电磁波动方程和平面电磁波
电磁场原理(第二版)6章
• 式(6.1.5)和式(6.1.6)称为电磁波动方程，它们是波 动方程的一般形式，它们支配着无源、线性、均 匀各向同性导电媒质中电磁场的行为，是研究电 磁波问题的基础。 • 从数学上来看，H和E满足相同形式的方程，在直
角坐标系下，若用ψ(r,t)来表示电场E或磁场H的一 个分量，有方程
• 6.1.2 平面电磁波及基本性质 • 对于电磁波传播过程中的某一时刻 t ，电磁场中 E 或 H 具有相同相位的点构成的空间曲面称为等相 面，又称为波阵面。如果电磁波的等相面或波阵 面为平面，则这种电磁波称为平面电磁波。如果 在平面电磁波波阵面上的每一点处，电场 E 均相 同，磁场 H 也均相同，则这样的平面电磁波称为 均匀平面电磁波。
称为理想介质的波阻抗，单位
为欧姆，上两式均称为波的欧姆定律。 • 4)对于入射波，根据空间任意点在某一时刻 的电磁波电磁场能量密度的假设，再考虑 波的欧姆定律，有 • 相应的坡印延矢量为
• 上式表明，在理想介质中电磁波能量流动 的方向与波传播的方向一致。又坡印廷矢 量的值表示单位时间内穿过与波传播方向 相垂直的单位面积内的电磁能量，即等于 电磁能量密度ω′和能流速率ve的乘积
负方向行进的波的电场分量和磁场分量，称 为反射波。 • 2)波的传播速率 • 是一常数，它仅与媒质参数有关。 • 3)将 代入式(6.1.15)得
• 将上式对时间积分，并略去积分常数，得
• 同理可得 • (6.2.5)和(6.2.6)分别表示了入射波和反射波 中电场和磁场之间的关系。令
• 其中
• 上两式就是无限大理想介质中电磁场随时 间作正弦变化时的稳态解。此时的电场和 磁场既是时间的周期函数，又是空间坐标 的周期函数。 • 相位因子 (ωt-βx+φ) 的物理意义 ( 为方便计， 取φ =0)： • 1)t=0 时，相位因子为 -βx ， x=0 处的相位为 零，这时电场和磁场都处在零值。 • 2)在t时刻，波的零值点移到ωt-βx=0处，即
电磁波
§16-5 电磁波1. 平面电磁波的波动方程变化的电场和变化的磁场不断地交替产生，由近及远以有限的速度在空间传播，形成电磁波。
最初由麦克斯韦在理论上预言，1888年赫兹进行了实验证实。
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中，ρ=0，δ=0，且介电常量ε和磁导率μ是常量。
麦克斯韦方程简化为：00S d E S d D =∂∂+∂∂+∂∂→=⋅=⋅∫∫z E y E x E z y x G G G G ε00S d H S d B =∂∂+∂∂+∂∂→=⋅=⋅∫∫zH y H x H zy x G G G G μD ρ∇•=JG 0B ∇•=J G平面电磁波的波动方程S d B d E G G G G ⋅∂∂−=⋅∫∫t l ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−=∂∂−∂∂∂∂−=∂∂−∂∂∂∂−=∂∂−∂∂→t H y E x E t H x E z E t H z E y E z x y y zx x yz μμμDH d dS l t ∂⋅=⋅∂∫∫G G G G v ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂−∂∂∂∂=∂∂−∂∂∂∂=∂∂−∂∂→t E y H x H tE x H z H t E z H y H zx y y z x x yz εεεt B E ∂∂−=×∇c D H j t ∂∇×=+∂JG JJ G J J G讨论一维问题,场量E 和H 是坐标x 和时间t 的函数。
前述方程组可简化为：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂−∂∂−=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂t E x H t H x E t E x H t H x E tH x H tE x E z y y z y zz y xx x x εμεμ,(IV),(III)0,0(II)0,0(I)经过一系列变换，得到22221xE tE y y ∂∂=∂∂εμ222221x H tH z z∂∂=∂∂εμ表明变化电磁场E y 和H z 是按波动形式传播。
物理光学1章 光的电磁理论及课后习题答案
时间无限延续，空间无限延伸的波动
平面电磁波的时间周期性和空间周期性 v T
参量 周期 频率 角频率
时间 T
1
