|=3^

+ 10,