立体几何中的数学思想

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备战2024高考数学二轮复习讲义第3讲-割补思想在立体几何中的应用

第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。

割补法重在割与补，巧妙对几何体过几何图形实割与补，变整体的为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观。

割补法在立体几何中体现的主要的题型就是几何体的切等问题。

【应用一】割的思想在多面体的体积及几何体的内切球中的运用割的思想主要体现两种题型：一是求复杂几何体的体积、表面积等问题，此类问题通过割把复杂的几何体割成几个简单的几何体。

二是求几何体内切球的半径、体积等问题。

此类问题主要是通过球心与几何体的各点割成锥，然后运用等积法求半径。

【例1.1】已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．【例1.2】【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【思维提升】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13△ABC ·r ＋13S△PAB·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3V S 表【例1.3】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体)EF ABCD -．底面长方形ABCD 中3BC =，4AB =，上棱长2EF =，且EF 平面ABCD ，高（即EF 到平面ABCD 的距离）为1，O 是底面的中心，则（）A ．EO 平面BCF【变式1.1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形ABCD中，AB ===ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P 处（如图②），=PC P BCD -的内切球半径为______.【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．【变式1.3】（2022·江苏通州·高三期末）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.【应用二】补的思想在立体几何中几何体外接球中的应用解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．2．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.①对于正方体的外接球，2R；②对于正方体的内切球，2R＝a；③对于球与正方体的各棱相切，2R.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R=.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．构造法在定几何体外接球球心中的应用（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体【例2.1】（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【思维提升】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例2.2】（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______.【思维提升】棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2222R a b c =++(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【变式2.1】（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，4,223,PA AC AB AC AB ===⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________.【变式2.2】已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．【变式2.3】已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为()A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【变式2.4】(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()．A．62πD．6π8πB．64πC．6巩固练习1、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．2、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．1233++D．63+C．633+B．12433、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，4EF=，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）A．22πB．42πC．82πD．2π3A ．18B ．275、正四面体的各条棱长都为．6、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．7、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．8、（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。

立体几何教学中数学思想的培养

２０１４年第２期
职业教育
立体几何教学中数学思想的培养
罗胜祥
摘要：本文结合具体例子，从转化思想、分类思想、割补思想三个方面论述了培养学生数学思想的方法。关键词：立体几何；数学思想；转化；分类；割补
数学教学中有两条线，一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想。传统教学重 “ 明” 轻 “ 暗” ，即只重视知识的传授，轻视数学思想的培养。这种教学上的弊端，致使学生听得懂做不出，这在立体几何教学中尤为明显，所以在立体几何教学中重视渗透数学思想，是突破学习障碍的关键，
养学生严谨地解决问题的能力。分类思想的实质是将复杂问题简单化，解决分类问题的关键，确定合理的分类标准。例：三个平面将空间分成几部分？
笔者认为立体几何教学中应着重注意渗透以下几种
数学思想。一Biblioteka 、转化思想・
８６・
・
教学教法・
如何提高思想政治课程复习的有效性
“ 对症下药 ” 。
相应的考试改革力度也在不断加大，考查学生的方
法也越来越灵活，考试的主要目的是考查学生能否运用课本知识及用所学知识去观察、分析、解决社会上出现各种各样的热点问题，以及能否正确地执行党和政府的路线、方针、政策，来检验学生的综合运用知识能力和思想觉悟水平。因此，社会热点问题就成了近年来考试的主要内容，这就要求教师

数学立体几何解题技巧必看

数学立体几何解题技巧必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些数学立体几何解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。

高考数学答题技巧：立体几何解答立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。

选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。

随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。

从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

知识整合1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

2、判定两个平面平行的方法：(1)根据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3、两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。

(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。

(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

高中数学七大基本思想方法讲解

（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化
第三：分类与整合思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
（2）从具体出发，选取适当的分类标准
（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向
第六：有限与无限的思想：
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查
第七：或然与必然的思想：
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化
第五：特殊与一般思想
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法

