圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义---面积与最值

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高考数学一轮复习第八篇第7节圆锥曲线的综合问题第2课时最值范围证明专题课件文新人教A版

高考数学一轮复习第八篇第7节圆锥曲线的综合问题第2课时最值范围证明专题课件文新人教A版
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PQ 为 对 角 线 的 菱 形 的 一 顶 点 为 M( - 1 , 0) , 由 题 意 可 知 MN⊥PQ,即x0-y(0--01)=-1k,
整理可得:3km=1+4k2 ② 由①②可得 k2>15,m>0,∴k>0,∴k> 55,
设 O 到直线的距离为 d,则
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S

OPQ

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(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等式关系构造不等式,从而求出参数的取值范 围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其变量的函数,求 其他值域,从而确定参数的取值范围.
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【即时训练】 已知两点 F1(-1,0)及 F2(1,0),点 P 在以 F1, F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|构成等差数列.
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两边同除以
x 21 -
x
2 2


b2 a2

(y1+y2)(y1-y2) (x1+x2)(x1-x2)

0


b2 a2

kOE·kAB=0.
因为椭圆被直线 y=x-1 截得的弦的中点 E 的横坐标为45,所以
E45,-15, 所以 kOE=-14,kAB=1,所以ba22-14=0,即 a2=4b2,②
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(2)由条件 D(0,-2),当 k=0 时,显然-2<t<2; 当 k≠0 时,设 l:y=kx+t,1x22 +y42=1,消得(1+3k2)x2+6ktx
y=kx+t, +3t2-12=0 由 Δ>0 可得 t2<4+12k2,①
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 中点 H(x0,y0),则 x0=x1+2 x2=1-+33kkt2, y0=kx0+t=1+t3k2,所以 H(-1+3k3tk2,1+t3k2),

