中考数学动点专题复习教案
中考数学总复习课件(专题3：动点型问题)
MN 1 x2 S 16 2( 1 x2
8. 8)
1
x2
8.
2
2
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，
对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x
＜4．
故答案选C.
(三)面动问题 【例题 4】(2014·玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边 三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把 小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形 移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函 数图象是( )
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵ BP BQ , BP=5t，QC=4t，
BA BC
AB=10 cm，BC=8 cm，
∴ 5t 8 4t ,∴t=1.
10 8
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
BP BC
BQ , BA
∴
5t 8 4t , 8 10
∴
t 32 . 41
∴t=1或 t 32 时，△BPQ与△ABC类似.
41
(2)如图a，过点P作PM⊥BC于点M，AQ，CP相交于点N.
则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.
∴△ACQ∽△CMP.
∴ AC QC .
CM PM
∴ 6 4t , 解得 t 7 ,
题型一 建立动点问题的函数关系式(或函数图象)
【例题 1】(2014·黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边 长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走
中考数学动点问题复习
中考数学复习（一）动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的A．．．．A．BA．B．C．D．对应训练2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．（二）线动问题例3如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．．C．．．．A．B．C．D．考点三：动点综合题动态问题是近几年来中考数学的热点题型，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.（一）因动点产生的等腰三角形问题例1如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB 上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED 、EC 的长； （2）若BP ＝2，求CQ 的长；（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．图1备用图例2如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（（P 例4（1（O —C —A R ，交线段BA 达点t 秒．例5DE ，作（（（例6B ＝60°．（（PN ，设EP ＝x ．理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．图1图2图3因动点产生的直角三角形问题 例1如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m ,0)，过点P 作x 轴的垂线l交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4,0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．例3（（（例4（和_______是点C （上一点，设过B 、P例5和点A ，点B (2,n )（（到点D ，使得ED ＝O 作匀个单位（当点Q AB 交于点F ，以M 、N 也随例6B 为中心（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1例7如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1例8如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．4.5．B 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发，分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t （秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连接CD 、QC ． （1）求当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）设△QCD 的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值； （3）若⊙P 与线段QC 只有一个交点，请直接写出t 的取值范围．2＝60°，A运动，两点同时出发，速度都为每秒⑴将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t≥0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积(图中阴影部份)为S，S关于t 的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4。
中考数学复习考点知识专题讲解---动点型问题归类解析
中考数学复习考点知识专题讲解动点型问题归类解析点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题．它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题．这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力．一、点动问题例1 如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，DE上AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12动点P从点A出发，沿折线AD－DC－CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止，设运动时间为t秒，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是( )思路分析分三段考虑：①点P在AD上运动；②点P在DC上运动；③点P在BC上运动．分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．解在Rt△ADE中，综上可得，选项A的图象符合，故选A．点评解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，在具体解题中，可直接判断是一次函数还是二次函数，不需要求出解析式．二、线动问题例2 如图2所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l 垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是( )分析与解分三段考虑：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；综合选项可得，选A．点评解答类似问题，有时候只要我们能判断面积增大的快慢速度就能选出答案．