用数学思想统领立体几何复习

曰’
平面距离），几何问题代数化，文字、图形线平行甘线面平行铮面面平行：（２）线线与符号语言的转化，变式图形与基本图垂直铮线面垂直§ 面面垂直．
形的转化．例１在正方体ＡＢＣ－４Ｃ】Ｄ】中，Ｅ、Ｇ、Ｈ分别为棱ＢＣ、ＣＣｌ、ＣｌＤ１、
，
、
转化思想
化归与转化思想是解决立体几何问题的最基本、最常用的数学思想，学习时要注意强化转化的解题意识．在立体几
何中，常见的转化有：位置关系（线线、线
（４）・．・ＣＣ１上平面ＡＣ，．・．ＣＣ】上肋．又ＢＤ上ＡＣ，．・．ＢＤ上平面ＡＡ１Ｃ．又ＢＤｃ平面ＢＤＦ，
・．．
则由图３有体积关系：
尸＿＾
平面ＢＤＦＪ＿平面ＡＡ１Ｃ．
面、面面）间的转化，空间问题平面化（如
空间角转化为平面角、空间距离转化为
评注：论证空间位置关系的基本策略是利用以下两个关系链反复转化：（１）线
（２）按线线平行线面平行面面平题，常用方程的思想方法解决．
种数学思想在解题中的应用，深刻领悟转行的思路．在平面Ｂ１Ｄ１日内寻找曰１Ｄ１和Ｏ＇Ｈ两条关键的相交直线．
立体几何中，类比的思想方法被广泛采用，常见的有：平面图形与立体图形的
再寻找Ａ１０垂直于平面ＢＤＦ内的另题获解．同时，以类比为切入点的立体几

转换与化归思想

浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。

深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。

这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。

一、转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。

要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。

(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。

象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。

比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。

不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。

再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。

瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。

[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。

再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。

[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。

高等数学的思想总结是什么

高等数学的思想总结是什么高等数学是大学数学的重要组成部分，是数学的一门基础课程。

它通过引入极限的概念，建立了微积分的理论体系，并在此基础上进一步发展了数学的许多分支，如微分方程、多元函数、级数等。

高等数学的思想总结可以从以下几个方面来展开：1. 极限与连续的思想：高等数学最核心的思想之一是极限的思想。

通过引入极限的概念，我们可以研究数列和函数的性态与趋势，从而建立微积分的理论体系。

极限的概念也使我们能够定义出函数的连续性，进而研究函数的导数和积分等相关概念。

2. 微分与积分的思想：微积分是高等数学的核心内容之一，它以导数和积分为基础，研究函数的变化率、曲线的切线、曲线下的面积等问题。

微分与积分的思想让我们能够解决实际问题中的优化、曲线拟合、面积求解等问题，是应用数学中不可或缺的工具。

3. 代数与方程的思想：高等数学中的代数与方程思想在建立数学模型和解决实际问题中起着重要的作用。

代数的思想使我们可以抽象出一般的数学规律和性质，进而研究和解决更为复杂的问题。

方程的思想则提供了解决等式和不等式的方法，并且在求解函数的性质、求解方程组等方面具有重要的作用。

4. 几何与图形的思想：高等数学中的几何与图形的思想不仅包括平面几何、立体几何的基本概念和性质，还涉及到向量、坐标系、空间曲线等更为抽象和广义的概念。

几何与图形的思想可以帮助我们理解和研究抽象的数学结构，同时也有助于解决与空间相关的实际问题。

5. 推理与证明的思想：高等数学强调推理和证明的能力培养，这是数学思维的重要组成部分。

通过学习高等数学，我们能够培养逻辑思维、严谨推理和精确表达的能力，这对于在数学和其他学科中的研究和应用都具有重要的意义。

综上所述，高等数学的思想总结可归纳为极限与连续的思想、微分与积分的思想、代数与方程的思想、几何与图形的思想以及推理与证明的思想。

这些思想不仅构成了高等数学的理论基础，也在应用数学中起着重要的作用，促进了数学在科学研究和实际应用中的发展。

凸显数学思想在“立体几何”复习教学中的价值

第２卷第１７期
２０１３年６月
教育观察
ＳｕｒｖｅｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ
Ｖｏｌ＿２Ｎｏ．１７
Ｊｕｎ．２０１３
凸显数学思想在 “ 立体几何 ” 复习教学中的价值
邓毛旺（柳州市柳东中心学校，广西柳州，５４５０００）
何的初步知识，并在其过程中形成空间观念，对以后进一步学习图形与几何及其他学科知识的影响都是积极的、重要的，甚至是不可替代的。而转化
认识、把握，才能使抽象空间与现实空间融为一体，
推动学生空间观念的生成。体会体、面、线之间的
二、沟通中内化思想：更能把准知识的脉络
复习课时，有些教师离开课本只重视习题训练
的教学方法，忽视了知识体系的梳理和数学基本思想方法的概括，很多学生上课似乎听得懂，可课后遇到稍难的题目就一筹莫展了。例如，在整理圆锥
当这点移动后留下的轨迹是怎样的？
不知如何把握方向和难度。本文从复习课中三大
环节出发，可从回忆整理体验思想、沟通中内化思想、练习中提升思想三个方面，论述在教学中渗透
数学思想方法的策略。
这线段移动后留下的轨迹是怎样的？
［作者简介］邓毛旺（１９８２一），男，广西￥９Ｐ￣１人，本科，广西柳州市柳东中心学校教师，小学一级。