T
2
空间
1
k 2
平面波传播速度随介质而异；时间频率与介质无关； 而空间频率波长随介质而异
平面简谐波 = 单色波
最显著的特点是：时间周期性和空间周期性： 1、单色光波是一种时间无限延续、空间无限延伸 的波动。 2、从光与物质的作用来看，磁场远比电场为弱。 所以通常把电矢量E称为光矢量，把E的振动称为 光振动。
x0 x y0 y z0 z
散度：矢量函数
F
(M)在坐标轴上的投影为P、Q、R，它的
散度是一个标量函数，定义为微分算符与矢量F的数量
积, 记作：
F (x0 x y0 y z0 z ) (Px0 Qy0 Rz0 )
(P Q R ) x y z
E~2*
Aeik r
波函数互为共轭复数
六、平面电磁波的性质
❖ 1、电磁波是横波
k • E 0 k •B 0
❖ 2、E、H 相互垂直
B k0 E
❖ 3、E、B 同相
E
1
v
B
1.3 球面波和柱面波
一、球面波 1、波函数：
1 2E 1 2E 0
r r 2 2 t 2
点光源，发出以0点为中心的球面，即波阵面是球面，这种
五、平面简谐波的复振幅
E Aexp(ik r ) exp(it)
~
波函数 =
空间位相
时间位相
复振幅：E Aexp(ik r ) 场振动的振幅和位相随空
间的变化。
时间位相：场振幅随时间变化。由于在空间各处随时
电磁波波动方程要点
§18.2 电磁波的性质
（1）电磁波是横波
Ey Ey 2 2 x t
2 2
E y
H z
Hz Hz 2 2 x t 由于 j k i 所以 E H // x 轴
2 2
u x
§18.2 电磁波的性质
— 折射率
n r
与物质作用的主要是
E
矢量,
E
通常被称为光矢量！
几点注意
（1）振动不是媒质体积元，是电场和磁场 （2）周期变化的不是质点位移，是 E、H 强度矢量
（3）伴随电磁波传播的有能量、动量和质 量的流动（引力波具有同样的性质） （4）电磁波是自持波，在真空或媒质中均 可传播
F pcS pc w 辐射压强： S S
c
F
S
偶极子的辐射
一、 电磁波的产生
赫兹实验
C P P0 cost I 1 P q l ， 0 0 L 2 LC
q
S EH
H
电磁波强度为
E
S
2 I S EH E
**坡因廷矢量举例**
•电阻
S
I
E
I
可以证明： 输入功率：
H
P S (2a l ) I R
2
S
电阻消耗的能量是通过坡因廷矢量输入的！
**坡因廷矢量举例**
•电容器充、放电 电容器充电过程 中，通过坡因廷 矢量输入能量！ 电容器放电过程 中，通过坡因廷 矢量输出能量！ 可以证明：
2 2
其中
2 2 2 x y z
电磁波的传播
E E
1 i 20 1 i 20
1/ 2 1/ 2
▪ 反射系数-沿法线方向的反射能流与入射能流之比：
R
@ E E
2
1 20 1 20
1/2 2
1/2 2
1 1 2
1
20 1
良导体是良反射体
小结
➢导体内的自由电荷分布：良导体内部没有自由电荷分布， 电荷只能分布于导体表面上
➢导体内的电磁波：(复电容率) 描述导体与绝缘介质的 两组方程形式相同 E 导体
E v H
0 0
导体中电磁场方程形式与绝缘介质完全一样
导体可以视为具有复介电常数的介质 10
导体复电容率物理意义
v
vv v
H i E E i E
传导电流 位移电流
位移电流与电场有90相位差，不消耗功率．传导电 流与电场同相，耗散功率密度12Re(J*E)．
i
体表面上电磁波的反射和折射问题．
▪ 只讨论垂直入射情形，电磁场边界条件：
E E E H H H
Bv
evk
v E
v H
i
e4
nv
v E
H H
0 0
0 1/2 E 0 1/2 E
H
0 1/2 ei /4E
真空或绝缘介质中
良导体中
良导体也是良反射体
E E E
E
E
20 1/2 1 i E
电磁场强度之间的关系
▪ 考虑外界电磁波垂直入射导体
v H
1
vv kE
1
v
iv
v E
良导体：Hv
i
e4
evn
v E
▪ 磁能密度与电场密度之比：
平面电磁波
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７. ２ 自由空间中的平面波
• 式(７ －３０) 中 • 为真空中的光速. 由于一切媒质的相对介电常数εｒ >１. 而且一般媒
质的相对磁导率μｒ≈１. 因此. 理想电介质中均匀平面波的相速通常 小于真空中的光速. 但是要注意. 电磁波的相速有时可以超过光速. 可 见. 相速不一定代表能量传播速度. • 式(７ －３０) 中 • 是频率为ｆ 的平面波在真空中传播时的波长.
