§2.5 对数与对数函数(讲解部分)

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1.5,c=ln
2<1,所以c<a<b,
故选A.
答案 A
方法技巧
方法1 对数函数的图象及其应用
1.底数与1的大小关系决定了图象的升降,a>1时,图象上升;0<a<1时,图象下 降. 2.设y1=logax,y2=logbx,其中a>1,b>1(或0<a<1,0<b<1).当x>1时,“底大图低”, 即若 a>b,则y1<y2;当0<x<1时,“底大图高”,即若a>b,则y1>y2. 3.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问题,在求解其单调 性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法.
x
故实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4].
答案 ห้องสมุดไป่ตู้0,1)∪(1,4]
考向二 与对数函数有关的复合函数的单调性
例5 函数f(x)=log2(x2-2x-3)的单调增区间是
.
解析 由题意可知x2-2x-3>0,∴x>3或x<-1. 令u=x2-2x-3,该函数在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 又∵y=log2u在(0,+∞)上单调递增,∴y=log2(x2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递减, 在(3,+∞)上单调递增,故f(x)的单调增区间为(3,+∞).
答案 (3,+∞)
考向三 指数式与对数式的大小比较 例6 (2019山西吕梁第一次模拟,6)已知a=log35,b=1.51.5,c=ln 2,则a,b,c的大 小关系是 ( ) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c
解析
1<a=log35=
1 2
log325<
1 2
log327=1.5,b=1.51.5>
logba
(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)
运算 条件 法则 结论
a>0且a≠1,M>0,N>0
loga(MN)=logaM+logaN
loga =logaM-logaN
M
logaMN n=nlogaM(n∈R)
考向突破 考向 对数的运算 例1 (2018皖西高中教学联盟期末,4)计算log29×log34+2log510+log50.25= () A.0 B.2 C.4 D.6
当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 是(0,+∞)上的减函数
2.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它 们的图象关于直线y=x对称.其图象关系如图所示.
3.比较底数的大小 由图象可知,a>b>1>c>d,在第一象限内,从左向右,底数越来越大.
例2 (2020届河北邯郸模拟,15)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且
f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则 n =
.
m
解析 ∵f(x)=|log3x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),∴0<m<1<n,∴-log3m=
log3n,∴mn=1.
例1
(2018广东广州执信中学月考,5)设a,c为正数,且3a=lo
g
1 3
a,
1 3
b
=9,
1 3
c
=log3c,则 ( )
A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<b<c
解析 方程的根可以转化为两图象交点的横坐标,a为y=3x与y=log1 x两函
3
数图象交点的横坐标,c为y=
考点清单
考点一 对数的概念及运算
考向基础 1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN, 其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
特点 底数为a(a>0且a≠1)
底数为10 底数为e
9
综上可得 n =9.
m
答案 9
∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,函数f(x)在[m2,1]上是减函数,在(1,n]上是
增函数,
∴-log3m2=2或log3n=2.
若-log3m2=2,则m=1 ,从而n=3,此时log3n=1,满足题意,故 n =3÷1 =9;
3
m3
若log3n=2,则n=9,从而m=1 ,此时-log3m2=4,不满足题意.
记法 logaN lg N ln N
2.对数的性质、换底公式与运算法则
性质
loga1=0;logaa=1 a loga N =N;logaaN=N(a>0且a≠1)
换底 公式
loga N
logbN= logab (a,b均大于0且不等于1,N>0)
相关结论:logab= 1 ;logab·logbc·logcd=logad
考向突破 考向一 与对数函数有关复合函数的值域
例4
(2018江西一模,15)若函数f(x)=loga
x
a x
-4
(a>0且a≠1)的值域为R,
则实数a的取值范围是
.
解析
函数f(x)=loga
x
a x
-4
(a>0且a≠1)的值域为R,则x+
a x
-4能取到所有
正数.易知x>0,∵x+ a ≥2 a ,∴只需2 a -4≤0,即2 a ≤4,解得a≤4.
解析 因为3<x≤27,所以1<log3x≤3,2≤f(x)<4, 即f(x)的值域是[2,4).
答案 B
考点三 对数函数的综合应用
考向基础 1.与对数函数有关的复合函数的定义域、值域 (1)y=loga f(x)的定义域是满足f(x)>0的x的值组成的集合. (2)先确定f(x)>0时对应的x的取值范围及此时f(x)的取值范围,再根据对数 函数的单调性确定y=loga f(x)的值域. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性 函数y=loga f(x)的单调区间必须保证在f(x)>0时相应x的取值范围内,这时内 外层函数要注意“同增异减”.
1 3
x
与y=log3x两函数图象交点的横坐标,易得b
=-2.画出y=
1 3
x
,y=3x,y=log3x,y=lo
g
1 3
x的图象,可看出b<a<c.
答案 A
方法2 对数函数的性质及其应用
1.比较对数值大小的类型及相应方法
2.研究复合函数y=loga f(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函数 u=f(x)及y=logau的单调性(最值)确定函数y=loga f(x)的单调性(最值)(其中a> 0且a≠1).
考向突破 考向一 对数函数图象的应用
例2 (2020届山西运城模拟,7)已知函数f(x)=|ln x|满足f(a)>f(2-a),则实数a 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(1,3)
解析
f(x)=
ln x,x 1, -ln x,0 x
画出f(x)的大致图象如图,
∴ln a>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1,无解. 综上,a的取值范围为(0,1),故选A.
答案 A
考向二 对数函数性质的应用 例3 (2019陕西西安高新区第一中学模拟,6)已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27], 则f(x)的值域是 ( ) A.(2,4] B.[2,4) C.[-4,4) D.(6,9]
解析 由对数的运算公式和换底公式可得
log29×log34+2log510+log50.25=2log23×
log2 log2
4 3
+log5(102×0.25)=4+2=6.故选D.
答案 D
考向基础
考点二 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 是(0,+∞)上的增函数
1,
由图知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
根据题意可知 2a-a
0, 0
⇒0<a<2.
①当0<a<1,2-a>1时,∵f(a)>f(2-a),
∴-ln a>ln(2-a)⇒a(2-a)<1,解得a≠1⇒0<a<1;
②当a=1时,f(a)=f(2-a),不符合题意;
③当1<a<2,0<2-a<1时,∵f(a)>f(2-a),
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