活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法

活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法
立体几何是数学的一大分支，可以涵盖各方面的概念，以及许多数学思想方法。

在解决立体几何问题时，运用的概念包括分类、证明、概念、规划、构造、确定等等。

以下是活跃于立体几何问题的几种数学思想方法：
1. 构造法：构造法是在立体几何问题中采用的非常有效的数学思想。

构造法
允许以特定的形式和结构来构造几何图形，可以帮助我们处理和理解立体几何里复杂的问题。

2. 命题证明法：在数学中，证明是一个十分重要的集合。

在立体几何问题中，利用蕴含关系进行命题证明是一种有效而又基础的方法。

有助于识别更复杂的立体表达式，从而更清楚地理解其内容。

3. 向量分析法：向量的分析是一种非常有利的思想方法，在立体几何问题中，它可以用于提取平面与立体几何图形的特征，从而更为清晰地判断立体几何中的平面位置，有助于解决几何形状间相互运动的状态等问题。

4. 理论结构法：结构理论是一种对象、数据和过程之间的关系的描述性方法。

在立体几何问题中，结构理论主要是用来研究特定几何形状的性质，比如形状的对称性、四边形的角度和根据特定关系来画出平行线的思路等。

以上是活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法。

有助于学习者更深入地理
解和掌握立体几何知识，有效地运用这些思想方法，可以推动学习者解决更复杂的立体几何问题。

用极限思想妙解立体几何题

用极限思想妙解立体几何题立体几何题为数学中重要一块，其中涉及到许多各种几何模型、定义及理论，以及应用于许多领域的许多思想和方法。

同时，解决立体几何题也需要联系数学知识，如线性代数、微积分、数论等，以及其他学科相关的知识，比如物理学。

使用极限思想则可以说明它的延伸应用，通过新的解决方案和更宽广的工作范围，更好地解决立体几何问题。

极限思想可以帮助我们解决立体几何题，它是一种在数量不能解释和推理时把问题推向无穷、特定极限的运算方法。

它主要有两种：一是当两个数相减时，减少极限，此时结果将慢慢逼近0；二是当一个数的n次方增大时，n取极限，此时极限将到达无穷大。

极限思想可以概括地描述某种现象的发展模式，可以为解释某种现象的规律提供新的想法和框架。

极限思想可以用于计算立体几何题的平面内投影，可以用来证明立体几何图形的各种性质，比如说证明其边缘和距离，以及证明其表面积和体积大小等。

因此，极限思想可以用于计算更复杂的立体几何题，让学习更有趣，而且对解决难题和实际问题提供了新的视角。

另外，极限思想可以用于立体几何题的数学推理。

例如，存在两个立体几何图形，其中一个是正方体，另一个是圆形柱，我们可以使用极限思想来推理出它们的形状、大小和体积之间的关系，以及其中涉及到的相关几何定理，这些都是我们在对此类问题有所了解的基础上可以帮助我们推断出答案的。

极限思想也可以用于解决立体几何问题的实际应用中。

例如，极限思想可以用于计算建筑、船舶、汽车等实物的重量和形状，以及它们在受到外部力作用时的变化，以及某一点的磁力等。

在这些问题中，极限思想可以对它们的模型进行分析、推理和验证，使得数据更准确、模型更有效，为技术发展提供了坚实的基础。

总之，极限思想是一种有力的思维方式，可以用于解决立体几何题。

它既可以用于计算图形的表面积、形状和体积，又可以用于推理出图形性质间的关系，还可以用于分析和验证实物的变化等。

极限思想为数学学习提供了新的思维方式，可以让学习变得有趣、激动人心，为立体几何的研究开辟新的可能。

浅谈立体几何中的数学思想方法1

浅谈立体几何中的数学思想方法富平县曹村中学刘玉社立体几何是高中数学教学的一个重要内容，这部分内容蕴含着丰富的数学思想方法。

实践证明，教学中适时渗透有关的数学思想方法，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维能力。

本文主要谈谈在立体几何中的几种主要数学思想方法。

一、转化的思想方法研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。

这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。

立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：1、空间问题向平面问题转化：将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。

如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。

2、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直）线面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ; 线线、线面、面面的垂直。