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第三课时 最值、范围问题

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第三课时 最值、范围问题

第三课时 最值、范围问题题型一 距离与面积的最值(范围)例1 已知椭圆C :x 2a 2+y 23=1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点F 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A ,B 不在x 轴上),若OE→=OA →+OB →,延长AO 交椭圆于点G ,求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2=3,a +c =3,a 2=b 2+c 2.联立以上3个式子,可得a 2=4,所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)法一 因为过F (1,0)的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A ,B 不在x 轴上),所以设l 的方程为x =ty +1,由⎩⎨⎧x =ty +1,x 24+y 23=1,得(3t 2+4)y 2+6ty -9=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-6t3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4. 因为OE→=OA →+OB →, 所以四边形AOBE 为平行四边形,所以S =SAOBE +S △OGB =3S △AOB =32|y 1-y 2| =32(y 1+y 2)2-4y 1y 2=18t 2+13t 2+4. 令t 2+1=m ,则m ≥1,S =18m 3m 2+1=183m +1m. 由函数的单调性易得当m =1,即t =0时,S max =92.法二 由OE→=OA →+OB →知四边形AOBE 为平行四边形. 所以S =S AOBE +S △OGB =3S △AOB .当直线AB 的斜率不存在时,S =3S △AOB =92.当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),k ≠0.由⎩⎨⎧y =k (x -1),x 24+y 23=1,得 (4k 2+3)y 2+6ky -9k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),得⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-6k4k 2+3,y 1y 2=-9k 24k 2+3, 所以S =3S △AOB =32|y 1-y 2| =32(y 1+y 2)2-4y 1y 2=18k 4+k 24k 2+3.令4k 2+3=m ,则m >3,S =92-3×1m 2-2m +1<92.综上知,四边形AGBE 的面积S 的最大值S max =92.感悟提升 1.本题求四边形AGBE 面积的最值,首先分割,借助三角形面积转化为函数的最值问题;求解最值应用了两个技巧:一是换元,运用函数的性质;二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.训练1 (2022·南宁模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,右顶点M 到左焦点的距离为3,直线l 与椭圆C 交于点A ,B .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线MA ,MB 的斜率为k 1,k 2.若4k 1k 2+9=0,求|AB |的最小值.解 (1)设椭圆的半焦距为c ,由题意得⎩⎨⎧c a =12,a +c =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =1,∴b =3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题意知,直线l 的斜率不为0,设其方程为x =my +n ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎨⎧x =my +n ,x 24+y 23=1,得(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2-12=0, ∴y 1+y 2=-6mn 3m 2+4,y 1y 2=3n 2-123m 2+4, Δ=(6mn )2-4(3m 2+4)(3n 2-12)=48(3m 2-n 2+4)>0.由(1)知M (2,0),则直线MA ,MB 的斜率分别为k 1=y 1x 1-2,k 2=y 2x 2-2,∴k 1k 2=y 1y 2(x 1-2)(x 2-2)=y 1y 2(my 1+n -2)(my 2+n -2)=y 1y 2m 2y 1y 2+m (n -2)(y 1+y 2)+(n -2)2 =3n 2-123m 2+4m 2·3n 2-123m 2+4+m (n -2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-6mn 3m 2+4+(n -2)2 =3n 2-124(n -2)2=3(n +2)4(n -2)=-94,解得n =1.∴直线l 的方程为x =my +1,直线l 过定点(1,0),此时,y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4, ∴|AB |=1+m 2|y 1-y 2| =1+m 2·(y 1+y 2)2-4y 1y 2 =1+m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫-6m 3m 2+42+363m 2+4=1+m 2·144(m 2+1)(3m 2+4)2 =12(m 2+1)3m 2+4=4·3m 2+33m 2+4 =4⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13m 2+4≥3(当且仅当m =0时取等号), ∴|AB |的最小值为3.题型二 斜率或某些参数(式子)的最值(范围)例2 (2021·兰州诊断)已知抛物线y 2=4x 及点P (4,0).(1)以抛物线的焦点F 为圆心,|FP |为半径作圆,求圆F 与抛物线交点的横坐标;(2)若A ,B 是抛物线上不同的两点,且直线AB 与x 轴不垂直,弦AB 的垂直平分线恰好经过点P ,求F A →·FB→的取值范围. 解 (1)由已知得F (1,0),所以圆F 的方程为(x -1)2+y 2=9,由⎩⎪⎨⎪⎧(x -1)2+y 2=9,y 2=4x ,得x 2+2x -8=0. 解得x =2或x =-4.由于x >0,所以x =2.则圆与抛物线交点的横坐标为2.(2)设弦AB 的中点为M ,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214,y 1, B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224,y 2,M (x 0,y 0), 则x 0=y 21+y 228,y 0=y 1+y 22, 设线段AB 的垂直平分线的方程为y =k (x -4)(k ≠0),则直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214-y 224=4y 1+y 2=2y 0=-1k , ∴y 0=-2k .∵点M 在弦AB 的垂直平分线上,∴y 0=k (x 0-4)(k ≠0),∴x 0=2.则直线AB 的方程为k (y -y 0)=2-x ,由⎩⎪⎨⎪⎧k (y -y 0)=2-x ,y 2=4x ,得ky -ky 0=2-y 24,即y 2+4ky +8k 2-8=0,∴Δ=16k 2-32k 2+32=-16k 2+32>0,∴0<k 2<2.∵y 1+y 2=-4k ,y 1y 2=8k 2-8,∴F A →·FB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214-1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224-1+y 1y 2 =⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242-14(y 21+y 22)+1+y 1y 2 =4(k 2-1)2-4+1+8k 2-8=4k 4-7,∴F A →·FB→的取值范围是(-7,9). 感悟提升 圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法:几何条件定代换;目标关系式求范围.训练2 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =32,直线x +3y -1=0被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点M (4,0)的直线l 交椭圆于A ,B 两个不同的点,且λ=|MA |·|MB |,求λ的取值范围.解 (1)原点到直线x +3y -1=0的距离为12,由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫322=b 2(b >0),解得b =1. 又e 2=c 2a 2=1-b 2a 2=34,得a =2,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)当直线l 的斜率为0时,直线l :y =0为x 轴,λ=|MA |·|MB |=12.当直线l 的斜率不为0时,设直线l :x =my +4,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立⎩⎨⎧x =my +4,x 24+y 2=1,消去x 得 (m 2+4)y 2+8my +12=0.由Δ=64m 2-48(m 2+4)>0,得m 2>12,所以y 1y 2=12m 2+4. λ=|MA |·|MB |=m 2+1|y 1|·m 2+1|y 2|=(m 2+1)|y 1y 2|=12(m 2+1)m 2+4=12⎝⎛⎭⎪⎫1-3m 2+4. 由m 2>12,得0<3m 2+4<316, 所以394<λ<12.综上可得:394<λ≤12,即λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤394,12.1.如图,已知椭圆C 1:x 22+y 2=1,抛物线C 2:y 2=2px (p >0),点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点,过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ,交抛物线C 2于点M (B ,M 不同于A ).(1)若p =116,求抛物线C 2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点,求p 的最大值.解 (1)由p =116,得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132,0. (2)由题意可设直线l :x =my +t (m ≠0,t ≠0),点A (x 0,y 0).将直线l 的方程代入椭圆C 1:x 22+y 2=1,得(m 2+2)y 2+2mty +t 2-2=0,所以点M 的纵坐标y M =-mt m 2+2. 将直线l 的方程代入抛物线C 2:y 2=2px ,得y 2-2pmy -2pt =0,所以y 0y M =-2pt ,解得y 0=2p (m 2+2)m, 因此x 0=2p (m 2+2)2m 2. 由x 202+y 20=1,得1p 2=4⎝ ⎛⎭⎪⎫m +2m 2+2⎝⎛⎭⎪⎫m +2m 4≥160, 当且仅当m =2,t =105时,p 取到最大值1040.2.已知抛物线x 2=y ,点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,14,B (32,94),抛物线上的点P (x 0,y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫-12<x 0<32. (1)求直线AP 斜率的取值范围;(2)Q 是以AB 为直径的圆上一点,且AP →·BQ →=0,求AP →·PQ→的最大值. 解 (1)设直线AP 的斜率为k ,则k =x 20-14x 0+12=x 0-12,且-12<x 0<32, 则-1<x 0-12<1.所以直线AP 斜率的取值范围是(-1,1).(2)由题意可知,AP→与AQ →同向共线,BQ ⊥AQ , 联立直线AP 与BQ 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧kx -y +12k +14=0,x +ky -94k -32=0,解得点Q 的横坐标是x Q =-k 2+4k +32(k 2+1). 因为|AP |=1+k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+12=1+k 2·(k +1), |PQ |=1+k 2(x Q -x 0)=-(k -1)(k +1)2k 2+1, 所以AP →·PQ →=|AP →|·|PQ→|=-(k -1)(k +1)3. 令f (k )=-(k -1)(k +1)3,因为f ′(k )=-(4k -2)(k +1)2, 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,12上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1上单调递减, 因此当k =12时,AP →·PQ →取得最大值2716. 3.(2022·全国名校联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知定点F (1,0),定直线l :x =-2,动点P 到l 的距离比到点F 的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点H (3,2)的动圆M 与曲线C 相交,其中A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1=x 2>3)为它们的两个交点,且动圆M 与直线y =2相交于另一点D ,求|DH |的最小值. 解 (1)设动点P (x ,y ),则由题意知x +2=|PF |+1,所以x +1=|PF |,即点P 到定直线x =-1的距离与点P 到点F 的距离相等,所以点P 的轨迹是以O 为顶点,F 为焦点的抛物线,所以轨迹C 的方程为y 2=4x .(2)由题意可知圆心M 在x 轴上,设M(m,0),D(x3,2),x3>3,由题意知A(x1,2x1),B(x1,-2x1),连接MH,MA,则|MH|=|MA|,即(m-3)2+(0-2)2=(m-x1)2+(0-2x1)2,即m=x21+4x1-132x1-6.由题意知圆M的方程为(x-m)2+y2=(m-3)2+4. 令y=2,得x=2m-3或x=3,所以x3=2m-3,所以|DH|=x3-3=2m-6=x21+4x1-13x1-3-6=x21-2x1+5x1-3.因为x1>3,所以|DH|=x21-2x1+5 x1-3=(x1-3)+8x1-3+4≥2(x1-3)·8x1-3+4=4+42,当且仅当x1-3=8x1-3,即x1=3+22(x3=3-22舍去)时等号成立. 所以|DH|的最小值为4+4 2.4.(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为1 2.(1)求C的方程;(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值. 解(1)由题意可知直线AM的方程为y -3=12(x -2),即x -2y =-4,当y =0时,解得x =-4,所以a =4.由椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2,3),可得416+9b 2=1,解得b 2=12,所以C 的方程为x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为x -2y =m (m ≠-4).如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ,此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1,可得3(m +2y )2+4y 2=48,化简可得16y 2+12my +3m 2-48=0,所以Δ=144m 2-4×16(3m 2-48)=0,即m 2=64,解得m =±8,与AM 距离比较远的直线方程为x -2y =8,点N 与直线AM 的距离即两平行线之间的距离,即d =8+41+4=1255,由两点之间距离公式可得|AM|=(2+4)2+32=35,所以△AMN的面积的最大值为12×35×1255=18.。

