立体几何证明方法总结(教师)
高中数学立体几何证明定理及性质总结
高中数学立体几何证明定理及性质总结高中数学立体几何是数学的一个重要分支，主要研究与三维空间中的几何形体相关的性质和定理。
在学习过程中，我们会遇到许多重要的定理和性质，下面是对其中一些重要的定理和性质进行总结的文章，以便于我们更好地掌握该知识点。
一、三角形的五种中线定理：1.三角形的三条中线交于一点，并且该点离三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的重心。
2.三角形的三条中线外接圆半径为内接圆半径的两倍。
3.三角形的三条中线构成的小三角形，其面积之和等于三角形面积的三分之一4. 中线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条中线长分别为m_a = 0.5*sqrt(2*b^2+2*c^2-a^2)，m_b =0.5*sqrt(2*a^2+2*c^2-b^2)，m_c = 0.5*sqrt(2*a^2+2*b^2-c^2)。
5.中线垂直性质：三角形的三条中线互相垂直，且互相平分。
二、三角形的四种高定理：1.三角形的三条高交于一点，并且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的垂心。
2.高线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条高线长分别为h_a=2*S/a，h_b=2*S/b，h_c=2*S/c，其中S为三角形的面积。
3.垂心到顶点距离的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有AH/HD=BH/HE=CH/HF=2，其中H为垂心，E,F为垂足。
4.垂心角的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有∠BHC=2∠A，∠BHC=2∠A，∠CHB=2∠A。
三、三角形的欧拉定理：设O为三角形的外心，G为重心，H为垂心，则有OG=1/3GH。
四、圆的性质：1.垂径定理：直径AB垂直于弧CD，则弦CD的中点E与弦AB的中点F，以及圆心O在一条直线上，且OE=OF=1/2CD。
2.正接定理：一个直角三角形的斜边上的圆的直径与该斜边上的直角边成正切关系。
3.切线定理：从一个点外切于圆的切线恒垂直于该点至圆心的半径。
立体几何基本知识总结和线面垂直平行六种关系的证明方法
立体几何基本知识总结I. 基础知识要点 一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围[]180,0∈θ）（异面直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角()90,0∈θ）（直线与平面所成角[]90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性12方向相同12方向不相同证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短. [注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都POAaPαβθM AB O取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图） ⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全．等的矩形．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.图1θθ1θ2图2⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,,得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. l ab c FEH GBCDAO'⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.构造以半径为斜边的直角三角形线面垂直平行六种关系的证明方法总结一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。
高中数学教案立体几何的证明方法
高中数学教案立体几何的证明方法高中数学教案：立体几何的证明方法一、引言立体几何是数学中一个重要而有趣的分支，它研究的是在三维空间中的图形和空间关系。
在学习立体几何时，我们常常需要运用证明方法来推导和验证几何定理。
本文将介绍高中数学教案中常用的立体几何的证明方法，帮助学生更好地理解和应用这些方法。
二、平行线与平面的关系证明1. 定理1：同一平面内，如果一条直线与两条平行线相交，则这两条平行线互相平行。
证明方法：利用反证法，假设两条平行线不互相平行，通过构造辅助线，找到矛盾之处，从而得出结论。
2. 定理2：如果一条直线与两个平行的平面相交，则这两个平面互相平行。
证明方法：同样采用反证法，通过构造辅助平面和辅助线，推导出矛盾现象，从而证明两个平面是相互平行的。
三、平面与平面的关系证明1. 定理3：如果两个平面相交于一条直线，则它们相交于一点，或者它们平行。
证明方法：可以采用平行线与平面的关系证明思路，通过构造直线和平行线，运用之前的证明方法来证明这个定理。
2. 定理4：如果两个平面平行于同一个平面，则这两个平面是平行的。
证明方法：采用反证法，通过构造辅助线、辅助平面和平面间的距离关系，证明两个平面是平行的。
四、立体几何中的等腰三角形证明1. 定理5：在三棱柱中，底面的对角线互相平分。
证明方法：运用向量的知识，通过向量的投影和平分线的特性，证明底面对角线互相平分。
2. 定理6：在正方体中，对角线互相垂直。
证明方法：采用向量的证明方法，通过向量积的性质，证明对角线是垂直的。
五、体积和表面积的证明方法1. 定理7：在立方体中，体积与边长的关系。
证明方法：通过数学归纳法，证明立方体的体积与边长的立方成正比。
2. 定理8：在正方体中，表面积与边长的关系。
证明方法：采用重叠面积的思想，将正方体展开成平面图形，通过计算各个面的面积，证明表面积与边长的平方成正比。
六、结论立体几何的证明方法是数学学习中不可或缺的一部分。
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明要证明两个线面平行，一般可以通过以下几种方法来进行证明：方法一：使用平行线的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设线面A和线面B不平行，即存在一条线a与线面A不平行，又与线面B相交于一点P。
2.假设在线面A上存在一点Q，它与直线a上相交于一点R。
3.由于线a与线面B相交于P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于线a与线面A相交于R，所以线段PR必然属于线面A。
5.由于线面A和线面B都包含线段PR，所以它们必然相交。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法二：使用支撑面的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.过直线a作平行于线面B的平面，该平面与线面A相交于线段QR。
3.由于直线a与线面B相交于点P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于平面上的任意两点可以确定一条直线，所以线段QR也属于线面B。
5.因此，线段QR同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法三：使用平行四边形的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.在线面A上选择一点Q，并通过P点作一条平行于线面A的直线b。
3.连接直线a和直线b，得到平行四边形PQRD。
4.由于平行四边形的特性，相邻两边平行且长度相等，所以线段PD也是平行于线面A的，并且它必然属于线面B。
5.因此，线段PD同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
以上三种方法是一些常用的证明线面平行的方法，根据实际问题的具体情况，可以选择适合的方法进行证明。
立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。
3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。
立体几何证明定理及性质总结
立体几何证明定理及性质总结立体几何是研究空间内物体形态、结构和性质的一门数学学科。
其研究对象一般为立体物体，如点、线、平面等的延伸形成的三维空间中的实体。
立体几何的核心是几何定理和性质的证明，这些定理和性质为我们理解和应用立体几何提供了重要的基础。
1.直线与平面之间的关系(1)平面穿过一条直线，分割直线成两段，这两段相互垂直。
(2)平面与两条垂直直线的交线是水平的。
(3)平面的两条相交线分别与直线的其中一直线相交，则这两条直线在该平面上相交。
(4)平面的两条交线都与直线的其中一直线相交，则两交线在该平面上相交。
(5)平面的两个不同交线都与直线的其中一直线相交，则交线的交点在该平面上。
2.平面之间的关系(1)平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则它也与另一个平面相交。
(2)两平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则另一平面上的相交线平行于两给定平面。
(3)平面与两个平行平面相交，交点的连线垂直于两个平行平面。
(4)平面分割直线，则直线在平面上的两个截点在直线的同一侧。
3.空间图形的性质(1)圆柱的轴线与底面圆的圆心在同一直线上，底面平行，生成的侧面平行四边形的对角线相等。
(2)圆锥的轴线垂直于底面，底面与轴线连线的斜率相等，生成的侧面是一个等腰三角形。
(3)球的所有直径相等且是最长的，球面上任意两点相连的线段都在球内。
4.空间多面体的性质(1)正方体的近似球半径与边长之比约为1：1.633(2)正四面体的顶点到底面边心的距离与底面边长之比约为1：1.5(3)正八面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.707(4)正十二面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.612以上只是立体几何中的一部分重要定理和性质，我们通过对这些定理和性质的研究和证明，可以更好地理解和应用立体几何的知识。
在解决实际问题时，我们可以利用这些定理和性质快速推导出结论，同时也可以通过反证法等方法，从不同的角度来理解和证明这些定理和性质。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，
特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题
思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。
一、“平行关系”常见证明方法
（一）直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行
2) 利用三角形中位线性质
2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等
3) 利用定义：两个平面没有公共点
二、“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°，则两直线互相垂直。
3) 利用直线与平面垂直的性质：
3) 利用空间平行线的传递性（即公理 4）： a ∥ c 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 b ∥ c
4) 利用直线与平面平行的性质定理：
a∥b
