3.2 刚体定轴转动的描述
刚体的定轴转动
J
1 2 m( R12 R2 ) 2
1 mR 2 2 若R1 R2 R, J mR 2
16
例：求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 m 解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： l L 1 3 2 2 dm A B J A x dm x dx L o 0 3 x
2 0
2
0
dm MR
2
绕圆环质心轴的转动惯量为
M
o
R
பைடு நூலகம்dm
J MR
2
讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动 惯量。
14
例: 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
m 解： σ πR 2
dm σ 2π rdr
dJ r dm 2πσ r dr
5
匀变速圆周运动的基本公式
p
1 2 0 0t t 2
0 t
s
R
o
p
x
2 2 0 2 ( 0 )
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 s R 路程与角位移之间的关系：
v R 线速度与角速度的关系：
加速度与角量的关系： 2 dv d v at R R , an 2 R, dt dt R
1
柱壳形状的质元 ,其长为l半径为r厚度为dr, 则该质元的质量为 dm dV ( 2 rdr )l
R2
R2
l
J r dm 2lr dr
2 3 m R1
l
2
§3-2定轴转动定理
刚体内力是刚体内各质元间的相互作用力， 可以证明：刚体内各质元间每一对内力的内力 矩之和为零。 讨论 1）力经过转轴，力矩恒为零。 2）合力为零，合力矩不一定为零. 太原理工大学物理系
3）合力矩为零，合力不一定为零
例：将两个半径不同的圆盘 同心地粘在一起，两个圆盘 的半径分别为r1、r2，圆盘 上绕有绳子，如图。 如果
太原理工大学物理系
设外力作用于P点， F 的方向 与轴既不垂直也不平行,将力分解 为垂直于转轴和平行于转轴两个 分量
力对原点o´的力矩
M RF
一、力对转轴的力矩
z
F //
F
F
R
o'
P
力矩在z轴方向的分量
M
z
xF y yF x
x
y
太原理工大学物理系
写成矢量式 M z k r F 平行于转动轴的分力 只能引 起轴的变形, 对转动无贡献。
三、转动惯量 转动惯量 J
m r
i
2
i i
由刚体的各质元相对于固定转轴的分布所 决定的，与刚体的运动及所受外力无关。 对于质量连续分布的刚体
J
m
r
2
dm
其中r为质元dm到转轴的垂直距离。
太原理工大学物理系
对质量线分布的刚体： d m d l
质量线密度
对质量面分布的刚体： d m
太原理工大学物理系
f
/ r
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩
即令m=0、Mf=0时，有
T1 T 2
2 m1m 2 m 2 m1
g
a
m 2 m1 m 2 m1
g
阿特伍德机是一种可用来测量重力加速 度g的简单装置。
大学物理第3章刚体的定轴转动
13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的 质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴 转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ
v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt
dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
3.2 定轴转动中的功能关系
A= ∫
θ2
2.恒力 矩的功
M与ω 方向相同 A > 0 M与ω 方向相反 A < 0
A = M∆θ
P = Mω
θ1
内容 Mdθ 小结
3.力矩的功率 3.力矩的功率
作者 杨 鑫
3.2 定轴转动中的功能关系
20 第3章 刚体的定轴转动 20
二、转动动能
三、动能定理
1 2 1 2 1 2 Ek = Iω A = Iω2 − Iω1 2 2 2 四、机械能守恒定律 c m hc 1.刚体重力势能 1.刚体重力势能 EP = mgh c
作者 杨 鑫
内容 回顾
① 各质点都绕转轴 作 圆 周 运 动 ②运 动 的 角 量 (∆θ, ω, β)都一样
O
ω
定轴
3.2 定轴转动中的功能关系
第3章 刚体的定轴转动
33
4.刚体定轴转动的角量描述 4.刚体定轴转动的角量描述 (1)角 (1)角 量 ①角位置
转动平面
ωO 。 θ = θ (t ) A θ ②角位移 ∆θ = θ −θ 2 1 x ③角速度 ω = d θ dt ω
作者 杨 鑫
I = mr
2
dm = λdx dm = σds 2 dI = r dm dm = ρdV
I = I1 + I2 +⋯+ In
I = ∫ r dm
2 m
I =∑ ∆m r
2 i i
3.2 定轴转动中的功能关系
11 第3章 刚体的定轴转动 11
2 . 物 理 意 义 量度刚体转动惯性的物理量 3 . 决定转动 ①与物体的总质量有关 惯 量 的 ②与转轴的位置有关 三 个 因 素 ③与物体的质量分布有关 4 . 平 行 轴 刚体对任意轴的转动惯量等 定 理 于刚体对通过质心轴的转动 惯量加上 加上刚体的质量与两平 惯量加上刚体的质量与两平 m 行轴之间距离平方的乘积 Od C
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
动力学中的刚体转动教案
动力学中的刚体转动教案
本教案将介绍动力学中的刚体转动，包括刚体定轴转动的描述、转动定律和角动量等内容。
一、刚体定轴转动的描述