三、面动问题例3 如图3所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为( )分析与解根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段：①小正方形向右未完全穿入大正方形，S＝2×2－V t×1＝4－Vt；②小正方形穿人大正方形，但未穿出大正方形，S＝2×2－1×1＝3；③小正方形穿出大正方形，S＝Vt×1．分析选项可得，选A．四、双动点问题双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系．例4 如图4，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B(10，0)，C(7，4)．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB＝2．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q 从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P 作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒(t>0)，△MPQ的面积为S．(1)点A的坐标为_______，直线l的解析式为_______；(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；(3)试求(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；(4)随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．思路分析 (1)利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB＝2，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D 的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；(2)解答本小题，需要弄清动点在各阶段运动过程中的状态．(3)本小题考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据(2)中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论．过点C作CF⊥x轴于点F，则CF＝4，BF＝3，由勾股定理得BC ＝5．过点Q作QE⊥x轴于点E，②当1<t≤2时，如图6所示．过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ＝5t－5， PE＝AF－AP－EF＝11－2t－（5t－5）＝16－7t，③当点M与点Q相遇时，DM＋CQ＝CD＝1，即（2t－4）＋（5t－5）＝7，．解得t＝167时，如图7所示．当2<t<167．∵a＝－5<0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线t＝75∵当0<t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t＝1时，S有最大值，最大值为9；②当1<t≤2时，②如图9所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t＝125．故当t＝209，或t＝125时，△QMN为等腰三角形．点评本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题的关键仍然是要对动点运动过程有清晰的理解．。
深圳市中考数学总复习课件(专题：动点型问题)
欢迎大家参加深圳市数学中考课件。本节课我们将会介绍动点型问题。
动点型问题的概念和特点
动点型问题是指在平面直角坐标系中，一个或多个点按照某种规律运动的问 题。
动点型问题解题比较灵活，需要善于归纳、抽象；其运动轨迹可以是任意形 状，要具有很强的想象力。
• 定义 • 特点
特点 挺难的 不知道
思路 没办法 睡睡觉
• 小学奥数技巧 • 中学数学技巧
动点型问题的常见错误和注意事项
将匀速运动问题中的t1,t2当作时间 速度，加速度方向与坐标轴方向混淆 在速度问题中，速度的概念与大小混淆 转换坐标系前需先画出原坐标系与目标坐标系 图形不准确定时，应适当加上坐标轴刻度
• 常见错误 • 注意事项
解答学生疑惑和回答问题
点P(3,-7)在坐标轴上运动， 每秒在X轴正方向上移动2个 单位。求点P在2秒后的坐标。
例3
已知一个线段BAC，B在坐标 轴上，A、C分别在两条直线 y=x和y=2x上，且AC=2AB， 点P在线段BAC上运动，且 AP=2CP，求点P轨迹方程。
动点型问题解题技巧
抽象问题，分类讨论，利用对称性，化简计算。 建立坐标系，列方程求解，向量代数解法，参数方程解法。
动点型问题的解题思路
具体分析
建立模型
通过观察，找出运动物体的规律， 具体化问题。
建立运动物体的数据模型，建立 坐标系，列出问题方程。
解方程
通过解方程，求解得到问题的答 案。
动点型问题实例分析
例
速度为3m/s的小车沿一条直 线公路行驶，经过10s时，发 现离起点60m，请求出它距 终点的距离。
例2
1 1.如何定义坐标系？
数学中考专题复习《动点问题》教案
中考专题复习——动点问题【学情分析】动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。
动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论【教学目标】知识与技能：1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题；2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。
过程与方法：1、利用分类讨论的方法分析并解决问题；2、数形结合、方程思想的运用。
情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】根据动点中的移动距离，找出等量列方程。
【教学难点】1、两点同时运动时的距离变化；2、运动题型中的分类讨论【教学方法】教师引导、自主思考【教学过程】一、动点问题的近况：1、动态几何图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。
所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。
2、动点问题所用的数学思想：解决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法等。
中考数学专题复习之几何图形动点问题
12，∴AB＝ 12 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3，即PD＋ PE的最小值为2 3 .
专题二 几何图形动点问题
类型3 同侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值 最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B， P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延 长，与直线l的交点即为点P.
2 AN
－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴
例4题图
当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，
∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
专题二 几何图形动点问题
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N， 使得△PMN周长最小． 【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之 间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
专题二 几何图形动点问题
例5 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分 ∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
213.∴PM－PO的最大值为
13
2.