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７. ２ 自由空间中的平面波
• 式(７ －９) 是一个二阶常微分方程. 其通解为: • 式中第一项代表沿正ｚ 方向传播的波. 第二项代表沿负ｚ 方向传播的
波. 为了便于讨论平面波的波动特性. 仅考虑沿正ｚ 方向传播的波. 令 上式第二项为零. 即 • 式中. Ｅｘ０为ｚ ＝０ 处电场强度的有效值. Ｅｘ (ｚ) 对应的瞬时值为:
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７. ２ 自由空间中的平面波
• 媒质电场强度与磁场强度的振幅之比称为波阻抗. 也称为媒质的特征 阻抗. 或者本征阻抗. 以Ｚｃ表示. 即
• 由上述讨论可知. 平面波的波阻抗为复数. 电场强度与磁场强度的空间 相位不同. 复能流密度的实部及虚部均不会为零. 意味着平面波在传播 过程中. 既有能量的单向传播. 又有能量的双向或交换传播.
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７. ２ 自由空间中的平面波
• 将ω ＝２πｆ 和式(７ －１９) 代入式(７ －２０). 得: • 式(７ －２１) 描述了平面波的相速ｖｐ、频率ｆ 与波长λ 之间的关系.
平面波的频率是由波源决定的. 它与源的频率始终相同. 但是平面波的 相速与媒质特性有关. 因此. 平面波的波长也与媒质特性有关. • 将式(７ －１４ａ) 代入式(７ －１８) 中. 得:
7平面电磁波的传播
0
2 E ( x,t ) x 2
E ( x,t ) t
2 E ( x,t ) t 2
0
为一维波动方程。
E＝Ey(x,t)ey
o
z
H＝Hz(x,t)ez
c 等相位面 x＝c 1
S
c
2
x
向x方向传播的均匀平面波
下面通过旋度方程分析均匀平面电磁波：
H
E
E
t
0 Ex
ε
Ex t
H z x
Ey
考虑在无限大的均匀介质中，不存在反射波，则
Ey x Eyekx Eye jx
Hz x Hzekx Hze jx
由波的欧姆定律
Z0
Ey x Hz x
为常数,则 E 和 H 同相。
d2 Ey dx 2
j 2
Ey
0
d 2 Hz dx 2
j 2 Hz
0
令
k j j j v
k ： 理想介质中波的传播常数
称为相位常数
v
d 2 Ey dx 2
k 2 Ey
0
d 2 Hz dx 2
k 2 Hz
0
通解
Ey x Eyekx Eyekx
Hz x Hzekx Hzekx
6.1电磁波动方程和平面电磁波
以波动形式存在的电磁场 即 电磁波。电磁波指电磁场的交互变化和伴随有电 磁能量的传播。在空间电磁波不需借助任何媒质就能传播。
6.1.1 一般电磁波动方程
设空间为各向同性、线性、均匀媒质：ε、μ、γ，ρ= 0，
J 0
H
E
E
t
………………(1)
H 0 ………………(3)
ε
E y t
电磁场与电磁波(第7章)1
ez Ex H x H y H z e y z (ex t e y t ez t ) z 0
由此可得
H x H z t t 0
H
x
H y Ex z t 和 H 均与时间无关，因此它们不是波动的部分，故可取
定义
无损耗介质是一种理想情况，在这里指电导率
0
平面波中的电场复数表示形式
E ex Ex ex E0 exp[i(t kz)]＝ex E0 exp[i(t kz / )]
理解
电场矢量的方向是 x 方向，电磁波则是沿 z 方向传播
波速为
v / k 1/ k / v
0
及
Jc 0
H E B t t B 0或 H 0 H E t
一般媒质中的麦克斯韦方程组变为： D 0
( H ) ( D) ( E ) t t
7.3 平面电磁波在有损耗介质中的传播
定义
实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在有损耗介质中的传 播具有实际意义。有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电 导率 0 ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。 有损耗介质中出现的传导 电流会使在其中传播的电 磁波发生能量损耗，从而 导致波的幅值随着传播距 离的增大而下降。研究表 明，传播过程中幅值下降 的同时，波的相位也会发 生变化，致使整个传输波 的形状发生畸变，如图所 示 平面波在有耗介质中的传播
1. 等效介电系数
对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有
E i H H Jc i E E i E
4-1 平面电磁波
k 2 /
4. 平面电磁波的性质 （ 1）
E E0 e
i k x t k x t