刚体定轴转动是指刚体上所有质元都绕同一直线做圆周运动，且刚体上各质元的角量（角位移、角速度、角加速度）相同，而各质元的线量（线位移、线速度、线加速度）大小与质元到转轴的距离成正比。
二、转动定律
转动定律是指在刚体定轴转动中，力矩是改变刚体转动状态的唯一原因。
力矩的方向垂直于转轴，并指向旋转方向。
对于一个质点在定轴上的运动，其角动量（L）等于其转动惯量（I）和角速度（ω）的乘积，即L=Iω。
当有多个质点绕同一转轴转动时，它们对转轴的角动量之和等于零。
三、角动量
角动量是指刚体绕固定轴转动的状态，其数值等于刚体对固定轴的力矩和角速度的乘积。
在不受外力矩作用时，刚体的角动量是守恒的。
当刚体受到外力矩作用时，其角动量会发生改变，改变的量等于外力矩和角速度的乘积。
四、例题解析
例如，一个质量为m的质点以角速度ω绕固定轴z轴做平面定轴转动，求该质点对z轴的角动量Lz。
根据角动量的定义，Lz=Iω，其中I是该质点的转动惯量。
由于该质点是在二维平面上运动，因此其转动惯量为I=mr²/2，其中r为质点到z轴的距离。
代入角动量的定义得到Lz=mrω/2。
五、总结
本教案介绍了动力学中的刚体转动，包括刚体定轴转动的描述、转动定律和角动量等内容。
通过例题解析，我们可以看到如何运用这些概念来解决实际问题。
在实际教学中，可以根据学生的实际情况和需求进行适当的调整和补充。
刚体的定轴转动
角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
30
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
rj
j
内力矩之和 0
mi ri
2
令
J mi ri
2
M ij M ji
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
——刚体转动惯量
M J
2–6 J
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
35
4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能
E P yg d m g y d m
Y y yc C
dm
mg
结论：
ydm
m
m gyc
O m X
一个不太大的刚体的重力势能 和它的全部质量集中在质心时所具 有的势能一样。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
4
转轴
转轴 Z
ri vi
O 转动平面
Δmi
Ｐ
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
5
3.刚体定轴转动的特点
• 各质点都作圆周运动；
刚体力学基础
FT1
FC
PC F T2
FT2
mB PB y
26
O
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
6
(rad / s )
2
2.角量与线量的关系
当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元i到转 轴的距离为ri.则该质元的线速度为
vi ri
切向加速度和法向加速度分别为
ai ri
ain 2ri
刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速 度)相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加 速度)大小与质元到转轴的距离成正比．
dL M dt
13
转动定律 M J
M 讨论 （1） J
d （2） M J J dt
（3）M 0， ω=常量
14
3.转动惯量的计算
J mi ri2
刚体转动惯量的大小与三个因素有关： ①与刚体的总质量有关； ②与刚体质量对轴的分布有关； ③与轴的位置有关。 单个质点 质点系
J mr
1 T2 R T1R M f J mR 2 2
(3)
(4)
m
Mf
R
T2
再从运动学关系上有
a a R
T1
mg
(以“方向”为正)
22
联立四式解得：
a
m2 m1 g
Mf R
1 m1 m2 m 2
m1 M f m 2 m 2 m1 g 2 R T1 m1 g a m m1 m 2 2
3-2定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律.
24 v0
7l
例3 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设
跷板是匀质的,长度为l,质量为 m',跷板可绕中部支撑点C
在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷
板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多
高?
解 碰撞前 M 落在
花样滑冰 跳水运动员跳水
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
电荷守恒定律
能量守恒定律
质量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
角动量守恒定律在技术中的应用
惯性导航仪（陀螺）
被中香炉
例2 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动状态的描述 p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
1 质点的角动量
多少 ?
解 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
o 30
mva (1 ml 2 ma2 )
3 3mva
m'l 2 3ma2
a v m'
m'l
3mva 2 3ma2
o 30
射入竿后，以子弹、细杆和 a
地球为系统 ，机械能守恒 .