这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。

平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。

3、位置关系中的定性与定量的转化立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。

这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。

线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。

解答立体几何问题的五大数学思想方法

解答立体几何问题的五大数学思想方法学习立体几何，除了要掌握基本的数学知识和技能外，还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见数学思想方法，下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理，供复习参考．１割补思想分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法，特别在处理非常规图形时，即使涉及比较熟悉的图形的问题，有时结合割补法也可以更好的得以解决，因此，此考点可明考，即出示陌生图形，也可暗考，即给出熟悉图形，但进行割补实现快速解题．例１如图１，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且,ADE BCF △△均为正三角形，EF AB ∥，2EF =，则该多面体的体积为（）．()A 32 ()B 33()C 34()D 23解析本题所涉及的为非常规图形，没有可套用的体积公式，故需要考虑割补．解如图１，作,AG BH 垂直于EF ，垂足分别为,G H ，连结,DG CH ，由A B C D E F ∥∥，则有,DG CH 垂直于EF ．由图形的对称性，2EF =，知11,2GH EG FH ===，由1B F A B ==，3BFE π∠=，2BH =，得4B C H S =△．故所求体积为111243423+⨯⨯=选()A ．例２表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）．()A ()B 13π ()C 23π ()D解析将正八面体嵌入到正方体中，即以正八面体的顶点为正方体各面的中心，则可知正八面体的棱ACDFGHBE 图１，选()A ．２分类讨论思想若题目描述的情形不唯一，就要考虑借助分类与整合的思想方法解答．例３如图２，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =，90=∠ABC ，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为．解析分别将111A B C △沿11A B 折到平面11ABB A 上；将111A B C △沿11AC 折到平面11ACC A 上；将11BCC B 沿1BB 折到平面11ABB A 上；将11BCC B 沿1CC 折到平面11ACC A 上，比较其中EF长即可．结果为2．３等价转化思想一些立体几何问题，借助等价转化思想，可以得到更好解答．３．１求距离的转化点、线与面之间的距离，可以借助平行关系，借助等体积等方法实现距离的转化．例４如图３，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为１，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（）．()A 21()B42()C 22()D 23 解析若直接过点O 作平面11ABC D 的垂线求距离，则难以操作．但若借助“过O 与平面11ABC D 平行的直线上每个点到平面11ABC D 的距离相等”，如图４，点,E F 分别是棱1111,A D B C 的中点，易知EF 过点O 且与平面11ABC D 平行，A图２1A 1EABD1DE O1BFG C1C图４1AA BD1DO1BC1C图３1A于是，只需求点F 到平面11ABC D 的距离，又可得所求为1BC 的14，即42．３．２求角的转化求角问题，往往也可以借助平行关系进行转化解答．例５如图５，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ， 12AB BC PA ==，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．解析若直接求直线PA 与平面PBC 所成的角，不易操作，但若根据PA OD ∥，则可转化为求OD 与平面PBC所成的角．AB BC OA OC ⊥= ，，OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥又平面，PA PB PC ∴== ，取BC 的中点E ，连结PE ，则B C P O E ⊥平面，作O F P E ⊥于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC ，所以ODF ∠是OD 与平面PBC 所成的角．又OD PA ∥，所以PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，在Rt O D F ∆中，sin OF ODF OD ∠==，所以PA 与平面PBC 所成角的大小为．例６（１）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cos ______α=．（２）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α= ．解析对（１），由于正四棱柱的六个面两两对应平行，根据同一条直线与多个平行平面所成的角相等，问题转化为一条直线与正四棱柱共顶点的相邻三个面所成的角都为α，求c o sα．如图６，设,,PA PB PC 两两垂直且相等，作PO ⊥平面ABC ，则PO 与三个侧面成角相等，连结CO 并延长交AB 于D ，连结PD ，则OPD α∠=，于是cos cos sin CPOPD CPD CDα=∠=∠=，设C Pa =，则图５APDBO C图６A1C一些立体几何的最值问题，往往通过图形变换进行转化．例７如图７，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为．解析问题转化为将三棱柱的侧面沿1AA 剪开后展开，并补上展开后全等的部分后，所得矩形对角线的长，如图８所示，易得所求为10．３．４求体积的转化一些求体积问题，往往需要借助体积的转化求解．例８如图９，在体积为1的三棱锥A BCD -侧棱,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ，使:::2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为三平面,,BCG CDE DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（）．()A91 ()B81 ()C 71 ()D 41 解析如图１０，设BG DE M =，CG DF N =，则连结,CM BN 的交点为O ，设A 到平面BCD 的距离为h ，则由:2:1AG GD =，可知点G 到平面BCD 的距离为13h ；又由23GM MB =，故M 到平面BCD 的距离为3535h h ⨯=；又由25MO OC =，故O 到平面BCD 的距离为51757h h ⨯=．三棱锥A BCD -的体积为１，故三棱锥O BCD -的体积等于71．选()C ．A1AA1A B1C CA1C 1AC1B 1B 图８BCDEF GO图９ABC D EF G OM N 图１０AB评注本题通过多次体积间关系的转化，实现了所求体积与已知体积关系的明朗化．４向量法借助空间向量，特别是建立空间直角坐标系后，使向量坐标化，能够更加简捷的解答很多涉及位置关系判断及求角，求距离的题目．例９已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB CD ∥，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点．（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC PB 与所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小．解析根据题目特征，注意到,,AB AD AP 两两垂直，可建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量与平面的法向量解答．解因为PA PD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，1(0,1,)2M ．（Ⅰ）证明：因(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =，故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥．由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD ．又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ．（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC 故||2,||5,2AC PB AC PB ==⋅=，所以10cos ,||||AC PB ACPB AC PB ⋅<>==⋅，即AC 与PB 所成的角为（Ⅲ）解：在MC上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=11(1,1,),(1,0,1,1,22NC x y z MC x y z λλ=---=-∴=-==．要使AN MC ⊥，只需0AN MC ⋅=，即102x z -=，解得45λ=．可知当45λ=时，N 点坐标为12(,1,)55，能使0AN MC =．此时，1212(,1,),(,1,)5555A N BN ==-，有0B N M C ⋅=．由0A N M C ⋅=， 0BN MC=得,AN MC BN MC ⊥⊥，所以ANB ∠为所求二面角的平面角．图１１图１２30304||,||,5AN BN AN BN ==⋅=-．2cos(,)3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅，故所求的二面角为2arccos(3-．５极端化方法一些几何问题，借助想象其极端情形，可以更好的使问题得以解决．例１０若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）．()A 三棱锥 ()B 四棱锥 ()C 五棱锥 ()D 六棱锥解析对于正六棱锥，当其高趋近于０时，侧棱长趋近于底面边长，但侧棱长始终大于底面边长，而不会相等，故选()D ．借助极端化方法，同学们可以求一下正六棱锥相邻侧面所成二面角的取值范围．。