例3题解图
专题二 几何图形动点问题
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
专题二 几何图形动点问题
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的
初中数学_中考专题——动点问题教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学准备学案、课件板书设计2.4拓展综合类—动点问题（1）学生展示1.2.3 1.表示线段的方法：书写必要的步骤勾股定理、相似、三角函数。
2.解决问题的方法：数形结合定相似，比例线段构方程3.数学思想：分类讨论，数形结合、建模思想。
教学过程教学环节及内容教师活动学生活动一、【课前热身】1.如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为t（s）(0<t≤4),解答下列问题：(1)当t= 何值时，PQ∥CB？(2)当t= 为何值时，PQ⊥CB？(3)当t= 何值时，△APQ为直角三角形？思考：当t为何值时，△APQ为等腰三角形？方法小结：1. .2. .设计意图：将24题的考点进行分层，这3个题目很简单，通过课后合学，都能解决。
这样既可以增强学生的信心，消除恐惧感，也可以让学生体会到参与的快乐。
教学策略：学生课前已经完成，教师上课时引导学生展示解决这3个题目的方法.【基础探究】例1. 接上题.（4）当t为何值时，△APQ为等腰三角形.方法小结： .变式：连接PC将△PQC沿着AC翻折得到△P’QC,问当t= 何值时，若四边形PQP’C是菱形.设计意图：1.落实步骤的规范性，注意方法多样化和最优化，关注不同的思维方式.2.从图形的角度引导学生要时刻关注动态过程中的静态图形，从而降低题目难度，突出重点，突破难点，真正的理解数形结合的含义。
出示动点问题的考题分析，让学生了解此题的分值，内容等，然后结合课后的合学成果，选择学生进行讲述。
并给予学生恰当的评价。
引导学生归纳解题步骤及方法。
引导学生分析题意：并提出三个问题：1.当△APQ为等腰三角形时，有几种情况？2.画出这一时刻的静态图形？3.结合图形，找出等量关系解决学生结合课后的合学，小组推荐人员讲解，并板书必要的解题过程。
中考数学动点问题专题讲解
动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2HM NGPOAB图1x y(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
初中数学中考复习：动点问题
∴(m＋3)2－4×9＝0，解得m＝3或m＝－9，
又抛物线对称轴大于0，即m＋3＞0，∴m＝3
12
考向一：动点问题——单动点问题
【练】如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y＝x＋3与 抛物线交于A，B两点，与x，y轴交于D，E两点．
(2)抛物线上一点P横坐标为a(－3＜a＜1)，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a值．
15
解析：
【解析】首先根据正方形的边长与动点P，Q的速度可知动点Q始终在AB边上，
而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：
①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；
分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
【答案】C
16
考向二：动点问题——双动点问题
25
解析：
【解析】有．依题意，得四边形PCFE是平行四边形．设BP＝x，则PC＝2－x，
平行四边形PEFC的面积为S，如图，过P点PH⊥EF作于点H，
∵四边形PCFE是平行四边形，∴EF∥BC.∴∠E＝∠BPE.
∠E.
又∵线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠BPE＝∠BAP.∴∠BAP＝
(2)P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此 时的t值；若不存在，请说明理由．
19
解析： 20
考向二：动点问题——双动点问题
【练】如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交 于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——动点问题课件
∴
=
4
Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，
25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题 在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，
4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，
∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2） 如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动 态 几 何 研 究 重 要 性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技 巧 ，
挑战自我
展
2023年九年级中考数学复习++几何图形动点与函数图像综合讲义
几何图形动点与函数图像综合考向一判断函数图像（1）面积问题：①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等（2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等1.如图，在Rt △ABC中，△C=900，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→ CB→ BA运动，最终回到A点。
