现代设计方法(第三章 有限元法)

1.在有限元法中，将求解对象看成由许多小的、彼此相连的杆和梁、一定形状的板和壳所组成。在使用有限元法进行分析时，该结构可近似地看成由若干能过节点彼此相连的单元所组成。根据已知的原始数据，按照有限元法规定的运算步骤，首先可求出各节点位移的数值解，进而可求出整个结构各点的响应。

2.有限元法的基本思路：化整为零，集零为整，把复杂结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体。

3.平衡或稳态问题、特征值问题、瞬态问题；

4.平衡问题：若是固体力学问题或结构力学问题，刚需求出稳态时位移和应力的分布；若是热传导问题，则要找出温度或热流量的分布；若是液体力学问题，则要得到压力和速度的分布规律；

特征值问题：所获得的解呈周期性变化，它可看成是平衡问题的延伸。这需求出某些参数的临界值及相应的稳态形态。在这类问题中，如果研究固体力学或结构力学问题，需求出结构的自然频率以及相应的振型；若是液体力学问题，则是研究层流的稳定特性；对电路问题，是分析其共振特性；

瞬态问题与时间相关。在固体力学问题中，研究在随时间变化的力作用下，物体的响应；在研究热传导问题时，则要找出物体突然受热或冷却时热场的分布等。

5.工程技术人员的任务是：首先，将复杂的工程实际问题简化，分清属哪一类问题，然后，选择合理的、可供使用的计算机程序；下一步，根据程序的说明和要求，准备好并向计算机输入全部所需的数据和信息，最后，一定要检查计算结果的合理性，看所作的简化及所选的程序是否合理。

6.k ij都称为单元刚度系数。它表示该单元内节点j处产生单位位移时，在节点i处所引起的载荷fi。

7.K ij：在整个结构中除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时，在节点i处所引起的载荷F i.

8.有限元法求解问题最重要的几个步骤：

1）对整个结构进行简化。将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连。

2）求出各单元的刚度矩阵；

3）集成总体刚度矩阵并写出总体平衡方程；

4）引入支承条件，求出每个节点的位移。

5）求出各单元内的应力和应变。

1.平面刚架问题要比前一节的问题复杂些，主要表现在以下两个方面：

1）节点位移不再只是轴向位移。对于一根平面杆件的两个端点，除轴向位移外，还有垂直于轴向的横向位移和角位移。选定杆的端点为节点，每个节点的位移分量由一个增加到三个。

2）刚架由许多杆件组成，各杆件的取向不同。将每个杆件看成是一个单元，各单元的轴线方向不再相同。

2.总体刚度矩阵集成步骤：

1.对一个有n个节点的结构，将总体刚度矩阵【K】划分成nXn个子区间，然后按节点总码的顺序进行编号。

2.将整体坐标系中单元刚度矩阵的各子矩阵，根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的子区间内。

3.同一子区间内的子矩阵相加，成为总体刚度矩阵中相应的子矩阵。

3.没有任何约束的结构是一个悬空结构，可以在空间做刚体运动。

4.刚架结构的节点，从支承条件的角度可分成两类：一些是在支承处，另一些是在无支承处。

5.计算机上：在支承处对某处一位移分量的约束可以有两种情况：一种是该位移分量的值为零，另一种是它等于一个已知的非零值。

支承情况：节点n的水平位移Un=0，在总体刚度矩阵中，与位移Un对应的行码和列码均是3n-2。需对原矩阵作如下修改：

1.在矩阵的第3n-2行与列中，将主对角线元素改为1，其余元素改为零。

2.将等式右边力矢量中的第3n-2个元素改为零。

支承情况2：节点的水平位移Un为给定的非零值。

1.主对角线刚度系数K3n-2,3n-2乘以一个大数A。

2. 将等式右边矢量{F}中的第3n-2个元素改为AK3n-2,3n-2U n*；其余各项保持不变。

3.将式中的第3n-2个方程展开后，除包含大数的两项个，其余各项相对比较小，可以忽略不计。因此，所反映的是给定的支承条件Un=Un*。

6.说明在进行有限元分析时，对刚架单元的非节点载荷的处理原理和计算方法。

载荷移置原理：处理非节点载荷一般可以在整体坐标系进行，其过程包括：将杆单元各自看成是一根两端都固定的梁，各自求出两个固定端的约束反力，然后，将各固定端的约束反力变号，按节点进行集成，获得各节点的等效载荷。