ik E0e ik E 由于E=0，所以 k E 0 , 表示电场波动是横波,
E可在垂直于k的任意方向上振荡。E的取向称为电 磁波的偏振方向（极化方向），可以选与 k 垂直的
第四章 电磁波的传播
在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。变化着
的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电 磁波。 由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛
应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为
独立的学科，具有十分丰富的内容。 本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论，下
一章再讨论辐射和激发问题。
消去共同因子e-it 后得
E iH H iE E 0 H 0
（1）
（2） （3） （4）
注意：在0的时谐电磁波情形下这组方程不是 独立的．
取第一式旋度并用第二式得
( E ) E
2
( E ) ( E ) E E
二、时谐电磁场
以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单
色波）。在一般情况下，即使电磁波不是单色波，
它也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析） 方法分解为不同频率的正弦波的叠加。因此，下 面只讨论一定频率的电磁波。 1. 场量的复数形式: 设电磁场只有一种频率 ，电磁场对时间的依赖
关系是cos t，或用复数形式表为
w E0 cos k x t
2 2
1 2 E0 1 cos 2k x t 2
和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需
用到它们的时间平均值。 为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般 公式．设f(t)和g(t)有复数表示
电磁场波动方程
定态波动方程
vv
2E k 2E 0
2
v B
k
2
v B
0
其中：
Helmhotz方程
▪ 定态情况下的电磁场方程可以写成：
vv 2E k2E 0
v
E 0
v B
i
v E
Helmhotz 方程
或者
vv 2B k2B 0
v B 0
v E
i
k2
v B
其中：
是定态下介质电磁特性参数
此处的 Ev、Bv 是电磁场的振幅，时间变化部分不包含在内
v B
0
v 2E
0 0
v 2E t 2
0
v
v 2B
0 0
2B t 2
0
在真空中电磁场满足 “波动方程”
▪ 真空中电、磁场形式上可以分离：
v 2E
1
v 2E
0
c2 t 2
v 2B
1
v 2B 0
c2 t 2
v E 0
v B 0
电波动方程＋横波条件 磁波动方程＋横波条件
其中
称为真空中光速
但不能替代麦克斯韦方程，还需要考虑电场与磁场的联系
二、时谐波（又称定态波）及其方程
▪
任一时域函数
v
Et
，可以视为由频域函数
v
E
叠加而成，反之亦
然。这就是富里叶（Fourier）变换：
v
E t
v E
eit
d
Ev
1
v E
t
eit
dt
2
正变换 逆变换
▪ 对电磁场作富里叶变换：
v
E
v X,t
第四章 电磁波的传播 §1. 平面电磁波§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射§3. 有导体存在时电磁波的
知 H
E
较大，非铁磁
B
可取 = 0
(2) E k 在与 k 垂直平面上可将 E 分解成两个分量
(3) H k, 且 H E
(4)
nn ((EH22EH1)1
0 )0
即 Et E't E"t Ht H 't H"t
(5) ' ,
sin 2 sin " 1
(1 2 0 )
电磁波：迅变电磁场， 导体内 = ？
电流：J
E
电荷：
E
/
,
J
E
J
0
t
t
J
,
d dt,
t
0e
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减 t = 时，（ = / 特征时间） = 0 / e
导体内的自由电荷分布
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减
o
y
x
平面电磁波的特性： （证明 see next page）
(1) 电磁波是横波， E k ， B k
(2) E B ， E B 沿 k 方向
(3) E 和 B同相，振幅比 E / B = v
平面电磁波
证明平面电磁波的特性
E 0
E
E0
ei
(
k
xt
)
E0
ei
( k xt
)i(k
E"
2 1 cos
2sin "cos