设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（）2.如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE=AF=BG=CH。
设线段DE的长为x cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）3.如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D4.如图，在菱形ABCD中，△B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x 秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A B C D5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，△EDF＝90°，△F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）6.如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△A＝45°，△C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．7.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）9.如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是（）10.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（）11.如图，AD、BC是△O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设△APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是（）12.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成。
初中数学_中考专题——动点问题教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学准备学案、课件板书设计2.4拓展综合类—动点问题（1）学生展示1.2.3 1.表示线段的方法：书写必要的步骤勾股定理、相似、三角函数。
2.解决问题的方法：数形结合定相似，比例线段构方程3.数学思想：分类讨论，数形结合、建模思想。
教学过程教学环节及内容教师活动学生活动一、【课前热身】1.如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为t（s）(0<t≤4),解答下列问题：(1)当t= 何值时，PQ∥CB？(2)当t= 为何值时，PQ⊥CB？(3)当t= 何值时，△APQ为直角三角形？思考：当t为何值时，△APQ为等腰三角形？方法小结：1. .2. .设计意图：将24题的考点进行分层，这3个题目很简单，通过课后合学，都能解决。
这样既可以增强学生的信心，消除恐惧感，也可以让学生体会到参与的快乐。
教学策略：学生课前已经完成，教师上课时引导学生展示解决这3个题目的方法.【基础探究】例1. 接上题.（4）当t为何值时，△APQ为等腰三角形.方法小结： .变式：连接PC将△PQC沿着AC翻折得到△P’QC,问当t= 何值时，若四边形PQP’C是菱形.设计意图：1.落实步骤的规范性，注意方法多样化和最优化，关注不同的思维方式.2.从图形的角度引导学生要时刻关注动态过程中的静态图形，从而降低题目难度，突出重点，突破难点，真正的理解数形结合的含义。
出示动点问题的考题分析，让学生了解此题的分值，内容等，然后结合课后的合学成果，选择学生进行讲述。
并给予学生恰当的评价。
引导学生归纳解题步骤及方法。
引导学生分析题意：并提出三个问题：1.当△APQ为等腰三角形时，有几种情况？2.画出这一时刻的静态图形？3.结合图形，找出等量关系解决学生结合课后的合学，小组推荐人员讲解，并板书必要的解题过程。
2006年中考数学复习动点问题教案华师大版
课题：动点问题【教学目标】1、知识目标：能够对点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置关系等进行观察研究。
2、能力目标：进一步发展学生探究性学习能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。
3、德育目标：培养学生不畏困难，勇于探索的精神。
4、情感目标：培养浓厚的学习兴趣，养成与他人合作交流的习惯。
【重点难点】1、教学重点：化“动”为“静”2、教学难点：运动变化过程中的数量关系、图形位置关系【教学方法】实践操作、引导探究【教学用具】多媒体【教学过程】图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。
它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
本节课来研究动态几何中的另外一种类型——动点问题。
动点问题主要研究点在直线图形上运动、点在圆上运动两种情况。
点在直线图形上运动问题1：如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。
设运动时间为x秒。
⑴当点P运动3秒时，点P到达什么位置？⑵当x= 时，点P到点A的距离为5cm；⑶连结AP、DP，设△APD的面积为S，求S与x的函数关系式；⑷如图，另有一动点Q，以1cm/秒的速度从点D出发，沿正方形的边经D-C-B到达点B，点P、Q分别从点A、D同时出发。
①当x= 时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为7cm；②连结AP、PQ、QA，设△PAQ的面积为W，试求在点P、Q相遇前，W与x之间的关系式。
思路点拨：点在直线图形上运动，随着时间的变化，点的位置也会发生改变，与之相关的图形也在发生改变，所以解题时要分类讨论。
根据点的运动情况，正确画出图形，思考时多画几张草图。
在解第⑷小题时，有两个点在同时运动，而且运动的速度不同，要注意数形结合。
初中数学九年级《中考复习—动点问题举例》优秀教学设计