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那
a ∥
β
a
a
a∥b
b
α
b
么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
// a a // b b
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
11
ab
v1.0 可编辑可修改
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 7) 利ba用平面内直线a∥ 与直b 线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
立体几何常见证明方法
立体几何常见证明方法在几何学中，立体几何是研究物体在三维空间中的形状、大小、位置和相互关系的分支。
在证明一个立体几何问题时，我们通常需要运用一些常见的证明方法来得出结论。
本文将介绍几种常见的立体几何证明方法。
一、平行四边形面积证明法平行四边形面积证明法是一种常见的证明方法。
对于一个平行四边形，我们可以通过证明它的底边乘以高得到的面积与对角线的乘积相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出平行四边形的底边和高线；2. 证明底边乘以高得到的面积等于对角线的乘积。
可以通过运用三角形的面积公式和勾股定理进行证明。
二、等腰三角形证明法等腰三角形证明法是另一种常见的证明方法。
对于一个等腰三角形，我们可以通过证明其底边上的两个角相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出等腰三角形；2. 证明底边上的两个角相等。
可以通过等腰三角形的定义进行证明，即等腰三角形的两边相等，所以其对应的两个角也相等。
三、垂直证明法垂直证明法是证明两条线垂直的常见方法。
它通常基于垂直线的特性，如垂直线的斜率之积为-1等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两条线段；2. 证明两条线段所在的直线的斜率之积为-1。
可以通过计算两条线段的斜率，然后对其进行运算得出结论。
四、相似三角形证明法相似三角形证明法常用于证明两个或多个三角形之间的相似关系。
它基于相似三角形的一些性质，如对应角相等、对应边成比例等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两个或多个三角形；2. 证明对应角相等或对应边成比例，以确定两个或多个三角形之间的相似关系。
五、共面证明法共面证明法常用于证明多个点是否处于同一个平面上。
它基于共面点的一些性质，如共线的三个点必然共面等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定多个点的坐标或描述；2. 证明这些点共面。
可以通过计算这些点的坐标或应用共线点的条件来证明。
立体几何证明方法总结及经典3例(推荐文档)
立体几何证明方法总结及典例例1：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。
线面平行的证明方法：面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法：面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。
【例】正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB, 则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥． 同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则①212121z z y y x x b a ++=⋅；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<夹角公式：.||||cos 2121n n n n ⋅⋅-=θ距离公式：||||||n n AB CD d ⋅== 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P到平面QAD 的距离22PQ d==n n．立体几何证明经典习题平行题目1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.求证：AF//平面PEC；垂直题目3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD向量法解立体几何题目5、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．立体几何证明经典习题答案1、证明：如图，连结AC 交BD 于点O . ∵ABCD 是平行四边形，∴A O =O C.连结O Q ，则O Q 在平面BDQ 内， 且O Q 是△APC 的中位线， ∴PC ∥O Q.∵PC 在平面BDQ 外， ∴PC ∥平面BDQ.2、证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC3、证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． ∵平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交 于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =， ∴CFAB ⊥．∵AD BD =，（等腰三角形三线合一）∴DF AB ⊥． 又CFDF F =，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BEAB B =，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、31022c ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=。
立体几何定理的推导与证明方法
立体几何定理的推导与证明方法一、概述立体几何是我们生活中常见的一种几何形式，它涉及到空间中的各种图形的性质和关系。
在立体几何中，有许多重要的定理和性质，这些定理和性质对于我们理解和应用立体几何至关重要。
在本文中，我们将探讨立体几何定理的推导和证明方法，希望能够为读者提供一些启发和帮助。
二、立体几何定理的推导方法1. 利用几何图形的性质在推导立体几何定理时，我们可以利用几何图形的性质来进行推导。
对于一个立体图形，我们可以利用它的各个面的性质和相互关系，来推导出一些定理和性质。
在推导过程中，我们可以通过作图和构造辅助线等方法，来帮助我们理解和推导定理。
2. 利用几何变换的性质在推导立体几何定理时，我们还可以利用几何变换的性质来进行推导。
我们可以通过平移、旋转、镜像等几何变换，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过构造适当的几何变换，来将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而更容易理解和证明定理。
3. 利用解析几何的方法在推导立体几何定理时，我们还可以利用解析几何的方法来进行推导。
我们可以通过引入坐标系和方程等工具，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过求解方程组、计算向量等方法，来证明某个定理或性质的成立。
三、立体几何定理的证明方法1. 利用数学归纳法在证明立体几何定理时，我们可以利用数学归纳法来进行证明。
数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它适用于形式化的推理过程。
通过证明基本情况成立，并假设某个结论对于一个整数成立，来证明该结论对于下一个整数也成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过数学归纳法来推导出某个定理的成立。
2. 利用反证法在证明立体几何定理时，我们可以利用反证法来进行证明。
反证法是一种常用的数学证明方法，它适用于证明某个命题的否定是否成立。
通过假设某个结论不成立，来推导出矛盾的结论，从而证明该结论的成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过反证法来证明某个定理的成立。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b
立体几何证明方法总结
、线线平行的证明方法1 、利用平行四边形。
2 、利用三角形或梯形的中位线。
3 、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线就与交线平行。
（线面平行的性质定理）4 、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5 、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6 、平行于同一条直线的两条直线平行。
7 、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
（需证明）二、线面平行的证明方法:1 、定义法:直线与平面没有公共点。
2 、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3 、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法:1 、定义法:两平面没有公共点。
2 、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3 、平行于同一平面的两个平面平行。
4 、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。
5 、垂直于同一直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法:1 、勾股定理。
2 、等腰三角形。
3 、菱形对角线。
圆所对的圆周角就是直角 点在线上的射影 。
如果一条直线与一个平面垂直 ,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。
在平面内的一条直线 ,如果与这个平面一条斜线的射影垂直 ,那么它也与这条斜线垂直 。
（三垂线定理 ,需证明 ） 在平面内的一条直线 ,如果与这个平面一条斜线垂直 ,那么它也与这条斜线的射影垂直 。
（三垂线逆定理 ,需证 如果两条平行线中的一条垂直于一条直线 ,则另一条也垂直于这条直线 。
线面垂直的证明方法 :定义法 : 直线与平面内任意直线都垂直 。
点在面内的射影 。
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直 ,那么 这条直线垂直于这个平面 。
（线面垂直的判定定理 ） 如果两个平面互相垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面 。
立体几何证明(教师版)