E 1 cos 2 cos" sin( ")
振幅关系 Fresnel 公式
(2) E || 入射面： (Ht H )
电磁波的传播
波。这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电
磁波（单色波）。
10
在通信技术上，载波是由振荡器产生并在通讯
信道(Communication Channel，是数据传输的通路)
上传输的电波，被调制后用来传送语音或其它信息。 载波频率比输入信号的频率高，输入信号调制到一 个高频载波上，就好像搭乘了一列高铁或一架飞机 一样，然后再被发射和接收。
的平面波。
21
设电磁波沿 x 轴方向传播，其场强在与 x 轴正交的
平面上各点具有相同的值，即E 和 B 仅与 x，t 有关， 而与y，z无关。这种电磁波称为平面电磁波，其波阵
面（等相位点组成的面）为与x轴正交的平面。
在这种情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方 程
d2 2 E ( x ) k E( x ) 0 2 dx
4
5
形式如（1.6）的方程称为波动方程，其解包括各种 形式的电磁波。C 是电磁波在真空中的传播速度， 是最基本的物理常量之一。
6
• 在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波， 如无线电波、光波、X 和 γ 射线等）都以速度c 传播。 • 现在讨论介质情形。研究介质中的电磁波传播问题 时，必须给出介质中 D E 以及 B H 的关系。
ε 和μ 随频率而变的现象称为介质的色散。
8
由于色散，对一般非正弦变化的电场E（t），
关系式
D（t）= εE（t）， 不成立。
因此在介质内不能够推出 E 和 B 的一般波 动方程
即不能在（1.4）式中把 μ0 ε0 → με的方程。
下面只讨论一定频率的电磁波在介质中的传播。
9
2. 时谐电磁波
在很多实际情况下，电磁波的激发源以大致 确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁波也 以相同频率作正弦振荡。例如无线电广播或通讯 的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦
平面电磁波
第六章主平面电磁波要 内 容 9学时平面电磁波电磁波：变化的电磁场脱离场源后在空间的传播 平面电磁波：等相位面为平面构成的电磁波 均匀平面电磁波：等相位面上E、H 处处相等的 电磁波 若电磁波沿 x 轴方向传播，则H=H(x,t)，E=E(x,t) 平面电磁波知识结构框图电磁场基本方程组 电磁波动方程 均匀平面电磁波的传播特性平面电磁波的基本特性1. 理想介质中的均匀平面波 2. 损耗媒质中的均匀平面波 3. 均匀平面波的极化 4. 均匀平面波对平面边界的垂直入射 5. 均匀平面波对平面边界的斜入射 6. 各向异性媒质中的均匀平面波1-120 2-120理想介质中均匀平面波 平面电磁波的极化导电媒质中均匀平面波平面电磁波的垂直入射平面电磁波的斜入射各向异性媒质中的均匀平面波x方向传播的一组均匀平面波3-120平面电磁波知识结构框图数的媒质， σ → ∞ 的媒质称为理想导体。
σ 介 于两者之间的媒质称为有损耗媒质或导电媒质。
6.1 理想介质中的均匀平面波 理想介质是指电导率 σ = 0 ，ε 、 μ 为实常6.1.1波动方程的解其通解为假设电磁场沿着 Z 轴方向传播，且电场仅有指向 X 轴 的方向分量，则磁场必只有 Y 方向的分量，即：z z E x = f1 (t − ) + f 2 (t + ) v v ∂ 2 Ex + β 2 Ex = 0 ∂z 2对于时谐变电磁场：E = ex E x ( z, t )波动方程H = ey H y (z,t)其通解为 则平面波是指波前面，即等相位面或者波前 阵是平面的波。
均匀平面波是指波前面上场量振 幅处处相等的波。
本节介绍最简单的情况，即介绍无源、均 匀（homogeneous）（媒质参数与位置无关）、 线性（linear）（媒质参数与场强大小无关）、 各向同性（isotropic）（媒质参数与场强方向无 关）的无限大理想介质中的时谐平面波。
4-120 5-120则∂E 2 =0 ∂t 2 ∂E 2 ∇ 2 E x − με 2x = 0 ∂t 2 ∂ E x 1 ∂E x2 − =0 ∂z 2 v 2 ∂t 2 ∇ 2 E − με其中： v =其中： β = ω μ εEx = Ex + e− jβ z + Ex − e+ jβ zE x = E x+ cos(ω t − β z ) + E x− cos(ω t + β z )对应的磁场为1∇ × E = −μ6-120με∂H ∂t∂H y ∂E x = −μ ∂z ∂t对应的磁场为∇ × E = −μ其通解为∂H ∂t∂H y ∂E x = −μ ∂z ∂t考察电场的一个分量 ，瞬时值表达式为：Ex ( z, t ) = Ex+ cos(ωt − β z + ϕx )其中Hy =β ⎡ E + cos(ω t − β z ) − E x− cos(ω t + β z ) ⎤ ⎦ ωμ ⎣ xωt 为时间相位 ， β z 为空间相位 ， ϕ x 是初始相位。