专题50圆锥曲线的综合应用问题范围与最值问题ppt课件

专题50圆锥曲线的综合应用问题范围与最值问题ppt课件

第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
解 (1)设椭圆的半焦距长为c,
则由题设有ac= 36, a-c= 3- 2,
解得a= 3,c= 2,∴b2=1, 故椭圆C的方程为y32+x2=1.
第1轮 ·数学
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
考向1:建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值
(2019·山东滨州检测)已知椭圆C:x2+2y2=4. (1)求椭圆C的离心率; (2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长 度的最小值. 解 (1)由题意,椭圆C的标准方程为x42+y22=1, 所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2. 因此a=2,c= 2.
综上所述,O→E·O→F的取值范围是[-8,2].
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
自主 完成
圆锥曲线中的最值问题是高考中的常考题型,难度一般较大,常常把不等式、 函数、圆及圆锥曲线等知识结合在一起,注重数学思想方法的考查,尤其是函数思 想、数形结合思想、分类讨论思想的考查.
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
所以
O→E
·O→F
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

高考数学一轮复习 必考部分 第八篇 平面解析几何 第7

高考数学一轮复习 必考部分 第八篇 平面解析几何 第7

得(1+4k2)x2-16kx+12=0,当Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 3 时, 4
x1,2=
8k
2 1
4k 2 4k 2

3
,从而|PQ|=
k 2 1 |x1-x2|= 4
k2 1 4k 2 3 , 1 4k 2
又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2 ,所以△OPQ 的面积 k2 1
【即时训练】 已知点 A(0,-2),椭圆 E: x2 + y 2 =1(a>b>0)的离心率为 3 ,F 是椭
a2 b2
2
圆的焦点,直线 AF 的斜率为 2 3 ,O 为坐标原点. 3
(1)求 E 的方程;
解:(1)设 F(c,0),由条件知 2 = 2 3 ,得 c= 3 . c3
又c= 3, a2
2
方法二 利用基本不等式求最值 【例 2】 (2015 东北三校二模)设 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点.P 是 C 上一 点,斜率为-1 的直线 l 交 C 于不同两点 A,B(l 不过 P 点),且△PAB 的重心
的纵坐标为- 2 . 3
重心的坐标公式?
(1)记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求 k1+k2 的值;
y,
m,

x2-4kx-4m=0,
于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,
所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k2+m),
由 PF =3 FM 得,(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),
所以
x0 y0