立体几何证明1．（2021·北京师大附中高一期末）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//,90,AB DC DAB PA ∠=⊥平面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 上的动点.（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）若//PD 平面ACM ，求PM MB的值； （3）当M 是PB 中点时，设平面ADM 与棱PC 交于点N ，求截面ADNM 的面积.2．（2021·北京·人大附中高一期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为棱1CC 的中点．（1）证明：1AC ∥平面BDE ．（2）证明1AC BD ⊥．3．（2021·北京·汇文中学高一期末）如图1，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为AB 的中点．将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示．（1）求证：DE PC ⊥；（2）试问平面PFC 与平面PBC 所成的二面角是否为90︒，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面//CFM 平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．4．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O ，M 分别为BD ，PC 的中点.设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .（1）求证：//OM 平面PAD ；（2）求证：//BC l ；（3）在棱PC 上是否存在点N （异于点C ），使得//BN 平面PAD ？若存在，求出PN PC的值；若不存在，说明理由.5．（2021·北京·101中学高一期末）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点．（1）求证：1//BD 平面AMC ；（2）求证：1AC BD ⊥；（3）在线段1BB 上是否存在点P ，当1BP BB λ=时，平面11//A PC 面AMC ？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．6．（2021·北京师大附中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点.（1）求证：1//BC 平面1AD E ；（2）求证：1A D ⊥平面11ABC D .7．（2021·北京·汇文中学高一期末）如图所示，在三棱锥A BCD -中，点M ､N 分别在棱BC ､AC 上，且//MN AB .（1）求证：//MN 平面ABD ；（2）若MN CD ⊥，BD CD ⊥，求证：平面CBD ⊥平面ABD .8．（2019·北京师大附中高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=，2AB AC ==，1AA ,M N 分别为1,BC CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）若P 为线段1BB 的中点，求证：1//A N 平面APM ；（Ⅲ）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由9．（2019·北京师大附中高一期末）如图，已知四棱锥S ABCD-，底面ABCD是边长为2的菱形，60∠=，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，M为侧棱SB的中点，ABCE为线段AD的中点SD平面MAC；（Ⅰ）求证：//⊥；（Ⅱ）求证：SE AC-的体积（Ⅲ）求三棱锥M ABC-中，PA⊥平面ABCD，底10．（2019·北京·101中学高一期末）如图，在四棱锥P ABCD部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.11．（2019·北京·中央民族大学附属中学高一期末）在四面体ABCD 中，CB =CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证：（I ）直线EF ACD 面；（II ）EFC BCD ⊥面面．12．（2020·北京师大附中高一期末）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点.（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求证：//PC 平面BDE ；（3）证明：BD CE ⊥.13．（2021·北京·人大附中高一期末）如图1，已知△ABD 和△BCD 是两个直角三角形，∠BAD ＝∠BDC ＝2π.现将△ABD 沿BD 边折起到1A BD 的位置，如图2所示，使平面1A BD ⊥平面BCD .（1）求证：平面1A BC ⊥平面1A CD ；（2）1A C 与BD 是否有可能垂直，做出判断并写明理由.14．（2020·北京·101中学高一期末）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（3）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．15．（2020·北京师大附中高一期末）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥，DC DE =.⊥；（Ⅰ）求证：AD CEBF平面CDE；（Ⅱ）求证：//（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．-中，平面16．（2020·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高一期末）在三棱锥P ABC⊥．设D，E分别为PA，AC中点．PAC⊥平面ABC，PA AC⊥，AB BCDE平面PBC；（Ⅰ）求证：//（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．答案：1．(1)证明见解析；(2)12；【分析】 (1) 要证平面PAD ⊥平面PCD ，只需证明DC ⊥平面PAD ，利用线面垂直的判定可证DC ⊥平面PAD .(2) 根据题意，作出点M ，再利用相似三角形求PM MB的值 (3) 从四点共面角度出发，利用平面向量基本定理确定点N 的位置，再求截面面积.【详解】(1)证明：因为90DAB ∠=，所以AB AD ⊥，又//AB DC ，所以DC AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PA DC ⊥.又AD ，PA 在平面PAD 内，且相交于点A ，所以DC ⊥平面PAD . 又DC ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .(2)如图，连接AC ，BD 相交于点E ，过点E 作//EM PD ，交PB 于点M . 因为//EM PD ，PD ⊄平面ACM ，EM ⊂平面ACM ，所以//PD 平面ACM . 故上述所作点M 为使得//PD 平面ACM 的点M .如图在梯形ABCD 中，有//AB DC ，112AD DC AB === 令()22DE DB DA DC DA DC λλλλ==+=+， 因为A ，E ，C 三点共线，所以21λλ+=，13λ=.即13DE DB =，所以23BE DB =，12DE BE =. 因为//EM PD ，所以BME BPD ，12DE P MB BE M ==. (3)设PN PC μ=， 因为,,,A D N M 四点共面，所以存在实数m ，n ，使得AN mAD nAM =+. 因为()12AN AP PN AP PC AD AB AP μμμμ=+=+=++-，22n n mAD nAM mAD AB AP +=++， 又AD ，AB ，AP 为一组基底， 所以,,2212m n n μμμ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩解得23m n ==. 所以2233AN AD AM =+.因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥. 又AD AB ⊥，PA ，AB 在平面PAB 内，且相交于点A ， 所以AD ⊥平面PAB ，又AM ⊂平面PAB ，所以AD AM ⊥. 在四边形AMND 中，AD AM ⊥，1AD =，AM = 因为2233AN AD AM =+，点N 到AM 的距离为2233AD =，点N 到AD的距离为23AM . 所以截面ADNM的面积1121223ADN AMNS S S =+=⨯+2．（1）见解析；（2）见解析【详解】试题分析：（1）连结AC 交BD 于F ，连结EF ，通过正方形对角线的性质以及三角形中位线可得112EF AC ，根据线面平行判定定理可得结果；（2）通过证明BD ⊥平面1ACC 可得结论.试题解析：（1）证明：连结AC 交BD 于F ，连结EF ，正方形ABCD 中，AC 与BD 互相平分，∴F 为AC 中点，在1ACC 中，∵E ，F 分别为1CC 与AC 中点，∴112EF AC ，∵EF ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴EF 平面BDE ．（2）证明：在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中， 1CC ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，∵1AC CC C ⋂=，∴BD ⊥平面1ACC ，∵1AC ⊂平面1ACC ，∴1AC BD ⊥．3．（1）证明见解析；（2）平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒，证明见解析；（3）存在满足条件的,M N ，,M N 分别为,PD BC 中点，证明见解析. 【分析】（1）根据线面垂直的判定可证得DE ⊥平面PCF ，由线面垂直性质可证得结论； （2）根据平行关系可证得BC ⊥平面PCF ，由面面垂直的判定可证得两平面垂直，由此得到所成角为90︒；（3）利用平行四边形和三角形中位线性质可证得线线平行关系，由此证得线面平行和面面平行，从而确定存在满足条件的,M N . 【详解】（1）四边形AECD 为菱形，AC DE ∴⊥，即DE PF ⊥，DE CF ⊥， 又,PF CF ⊂平面PCF ，PFCF F =，DE ∴⊥平面PCF ，PC ⊂平面PCF ，DE PC ∴⊥.（2）平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒，证明如下：E 为AB 中点且四边形AECD 为菱形，//BE CD ∴，∴四边形BCDE 为平行四边形，//BC DE ∴，由（1）知：DE ⊥平面PCF ，BC ∴⊥平面PCF ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PCF ⊥平面PBC ，即平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒.（3）存在满足条件的,M N ，,M N 分别为,PD BC 中点，证明如下：由（2）知：四边形BCDE 为平行四边形，又,F N 分别为,DE BC 中点，//EF CN ∴，∴四边形EFCN 为平行四边形，//CF EN ∴，又EN ⊂平面PEN ，CF ⊄平面PEN ，//CF ∴平面PEN ；,M F 分别为,PD DE 中点，MF ∴为PDE △中位线，//MF PE ∴，又PE ⊂平面PEN ，MF ⊄平面PEN ，//MF ∴平面PEN ，又MFCF F =，,MF CF ⊂平面FCM ，∴平面//CFM 平面PEN .【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系、面面垂直与平行关系的证明问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定、线面平行与面面平行的判定等定理的应用，属于常考题型.4．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）连接AC ， 易知O 为AC 的中点，进而得//AP OM ，再结合线面平行的判定定理即可证明；（2）由题知//BC 平面PAD ，进而根据线面平行的性质定理即可证明//BC l ；（3））假设在棱PC 上存在点N （异于点C ），使得//BN 平面PAD ，进而在平面PDC 中，过点N 作PD 的平行线EN ，交DC 于E ，故平面//BEN 平面PAD ，进而得//BE AD ，另一方面，在平行四边形ABCD 中，BE 与AD 不平行，矛盾，故不存在. 