电磁场波动方程亥姆霍兹方程和平面电磁波2
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
eit d
v E
v
X ,
eit d
v
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eikx
i
eikx
E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
v
v S
v E
v H
1
v E
v B
1
v E
均匀平面波的概念和波动方程
1, 均匀平面电磁波的概念
2, 时变电磁场的波动方程
3, 均匀平面波的特性
什么是电磁波?
在自由空间，麦克斯韦方程:
可见：
Jc=。，Pv =。
VxH = e — dt
V7百一渔
N xE = —//-dt
时变的电场可以产生时变的磁场，时变的磁场又可以产生时变的 磁电场， 同时在空间上向邻近点推移，这样就产生了以一定速度向前 传播的电磁波动。
(4)均匀平面电磁波：
任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同, 这种电 磁波:
Vx H = J +亜 c dt
丿 V x E =--
<
dt
▽ . D = pN
i V.B = o
在自由空间：Jc=O/v=O (Vx H = 8 竺 dt
该电磁波动称为电磁波。
例如：水波
问题：一个点源所发射的电 磁 波的等相位面是什么样？
1 ,均匀平面电磁波的概念
(1) 等相位面：
在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。 等相 位面又称为波阵面。
(2) 球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。 (3) 平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。
可见：HZ与时间t无关，不属于时变场部分。Hz = 0 结论：磁场只有Hx和
Hy分量，说明磁场矢量也位于xOy平面上。
磁场强度可表示为：亘二jHx+ayH
结论: 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量,
这种平面电磁波称为横电磁波，简写为TEM波。
小结：
1、 均匀平面电磁波的概念 2、 时变电磁场的波动方程
D= 8E B=
工程电磁场5 平面电磁波
2HH t 2tH 2 0 电磁波动方程
2） E ( H )
t
H EE
t
(E)2EE t2tE 2
D0
2EE t 2tE 2 0 电磁波动方程
4.亥姆霍兹方程的平面波解
在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质
（ε和μ为常数，γ为0）的无源区域中，电场场量 满足亥姆霍兹方程，即：
电磁场在无耗媒质中 的传播是不衰减的
2E
2E t2
0
vv 2 E k 2 E 0( k 2 2 )
2H
2H t2
0
2 xE 2 v 2 yE 2 v 2 zE 2 vk2E v0
2E
x2 2E
x y
x2
2Ex y 2 2Ey
y 2
2Ex z 2 2Ey
z 2
k2Ex k2Ey
v H
) k
v E
) k 为表示波传播方向
的单位矢量。
同理可以推得：
v E
v H
) k
从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度
之比为一定值。定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征
阻抗，用 表示，即：
v
E
＝ v
——媒质本征阻抗
H
特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：
0
0 0
4107 120377() 361109
结论：当 xy 0或时，电磁波为线极化波。
2、当x
y
且
2
Exm
Eym时
Ex＝ Exmcos(tx)
Ey＝ Eymcos(tx2)m Eymsin(tx)
合成电场的模及其与x轴夹角为：
第二章 波动方程和平面波解
kR
kI
之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天 夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100