6k, 4 6k 2

高三总复习数学课件 圆锥曲线中的最值、范围问题

高三总复习数学课件 圆锥曲线中的最值、范围问题
(3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从 而确定参数的取值范围.
[针对训练]
1.已知点F1,F2依次为双曲线C:
x2 a2

y2 b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且
|F1F2|=6,B1(0,-b),B2(0,b).
由 k2≥0 可得―F1→M·―F1→N∈-1,72. 综上可知,―F1→M·―F1→N 的取值范围是-1,72.
[方法技巧] 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值 范围.
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心是建立两 个参数之间的等量关系.
(1)若a= 5,以d =(3,-4)为方向向量的直线l经过B1,求F2到l的距离;
(2)若双曲线C上存在点P,使得―B1→P ·―B2→P =-2,求实数b的取值范围. 解:(1)依题意,2c=6,则b= 9-5=2, 则双曲线C:x52-y42=1,B1(0,-2),F2(3,0). 设直线l:4x+3y+m=0, 将B1(0,-2)代入解得m=6, 此时l:4x+3y+6=0,
1 4k
x,∴
N
6,-23k
.联立
x2+4y2=4, y=-41kx,
得x2=
16k2 1+4k2
,即x
2 M

16k2 1+4k2
,∵|OM|2=
|ON|·|OE|,∴11+6k42k2=-12+4k4mk2,∴m=-23k,∴直线l的方程为y=kx-23,过
定点
23,0.易知当定点与点H(0,1)的连线与直线l垂直时,d取得最大值

圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 课件(67张)

圆锥曲线中的最值、范围、证明问题   课件(67张)

55 15 .
所以△ABP面积的最大值为251635 5.
[方法技巧] (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征,考虑用
图象性质来求解. (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显,
则可以建立目标函数,再求这个函数的最值.求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换 元法等.
利用基本不等式求最值 [例 3] (2017·太原模拟)已知椭圆 M:xa22+y32=1(a>0)的一个 焦点为 F(-1,0),左、右顶点分别为 A,B.经过点 F 的直线 l 与 椭圆 M 交于 C,D 两点. (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求线段 CD 的长; (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1-S2,所以椭圆 M 的方程为x42+y32=1, 易求直线方程为 y=x+1,联立方程,得x42+y32=1,
y=x+1, 消去 y,得 7x2+8x-8=0, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),Δ=288,x1+x2=-87,x1x2=-87, 所以|CD|= 2|x1-x2|= 2 x1+x22-4x1x2=274.
[答案] C
[方法技巧] 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
理、性质等进行求解,也叫做几何法.
建立目标函数求最值 [例 2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛 物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,
点 M 为 AB 的中点, PF =3FM . (1)若|PF|=3,求点 M 的坐标; (2)求△ABP 面积的最大值. [解] (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1. 设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得 y0=2, 所以 P(2 2,2)或 P(-2 2,2), 由 PF =3FM ,得 M-232,23或 M232,23.

高考数学总复习高考研究课(六)圆锥曲线的综合问题_最

高考数学总复习高考研究课(六)圆锥曲线的综合问题_最

k≥4
13或
4
k≤-
13.
4
4
故直线 l 的斜率 k 的取值范围是(-∞,- 13]∪[ 13,+∞).
[方法技巧]
求参数范围的4个常用方法
(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,
利用求函数值域的方法求解.
(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过解 不等式求参数范围.
(3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用 判别式Δ求参数的范围.
(4)数形结合法:研究该参数所表示的几何意义,利用 数形结合思想求解.
[即时演练]
(2016·湖北孝感一模)已知椭圆C:
x2 a2

y2 b2
=1(a>b>0)的离心率为
12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ 6=0 相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点.
整理得 m2=4k2+1.

∵直线 l 与两坐标轴的交点分别为-mk ,0,(0,m)且 k<0,
∴l 与坐标轴围成的三角形的面积 S=21·-m2k,

将②代入③可得 S=-2k+-12k≥2,当且仅当 k=-21时取等号, ∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 2.
范围问题
[典例] (2017·贵阳监测 率为 36,且椭圆 C 上的点到一个焦点的距离的最小值为 3- 2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求―O→A ·―O→B 的取值范围. 解:(1)由题意知e=ac=12,∴e2=ac22=a2-a2 b2=14,
y= 2x+m,
(2)联立方程x22+y42=1,
得 4x2+2 2mx+m2-4=0,

高考数学总复习考点知识专题讲解55---圆锥曲线中的范围、最值、证明问题

高考数学总复习考点知识专题讲解55---圆锥曲线中的范围、最值、证明问题

由方程组xx4=2+my3y2=+1122,
消去 x,并整理得 4(3m2+4)y2
+12my-45=0.
设 E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0) ∴y1+y2=-3m32m+4, ∴y0=y1+2 y2=-23m3m2+4, ∴x0=my0+12=3m22+4,∴k=x0y-0 2=4mm2+4.