【详解】解：（1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为平行四边形，O 为BD 的中点， 所以O 为AC 的中点，因为M 为PC 的中点， 所以在APC △中，//AP OM ，因为OM ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD ， 所以//OM 平面PAD（2）因为底面ABCD 为平行四边形， 所以//AD BC ，因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ，因为平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，BC ⊂平面PBC ， 所以//BC l（3）假设在棱PC 上存在点N （异于点C ），使得//BN 平面PAD ， 在平面PDC 中，过点N 作PD 的平行线EN ，交DC 于E ， 因为EN ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EN 平面PAD ， 因为EN BN N ⋂=，所以平面//BEN 平面PAD ， 因为BE ⊂平面BEN ，所以//BE 平面PAD ，又因为BE ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面PAD AD =，所以//BE AD 另一方面，在平行四边形ABCD 中，BE 与AD 不平行，矛盾， 所以在棱PC 上不存在点N （异于点C ），使得//BN 平面PAD .5．(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3)在线段1BB 上存在点P ，当12λ=时，平面11//A PC 平面AMC . 【分析】(1) 利用线面平行的判定定理证明1//BD 平面AMC ；(2) 利用线面垂直的判定定理证明AC ⊥平面11BB D D ，则有1AC BD ⊥； (3) 先确定λ的值，再根据面面平行的判定定理证明两平面平行. 【详解】因为四棱柱1111ABCD A B C D -是正四棱柱，所以底面ABCD 为正方形，侧棱垂直底面，侧面均为矩形.(1)证明：记AC 和BD 相交于点N ，因为ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点.又M 是1DD 的中点， 所以1//MN BD .又1BD ⊄平面AMC ，MN ⊂平面AMC ， 所以1//BD 平面AMC .(2)证明：因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥.因为1D D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1D D AC ⊥. 又BD ，1D D 在平面11BB D D 内，且相交于点D ， 所以AC ⊥平面11BB D D .又1BD ⊂平面11BB D D ， 所以1AC BD ⊥.(3) 在线段1BB 上存在点P ，当12λ=，即112BP BB =时，平面11//A PC 面AMC . 理由如下：当112BP BB =时，P 为1BB 的中点. 取1CC 的中点G ，连接1PC ，GB ，则有1//PC GB .连接MG ，因为四边形11CC D D 是矩形，M 是1DD 的中点，G 是1CC 的中点， 所以//MG CD ，MG CD =.在正方形ABCD 中，有，//CD AB ，CD AB =.所以//MG AB ，MG AB =，四边形ABGM 为平行四边形. 有//BG AM ，又1//PC GB ，所以1//PC AM ，又1PC ⊄平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，所以1PC //平面AMC . 同理可证：1//PA 平面AMC .又1PC ，1PA 在平面11A PC 内，且相交于点P ， 所以平面11//A PC 平面AMC . 6．(1)证明见解析；(2) 证明见解析. 【分析】(1)先证明四边形11ABC D 为平行四边形，得到11//BC AD ，再利用线面平行的判定定理证明1//BC 平面1AD E ；(2)先证明11A D AD ⊥，再由线面垂直的性质得到1AB A D ⊥，最后由线面垂直的判定定理证明1A D ⊥平面11ABC D.(1)证明：在正方体1111ABCD A B C D -中， 有//AB CD ，11//CD C D ，所以11//AB C D .又11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，有11//BC AD . 又1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ， 所以1//BC 平面1AD E(2)证明：因为1A D ，1AD 为正方形的对角线，所以11A D AD ⊥. 因为AB ⊥平面11AA D D ，1A D ⊂平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥. 又1AD ，AB 在平面11ABC D 内，且相交于点A ， 所以1A D ⊥平面11ABC D .7．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由//MN AB ，利用直线与平面平行的判断定理，证明//MN 平面ABD .（2）推导出BA DC ⊥，DC BD ⊥，从而CD ⊥平面ABD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD . 【详解】（1）∵在三棱锥A BCD -中，点M ､N 分别在棱BC ､AC 上，且//MN AB .MN ⊄平面ABD ，AB 平面ABD ，∴//MN 平面ABD（2）∵MN CD ⊥，//MN AB ，∴AB CD ⊥， ∵BD CD ⊥，ABBD B =∴CD ⊥平面ABD ， ∵CD ⊂平面BCD ∴平面ABD ⊥平面BCD . 【点睛】本题考查的是空间中平行与垂直的证明，较简单.8．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线BC 1与平面APM 不能垂直，详见解析 【分析】（Ⅰ）由等腰三角形三线合一得AM BC ⊥；由线面垂直性质可得1AM BB ⊥；根据线面垂直的判定定理知AM ⊥平面11BB C C ；由面面垂直判定定理证得结论；（Ⅱ）取11C B 中点D ，可证得1//A D AM ，//DN MP ；利用线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面1//A DN 平面APM ；根据面面平行性质可证得结论；（Ⅲ）假设1BC ⊥平面APM ，由线面垂直性质可知1BC PM ⊥，利用相似三角形得到111C B PB MB BB =，从而解得BP 长度，可知满足垂直关系时，P 不在棱1BB 上，则假设错误，可得到结论.（Ⅰ）AB AC =，M 为BC 中点 AM BC ∴⊥1AA ⊥平面ABC ，11//AA BB 1BB ∴⊥平面ABC又AM ⊂平面ABC 1AM BB ∴⊥ 1,BB BC ⊂平面11BB C C ，1BB BC B = AM ∴⊥平面11BB C C又AM ⊂平面APM ∴平面APM ⊥平面11BB C C （Ⅱ）取11C B 中点D ，连接11,,,A D DN DM B C,D M 分别为11,C B CB 的中点 1//DM AA ∴且1DM AA = ∴四边形1A AMD 为平行四边形 1//A D AM ∴又1A D ⊄平面APM ，AM ⊂平面APM 1//A D ∴平面APM,D N 分别为111,C B CC 的中点 1//DN B C ∴又,P M 分别为1,BB CB 的中点 1//MP B C ∴ //DN MP ∴ 又DN ⊄平面APM ，MP ⊂平面APM //DN ∴平面APM 1,A D DN ⊂平面1A DN ，1A DDN D = ∴平面1//A DN 平面APM又1A N ⊂平面1A DN 1//A N ∴平面APM（Ⅲ）假设1BC ⊥平面APM ，由PM ⊂平面APM 得：1BC PM ⊥设PB x =，x ⎡∈⎣当1BC PM ⊥时，11BPM B C B ∠=∠ Rt PBM ∴∆∽11Rt B C B ∆ 111C B PB MB BB =∴由已知得：MB11C B =1BB=，解得：x ⎡=⎣ ∴假设错误 ∴直线1BC 与平面APM 不能垂直【点睛】本题考查立体几何中面面垂直、线面平行关系的证明、存在性问题的求解；涉及到线面垂直的判定与性质、线面平行的判定、面面平行的判定与性质定理的应用；处理存在性问题时，常采用假设法，通过假设成立构造方程，判断是否满足已知要求，从而得到结论. 9．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）12【分析】（Ⅰ）连接BD ，交AC 于点O ；根据三角形中位线可证得//MO SD ；由线面平行判定定理可证得结论；（Ⅱ）由等腰三角形三线合一可知SE AD ⊥；由面面垂直的性质可知SE ⊥平面ABCD ；根据线面垂直性质可证得结论；（Ⅲ）利用体积桥的方式将所求三棱锥体积转化为14S ABCD V -；根据已知长度和角度关系分别求得四边形面积和高，代入得到结果. 【详解】（Ⅰ）证明：连接BD ，交AC 于点O四边形ABCD 为菱形 O ∴为BD 中点 又M 为SB 中点 //MO SD ∴MO ⊂平面MAC ，SD ⊄平面MAC //SD ∴平面MAC （Ⅱ）SAD ∆为正三角形，E 为AD 中点 SE AD ∴⊥平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SE ⊂平面SADSE ∴⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD SE AC ∴⊥ （Ⅲ）M 为SB 中点 11112443M ABC M ABCD S ABCD ABCDV V V SSE ---∴===⨯⋅又2AB BC AD CD SA SD ======，60ABC ∠= 2AC ∴=，12222sin 60232ABCDABC SS ∆==⨯⨯⨯=由（Ⅱ）知，SE AD ⊥ SE ∴=11122M ABC V -=⨯∴ 【点睛】本题考查立体几何中线面平行、线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面垂直性质定理和判定定理的应用、体积桥的方式求解三棱锥体积等知识，属于常考题型. 10．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点. 【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥； 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥; 因为PAAC A =,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥, 因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD , 所以AE PA ⊥； 因为PA AB A = 所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .（Ⅲ）存在点F 为PB 中点时，满足//CF 平面PAE ；理由如下:分别取,PB PA 的中点,F G ，连接,,CF FG EG , 在三角形PAB 中，//FG AB 且12FG AB =；在菱形ABCD 中，E 为CD 中点，所以//CE AB 且12CE AB =，所以//CE FG 且CE FG =，即四边形CEGF 为平行四边形，所以//CF EG ; 又CF⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以//CF 平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．