数学中的“有限与无限”的思想

数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+ ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则li m n nnnn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅ 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =；（Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时(Ⅱ) 解法一：11-=b ,11,1111+=-=++n n n n b b b b ,当1b a =时,01112=+=b a ,当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a ,当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a .一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a .下面用数学归纳法证明. 当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+- 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴= 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a . 3．在数列||n a ，||nb 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得 2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭……111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立．三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭，由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为1a =，所以 111111 1.nn⎛⎫=-=-=- ⎪∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立. 当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a <因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增，所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**）根据（*）及（**）得 12n a ≤<. 由11a = 及21122n n n a a a +=-+，经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=；当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a +=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…）求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使l i mn →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k=+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k +为公比的等比数列．（2）由（1）知()f k =112k +，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥．（Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++ ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--，即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+．所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩，，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++== ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-． 2b =-2q =记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+≥教你如何用WORD文档(2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。

高中数学常见思想方法总结

高中数学常见思想方法总结目录一、基本概念与思想 (2)1.1 数学思维方式 (3)1.1.1 几何直观 (4)1.1.2 逻辑推理 (6)1.1.3 形数结合 (7)1.2 高中数学常见解题思想 (8)1.2.1 分类讨论思想 (9)1.2.2 数形结合思想 (10)1.2.3 参数思想 (11)1.2.4 类比思想 (13)二、高级思想方法与应用 (14)2.1 模型思想 (15)2.1.1 实际问题模型化 (17)2.1.3 方程模型 (19)2.2 抽象思想 (20)2.2.1 数学抽象 (21)2.2.2 逻辑抽象 (22)2.2.3 方法抽象 (24)2.3 综合思想 (25)2.3.1 多种数学知识的综合运用 (27)2.3.2 不同数学方法的综合运用 (28)2.3.3 数学与其他学科的综合运用 (29)三、数学思想方法在解题中的具体应用 (31)3.1 题型分析 (33)3.1.1 函数题型 (33)3.1.2 不等式题型 (35)3.1.3 数列题型 (36)3.1.5 概率题型 (38)3.2 解题策略 (40)3.2.1 已知条件分析 (41)3.2.2 数形结合策略 (42)3.2.3 构造法策略 (44)3.2.4 特殊值法策略 (45)3.2.5 分类讨论策略 (46)一、基本概念与思想代数思想：代数是数学的一个重要分支，主要研究数与数的运算以及代数式、方程、函数等代数对象的性质。