S

ABM

1 2
·|FM|·|y1
→→→ =0.证明:|FA|,|FP|,|FB|成等差数列,并求该数列的公差.
[审题程序]
第一步:点差法确定 m,k 的关系式; 第二步:利用 m>0 求证 k<-12; 第三步:求出 P 点坐标,并用 A,B 坐标表示F→P+F→A+ F→B=0; 第四步:证明|F→A|,|F→P|,|F→B|成等差数列,求出公差.
高考数学总复习考点知识专题讲解
圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
专题概述:1.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两 种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等 式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数 法等方法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角 度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值;2.圆锥曲线中的证 明问题通常转化为利用坐标容易解决的问题,通过坐标法来 解决,合理转化是解决证明问题的关键.
[审题程序]
第一步:利用待定系数法求椭圆方程; 第二步:确定直线在特殊位置下的四边形 ACBD 的面积; 第三步:设出直线方程并与椭圆方程联立,确定 k 的范 围及根与系数的关系; 第四步:四边形 ACBD 的面积用 k 表示; 第五步:利用函数或不等式知识求出结果.
[规范解答] (1)由题意知ac=12,则 a=2c. 圆 M 的标准方程为(x+1)2+y2=16, 从而椭圆的左焦点为 F1(-1,0),即 c=1.所以 a=2. 由 b2=a2-c2,得 b= 3. 所以椭圆的方程为x42+y32=1.

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.12 圆锥曲线中范围与最值问题

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义  第八章 §8.12 圆锥曲线中范围与最值问题

则 x1+x2=3+8k4k2,x1x2=-3+84k2, 直线 FQ 的方程 y-y1=xy22+-xy11(x+x1),设 G(0,yG),
则 yG-y1=yx22-+yx11·x1,yG=kxx1x2+2-xk1x21+kx1-1=x22k+x1xx21-1=-3,
S△PQG=|HG||x21-x2|=|x1-x2|= x1+x22-4x1x2=
1234
所以2t2-(t+1)(2p+2t)+t2+1=0, 可得 2p=t2-t+2t1+1, 由原点 O 到直线 AB 的距离不小于 2, 可得 |t2| ≥ 2, 解得t≥2或t≤-2, 因为p>0,所以t≤-2不成立,所以t≥2,
1234
因为 2p=t2-t+2t1+1=t+1+t+41-4,且函数 y=t+1+t+41-4 在[2,+∞) 上单调递增, 所以 2p≥22-22+×12+1=13,所以 p≥16, 即 p 的取值范围为16,+∞.
化简得n2-4n-5=0, 解得n=5或n=-1(舍去), 则直线 MN 的方程为 x-my-5=0,得 d= m62+1, 又M,N都在双曲线的右支上,且k1k2=-2, 故 y1y2=33mn22--11=3m722-1<0,
即 3m2-1<0,0≤m2<13, 此时 1≤ m2+1< 23,d= m62+1∈(3 3,6], 所以点 A 到直线 MN 的距离 d 的取值范围为(3 3,6].
(2)设经过点H(0,-1)的直与y轴交于点G,求△PQG面积的取值范围.
由题意得直线PQ的斜率一定存在且不为0,设直线PQ的方程为y=kx -1(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-x1,y1),
y=kx-1, 联立x42+y32=1, 整理得(3+4k2)x2-8kx-8=0, Δ=64k2+32(3+4k2)=192k2+96>0,

高考数学专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题课件

高考数学专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题课件

4分
则 kAH+kBH=y421y+1 1+y422y+2 1
=4y1y2yy121++y42+y221+64y1+y2
=-41+6·4ym21+4+16y·422m=0,即 kAH=-kBH, 5 分
则∠AHF=∠BHF.
6分
(2)由 AB⊥HB,
可得 kAB ·kHB=-1,即 kAB=yy4121- -yy4222=y1+4 y2,
kHB=y422y+2 1=44+y2y22,
8分
可得 y1+y2=-41+6yy222,
9分
则|AF|-|BF|=y421+1-y422-1=14(y1+y2)(y1-y2)
10 分
=-4y24y+1-y22y2=-4y42+y1-y22y22=-4-4+4-y22y22=4. 12 分
(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点 M 的坐标为(2,0). (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
(2019·海门市模拟)(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy
中,
与 x 轴的交点为 H,
过点 F 的直线 l 与
(1)求证: (2)
[学审题]
条件信息
想到方法
注意什么
信息❶给出 y2=4x 可求 F 坐标、准线方程 1.设直线 l 的
信息❷给出过焦点
方程时注意
判断方程,设出适当形式
的动直线
[类题通法] 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 (1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、 曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上,某直线 经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥 曲线中的一些数量关系(相等或不等). (2)解决证明问题时,主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与 圆锥曲线的位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等 变形以及必要的数值计算等进行证明.