固定端反力和反力矩的计算直接利用材料办学的公式计算。

1.平板问题时存在着两个刚度矩阵：一个是反映平板在其平面内载荷与位移关系的刚度矩阵。另一个是薄板弯曲的刚度矩阵。

2.节点位置的选择：若结构在几何形状、材料性质和外部条件无突变时，该结构应等分成几个单元，节点呈等距分布。若存在不连续性，节点应选在这些突变处。简述有限元分析结果的后处理

后处理所显示的结果主要有两类：意识结构的变形，另一

类是应力和应变在结构中分布的情况。一般用结构的三维

线框图，采用与结构不同的比例尺，放大地显示其变形的

情况，在受动载荷时，也可用动画显示其振动的形态。结

构中应力、应变或唯一的分布用云图或等值线图来显示。

·有限元分析中，为什么要引入支撑条件？

总体刚度矩阵[K],它是节点力矢量[F]与节点位移矢量[Φ]

之间的转移矩阵[K][Φ]=[F]结构的总体刚度矩阵是一个

奇异矩阵，她的逆矩阵不存在，因而从式中无法求得各节

点的位移矢量。因为，没有任何约束的结构运算是一个悬

空结构，可以在空间坐刚体运动。这是，即使各节点力量

是已知的，各节点位移矢量也不存在唯一确定的解。所以，

还必须引入支撑条件。

·在有限元分析中，为什么要采用半带存储？

1）单元尺寸越小，单元数越多，分析计算净度越高。单元

数越多，总刚度矩阵的阶数越高，所需计算机的内存量和

计算量越大2）总刚度矩阵具有对称性、稀疏性以及非零元

素带型分布规律 3)只储存对焦线元素以及上（或下）三角

矩阵中宽为NB的斜带形区内的元素，可以大大减小所需内

存量。

·简述有限元分析过程中，求总体刚度矩阵的两种主要方

法和特点

1）直接根据总体刚度矩阵系数的电议分别求出它们，从而

写出总体刚度矩阵，概念清晰，但是在分析复杂结构式运

算极其复杂。 2）分别求出各单元的刚度矩阵，然后根

据叠加原理，利用集成的方法，求出总体刚度矩阵。从单

元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求法统一，简单明了，但

总体刚度需要集成

·有限元分析过程中，如何决定单元数量？

单元数量取决于要求的精度、单元的尺寸、以及自由度的

数量，虽然，单元的数量越多精密度越高，但是也存在一

个界限，超过这个值，精度的提高就不明显。单元数量大，

自自由度数也越大，计算机内存量有时会不够

·在现有的有限元分析程序中，其前处理程序一般包含哪

些主要功能？

1）单元的自动分割生成网格 2）单元和节点的自动优化

编码实现带宽最小。3）各节点坐标值确定 4）可以使用图

形系统显示单元分割情况

·简述平面应力和平面应变的区别

1）应力状态不用：平面应力问题中平板的厚度与长度、高

度相比尺寸小很多，所受的载荷都在平面内并沿厚度方向

均匀分布，可以认为沿厚度方向的应力为零平面应力问

题中由于Z项尺寸大，该方向上的变形是被约束住的，沿Z

项应变为零 2）弹性矩阵不同：将平面应力问题弹性矩

阵中的E换成、把Πμ换成μ/(1-μ)，就成为平面应

变问题的弹性矩阵。

在有限元分析中，对结构划分的单元数是否越多越好？为

什么？

答：不是。单元的数量取决于要求的精度、单元的尺寸和

自由度数。

虽然一般单元的数量越多精度越高，但也有一个界限，超

过这个值，精度的提高就不明显。

简述有限元法的前处理主要包括哪些内容？

（1）单元的自动分割生成网格(2)节点的自动优化编码(3)

使用图形系统显示单元分割情况(4)带宽优化(5)节点坐标

的确定(6)检查单元分割的合理性(7)局部网格的自适应加

密(8)有限元模型的尺寸优化

在有限元分析时,什么情况下适合选择一维、二维和三维单

元?