代数思想强调符号表示等量关系和函数关系，是数学问题解决的重要工具。

几何思想：几何学是研究空间图形和性质的学科。

高中数学中的几何思想包括平面几何和立体几何，涉及图形的性质、图形的变换、空间想象等。

函数与变量思想：函数描述了一个量与另一个量的关系，是数学中重要的概念之一。

变量思想强调在变化中寻找规律，是解决数学问题的重要方法。

数形结合思想：将数学中的数与形相结合，通过图形的直观性来理解和解决数学问题，是高中数学中常见的思想方法。

高中的数学思想方法

高中的数学思想方法高中的数学思想方法高中的数学是一门重要的学科，那么，高中的数学思想方法有哪些呢？下面给大家整理了高中的数学思想方法，一起来看看吧！第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的'解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想：（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点下载全文。

浅谈立体几何中的数学思想

难度，把握知识本质和内在规律，高数学素养，展提发思维能力．本文主要谈谈在立体几何中的几种主要数学思想方法．
１代归转化思想
｛Ｌｎ
十
｝的前项和ｓ，求研究求ｓ要的一个公
式，作一般推广．并既体现了对 “ 项成差，加求和” 裂叠
悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法．这种思想方法是立体几何中最重要的思
２中的出租车计费问题、４第３页例１中的“ 校校通” 工
程总投入问题、５第０页例１中的放射性物质的衰变
到解决，是求曲面上最短路线的一种常用方法．这
２分类讨论思想
应把重心聚焦在数列基本概念的理解以及基本运算
分类的思想方法在数学中较为普遍．空间两直如
线的位置关系分为相交、行、面３种；面、面平异线面
ＣＤ
Ｂ
ＡＦ，ＡＣ— ＡＤ，／Ｄ，ＢＢ／Ｃ
ｌ一２一３，ＢＥ — ＢＣ —
《程标准》课中明确指出：数列的教学中，保在应证基本技能的训练，导学生通过必要的练习，握引掌数列中各量之间的基本关系，训练要控制难度和复但
列模型，而解决实际问题的能力（文见《程标进原课

中学数学6大重要思想强烈推荐

3.运用整体的思想方法解题，常与换元法结合越来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性.
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式，要想用好它，需要敏锐的观察、丰富的联想、创新性的思维等能力，故有一定的难度，高考中常见的构造对象有构造数学模型（即实际问题数学化）、构造方程、构造恒等式、构造函数、构造数列、构造图形、构造反例等。
六，整体的思想方法
人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后，达到顺利而以简捷地解决问题的目的，象这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程，我们称它为“整体的思想方法”.
解题方法指导:1.运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径.
2.运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，又有逆向的；在思维形态上，既有集中的又有发散的，既有直观的，又有抽象的.
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。