《中考复习—动点问题举例》教学设计【学情分析】 动态几何问题因具有涉及的知识层面深而广、蕴含着许多数学思想，能很好地考查学生运用知识分析、解决问题的能力和考查创新探究能力，而且越来越多出现在各地中考数学试题中。
面对动态问题，学生普遍感到困难。
学生虽已学完了初中数学的所有知识，但解决综合题特别是解答有关动态问题综合题的能力较弱。
本课旨在通过动点问题举例，设置由易到难题型，让学生在分析、发现、形成、发展的过程中对动态思维的培养，提高解答动态问题的能力。
【教学目标】知识与技能：1、进一步了解动态几何的特点、类型，问题中的“变”与“不变”及特殊到一般的辩证思想；2、通过动点问题的题型训练逐渐了解和掌握动点问题的解题策略和方法，提升解决动态几何问题的动态思维能力和解题能力。
过程与方法：1、借助多媒体的动态演示，在直观运动中发现变化规律；2、以三角形为背景的动点问题展开静态问题（相似三角形、等腰三角形、面积最值等）的存在性问题的研究，结合分类思想、方程思想、转化化归思想、函数思想等数学思想，探究图形动与静的变化规律，巩固静态问题的知识，提高了解决综合题的能力。
情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】根据动点中的移动距离，结合静态时图形的特点寻找出等量关系，列出方程，存在性问题存在性的确定。
【教学难点】1、两点同时运动时的距离变化，以及如何抓住它运动中的某一瞬间图形的特点，寻找确定的关系式；2、动点问题存在性题型存在性的确定，运动题型中的分类讨论和方程思想的运用。
【教学方法】讲授法、讨论法、研究法等。
【教学过程】一、导入1、思考题（1） 如图，直线121+-=x y 分别交y 轴、x 轴于A`、B 两点. （1）点P 为直线121+-=x y 上的定点，点P 的横坐标 为1，求△POB 的面积;（2）若P 点为动点，并设P 点的坐标为（x ，y ）,△POB 的面积为S ，写出S 与x 的函数关系式.（1）思考题设置由定点到动点（单个点运动）△POB 面积的变化比较，领悟“动”与“静”的关系及特殊到一般的关系）；（2）这道题学生基本都会做，但要注意学生在解决第二小题时漏了另一种情况，要阐明用分类思想列出函数关系式。
数学中考二轮专题复习-动点问题探究PPT课件
(2)设△ APQ的面积为y( cm2)，求y与t之间的函数 关系。
A
图形面积可以
D
Q
P
直接求，也可
以间接求
B
C
(3)是否存在某一时刻t，使△ APQ的面积与
△ ABC的面积比为7︰15？若存在，求出相
应的t的值；不存在说明理由。
SABC
1 86 2
24
A
y 7
S ABC
15
D
Q
P
4 t 2 4t 7 24
∵点D在线段PQ的中垂线上 ∴DQ=DP
DQ2 DP2
t 2 42 (3 2t)2
∟ G 3t 2 12t 25 0
(12)2 43 25 156 0
∴方程无解 ∴无论t为何值，点D都不可能 在线段QP的中垂线上。
∟G
G ∟
GP AG AP GP AP GP
3 2t
2t 3
(2)设△ APQ的面积为y( cm2)，求y与t之间的函数
关系。
A
A
F
D
P
D
P
Q
∟
Q
E
B
CB
C
解决动点问题的好助手：类似
在RtABC中，C 90
SinA 8 10
AQE 8DFra bibliotekPAQ 10
Q
B
∟
E
QE 8
C
5 t 10
解决动点问题的好 助手：三角函数
QE 4 4 t 5
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm， 点P 由点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s， 点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s， 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3)
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中考数学动点专题复习教案
1、如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，将正方形OABC 绕
点O 顺时针旋转30°，使点A 落在抛物线2
ax y =（0<a ）图像上。
（1）求
抛物线方程。
（2）正方形OABC 继续顺时针旋转多少度时，点A 再次落在抛
物线2
ax y =的图像上？并求这个点的坐标。
解：（1）设旋转后点A 落在抛物线上点A 1处，OA 1=1，过A 1作A 1M ⊥x 轴
于M ，则OM=23
，
21
1=
M A ，)21,23(1-A ，由A 1在
2
ax y =上得
2)23(21a =-
，解得
32
-
=a ∴
2
32x y -
=
（2）由抛物线关于y 轴对称，再次旋转后A 落在抛物线上的点A 2处，点A 2与
点A 1关于y 轴对称，易见继续旋转120°，点A 2的坐标为
)21,23(--
2、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，对角线AC 上有一个动点P （不包括A 和C ），设AP=x ，四边形PBCD 的面积为y ，
（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围。
（2）有人提出一个判断“关于动点P ，△PBC 面积与
△PAD 面积之和为常。
” 请说明此判断是否正确，并说明理由。
（3）将题目中的矩形改为平行四边形，且已知平行四边形的面积为S ，对角线上一动点P ，是否有“△PBC 面积与△PAD 面积之和为常”，并说明理由。
解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，在Rt △ABC 中，AC=10，PC=AC-AP=10-x ，
∵PE ⊥BC，AB ⊥BC ,∴△PEC ∽△ABC ，则AC PC AB PE =,即
10108x
PE -=，PE=8-x 54
，∴△PBC 面积=x BC PE 5122421-=•，又△PCD 面积=△PBC 面积，∴y=
x
524
48-
（0<x<10）
S
（2）这个判断是正确的，S
△PBC +S
△PAD
=24；（3）有，S
△PBC
+S
△PAD
=2