圆锥曲线中的范围、最值问题课件-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的范围、最值问题课件-2025届高三数学一轮复习

设Q(xQ,yQ),因为5A→B=8Q→B,所以5(x2-x1)=8(x2-xQ),解得xQ=2, 过点P作PH垂直准线于点H,根据抛物线的定义,得|PF|+|PQ|=|PH|+ |PQ|,当Q,P,H三点共线且与x轴平行时,|PF|+|PQ|有最小值,最小 值为|QH|=2+1=3,所以|PF|+|PQ|的最小值为3.故选A.
6时,f′(x)<0,f(x)在32,
6上单调递减,故当
x=32时,f(x)有最
大值,
即当 x1=32时,S△ABM 有最大值,此时 y1= 410,抛物线过点32, 410,所以 p=254.
规律方法
函数法求最值(范围)问题就是构建关于变量的目标函数,将问 题转化为求函数的最值(或值域),解决问题时要注意自变量的取值 范围.
则3x62 +2y02 =1, (x+6)(x-4)+y2=0,
可得 2x2+9x-18=0,得 x=32或 x=-6. 由于 y>0,故 x=32,于是 y=523.
所以点
P
的坐标是32,5
2
3.
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上 的点到点M的距离d的最小值.
解:由(1)可得直线AP的方程是x- 3 y+6=0,点B(6,0). 设点 M 的坐标是(m,0),则点 M 到直线 AP 的距离是|m+2 6|,于是|m+2 6|=|m -6|, 又-6≤m≤6,解得m=2. 由椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,
得 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2=49x-922+15, 由于-6≤x≤6,由 f(x)=49x-922+15 的图象可知, 当 x=92时,d 取最小值,且最小值为 15.

广东专用2024版高考数学总复习:圆锥曲线中的最值或范围问题课件

广东专用2024版高考数学总复习:圆锥曲线中的最值或范围问题课件
设 的面积为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,此时满足 .故 面积的最大值为 .
【点拨】求与直线或与圆锥曲线有关的某个量的取值范围问题,依据已知条件建立关于该量的函数表达式,转化为求函数值域问题,要正确确定定义域.应注意到的是本例第(1)问使用了判别式法求参数范围.
变式1 如图,在平面直角坐标系 中,已知等轴双曲线 的左顶点为 ,过右焦点 且垂直于 轴的直线与 交于 , 两点,若 的面积为 .
由 得 .因为点 为 与 的一个交点,所以 ,解得 .所以 .直线 的方程变形为 ,设原点到直线 的距离为 ,则 .所以 .
(方法一) .设 ,则 .所以
.因为 (当且仅当 时,等号成立).所以 面积的最大值为 .(方法二) .设 ,则 .所以 .
第八章 平面解析几何
综合突破五 圆锥曲线的综合问题第1课时 圆锥曲线中的最值或范围问题
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
规范答题——解析几何解答题
考点一 构造函数求最值或范围问题
例1 已知椭圆 上两个不同的点 , 关于直线 对称.
(1) 求实数 的取值范围;
解:如图,由题意知 ,可设直线 的方程为 , , .由
(2) 当点 在 轴上方时,过点 作 轴的垂线与 轴相交于点 ,设直线 与双曲线 相交于不同的两点 , ,若 ,求实数 的取值范围.
, ,又 ,所以 ,所以 (由题意取负),所以直线 的斜率为 .代入 式,得 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 的取值范围为 .
【点拨】若题设中给出直线(曲线)与曲线有公共点或无公共点的条件时,可以通过联立消元,得到一元二次方程,进而用判别式法得到不等关系代入求范围.
[答案] (方法一)设切点 ,因为 ,所以 ,则在点 处的切线方程为 ,化简得 ,令 ,得 .

高考数学总复习专题三圆锥曲线的综合及应用问题课件文

高考数学总复习专题三圆锥曲线的综合及应用问题课件文

(2)当点 P 在曲线 Γ 上运动时,线段 AB 的长度不变.
证明如下:由(1)知,抛物线 Γ 的方程为 y=14x2.
设 P(x0,y0)(x0≠0),有 y0=14x20.