关于模型思想在中学数学几何中的运用及反思

关于模型思想在中学数学几何中的运用及反思谢秀兵(安徽省太湖县第二中学㊀２４６４００)摘㊀要:高中数学几何涉及很多模型.教学中注重模型思想的讲解与应用ꎬ能很好的提高学生的解题能力ꎬ促进学生数学学习成绩的显著提升.本文重点讲解了墙角模型㊁对棱相等模型以及等体积模型ꎬ探讨模型的相关运用与反思ꎬ以供参考.关键词:模型思想ꎻ高中数学ꎻ几何ꎻ运用ꎻ反思中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－０００９－０２收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:谢秀兵(１９７９.７－)ꎬ男ꎬ安徽省怀宁人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中数学几何教学中ꎬ既要注重几何相关理论知识的讲解ꎬ锻炼学生空间想象能力ꎬ又要注重模型思想的讲解ꎬ尤其应结合具体例题ꎬ为学生展示几何模型在解题中的具体应用ꎬ并根据学生学习情况ꎬ做好模型思想教学的反思ꎬ做好细节上的优化与调整ꎬ不断提高学生运用模型思想解答几何问题的水平与能力.㊀㊀一㊁立体几何中的模型概述高中数学几何模型中墙角模型㊁对棱相等模型以及等体积模型是各类测试考查的热点ꎬ因此ꎬ课堂上应与学生一起进行分析ꎬ推导相关的结论.１.墙角模型对于柱体而言ꎬ找到三条两两垂直的棱ꎬ便可求出其外接圆的半径ꎬ外接圆的表面积㊁体积等问题也就迎刃而解.设三条棱长分别为ａ㊁ｂ㊁ｃꎬ将柱体补成长方体ꎬ设其外接圆半径为Ｒꎬ则满足(２Ｒ)２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２ꎬ即ꎬＲ＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２２.２.对棱相等模型对棱模型是墙角模型的延伸.三棱锥中三组对棱分别相等ꎬ设为ｘ㊁ｙ㊁ｚꎬ则其外接圆半径Ｒ＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２８.研究该模型时可将其放到长方体中ꎬ因长方体的对棱相等ꎬ因此ꎬ连接对棱使其构成一个三棱锥.设长方体的长㊁宽㊁高为ａ㊁ｂ㊁ｃꎬ由勾股定理列方程组ꎬ不难推出Ｒ＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２８.３.等体积模型等体积模型在解答三棱锥点到面的距离中较为常用ꎬ即ꎬ通过题干中的已知参数求解出三棱锥的体积后ꎬ通过换底便可求解顶点到面的距离.如知道三棱锥Ｏ－ＡＢＣ的体积ＶＯ－ＡＢＣꎬ而且根据已知条件容易求得әＯＡＣ㊁әＯＡＢ㊁әＯＢＣ的面积ꎬ则可求出点Ｂ㊁点Ｃ㊁点Ａ到面ＯＡＣ㊁ＯＡＢ㊁ＯＢＣ的距离.㊀㊀二㊁模型思想在几何教学中的应用１.墙角模型的应用如图１在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ꎬＰＡʅ底面ＡＢＣꎬＡＢʅＢＣꎬ若ＰＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝２ꎬＥ㊁Ｆ分别为ＰＢ㊁ＰＣ的中点ꎬ则三棱锥Ｐ－ＡＥＦ的外接球的表面积为(㊀㊀).图１Ａ.２π㊀㊀Ｂ.３π㊀㊀Ｃ.４π㊀㊀Ｄ.５π应用墙角模型解题时应注重结合已知条件以及所学９的立体几何知识判断其是否符合模型条件.ȵＰＡʅ底面ＡＢＣꎬ则ＢＣʅＰＡꎬ又ȵＢＣʅＡＢꎬＰＡɘＡＢ＝ＡꎬＢＣʅ平面ＰＡＢꎬ则ＢＣʅＰＥ㊁ＢＣʅＡＥꎬ又ȵＥ㊁Ｆ分别为ＰＢ㊁ＰＣ的中点ꎬ则ＥＦʊＢＣꎬ又ȵＰＡ＝ＡＢꎬ则ＡＥʅＰＥꎬ则ＰＥ㊁ＡＥ㊁ＥＦ满足两两垂直ꎬ显然其符合墙角模型.又ȵＥＦ＝１ꎬＰＥ＝ＡＥ＝２ꎬ则直接代入墙角模型Ｒ＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２２＝５２ꎬ则Ｓ＝４πＲ２＝４πˑ５４＝５πꎬ正确选项为Ｄ.２.对棱相等模型的应用在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ꎬ若ＰＡ＝ＰＢ＝ＢＣ＝ＡＣ＝５ꎬＰＣ＝ＡＢ＝４２ꎬ则其外接球的表面积为(㊀㊀).Ａ.４１π㊀㊀Ｂ.４１π２㊀㊀㊀㊀Ｃ.４１π３㊀㊀Ｄ.４１π４绘制草图不难发现ꎬＰＡ与ＢＣ为对棱㊁ＰＢ与ＡＣ为对棱㊁ＰＣ与ＡＢ为对棱ꎬ与对棱相等模型情境相符ꎬ因此ꎬ可直接套用对棱相等模型ꎬＲ＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２８＝２５＋２５＋３２８＝４１２ꎬ则其外接球表面积Ｓ＝４πＲ２＝４πˑ４１４＝４１πꎬ正确选项为Ａ.３.等体积模型的应用如图２三棱锥Ｏ－ＡＢＣ的侧棱ＯＡ㊁ＯＢ㊁ＯＣ两两垂直ꎬ且ＯＡ＝１ꎬＯＢ＝ＯＣ＝２ꎬＥ是ＯＣ的中点ꎬ求点Ｃ到平面ＡＢＥ的距离.图２解答该题可以三棱锥Ａ－ＢＣＥ为研究对象ꎬ求出该三棱锥的体积以及әＡＢＥ的面积便可求出点Ｃ到平面ＡＢＥ的距离.由已知条件可知ＡＢ＝ＯＢ２＋ＡＯ２㊁ＢＥ＝ＯＢ２＋ＯＥ２㊁ＡＥ＝ＡＯ２＋ＯＥ２ꎬ容易求得ＡＢ＝５㊁ＢＥ＝５㊁ＡＥ＝２ꎬ在әＡＢＥ中ꎬＡＥ边上的高ｈ＝ＢＥ２－(１２ＡＥ)２＝３２２.容易求得ＳәＡＢＥ＝１２ＡＥｈꎬＳәＢＥＣ＝１２ＢＯＥＣꎬ设点Ｃ到平面ＡＢＥ的距离为ｄꎬ由ＶＡ－ＢＥＣ＝ＶＣ－ＡＢＥꎬ整理得到ꎬＢＯＥＣＡＯ＝ＡＥｈｄꎬ易得ｄ＝２３ꎬ即点Ｃ到平面ＡＢＥ的距离为２３.㊀㊀三㊁模型思想在几何教学中的运用反思高中数学几何教学中融入模型思想ꎬ结合学生在课堂上的表现以及掌握㊁运用几何模型情况ꎬ做如下反思:首先ꎬ应将模型思想纳入教学重点.学生在解题的过程中ꎬ只要符合模型的条件ꎬ便可直接套用模型结论ꎬ可简化解题过程ꎬ使学生在解题中少走弯路ꎬ大大提高解题正确率ꎬ尤其对于一些空间想象能力较弱的学生而言ꎬ采用几何模型解题是一种很好的解题思路ꎬ因此ꎬ教学中应认识到模型思想的重要性ꎬ将其纳入教学的重要内容ꎬ认真汇总几何中的常见模型ꎬ在课堂上给予学生针对性的讲解.其次ꎬ教学中应注重调动学生学习积极性.为使学生充分把握几何模型本质ꎬ领悟各种几何模型思想的精髓ꎬ提高其应用模型思想解题的意识与能力ꎬ既要注重在课堂上与学生积极互动ꎬ营造宽松活泼的课堂氛围ꎬ又要做好课堂教学规划ꎬ灵活运用多媒体技术㊁小组比赛教学法㊁合作学习法等开展教学工作ꎬ激发学生的学习热情ꎬ在学生的头脑中留下深刻的印象ꎬ为其正确㊁高效的应用几何模型解题做好铺垫.最后ꎬ鼓励学生多进行几何模型的探究.教学中应鼓励学生利用课下时间进行几何模型的探究ꎬ推导一些几何模型结论ꎬ并根据学生的探究情况给予针对性的表扬ꎬ使其感受到几何模型探究的成就感ꎬ更加积极主动的进行几何模型的探究.同时ꎬ为提高学生的模型思想应用能力ꎬ应要求其做好常几何模型总结ꎬ深刻把握几何模型的特点ꎬ在解题中能够融会贯通ꎬ举一反三ꎬ实现数学解题水平的显著提升.㊀㊀参考文献:[１]陈庆华.数学模型建构在高中生物课堂教学中的创新尝试[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０２０(０５):２０１.[２]王禧忠.对高中数学模型化教学方法的探析[Ｊ].中国校外教育ꎬ２０２０(０５):９３－９４.[３]王雪飞.数学建模在高中数学课堂的教学策略分析[Ｊ].才智ꎬ２０２０(０１):８７.[４]纪秋华.浅析新课改高中数学课堂数学模型的构建[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１９(５２):４０－４１.[责任编辑:李㊀璟]０１。

