立体几何中的数学思想
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则PB＝a,AB＝ a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，
∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝ a.
∵AP⊥PC ∴在RtΔAPC中，AC＝ ＝ ＝2a
(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，
∴BC在平面PBC上的射影是BP.
∠CBP是CB与平面PAB所成的角
∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°.
这时， 的周长转化为折线 的长．
于是，所求的 周长的最小值就线段 的长，而 的长很容易用余弦定理求出．
在 中，因为 ， ，则 ，
于是 ．
所Leabharlann Baidu ．
评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.
又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。
立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）；
四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。
【例7】已知正三棱锥 的侧棱长为 ， ， 分别是棱 上的点，求 周长的最小值（图甲）．
【分析及解】由于 的三条边 分别在三个平面 上，要直接计算它们所谓周长，并求其最小值，显然有一定的困难，但是正因为这三条边在三个侧面上，所以可以把三棱锥的侧面展开，使三棱锥的四个面都在同一个平面上（图乙）．
证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE
∵AD∥BC
∴FH∥BC，BC BB1C1C
∴FH∥平面BB1C1C
由FH∥AD可得
又BF＝B1E，BD＝AB1
∴
∴EH∥B1B，B1B 平面BB1C1C
∴EH∥平面BB1C1C，
EH∩FH＝H
∴平面FHE∥平面BB1C1C
EF 平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
例2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.
∵AD∥BC
∴△AFD∽△MFB
∴
又∵BD＝B1A，B1E＝BF
∴DF＝AE
∴
∴EF∥B1M，B1M 平面BB1C1C
∴EF∥平面BB1C1C.
（2）求异面直线EF与 所成角的大小；
解析：（1）∵ ∥AC，∴ 与AC所成的锐角或直角就是 与 所成的角，连结 、 ，在△ 和△ ，∵ ＝ ， ， ，∴△ ≌△ ，∴ ．∴△ 是等腰三角形．∵O是底边AC的中点，∴ ，故 与 所成的角是90°．
（2）∵E、F分别是AB、AD中点，∴EF∥BD，又∵ ∥AC，∴AC与BD所成的锐角或直角就是EF与 所成的角．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF与 所成的角为90°
说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.
3、位置关系中的定性与定量的转化
立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。
所有上述这些都充分展现了转化的思想方法在立体几何中的“用武之地”。教学中的适时揭示与恰当运用，确能强化学生思维的目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。
专题讲座立体几何中的数学思想方法
立体几何是高中数学教学的一个重要内容，这部分内容蕴含着丰富的数学思想方法。实践证明，教学中适时渗透有关的数学思想方法，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维能力。本文主要谈谈在立体几何中的几种主要数学思想方法。
一、
研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：
1、空间问题向平面问题转化
将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。
如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；
教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、
侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
2、位置关系的转化
线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直）线面平行（或垂直）;面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行;线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。
(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a.
∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.
∴AB⊥平面PCM.
说明要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.
例4.如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD— 中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．
图9－19
（1）求异面直线 与 所成角的大小；
例3.空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.
解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.
解∵ PA⊥AB，∴∠APB＝90°
在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a，
4、体积问题中的转化
研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推导出柱体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割法”的先后运用，台体的体积，即补台成锥。所展示的割补转化；利用四面体、平面六面体等几何体体积的自等性，以体积为媒介沟通有关元素间的联系，从而使问题获解的等积转化等，均是转化的思想方法在体积问题中的体现。
∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝ a.
∵AP⊥PC ∴在RtΔAPC中，AC＝ ＝ ＝2a
(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，
∴BC在平面PBC上的射影是BP.
∠CBP是CB与平面PAB所成的角
∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°.
这时， 的周长转化为折线 的长．
于是，所求的 周长的最小值就线段 的长，而 的长很容易用余弦定理求出．
在 中，因为 ， ，则 ，
于是 ．
所Leabharlann Baidu ．
评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.
又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。
立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）；
四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。
【例7】已知正三棱锥 的侧棱长为 ， ， 分别是棱 上的点，求 周长的最小值（图甲）．
【分析及解】由于 的三条边 分别在三个平面 上，要直接计算它们所谓周长，并求其最小值，显然有一定的困难，但是正因为这三条边在三个侧面上，所以可以把三棱锥的侧面展开，使三棱锥的四个面都在同一个平面上（图乙）．
证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE
∵AD∥BC
∴FH∥BC，BC BB1C1C
∴FH∥平面BB1C1C
由FH∥AD可得
又BF＝B1E，BD＝AB1
∴
∴EH∥B1B，B1B 平面BB1C1C
∴EH∥平面BB1C1C，
EH∩FH＝H
∴平面FHE∥平面BB1C1C
EF 平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
例2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.
∵AD∥BC
∴△AFD∽△MFB
∴
又∵BD＝B1A，B1E＝BF
∴DF＝AE
∴
∴EF∥B1M，B1M 平面BB1C1C
∴EF∥平面BB1C1C.
（2）求异面直线EF与 所成角的大小；
解析：（1）∵ ∥AC，∴ 与AC所成的锐角或直角就是 与 所成的角，连结 、 ，在△ 和△ ，∵ ＝ ， ， ，∴△ ≌△ ，∴ ．∴△ 是等腰三角形．∵O是底边AC的中点，∴ ，故 与 所成的角是90°．
（2）∵E、F分别是AB、AD中点，∴EF∥BD，又∵ ∥AC，∴AC与BD所成的锐角或直角就是EF与 所成的角．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF与 所成的角为90°
说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.
3、位置关系中的定性与定量的转化
立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。
所有上述这些都充分展现了转化的思想方法在立体几何中的“用武之地”。教学中的适时揭示与恰当运用，确能强化学生思维的目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。
专题讲座立体几何中的数学思想方法
立体几何是高中数学教学的一个重要内容，这部分内容蕴含着丰富的数学思想方法。实践证明，教学中适时渗透有关的数学思想方法，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维能力。本文主要谈谈在立体几何中的几种主要数学思想方法。
一、
研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：
1、空间问题向平面问题转化
将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。
如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；
教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、
侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
2、位置关系的转化
线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直）线面平行（或垂直）;面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行;线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。
(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a.
∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.
∴AB⊥平面PCM.
说明要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.
例4.如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD— 中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．
图9－19
（1）求异面直线 与 所成角的大小；
例3.空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.
解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.
解∵ PA⊥AB，∴∠APB＝90°
在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a，
4、体积问题中的转化
研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推导出柱体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割法”的先后运用，台体的体积，即补台成锥。所展示的割补转化；利用四面体、平面六面体等几何体体积的自等性，以体积为媒介沟通有关元素间的联系，从而使问题获解的等积转化等，均是转化的思想方法在体积问题中的体现。