y′=12x,得切线
l
的斜率
k
1 2
x|xx0
=12x0,
所以切线 l 的方程为 y-y0=12x0(x-x0).
化简,得 y=12x0x-14x20.
|AC|2-r2化简求解.
【互动探究】 2.(2013 年广东揭阳一模)如图 3-1,设点 F1(-c,0),F2(c,0) 分别是椭圆 C:ax22+y2=1(a>1)的左、右焦点,点 P 为椭圆 C 上 任意一点,且 PF1 ·PF2 的最小值为 0. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l1:y=kx+m,l2:y=kx+n,若 l1,l2 均与椭圆 C 相切,证明:m+n=0; (3)在(2)的条件下,试探究在 x 轴上是否存在定点 B,使点 B 到 l1,l2 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点 B 的坐标;若 不存在,请说明理由.
解:(1)方法一:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,得 点S到点F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等, 所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线. 所以曲线Γ的方程为x2=4y. 方法二:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点, 则|y-(-3)|- x-02+y-12=2. 依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方, 所以y>-3.所以 x-02+y-12=y+1. 化简,得曲线Γ的方程为x2=4y.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足|PF1| +|PF2| =|AF1| +|AF2| 的点 P ?若存 在,指出这样的点 P 有几个(不必求出点 P 的坐标);若不存在, 说明理由.
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第五章面积与最值5.1三角形的面积表达面积的一些常见表达:22),0,2()0(1:20122222离心率的一个顶点为北京文】已知椭圆【A b a b y a x C >>=+.,)1(N M C x k y 交于不同的两点与椭圆直线-=的方程;求椭圆C )1(.310)2(的值时,求的面积为当△k AMN 形,轴正半轴围成一个三角轴正半轴,的切线与辽宁文】圆【y x y x 4201422=+.P ,切点为当该三角形面积最小时点的坐标求P )1(的两点,若△交于,且与直线过点轴上的椭圆焦点在PAB B A x y l P C x ,3:)2(+=.2的标准方程,求面积为C),(),,(2211y x B y x A ②设,2121y y OP S P x AB ABO -=△时,轴上定点过当直线.2121x x OP S P y AB ABO -=△时,轴上定点过当直线铅锤高水平宽三角形面积⨯⨯=21要掌握推导过程,否则你会用错的.离心率为的左焦点为四川文】已知椭圆【),0,2()0(1:20142222->>=+F b a b y a x C .36的标准方程;求椭圆C )1(,当的垂线交椭圆于作上一点,过为直线为坐标原点,设Q P TF F x T O ,3)2(-=.的面积边形是平行四边形时,求四四边形OPTQ OPTQ 对角线长度乘积的一半边形,面积③对角线互相垂直的四=,且知椭圆上为第三象限内一点且在设北京文】椭圆【)0,2(A , P ,14201622=+y x的面积为求证:四边形轴于点交直线轴于点交直线ABNM N x PB M y PA B ,,),1,0(.定值段长度的比值:④面积的比值转化为线分别两点,直线交抛物线于的直线焦点已知过抛物线例BO AO B A l F x y C ,,4::2=N M BA x k x k x k x k ON OM OB OA MONON OM AOB OB OA S S 22212221211111sin 21sin 21++++==∠∠=思路:面积之比的斜率,中间使用了距与直线分别为直线与其中OB OA k k x x x x x x B A NM B A 21(4==)离公式转化为坐标表达的斜率之与是动点,且直线对称,关于原点与点北京】点【BP AP P O A B )1,1(2010-31-积为的轨迹方程;求动点P )1(与使得△问:是否存在点交于点分别与直线和设直线PAB P N M x BP AP ,,3)2(=的坐标求出点的面积相等,若存在,△P PMN 22222123)0(12012C x b a b y a x C 轴被曲线,的离心率为:湖南理】如图,椭圆【>>=+.:12的长半轴长截得的线段长等于C b x y -=的方程;求21,)1(C C 分直线相交于点与的直线过坐标原点轴的交点为与设MB MA B A C l O M y C ,,,,)2(22E D C ,1相交于点别与MEMD ⊥①证明:?3217,.,,2121=S S l S S MDE MAB 使得问:是否存在直线的面积分别是△②记△:⑤借助几何分析求面积EBCABC S S AD E BC D ABC △△的中点,则为上一点,为中举个例子:如图,△2,=求面积有时候需要借助几何知识做转化,比如本案例线段成比例分割,面积表达就可以相互转化;又比如相似三角形面积比等于相似比的平方;又比如同底等高的三角形面积相等...OPQ OMP ,1)0,2(22与△两点,若△于:作直线交圆例:过点Q P y x O M =+-的斜率面积相等,求直线l 于轴的垂线交椭圆作轴上一点,过为点北京文】已知椭圆【C x D x D y x ,14201722=+的面积与△,求证:△于点的垂线交作过不同的两点BDN BDE E BN AM ,,D N M 54:之比为),,((t m M M D 以设点的坐标表示不全。