高考数学直线、平面、简单几何体热点分析及预测人教版

高考数学直线、平面、简单几何体热点分析及预测人教版一、有效落实纲本，积极发挥导向（一）命题基本原则数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系.要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试题的结构框架.对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使考查达到必要的深度.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中.因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体.对能力的考查，强调"以能力立意"，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料.对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能.对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际.运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是算理和逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，考查时注意与推理相结合.实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.命题时要坚持"贴近生活，背景公平，控制难度"的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识.创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现.在数学学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融汇的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强.命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目.让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现其创新意识发挥创造能力创设广阔的空间.数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值.同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求.（二）考纲要求9(A)①直线、平面、简单几何体考试要求：（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想象它们的位置关系（2）握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念(对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离).（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.了解三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(5)会用反证法证明简单的问题.(6)了解多面体的概念，了解凸多面体的概念.(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(9)了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式.(10)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.9(B)直线、平面、简单几何体考试要求：（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理.了解三垂线定理及其逆定理.（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.（4）了解空间向量的基本定理.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质.掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式.掌握空间两点间距离公式.(6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.(7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.掌握直线和平面垂直的性质定理.掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理.(8)了解多面体的概念，了解凸多面体的概念.(9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(10)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(11)了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式.(12)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.【注意】高考中立体几何试题主要考查的是考生的逻辑表达能力、计算能力以及空间想象能力.而在内容上，在论证的基础上求空间的角和距离类型的试题是多年来较为稳定的考查内容.二、2004年、2005年试题回顾与特点分析近几年高考立体几何命题有以下特点：(1)题型和题量较稳定：一般是二选一填一解答，2005年题量稍有上调，在全国各省市18套不同试卷中，大多数是三选一填(或二选)一解答，分值占全卷分值的20％左右，值得关注。