（I ）证明见解析． （II ）证明见解析． 【详解】证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD ⇒}EF ADAD ACD EF ACD EF ACD⇒⊂⇒⊄面面面． （II ）}}}EF ADEF BDAD BD CD CB CF BD BD EFCF BD EF CF F⇒⊥⊥=⇒⊥⇒⊥⋂=面为的中点，又BD BCD ⊂面，所以EFC BCD ⊥面面．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据底面是正方形，得到CDAB ，再利用线面平行判定定理证明.（2）连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，由中位线定理得到OE PC ∥，再利用线面平行判定定理证明.（3）根据底面是正方形，得到BD AC ⊥，由侧棱PA ⊥底面ABCD ，得到BD PA ⊥，从而BD ⊥平面ACE ，由此能证明BD CE ⊥. 【详解】（1）∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形， ∴CDAB ，∵CD CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴CD ∥平面PAB . （2）如图所示：连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形，∴O 是AC 中点，∵E 是PA 的中点.∴OE PC ∥，∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴PC 平面BDE .（3）∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，∴BD AC ⊥，BD PA ⊥，∵AC PA A ⋂=，∴BD ⊥平面ACE ，∵CE ⊂平面ACE ，∴BD CE ⊥.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.13.（1）证明见解析；（2）1A C 与BD 不可能垂直，证明见解析.【分析】（1）证得1A B ⊥平面1A CD ，结合面面垂直的判定定理即可得出结论；（2）假设1A C 与BD 垂直，然后推出与已知条件11A B A D ⊥矛盾，即可得出1A C 与BD 不可能垂直.【详解】（1）因为平面1A BD ⊥平面BCD ，平面1A BD 平面BCD =BD ，CD ⊂平面BCD ，CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面1A BD ，又因为1A B ⊂平面1A BD ，所以CD ⊥1A B ，又因为11A B A D ⊥,1A D CD D =，所以1A B ⊥平面1A CD ，且1A B ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面1A CD ；（2）假设1A C 与BD 垂直，又因为CD ⊥BD ，且1AC CD C ⋂=，所以DB ⊥平面1A CD ，又因为1A D ⊂平面1A CD ，所以1DB A D ⊥，这与11A B A D ⊥矛盾，故假设不成立，即1A C 与BD 不可能垂直.23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，所以由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾.试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ．（2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥．在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1A OB ⊥平面1A OC ．（3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点．在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =，这显然与1EO =，EC =所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．14．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析【分析】（I ）由AD ⊥DE ，AD ⊥CD 可得AD ⊥平面CDE ，故而AD ⊥CE ；（II ）证明平面ABF ∥平面CDE ，故而BF ∥平面CDE ；（III ）取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，证明CE ⊥平面ADPQ 即可得出平面ADQ ⊥平面BCE ．【详解】（Ⅰ）由底面ABCD 为矩形，知AD CD ⊥.又因为DE AD ⊥，DE CD D ⋂=，所以AD ⊥平面CDE .又因为CE ⊂平面CDE ，所以AD CE ⊥.（Ⅱ）由底面ABCD 为矩形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE .同理//AF 平面CDE ，又因为AB AF A ⋂=，所以平面//ABF 平面CDE .又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE .（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q （即BE 的中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . 证明如下：取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，连接,,AQ DP PQ ，则//PQ BC .由//AD BC ，得//PQ AD .所以,,,A D P Q 四点共面.由（Ⅰ），知AD ⊥平面CDE ，所以AD DP ⊥，故BC DP ⊥.在△CDE 中，由DC DE =，可得DP CE ⊥.又因为BC CE C ⋂=，所以DP ⊥平面BCE .又因为DP ⊂平面ADPQ所以平面ADPQ ⊥平面BCE （即平面ADQ ⊥平面BCE ）.即线段BE 上存在点Q （即BE 中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质定理的应用，线面平行的判定，熟练运用定理是解题的关键，属于中档题．15．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析.【分析】（Ⅰ）证明以DE ∥平面PBC ，只需证明DE ∥PC ；（Ⅱ）证明BC ⊥平面PAB ，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA ⊥BC ，AB ⊥BC ；（Ⅲ）当点F 是线段AB 中点时，证明平面DEF ∥平面PBC ，可得平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．【详解】（Ⅰ）证明：因为点E 是AC 中点，点D 为PA 的中点，所以//DE PC ．又因为DE ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以DE ∥平面PBC ．（Ⅱ）证明：因为平面PAC ⊥面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，又PA ⊂平面PAC ，PA ⊥AC ， 所以PA ⊥面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ．又因为AB ⊥BC ，且PA ∩AB =A ，所以BC ⊥面PAB ．（Ⅲ）当点F 是线段AB 中点时，过点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行． 取AB 中点F ，连EF ，连DF ．由（Ⅰ）可知DE ∥平面PBC ．因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点，所以EF ∥BC ．又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ．又因为DE ∩EF =E ，所以平面DEF ∥平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．故当点F 是线段AB 中点时，过点D ，E ，F 所在平面内的任一条直线都与平面PBC 平行．【点睛】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理是关键．16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据底面是正方形，得到CD AB ，再利用线面平行判定定理证明.（2）连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，由中位线定理得到OE PC ∥，再利用线面平行判定定理证明.（3）根据底面是正方形，得到BD AC ⊥，由侧棱PA ⊥底面ABCD ，得到BD PA ⊥，从而BD ⊥平面ACE ，由此能证明BD CE ⊥.【详解】（1）∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形，∴CD AB ，∵CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB ， ∴CD ∥平面PAB .（2）如图所示：连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形，∴O 是AC 中点，∵E 是PA 的中点.∴OE PC ∥，∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴PC 平面BDE .（3）∵四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，∴BD AC ⊥，BD PA ⊥，∵AC PA A ⋂=，∴BD ⊥平面ACE ，∵CE ⊂平面ACE ，∴BD CE ⊥.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.。
立体几何常用定理和方法
（2）
a b
b
∥
c
a
b
，（平行不变）；
（3）
a b
a
b
；
2．线面垂直的证明方法： （1）用定义，证明直线与平面内的所有直线都垂直（常体现在反证法中）；
a （2）b
b
b, a c ,c cP
a
；
（3）a
∥
a
；
（4） , a ,a b
b
a
．
3．面面垂直的证明方法： （1）用定义，证明平面角是 90 ；
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
（2）证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直. 6．证明面面垂直的方法： （1）转化为线线垂直、线面垂直来处理； （2）证明两个平面的法向量互相垂直.
五 利用空间向量解决角和距离 1.求异面直线所成角的关键是作出异面直线所成角的平面角，常用的方法有：
A. l
B. l ⊥
C. l ∥
D. l 或 l ∥
2.若两直线 a⊥b，且 a⊥平面，则 b 与的位置关系是
（）
A.相交
B.b∥
C.b
D.b∥，或 b
3.下面各命题中正确的是（
）
A.直线 a，b 异面，a，b ，则∥ ；
C.直线 a⊥b，a⊥，b⊥，则⊥；
B.直线 a∥b，a，b，则∥； D.直线 a，b，∥，则 a，b 异面.
则 H 是 ABC 的外心.其中正确说法的序号依次
是
.