答：（1）当几何形状、材料性质及其它参数能用一个坐标

描述时，选用一维单元；（2）当几何形状、材料性质及

其它参数需要用两个相互独立的坐标描述，选用二维单元；

（3）当几何形状、材料性质及其它参数需要用三个相互独

立的坐标描述，选用三维单元。

单元刚度矩阵所具有的共同特性是什么？

解释产生这些特性的力学上的原因。单元刚度矩阵和总体

刚度矩阵所具有的共同特性：对称性和奇异性

具有对称性是因为材料力学中的位移互等定理：对于一个

构件，作用在点j的力引起i点的挠度等于同样大小的力

作用在i点而引起j点的挠度。

具有奇异性是因为单元或结构在没有约束之前，除本身产

生弹性变形外，还可以做任意的刚体位移。

在有限元分析时，何谓对称结构？一般如何处理？

1）当结构的几何形状、尺寸、载荷和约束条件对称于某一

平面（对平面问题对称于某一直线），其结构内部的应力及

位移也对称于该平面（线），这类结构称为对称结构。2）

对于对称结构一般按如下方法处理：

当对称结构只有一个对称平面（线）时，只研究它的一半。

若对称结构有两个相互垂直的对称平面（线）时，则只研

究它的四分之一。

试述总体刚度矩阵的建立方法

求总体刚度矩阵的两种主要方法：直接根据总体刚度系数

的定义分别求出它们，从而写出总体刚度矩阵，概念清晰，

但是在分析复杂结构时运算极其复杂。分别先求出各单

元的刚度矩阵，然后根据叠加原理，利用集成的方法，求

出总体刚度矩阵，从单元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求

法统一，简单明了，但总体刚度矩阵需要集成。

有限元分析过程中，当划分单元时如何决定单元尺寸？

单元尺寸的概念包括两个方面：一方面是单元本身的大小，

另一方面指一单元内自身几个尺寸之间的比率。单元本身

尺寸小，所得到的精度高，但是所需的计算量大。为减少

计算量，有时对一个结构要用不同的尺寸的单元离散。一个

单元中最大与最小的尺寸要尽量接近。例如，对于三角形单

元，其三条边长应尽量接近；对于矩形单元，长度和宽度不

宜相差太大。

简述可靠性设计传统设计方法的区别。

答：传统设计是将设计变量视为确定性单值变量，并通过确

定性函数进行运算。

而可靠性设计则将设计变量视为随机变量，并运用随机方法

对设计变量进行描述和运算。

1.可靠性：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定

功能的能力。

可靠度：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功

能的概率。是对产品可靠性的概率度量。

可靠度是对产品可靠性的概率度量。

2）可靠性工程领域主要包括以下三方面的内容：

1.可靠性设计。它包括了设计方案的分析、对比与评价，必

要时也包括可靠性试验、生产制造中的质量控制设计及使用

维修规程的设计等。

2.可靠性分析。它主要是指失效分析，也包括必要的可靠性