3、如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A(3,0),B(0,3
)
两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD⊥x 轴于点D 。
(1) 写直线AB 的解析式； (2) 若S 梯形OBCD ＝
3
3
4，求点C 的坐标；
(3) 在第一象限内是否存在点P ，使得以P ，O ，B 为顶点
的三角形与△OBA 相似。
若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在；请说明理由。
解：（1）直线AB 解析式为：y=
3
3-
x+
3
（2）∵
233OB OA 21S AOB
=⨯=∆,OBCD S 梯形＝33
4，∴
6
3
S ACD =∆
由OA=
3
OB ，得∠BAO＝30°，AD=
3
CD 。
∴ACD S ∆＝21
CD×AD＝
2
CD 2
3＝
6
3
，可得CD ＝3
3。
∴AD=1，OD ＝2．∴C（2，
3
3）。
（3）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3
OB=3，
∴1P （3，
3
3）。
② 若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=3
3OB=1，
∴2P （1，3）。
当∠OPB＝Rt∠时，
③ 过点P 作OP⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA， ∠BOP＝∠BAO＝30°。
过点P 作PM⊥OA 于点M 。
在Rt△PBO 中，BP ＝2
1OB ＝
2
3，OP ＝
3
BP ＝2
3。
∵ 在Rt△P MO 中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝2
1OP ＝4
3；PM ＝
3OM ＝4
3
3．∴3P （
4
3，4
33）．
④ 若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°。
∴PM＝
3
3
OM ＝
4
3。
∴4P （4
3，
4
3）（由对称性也可得到点4P 的坐标）。
当∠OPB＝Rt∠时，点P 在x 轴上，不符合要求。
综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3,3
3
）,2P （1,
3
）,3
P （
4
3,4
33）,4P （4
3,
4
3）。
4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，CD=12，DA=21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动。
点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t （秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是 等腰三角形？
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO=OB 时， 求∠BQP 的正切值；
（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的 值；若不存在，请说明理由。
解：（1）首先0≤t ≤16，如图，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ， 则四边形PDCM 为矩形，PM=DC=12。
∵QB=16-t ， ∴S=12×（16-t ）÷2=96-t ，0≤t ≤16。
（2）设△BPQ 是等腰三角形，分三种情况：①PQ=BQ ，
在Rt △PMQ 中，PQ 2=t 2+122=BQ 2=（16-t ）2，解得t=3.5；②BP=BQ ，在Rt △PMB 中，BP 2=（16-2t ）2+122=BQ 2=（16-t ）2，即3t 2-32t+144=0，无解。
③PB=PQ ，由PB 2=PQ 2，得t 2+122=(16-2t)2+122，整理得3t 2-64t+256=0,解得
16,31621==
t t （不合题意，舍去）。
综上可知，答案为t=3.5或316秒。
（3）如图，由△OAP ∽△OBQ ，得
21
==OB AO BQ AP .
∵AP=2t-21,BQ=16-t, ∴2(2t-21)=16-t,
558=
t ,
过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E 。
∵PD=2t ，ED=QC=t ， ∴PE=t 。
在Rt △PEQ 中,
(4)设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ，如图，过点Q 作QE ⊥AD ，
垂足为E ，易见Rt △BDC ∽Rt △QPE, QE PE
BC
DC =
,即 121612t
=
，解得t=9。
所以当t=9秒时，PQ ⊥BD 。
5、如图，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中， ∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°， DF=EF=4。
（1）移动△DEF ，使边DE 与AB 重合（如图1），再将△DEF 沿AB 所在的直线向左平移，使点F 落在AC 上（如图2），求BE 的长。
（2）将图2中的△DEF 绕点A 顺时针旋转，使点F 落在BC 上，连接AF （如图3），请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由（不再添加辅助线和标注其它字母）
解：（1）∵EF ∥BC ∴∠FEA=∠B=90°，∠CAB=∠FAE 。
∴△AEF ∽△ABC ，
BC EF
AB AE =。
∵AB=4，BC=6，DE=EF=4，∴644
=
AE ，AE=38，∴BE=AB-AE=4-38=34
（2）Rt △AEF ≌Rt △FBA ，在Rt △AEF 和Rt △FBA 中，EF=BA ，AF=FA ，∠B=∠E=90°
∴Rt △AEF ≌Rt △FBA。