9. 如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AC BC ，点 D 是
AB 的中点，求证：（1） AC BC1
（2）AC 1//平面 CDB1；
立体几何知识归纳+典型例题+方法总结
立体几何知识归纳+典型例题+方法总结一、知识归纳1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题.（1）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线.（3）证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合.2. 空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点（2）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.（直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若PA⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相PO A a交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.4. 平面平行与平面垂直（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行⇒面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行⇒线线平行”）（4两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直⇒面面垂直”）注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.简证：如图，在平面内过O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.所以结论成立 b.最小角定理的应用（∠PBN 为最小角） 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.5. 棱柱. 棱锥（1）棱柱a.①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.b.{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱PαβθM A B O柱}⊃{正方体}.{直四棱柱}I {平行六面体}={直平行六面体}.c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各．个侧面都是矩形．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则 1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. （2）棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==. a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α） 附：以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）. b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面l abc多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.（3）球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：334R V π=. b.纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥体体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）（1）. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧，得R a R a a a ⋅⋅+⋅=⋅2224331433643a a a R 46342334/42=⋅==⇒. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=-. ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.6. 空间向量（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.b.共线向量定理：对空间任意两个向量)0(≠a ， ∥的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.c.共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作∥α.d.①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使y x +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件. （简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.（2）空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 z y x ++=(这里隐含x+y+z≠1). O BDO R注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心， 则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+，))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，332211b a b a b a b a ++=⋅ ，a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a .222321a a a ++==(向量模与向量之间的转化：a a =⇒•=空间两个向量的夹角公式232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅•>=<ρρρρρρ（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）. ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.b.法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.c.向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n . ②异面直线间的距离d = (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③直线AB 与平面所成角的正弦值sin ||||AB m AB m β⋅=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平面α的法向量). ④利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.d.证直线和平面平行定理：已知直线⊄a 平面α，α∈∈D C a B A ,,,，且C 、D 、E 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ,使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB二、经典例题考点一 空间向量及其运算1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解析：要判断点P 与,,A B C 是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对,x y 使AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OA x AB y AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .答案：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，所以，点P 与,,A B C 共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．2.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，13AN AE =．求证：//MN 平面CDE ．解析：要证明//MN 平面CDE ，只要证明向量NM u u u u r 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE u u u r 和DC u u u r 线性表示． 答案:证明：如图，因为M 在BD 上，且13BM BD =， 所以111333MB DB DA AB ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ．同理1133AN AD DE =+u u u r u u u r u u u r ， 又CD BA AB ==-u u u r u u u r u u u r ，所以MN MB BA AN =++u u u u r u u u r u u u r u u u r 1111()()3333DA AB BA AD DE =++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133BA DE =+u u u r u u u r 2133CD DE =+u u u r u u u r ． 又CD uuu r 与DE u u u r 不共线，根据共面向量定理，可知MN u u u u r ，CD uuu r ，DE u u u r 共面．由于MN 不在平面CDE 内，所以//MN 平面CDE ．点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开.考点二 证明空间线面平行与垂直3. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答案:解法一：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1，∴ AC 1//平面C D B 1；解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），B 1（0,4，4），D （23，2,0） （1）∵AC ＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0），∴AC •1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1. （2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－23，0,2），1AC ＝（－3,0，4），∴121AC DE =，∴DE ∥AC 1.A B C A B C E x yz4. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点.(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ；(3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦.解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）ΘM 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则 ME CD 21，又AB CD 21 ∴四边形ABME 为平行四边形∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄，PAD EA 平面⊂∴BM ∥PAD 平面（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则())0,0,1B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,1,1M ，()1,1,0E在平面PAD 内设()z y N ,,0，()1,1,1---=→--z y MN ，()2,0,1-=→--PB ，()0,2,1-=→--DB 由→--→--⊥PB MN ∴0221=+--=⋅→--→--z PB MN ∴21=z由→--→--⊥DB MN ∴0221=+--=⋅→--→--y DB MN ∴21=y∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,0N ∴N 是AE 的中点，此时BD MN P 平面⊥（3）设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ()2,2,2-=→--PC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=→--21,21,1MN ，设→--→--MN PC ,为α 3226322cos -=⋅-=⋅=→--→--→--→--MN PC MNPC α 32cos sin =-=αθ 故直线PC 与平面PBD 所成角的正弦为32解法二： （1）ΘM 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则ME CD 21，又AB CD 21 ∴四边形ABME 为平行四边形∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄PAD EA 平面⊂∴BM ∥PAD 平面（2）由（1）知ABME 为平行四边形ABCD PA 底面⊥∴AB PA ⊥，又AD AB ⊥∴PAD AB 平面⊥ 同理PAD CD 平面⊥，PAD 平面⊂AE∴A E A B ⊥ ∴AB ME 为矩形 CD ∥ME ，PD CD ⊥，又A E PD ⊥ ∴PD ⊥ME ∴ABME 平面⊥PD PBD PD 平面⊂∴ABME PBD 平面平面⊥ 作EB ⊥MF 故PBD 平面⊥MFMF 交AE 于N ，在矩形ABME 内，1==ME AB ，2=AE∴32=MF ，22=NE N 为AE 的中点 ∴当点N 为AE 的中点时，BD MN P 平面⊥（3）由（2）知MF 为点M 到平面PBD 的距离，MPF ∠为直线PC 与平面PBD 所成的角，设为θ，32sin ==MP MF θ ∴直线PC 与平面PBD 所成的角的正弦值为32点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来考点三 求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法 另外也可借助空间向量求这三种角的大小.5. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=o 的菱形，M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小；(Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平 移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法答案：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ． 又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP =3∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°．(II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ． 