试验和故障分析。这方面的工作为可靠性设计提供依据，也

为重大事故提供科学的责任分析报告。

3.可靠性数学。这是数理统计方法在开展可靠性工作中发展

起来的一个数学分支。

。可靠性设计具有以下特点：

1.传统设计方法是将安全系数作为衡量安全与否的指标，但

安全系数的大小并没有同可靠度直接挂钩，这就有很大盲目

性。可靠性设计与之不同，它强调在设计阶段就把可靠度直

接引进到零件中去，即由设计直接决定固有的可靠度。

2.传统设计是把设计变量视为确定性的单值变量并通过确定

性的函数进行运算，而可靠性设计则把设计变量视为随机变

量并运用随机方法对设计变量进行描述和运算。

3.在可靠性设计中，由于应力S和强度R都是随机变量，所

以判断一个零件是否安全可靠，就以强度R大于应力S的概

率大小来表示，这就是可靠度指标。

4.传统设计与可靠性设计都是以零件的安全或失效作为研究

内容，因此，两者间又有着密切的联系。可靠性设计是传统

设计的延伸与发展。在某种意义上，也可以认为可靠性设计

只是在传统设计的方法上把设计变量视为随机变量，并通过

随机变量运算法则进行运算而已。

。平均寿命（无故障工作时间）：指一批产品从投入运行到发

生失效（或故障）的平均工作时间。

对不可修复的产品而言，T是指从开始使用到发生失效的平

均时间，用MTTF表示；

对可修复的产品而言，是指产品相邻两次故障间工作时间的

平均值，用MTBF表示；

平均寿命的几何意义是：可靠度曲线与时间轴所夹的面积。

6.正态分布曲线的特点是什么？什么是标准正态分布？

：正态分布曲线f(x)具有连续性，对称性，其曲线与横坐标

轴间围成的总面积恒等于1.在均值μ和离均值的距离为标准

差的某一指定倍数z。之间，分布有确定的百分数，均值或

数学期望μ表征随机变量分布的集中趋势，决定正态分布曲

线位置；标准差σ，他表征随机变量分布的离散程度，决定

正态分布曲线的形状。定义μ=0,σ=1，即N(0,1)为标准正

态分布。

7.系统可靠性的大小主要取决于：(1)组成系统的零部件的可

靠性 (2)零部件的组合方式。

1.什么是3σ法则？已知手册上给出的16Mn的抗拉强度为

1100~1400MPa，试利用3σ法则确定该材料抗拉强度的均值

和标准差。

在进行可靠性计算时，引用手册上的数据，可以认为它们服

从正态分布，手册上所给数据范围覆盖了该随机变量的

+-3σ，即6倍的标准差，称这一原则为3σ法则。均值=

（1100+1400）/2=1250MPa 标准差=（1400-1100）/6=50Mpa。

从正态分布知，对应+-3σ范围的可靠度已为0.9973.

2. 简述强度—应力干涉理论中“强度”和“应力”的含义，

试举例说明之。

答：强度一应力干涉理论中“强度”和“应力”具有广义的

含义：“应力”表示导致失效的任何因素；而“强度”表示阻

止失效发生的任何因素。“强度”和“应力”是一对矛盾的

两个方面，它们具有相同的量纲；例如，在解决杆、梁或轴

的尺寸的可靠性设计中，“强度”就是指材料的强度，“应力”