第六章 平面电磁波
a =
w me 2
2
导电媒质中的均匀平面波
利用上述结论，可得
Ex = Ex0 e
- j kz
= Ex0 e
- j (b - j a )z
= E x 0e
- az
e e
e jf x - j bz
Hy = Hy 0 e
- j kz
= Hy 0 e
- j (b - j a )z
= H y 0e
- az
e
m jf y - j bz
e
由此可见，电磁波在导电媒质中传播，不仅电场与磁场 不同相，而且随着波的传播，场的幅值不断按指数衰 减，此衰减是由于媒质的导电损耗引起的，根据α的公 式可知，频率越高，衰减越快。
kl = 2p
2p k= l
其中k表示了单位长度相位的变化，也称为相位常数。
理想介质中的均匀平面波
空间相位变化 2π 相当于一个全波， k的大小又可衡量
2π长度内具有的全波数目，所以 k又称为波数，还可称
为空间角频率。 等相位面：空间中电磁波相位相同的面，即
wt - kz = const
显然，随着时间的推移，相位面将沿z轴正方向移动，而 其移动的速度称为相速，记为vp，即
¶ Hx 抖 t ¶ Hy t 抖 ¶ Ey z ¶ Ex z
m m
=
e e
¶ Ex t 抖 ¶ Ey 抖 t
= =
¶ Hy z z
= -
¶ Hx
同时可知， Ex和Hy相关，Ey和Hx相关，重新组合得：
¶ Ex 抖 z ¶ Hy 抖 z = -m = -e ¶ Hy t ¶ Ex t
¶ Ey 抖 z ¶ Hx 抖 z
7.1 电磁波动方程和平面电磁波
7 平面电磁波的传播从基本方程的微分形式可以看出它们包含了产生电磁场的全部场源信息。
在电磁波中，变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场又产生变化的电场，伴随着电场和磁场的传播是能量的传输。
本章从电磁场的基本方程出发，首先介绍电磁波动方程，然后介绍了电磁波中最简单的形态--均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的情况。
7.1电磁波动方程和平面电磁波变化的电场和变化的磁场之间存在着耦合，这种耦合是以波动的形式存在于空间中。
这种变化的电磁场以波动的存在通常称为电磁波。
电磁波的存在，意味着在空间中有电磁场的变化和电磁能量的传播。
光波、无线电波等都是电磁波，它们在空间不需借助任何媒质就能传播。
7.1.1 一般电磁波动方程设空间为各向同性、线性、均匀媒质，考虑 0=f ρ，0=f J 。
则电磁场基本方程组可写为t∂∂+=⨯∇E E H εγ （7.1.1） t∂∂-=⨯∇H E μ （7.1.2） 0=⋅∇H （7.1.3）0=⋅∇E （7.1.4）对（7.1.1）式两端求旋度()H H H 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇()22t t t t ∂∂-∂∂-=⨯∇∂∂+⨯∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇H H E E E E μεγμεγεγ利用（7.1.3）有0222=∂∂-∂∂-∇tt H H H μεγμ （7.1.5） 同理由对（7.1.2）两边取旋度，再代入（7.1.3）、（7.1.2）式等，可推得0222=∂∂-∂∂-∇t t E E E μεγμ （7.1.6） 称上面两式为电磁波动方程（它们是一般性的波动方程）。
我们就是在各向同性、线性、均匀媒质中研究电磁波的基础问题。
H 和E 满足的方程在数学上属同一类方程。
对于电场E 或磁场H 的分量，若用统一的标量符号()t r ,ψ来表示，就可以将原问题转化成标量方程的求解问题0222=∂∂-∂∂-∇t t ψγεψγμψ （7.1.7） 7.1.2 平面电磁波及基本性质对于电磁波传播过程中的某一时刻t ，空间电磁场中E 或H 具有相同相位的点构成的面称为等相面，又称为波阵面。
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电磁波动方程和平面电磁波
电工基础教研室周学
本节的研究目的
掌握无源空间线性各向同性均匀介质中波动方程的推导；
掌握等相面，平面波，均匀平面波概念；掌握均匀平面电磁波的基本特征。
本节的研究内容
一、电磁波动方程
二、均匀平面电磁波
波动是电磁场的基本属性当时，电场和磁场相耦合，相互为源，可以脱离电荷、电流，以波的形式存在于空间中。
0/≠∂∂t 0≠∂∂t B 0≠∂∂t
E E
B 电磁波
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇010*******
22t E c E t H c H
电磁波的波段划分及其应用名称频率范围波长范围典型业务