所,因为点的坐标是不太合适的提示:设),0,(),,(m D t m N -则)54,=D E y y 所以要证明高之比,即底的注意到两个三角形是同的为抛物线上,:的三个顶点都在抛物线浙江文】已知△【C F y x C ABP 420142=.3FM PF AB M =的中点,为焦点,点的坐标;求点若M PF ,3)1(=.)2(面积的最大值求△ABP Cb a b y a x 在椭圆,且点的离心率为山东文】已知椭圆【)213(23)0(120152222>>=+.上的方程;求椭圆C )1(交椭圆的直线上任意一点,过点为椭圆设椭圆m kx y P C P b y a x E +==+,144:)2(2222Q E PO B A E 于点交椭圆两点,射线于,的值;①求OPOQ .面积的最大值②求△ABQ5.2求最值之变量化一点到点的距离最值41)1()1(,14),,(2202202202000xx y x PMy x y x P -+-=+-==+则有解析:设_____________________________=点到线的距离最值_______08342距离的最小值为上的点到直线例:抛物线=-+-=y x x y 思考有哪些方法?上点在曲线上,点在直线新课标理】已知【241:3),1,0(20112-=-=-x y C M y B A ..,)2(距离的最小值点到处的切线,求在为上的动点为l O P C l C P 斜率的最值.2321)(,(41,21(,20172是该抛物线上的点点点浙江】已知抛物线【<<--=x y x P A y x 斜率的取值范围求直线AP )1(21214121412-=+-=+-=x x x x y k AP 思路:总之上面的题都是一个想法:变量代换为一个,代换桥梁可以是曲线方程.也可以是从题目条件构建出的等式.这种想法也可以在其它题目中体现:.两点B 的最大值的函数,并求表示为将AB m AB )2(m ty x l +=:思路:设直线)(111122222之间的的等式与构建相切直线与圆t m t m t m y x +=⇔=+⇔=+)(1212用错弦长公式注意:反设直线很容易y y t AB -+=得与联立1422=++=y x m ty x 042)4(222=-+++m tmx y t 22222122122124)4(414)(11t m t t y y y y t y y t AB +-++=-++=-+=所以.3341222+=+=m m AB t m 代入得将这里涉及到一个问题,最值怎么求?5.3求最值之均值不等式求以下式子的最值428)8(8)1(22222=-+≤-=-=m m m m m m t ___________)38(331)38(33138)2( 22222≤-=-⋅=-=m m m m m m t 13232332332)3( 2=≤+=+=mm m m t 211211)1(11)4( 22222222222=+-++≤+-+=+-+=k m k m k m k m k m k m t 431)5(22++=m m t 11222-==+x m x m ,则设________131134)1(322=+=+=+-=xx x xx x t 上述式子可以通过配凑,换元,使用均值不等式得到最值.144154)9(64)8(2)8(3414)7( 1)6(2424422222++++=++=++=+=k k k k t m m t m m t k k t 上述式子求最值可以通过分离常数法实现11414134143414)7(22222+-=++=++=m m m m m t ____________,41143111011222∈<+-≤⇔≤+<⇔≥+t m m m所以.面积的最大值△AOB 的距离为原点到解析:设直线AB ),,(),,(A ,2211h y x B y x m kx y +=212212211121·21x x m k m x x k h AB S -=+-+==面积0)1(48)41(1422222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y 得联立141241241)41(241)41(162122222222222=+-++≤+-+=+-+=k m k m k m k m k m k m S 时,等号成立当且仅当22412k m +=.两点,交椭圆于直线上一点练习:已知椭圆D B m x y A y x C ,22),1,2(124:22+==+的面积的最大值求:△ABD ABF B A P F x y 两点,则△的直线交抛物线与过点的焦点设抛物线练习,)0,2(,4:2=)(反设优化计算,面积的最小值为多少?0=t 是椭,的离心率为椭圆新课标】已知点【F b a by a x A 23)0(1),2,0(20142222>>=+-.332为坐标原点,的斜率为圆的右焦点,直线O AF .OPQ ,A )2()1(的方程的面积最大时,求两点,当△与椭圆相交于的动直线设过点求椭圆的方程;l Q P l 轴不重合,且与过点直线的圆心为理】设圆新课标【x B l A x y x )0,1(,01521201622=-++.,E AD AC B D C A l 于点的平行线交作两点,过于交圆.)1(的轨迹方程为定值,并写出点证明E EB EA +交于垂直的直线与圆且与两点,过于交直线的轨迹为曲线设点A l B N M C l C E ,,)2(11.,面积的取值范围两点,求四边形MPNQ Q P M y x b a by a x M 交右焦点的直线理】过椭圆新课标【03)0(1:220132222=-+>>=+.21,的斜率为的中点,且是两点,于OP AB P B A 的方程求M )1(面积的最大值求四边形的对角线若四边形上两点为ACBD AB CD ACBD M D C ,,,)2(⊥,其短轴的两个端点与的焦距为四川理】已知椭圆【4)0(1:20142222>>=+b a by a x C .三角形长轴的一个端点构成正的标准方程;求椭圆C )1(的垂线交椭圆作上任意一点,过为直线的左焦点,为椭圆设TF F x T C F 3)2(-=.,Q P C 于点PQOT 平分线段①证明:.的坐标最小时,求点②当T PQ TF5.4求最值之借助导数,,,)0(4::20092222C B A r r y x M x y E 相交于)(与圆全国】已知抛物线【>=+-=.四个点D 的取值范围;求r )1(.)2(坐标的交点,面积最大时,求对角线四边形P BD AC ABCD .)4,215()1(不相等的正根,联立后的方程有两个解析:∈r ,(,(),,(),,(222221111x x D x x C x x B x x A --别为)设四个交点的坐标分(.0167)4(2222222=-+-=+-=r x x y r y x x y 得消去与圆联立抛物线)4,215(,16,722121∈-==+r r x x x x 由韦达定理:((22121122112x x x x x x x x S +-=+-⋅⋅=)154)(1627(2](4)[(222121212212--+=++-+=r t x x x x x x x x S 时有最值值得利用导数知识求函数最则令67),27()27(,16222=-+==-t t t S t r关于直线的左右焦点,:分别是椭圆】已知【湖南文212221,15,2013F F y x E F F =+.12的一条直径的两个端点的对称点是圆C y x =-+的方程;求圆C )1(最大时,求直线当所截得的弦长分别为和圆被椭圆的直线设过点ab b a C E l F .,)2(2.的方程l 1416201522=+y x C :湖北】已知椭圆【l Q P y x l y x l l 若直线两点分别交于:和:与两定直线设动直线.,0202)2(21=+=-?的面积是否存在最小值试探究:△有且只有一个公共点,总与椭圆OPQ C。

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