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
第三章刚体的定轴转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
二、刚体定轴转动的动能定理 B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，
一对内力矩的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功相对位移为零 .）
3、功率：
d A F 2d r
pdAMdM
dt dt
当 与 M 同方向， 和 为正 当 与 M 反方向， 和 为负
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
1 2 其中(：1 3M h 2 1 m l2l(12) ca 2o M s) 1( 3g )m h 2g(h 2 ) h 2 a (1 co )s(4 )
由（2）（3）（4）式求得：
2Mg(1lcos)/22mg(1acos)
M2l/3m a2
(Ml 2ma)g(1cos)
2
25
整理，得：
1 10 gh,
b7
vcb
10 gh 7
§3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速 度vA 和角速度A满足：
m v a A 2 m g v A 2 a,gA 2 v b A 2 2 a b 2 g (4 )
由机械能守恒：
b<<a
飞轮作变加速转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 例题3-1-2：一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当梯子与地面成角 时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡同时要满足两个条件：
Fi 0
Mi 0
列出分量方程：
O
水平方向：
f1N2 0
竖直方向：
3-2 刚体的定轴转动定理
d d d d dt d dt d
d d
3g cosd d 2l 3g 0 2l cosd 0 d 3g 1 2 si n 2l 2
3 g sin l
例3．匀质圆盘的质量为m，半径为R，在水平
桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌 面之间的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速度ω0 旋转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支 持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，宽度为dr，整个圆环所受摩 擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点 所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取ω0的方向 为正方向，则整个圆环所受的力矩为
dL M dt
对刚体上的每个视为质点的质量元应用 这个结论，从而得出刚体在外力矩的作用下 角动量的变化规律。
3－2 刚体的定轴转动定律
一、定轴转动定律的推导
考虑如图所示刚体上的任意两个 质量元，第i个质量元mi，所在 处的位矢为 r ，施加的外力 F i
i
第j个质量元 mj，所在处的位矢 r 为 j，施加的外力 F
注意以下几点： 1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加 速度、角速度的正负； 3.当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转 动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿 定律建立方程。
例１、一个质量为M、半径为R的定滑轮
（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的 定轴O 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静 止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
3-2刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
1
d d( J ) M J J dt dt
L J
dL M dt
L为绕定轴转动刚体的角动量
Mdt dL
电 t2 L2 子 Mdt dL J2 J1 工 t1 L1 程 学 角动量定理 当转轴给定时，角动量的增量等于作 院 用在物体上的冲量矩。
杨 非刚体定轴转动的角动量定理 小 红
t2
t1
Mdt J 2 2 J11
2
刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt J 2 J1
二 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则
L J 常量 .
电 守恒条件 M 0 子 讨论 工 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变. 程若 J 不变， 学 内力矩不改变系统的角动量. 院 in ex 在冲击等问题中 M M L 常量 杨 3 小 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 红
例 已知地球的质量为m ，太阳的质量为 M ，地 心与日心的距离为 R，引力常数为 G，则地球绕太 阳作圆周运动的轨道角动量为 （Ａ）
m GMR
（Ｂ） R
电 G 子 （Ｃ） Mm R 工 程 mv 2 mM G 2 学 R R 院 杨 小 红
GMm （Ｄ） 2R
GM v R
L J Rm GM R
J11 J 22 ( J1 J 2 )
6
例 一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动 的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台 组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于 身体两侧, 在此过程中, 系统 电 (A) 角动量守恒, 机械能不守恒; 子 工 (B) 角动量守恒, 机械能守恒; 程 学 (C) 角动量不守恒, 机械能守恒; 院 (D) 角动量不守恒, 机械能不守恒. 杨 小 红
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刚体定轴转动的描述
目录
如何描述刚体的定轴转动
定轴转动有何特点
匀变速转动公式（角加速度恒定）
角量和线量的关系
01
02
03
04
一、如何描述刚体的定轴转动？
)
(t θθ=角坐标 < 0
θ 0
> θ 约定： 沿逆时针方向转动 沿顺时针方向转动 )
()(t t t θθθ-∆+=∆角位移 ω
ω
t
t t d d lim 0
θθω=
∆∆=→∆角速度矢量
角加速度
t d d ωβ =2
2d d t
θ=
二、定轴转动有何特点？
βωθ ,,∆a
,v （1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面。
（2） 任一质点运动 均相同，但 不同，
（3） 运动描述仅需一个坐标。
角量相同，线量一般不同。
三、匀变速转动公式（角加速度恒定）
刚体绕定轴作匀变速转动
质点匀变速直线运动 at
+=0v v 2
2
100at
t x x ++=v )
(2020
2
x x a -+=v v t
βωω+=0)
(2020
2
θθβωω-+=2
2
100t
t βωθθ++=dt d ωβ=⇒⎰=dt βωt
dt t
βωβωω+=+=⎰00
10⇒
四、角量和线量的关系
t
e r
ω=v 2
ωβr a r a ==n t n
t e r e r a 2ωβ+=
已知：一飞轮半径为 0.2m，转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30 s停止转动。
试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数（2）制动开始后t = 6 s时飞轮的角速度；
（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、
切向加速度和法向加速度。
解: （1） ,60
150201
s rad -⋅⨯=
πω.0=ω t = 30 s 时， 设 .飞轮做匀减速运动 00=θ
时， t = 0 s 2
1s
rad πs rad --⋅-=⋅-=-=6
30π500t ωωβ飞轮 30 s 内转过的角度
rad
πππ75)
6(2)
5(22
2
2
=-⨯-=-=βωωθ转过的圈数 r 5.37π
2π75π2===θN
解: （2） s 6=t 时，飞轮的角速度
1
1s
rad s rad π--⋅=⋅⨯-=+=π4)66
π5(0t βωω（3） s 6=t 时，飞轮边缘上一点的线速度大小
2
2
s
m 5.2s m π42.0--⋅=⋅⨯==ωr v 该点的切向加速度和法向加速度
2
2t s
m s m π--⋅-=⋅-⨯==105.0)6
(2.0βr a 2
2n s
m s m π--⋅=⋅⨯==6.31)4(2.022ωr a
Thanks!。