建立空间直角坐标系如图， 则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)A P D -, (3,2,0),(0,1,0)B C ．由M 为PB 中点，∴33(1,M ． ∴33((3,0,3),DM PA ==u u u u r u u u r (0,2,0)DC =u u u r ． ∴333203)0PA DM ⋅=⨯-=u u u r u u u u r ，03200(3)0PA DC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ．∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．(III)33(),(3,1,0)CM CB ==u u u u r u u u r ．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0n CM ⋅=u u u u r r ，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=u u u r r 30x y +=． ……②由①、②，取x =−1，则3,1y z =． ∴可取(3,1)n=-r ． 由(II)知平面CDM 的法向量可取(3,0,3)PA =u u u r ， ∴2310cos ,||||56n PA n PA n PA ⋅-<>=⋅u u u r r u u u r r u u u r r 10法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=o ，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2CO AB ，则//MN CO ， 则四边形OCMN 为Y ，所以//MC ON ，在APO ∆中，AO PO =，则ON AP ⊥，故AP MC ⊥而MC CD C =I ，则PA MCD ⊥平面（Ⅲ）由（Ⅱ）知MC PAB ⊥平面，则NMB ∠为二面角D MC B --的平面角， 在Rt PAB ∆中，易得PA=PB ===，cos AB PBA PB ∠===，cos cos()5NMB PBA π∠=-∠=-故，所求二面角的余弦值为5-点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.6. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AD AA AB ===点E 在线段AB 上. （Ⅰ）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（Ⅱ）若二面角1D EC D --的大小为45︒，求点B 到平面1D EC 的距离.解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利1D A B CD E 1A 1B 1C于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（Ⅰ）连结1AD .由已知，11AA D D 是正方形，有11AD A D ⊥.∵AB ⊥平面11AA D D ，∴1AD 是1D E 在平面11AA D D 内的射影.根据三垂线定理，11AD D E ⊥得，则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒. 作DF CE ⊥，垂足为F ，连结1D F ，则1CE D F ⊥所以1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角，145DFD ∠=︒.于是111,DF DD D F ==易得Rt Rt BCE CDF ∆≅∆，所以2CE CD ==，又1BC =，所以BE =. 设点B 到平面1D EC 的距离为h .∵1,B CED D BCE V V --=即1111113232CE D F h BE BC DD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴11CE D F h BE BC DD ⋅⋅=⋅⋅，即=，∴4h =.故点B 到平面1D EC 解法二：分别以1,,DA DB DD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.（Ⅰ）由1(1,0,1)A ，得1(1,0,1)DA =u u u u r设(1,,0)E a ，又1(0,0,1)D ，则1(1,,1)D E a =-u u u u r .∵111010DA D E ⋅=+-=u u u u r u u u u r ∴11DA D E ⊥u u u u r u u u u r则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.（Ⅱ）(0,0,1)=m 为面DEC 的法向量，设(,,)x y z =n 为面1CED 的法向量，则(,,)x y z =n|||cos ,|cos 45||||2⋅<>===︒=m n m n m n ∴222z x y =+. ①由(0,2,0)C ，得1(0,2,1)DC =-u u u u r ，则1D C ⊥u u u u r n ，即10DC ⋅=u u u u r n ∴20y z -= ② 由①、②，可取(3,1,2)=n 又(1,0,0)CB =u u u r ，所以点B 到平面1D EC 的距离||36422CB d ⋅===u u u r n |n |. 点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较容易写出来.考点四 探索性问题7. 如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且DE=2，ED//AF 且∠DAF =90°.（1）求BD 和面BEF 所成的角的余弦；（2）线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值；若不存在，说明理由.解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算. 答案：（1）因为AC 、AD 、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则B （2，0，0），D （0，0，2），E （1，1，2），F （2，2，0）， 则)0,2,0(),2,1,1(),0,0,2(=-==BF BE DB设平面BEF 的法向量x z y x n -=则),,,(0,02==++y z y ，则可取)0,1,2(=n ，∴向量)1,0,2(=n DB 和所成角的余弦为1010)2(21220222222=-++-+⋅. 即BD 和面BEF 所成的角的余弦1010. （2）假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，不妨设EP 与PF 的比值为m ，则P 点坐标为),12,121,121(m m m m m +++++ 则向量=),12,121,121(m m m m m +++++，向量=CP ),12,11,121(mm m m ++-++ 所以21,012)2(12101212==+-++++++m m m m m m 所以. 点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求.8. 如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（I ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（II ）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解.答案:解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点，CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 依题意π6CBH ∠=，所以在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin 62a CH a ==，sin θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴． 故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a a VD θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，，，(0)AB a a =-u u u r ，，． 从而2211(0)0002222a a ABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 02222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··即AB VD ⊥．又CD VD D =I ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==u u u r，··nn ．得0tan 0222ax ay a a x y θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-u u u r，，，于是πsin 62BC BC θ===u u u r u u u r n n ··，即sin 2θ=π02θ<<∵，π4θ∴=． 故交π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，002DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，(00)AB =u u u r ，．从而(00)AB DC =u u u r u u u r ，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 0AB DV θ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，·，即AB DV ⊥． 又DC DV D =I ， AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ， ∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==u u u r u u u r ，··n n ，得2022tan 022ay ax az θ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)n θ=，，，又220BC a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，， 于是22tan π22sin sin 61tan a BC BC a θθθ===+u u u r u u u r n n ···， 即πππsin 0224θθθ=<<，，∵∴=． 故角π4θ=时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为π6．点评：证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,但运用更多的是建空间直角坐标系,利用向量法求解考点五 折叠、展开问题9．已知正方形ABCD E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE V 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<(I) 证明//BF 平面ADE ;(II)若ACD V 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解: (I)证明:EF 分别为正方形ABCD 得边AB 、CD 的中点,ADBCVxyAEB CF DG∴EB//FD,且EB=FD,∴四边形EBFD 为平行四边形∴BF//ED.,EF AED BF AED ⊂⊄Q 平面而平面,∴//BF 平面ADE(II)如右图,点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过点A 作AG 垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GDQ ∆ACD 为正三角形,∴AC=AD. ∴CG=GD. Q G在CD 的垂直平分线上, ∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平面角 即G AH θ∠=.设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的∆AEF中,EF=2AE=2a,即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅.2AG a ∴=在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅AH ∴=.GH ∴=,1cos 4GH AH θ== 点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线.关键要抓不变的量.考点六 球体与多面体的组合问题10．设棱锥M-ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径. 解： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ， ∴AB ⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面AC.记E 是AD 的中点，从而ME ⊥AD. ∴ME ⊥平面AC ，ME ⊥EF.设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球. 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心. 设球O 的半径为r ，则r ＝MFEM EF S MEF++△2设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1. ∴ME ＝a 2.MF ＝22)2(aa +, r ＝22)2(22aa a a +++≤2222+＝2-1. 当且仅当a ＝a2，即a ＝2时，等号成立.∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系. 三、方法总结1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90º；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直.（2）直线和平面相互平行证明方法：○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.（3）直线和平面垂直证明方法：○1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，○2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行.（4）平面和平面相互垂直证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直.2．求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离.（1）两条异面直线的距离。
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
数学立体几何的证明方法知识点解析
数学立体几何的证明方法知识点解析数学立体几何作为数学的一个分支，研究的是三维空间中的图形和形体性质。
在学习立体几何的过程中，证明方法是非常重要的一环。
本文将对数学立体几何的证明方法进行详细解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、直接证明法直接证明法是数学证明中最基本、最常用的一种方法。
它通过逻辑推理和严密的推导，从已知条件出发，推出结论，具有简洁明了的特点。