甚低频VLF[超长波] 3~30KHz100~10km导航，声纳低频LF[长波，LW] 30~300KHz10~1km导航，频标中频MF[中波, MW] 300~3000KHz1km~100m AM, 海上通信高频HF[短波, SW] 3~30MHz100m~10m AM, 通信
甚高频VHF[超短波] 30~300MHz10~1m TV, FM, MC 特高频UHF[微波] 300~3000MHz100~10cm TV, MC, GPS 超高频SHF[微波] 3~30GHz10~1cm通信,雷达
极高频EHF[微波] 30~300GHz10~1mm通信, 雷达
光频[光波] 1~50THz300~0.006 m光纤通信
研究电磁波在空间的传播规律和特性，就是讨论由电磁场基本方程组导出的电磁波动方程在给定条件下的解。
00E H E t H E t H E γεμ⎧∂∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D E B H
J E εμγ⎧=⎪=⎨⎪=⎩在无源空间中，假设媒质是各向同性、线性、均匀的，则
2
2222200H H H t t E E E t t μγμεμγμε⎧∂∂∇--=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪∇--=⎪∂∂⎩无源空间的电磁波动方程，研究电磁波问题的基础
t 等相位面：在电磁波传播过程中，对应于每一时刻，空间电磁场中电场或磁场具有相同相位的点构成等相位面，或波阵面。
E H 平面电磁波：等相位面为平面的电磁波称为平面电磁波。
均匀平面电磁波：在平面波的等相位面的每一点上，电场均相同，磁场也均相同，则这样的电磁波称为均匀平面电磁波。
E H 几个重要概念：
远离单元偶极子处的电磁波在小范围内可近似地看成均匀平面电磁波。
各种复杂的电磁波可看成由许多均匀平面电磁波迭加而成。
假设均匀平面电磁波的等相位面与yOz 平面平行
则，满足的一维波动方程为：沿x 方向传播的一组均匀平面波
(,)E x t (,)H x t 22
22222200H H H x t t E E E x t t μγμεμγμε⎧∂∂∂--=⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪--=⎪∂∂∂⎩和关于x 的一维波动方程E H
把，代入无源空间的旋度方程，可得
(,)E x t (,)H x t 0,,0,,y z y y z y z x z y z x x E H E x t E H x H E E x E t H E x t t E t H t
γεγεμγεμμ∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂=--∂∂∂∂=-∂⎧∂+=⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩∂∂◆均匀平面电磁波是一横电磁波。
均匀平面电磁波中的电场和磁场都没有和波传播方向相平行的分量。
均和波传播方向相垂直，即对传播方向来说它们是横向的。
这种电磁波称为横电磁波或TEM 波。
E H ◆电场强度和磁场强度的方向和波的传播方向三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。
E H
把，代入无源空间的旋度方程，可得
(,)E x t (,)H x t 0,,0,,y z y y z y z x z y z x x E H E x t E H x H E E x E t H E x t t E t H t
γεγεμγεμμ∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂=--∂∂∂∂=-∂⎧∂+=⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩∂∂ 分量和构成一组平面波；分量和构成另一组平面波。
这两组分量彼此独立，但电磁波中的合成场强由这两组分量波的有关场强构成。
y E z H z E y H 2222222200z z z y y y H H H x t t E E E x t t μγμεμγμε⎧∂∂∂--=⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪--=⎪∂∂∂⎩2222222200y y y z z z H H H x t t E E E x t t μγμεμγμε⎧∂∂∂--=⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪--=⎪∂∂∂⎩
三、小结
1. 无源空间的电磁波动方程
2. 均匀平面电磁波的一维波动方程
3. 均匀平面电磁波的性质
横电磁波，TEM波
电场、磁场、传播方向满足右手螺旋关系
相互垂直的电场和磁场分量方程相互独立。