就是指零件危险断面上的应力，但在解决压杆稳定性的可靠

性设计中，“强度”则指的是判断压杆是否失稳的“临界压力”，

而“应力”则指压杆所受的工作压力。

3.说明常规设计方法中采用平均安全数的局限性。

答：平均安全系数未同零件的失效率联系起来，有很大的盲

目性。

从强度一应力干涉图可以看出 1）即使安全系数大于1，仍

然会有一定的失效概率。2）当零件强度和工作应力的均值不

变（即对应的平均安全系数不变），但零件强度或工作应力的

离散程度变大或变小时，其干涉部分也必然随之变大或变小，

失效率亦会增大或减少。

1.所谓系统，是为完成某一功能而由若干零部件相互有机地

组合起来的综合体。系统的可靠度取决于两个因素：一是组

成系统的零部件的可靠度；二是零部件的组合方式。

3.串联系统：若系统中诸零件的失效相互独立，但当系统中

任一个零件发生故障都会导致整个系统失效时，则这种零件

的组合形式称为串联模型。

3.串联系统的可靠度：串联系统的可靠度Rs低于组成零件的

可靠度Ri。因此，要提高串联系统的可靠度，最有效的措施

是减少组成系统的零件数目。

4.并联系统：有冗余系统和表决系统。冗余系统又可分为工作冗

余系统和非工作冗余系统。

5.工作冗余系统：在该系统中，所有零件都同时参加工作，而且

任何一个零件都能单独支持整个系统正常工作。即在该系统中，

只要不是全部零件失效，系统就可以正常工作。

6.非工作冗余系统：在该系统中，只有某一个零件处于工作状态，

其它零件则处于非工作状态。只有当工作的零件出现故障后，非

工作的零件才立即转入工作状态。

。非工作冗余系统的可靠度高于工作冗余系统，这是因为工作冗

余系统的零件虽然都处于不满负荷状态下，但它们总是在工作，

必然会磨损或老化。非工作冗余系统虽不存在这个问题，却存在

一个转换开关的可靠度问题。

。r/n表决系统:在n个零件组成的并联系统中，n个零件都参加

工作，但其中要有r个以上的零件正常工作，系统才能正常工作。

它是属于一种广义的工作冗余系统。当r=1时，就是工作冗余系

统，当r=n时，就是串联系统。

。复杂系统的可靠性预测方法：等效功能图法、布尔真值表法；

。故障树分析的步骤：1，在充分熟悉系统的基础上，建立故障

树；2，进行定性分析，识别系统的薄弱环节；3，进行定量分析，

对系统的可靠性作出评价。

。故障树：是一种倒立的树状逻辑因果关系图，它是用事件符号、

逻辑门符号和转移符号描述系统中各种事件之间因果关系的图。

。故障树的定性分析是寻找故障树的全部最小割集或最小路集。

其目的是为了找出引了系统故障的全部可能的起因，并定性的识

别系统的薄弱环节。

。最小割集：如果将割集中任意去掉一个基本事件后就不再是割

集。

。最小路集：路集也是一些基本事件的集合，当该集合所有的基

本事件同时不发生时，则顶事件必然不发生。如果将路集中任意

去掉一个基本事件后就不再是路集的话，则称此路集为最小路

集。

。最小割集代表系统的一种失效模式；一个最小路集代表系统的

一个正常模式。

。故障树的全部最小割集即是顶事件发生的全部可能原因，构成

了系统的故障谱。因此，在产品设计中要努力降低最小割集发生

的可能性，这就是产品的薄弱环节。反过来说，为保证系统正常

工作，必须至少保证一个最小路集存在。

。故障树的定量分析就是根据基本事件的概率求出顶事件发生的

概率，从而对系统的可靠性作出评价。

。可靠度分配按分配原则的不同，有等同分配法、加权分配法和

动态规划最优分配法；

。等同分配法：它按照系统中各单元（子系统或零部件）的可靠

度均相等的原则进行分配。其计算简单，缺点是没有考虑各子系

统现有的可靠度水平、重要性等因素。

。加权分配法：它是把各子系统在整个系统中的重要度以及各子

系统的复杂度作为权重来分配可靠度的。

。最优分配法：采用动态规划最优分配法，可以把系统的成本、

重量、体积或研制周期等因素为最小作为目标函数，而把可靠度

不小于某一给定值作为约束条件进行可靠度分配；也可以把系统

可靠度尽可能大作为目标函数，而将成本等因素视为约束条件进

行可靠度分配。这要根据具体问题来确定。特点：机电产品的可

靠性指标不仅取决于零部件的可靠度，而且还将受制造成本、研

制周期、重量、体积等因素的制约。因此，要全面考虑这些因素

的影响，必须采用优化方法分配可靠度。

。一是可靠性设计的有效性取决于所采用的统计参数是否准确可

靠；二是应用明确规定产品失效的形式和判据。

。试简述强度和应力均为正态分布时，强度和应力干涉的三种典

型情况下手失效率情况。

1.强度的均值大于应力的均值，这时的干涉概率，即不可靠度F

小于50%。当强度的均值减去应力的均值为一定值时，概率F的

大小，随强度和应力的标准增大而增大。常规设计的安全系数大

于1时属于这种情况。这种情况下，还可能出现失效。

2.强度的均值等于应力的均值，此时，失效率F为50%

3.强度的均值小于应力的均值，此时安全系数小于1，失效概率

大于50%，零件仍具有一定的可靠度。