在立体几何中，直接证明法常常用于证明图形的性质和关系，如平行、垂直、相似等。
在进行直接证明时，我们需要运用相关的定理、公理和性质，并合理运用建立的几何模型，通过推理和演算得到证明。
二、间接证明法间接证明法指的是通过反证法证明一个命题的真假。
当我们想要证明一个命题为真时，可以假设它为假，然后通过逻辑推理，推导出一个自相矛盾的结论，从而得出原命题为真。
在立体几何中，间接证明法可以用于证明一些形状的唯一性或者不存在性。
通过巧妙的反设假设，并运用逻辑推理，可以得到具有严密性和说服力的证明。
三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它主要用于证明与自然数有关的命题。
在立体几何中，数学归纳法可以用于证明一些图形的性质或者等式的成立。
首先，我们证明当n=1时命题成立；然后，假设当n=k时命题成立，即我们假设当有k个条件时命题成立；最后，通过数学归纳法的步骤，证明当n=k+1时命题也成立。
数学归纳法需要严密的逻辑推理和数学思维，但是一旦证明了某个特定条件下的命题成立，就能推广到所有情况下成立。
四、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设命题的反面为真，推导出自相矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
在立体几何中，反证法通常用于证明一些性质的唯一性或不存在性。
通过反设假设，并运用逻辑推理和演算，我们可以得到具有严密性和说服力的证明。
五、构造法构造法是一种通过构造特定图形或者解决方案，来证明命题成立的方法。
在立体几何中，构造法可以用于证明一些图形的存在性和性质。
如何总结高一数学的立体几何证明方法与技巧
如何总结高一数学的立体几何证明方法与技巧在高一数学的学习中，立体几何是一个重要且具有一定难度的部分。
对于许多同学来说，掌握立体几何的证明方法与技巧并非易事。
然而，通过系统的总结和练习，我们能够逐渐理清思路，提高解题能力。
接下来，让我们一起深入探讨如何总结高一数学立体几何的证明方法与技巧。
一、基础知识的巩固在总结证明方法与技巧之前，扎实的基础知识是必不可少的。
我们需要对立体几何中的基本概念，如点、线、面、体，以及它们之间的位置关系，如平行、垂直、相交等有清晰的理解。
1、点线面的关系点在直线上：表示点是直线的一部分。
点在平面内：点属于平面。
直线在平面内：直线上的所有点都在平面内。
2、线线关系平行：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
相交：两条直线有且只有一个公共点。
异面：不同在任何一个平面内，没有公共点。
3、线面关系线面平行：直线与平面没有公共点。
线面相交：直线与平面有且只有一个公共点。
线在面内：直线上的所有点都在平面内。
4、面面关系面面平行：两个平面没有公共点。
面面相交：两个平面有一条公共直线。
二、常见的证明方法1、综合法综合法是从已知条件出发，通过一系列的推理和运算，最终得出要证明的结论。
这需要我们对基本定理和公式有熟练的运用。
例如，要证明直线 a 平行于平面α，已知平面α 内有一条直线 b 平行于直线 a，且直线 a 不在平面α 内，根据线面平行的判定定理，就可以得出直线 a 平行于平面α。
2、分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直到最后归结为已知条件或已经成立的定理。
比如，要证明平面α 平行于平面β，我们可以先假设平面α 与平面β 不平行，然后推出矛盾，从而证明平面α 平行于平面β。
3、反证法当直接证明比较困难时，可以采用反证法。
先假设结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
例如，证明两条异面直线不平行，我们可以先假设它们平行，然后推出与已知条件矛盾的结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。
2、利用三角形或梯形的中位线。
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
二、线面平行的证明方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。
2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法：1、定义法：两平面没有公共点。
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
3、平行于同一平面的两个平面平行。
面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
需证明）线面平行的判定定理）面面平行的判定定理）4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。
5、垂直于同一直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法：1、勾股定理。
2、等腰三角形。
3、菱形对角线。
4、圆所对的圆周角是直角。
5、点在线上的射影。
6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
证明）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
需证明）9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。
三垂线定理，需三垂线逆定理，2、点在面内的射影。
理）5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。
7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。
8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
六、面面垂直的证明方法：1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。
2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。
一．选择题（共 27 小题）1. （ 2010浙江）设I , m 是两条不同的直线， a 是—个平面，则下列命题正确的是（ ）A .若 I 丄 m , m a,贝U I 丄aB .若 I 丄a, I // m ，贝U m 丄％C .若 I // a,m a,贝U I II m D .若 I // a,3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。
（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直的性质定面面垂直的判定定理）a,m // a,贝U I // mC.若a // 3 , a // 3 ,贝U a / aD.若b // a , a / b ,贝U a/a2 . （2006湖南）过平行六面体ABCD- A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）A. 4条B. 6条C. 8条D. 12 条3 .直线I与平面A.充分不必要条件a无公共点”是“l a”（）B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件①.mJ_ 口=>i// n;②"□丄"=口// a；③.:④[n丄a.in±n[nS a "U" 口)4 .已知m, n表示两条直线，a表示一个平面，给出下列四个命题:其中正确命题的序号是A.①②B. ②④C. ②③D.①④5 .正方体ABCD- A1B1C1D1 中, E, F, G 分别是A1B1、CD B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是B. AE与CG是异面直线C.四边形ABC1F是正方形D. AE//平面BC1F6 .直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（A. 一条直线不相交B.）两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D. 无数条直线不相交7 . a、3表示平面，A. a丄3,且a丄3 b表示直线，则a // a的一个充分条件是（B. an 3 =b 且a // bC. a// b,)b //aD. a// 3,且a 38 .已知两条直线a, b,A.若a 3,且all 3,则两个平面a // aa, 3,则下列结论中正确的是（B.若b a, a l b,贝U a l a9 .下列四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个顶点, MNP 的图形的序号是 A M M 、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB /平面r ① A .①、③ ②’ B .①、④PD .②、④a 、10.设a 、3 丫是三个不同的平面, ①若 a / a , b / a , 在平面a 内的射影互相垂直，则A .③B . a 、b 是两条不同的直线,给出下列 则 a / b ;②若 a / a, b //3, a / b ,贝U a/ 3；③若 a 丄b .其中正确命题是（ ） ④C .①③ 4个命题： a 丄a, b 丄3, a 丄b ,贝U a 丄3; ④若 a 、b a ,D .②④ 11.已知两条直线 a , b 和平面 A .充分但不必要条件a ,若b a ,贝 U a / b 是 a //%的（ ） B .必要但不充分条件 C.充要条件 D .既不充分又不必要条件 12 .已知直线a 和平面a ,那么 A .存在一条直线b , a / b , b a a // a 的一个充分条件是（ ） B .存在一条直线 C.存在一个平面 3, a 3, a //3 D .存在一个平面 3, a 丄 3, a 丄313.已知a , 3表示平面, A . a 丄 3, a 丄 3 a , b 表示直线，则a / a 的一个充分条件是（ B . a 丄 3 =b a // b C . a / b , b // aD . a// 3, a 314. A , b , c 为三条不重合的直线, 督\/ b ② b 仁r 暫/「3⑤ 7 J I 其中正确的命题是（叫叫/ b ③ 沖]a/ a ⑥ 訓CJ ） a , 3 , 丫为三个不重合平面，现给出六个命题 m ]畀们// a .. a/ a畀Y Ja/ 3C.若 a // 3 , a // 3 ,贝U a / a D .若 b // a , a / b ,贝 U a /aA . ①②③B .①④⑤C .①④D .①③④15. A . 下列说法正确的是（ ） 垂直于同一平面的两平面也平行 B . 与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D .垂直于同一直线的两平面平行 16.已知两条直线 A .若 m I a, n Im 、n 与两个平面 a B ,下列命题正确的是（ a ,贝U m l B .若 m l a, m l B ,贝U al C .若 m 丄 B B a, a, )m 丄B,贝U all D . 若 m 丄n , m 丄B,贝U n l 317.已知直线a , A . a 丄 b , b 丄 a b ,平面a , B . a l B, Bl a B ,则a l a 的一个充分条件是（ C . b a, a I bD . a II b , b II a, a a18. A 是平面 AD , BC, BCD 外一点，E , F , G 分别是BD , DC 中，与平面a 平行的直线有（ DC, CA 的中点，设过这三点的平面为 ） a , 则在直线AB , AC,BD, 0 A . B . 1条 C . 2条 D . 3条19. A . （2010山东）在空间，下列命题正确的是（ 平行直线的平行投影重合 ）B .平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D .垂直于同一平面的两条直线平行20. A . （2008湖南）设有直线 m 、n 和平面 若 m la ,n la ,贝 U m l n a, B,下列四个命题中，正确的是（ ）B .若 m a , n a, m l B , n lB ,贝U alBC. 若 a 丄3, m a,贝U m 丄BD .若 a// 3 , m 丄 3 , m a ,贝 U m //a21. （2008福建）如图，在长方体 ABCD- A l B l C l D l 中，AB=BC=2 AA 1=1,则AC l 与平面A l B l C l D l 所成角的正弦 值为（ ）C .D .丄 322. A . a , 23. A . C. （2008安徽）两条不同直线， 若 m // , n //,贝U m // n B .若 a 丄 丫，3丄 Y 贝U a// 3C .若 m //3 3 , 丫是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） a, m / 3,贝U a / D .若 m 丄 a , n 丄 a ,贝U m / n （2007辽宁）若m , n 是两条不同的直线， a, 若m 3 , a 丄3贝U m 丄a 丫是二个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ B . 若 aP Y =m 3门丫 =n m / n ,贝U a D .若m 丄3, m 〃 a,贝U a 丄3 a , 24. ① m / n , m 丄 a 丄 a ②a/3 , m a, n 3m/ n ③m / n , m / an/ a ④ a/ 3, m / n , m 丄 ai±3 其中正确命题的序号是 A . （2007江苏）已知两条直线 m , n ,两个平面 a, 3给出下面四个命题: ①③ ) B . ②④ C .①④ D .②③25. A . （2002北京） 艮丄Y r 已知三条直线 B . m 、n 、I ,三个平面叫 0 Uli pb 、 C . g ,下列四个命题中, M Y J 正确的是（D . mJ- T nlY26.已知直线 A .充分而不必要条件 平面 a, 直线n 平面a ,直线c 丄m ,直线 B . c 丄n "是直线c 丄平面 必要而不充分条件 aB( )C.充要条件D . 既不充分也不必要条件27•若直线a //直线b ，且a //平面a,则b 与平面a 的位置关系是（ ）A . 一定平行B .不平行C .平行或相交二•填空题（共3小题）28.如图：点P 在正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的面对角线 BC 1上运动，则下列四个命题:① 三棱锥A -D 1 PC 的体积不变； ② A 1P //面 ACDi ; ③ DP 丄BC 1； ④ 面PDBi 丄面ACD1. 其中正确的命题的序号是1.分析：根据题意，依次分析选项： A ,根据线面垂直的判定定理判断. C :根据线面平行的判定定理判断. D :由线线的位置关系判断. B :由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案.D .平行或在平面内29.考察下列三个命题，在线，a B 为不重合的平面）mC （1 1// a,②l/JlT--”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中 ，则此条件为 _ _ .I // a,③山“ aI , m 为不同的直30.在正四面体 PABC 中，①BC//平面 PDF ;②DF 丄平面 D , E , F 分别是棱AB, BC, CA 的中点.给出下面四个结论：PAE ③平面 PDF 丄平面 ABC;④平面 PAE1平面 ABC,解答: 解：A,根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C: I // a, m a,则I // m或两线异面，故不正确.D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确.B:由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正2. 解：如图，过平行六面体ABCD- A I B I C I D I任意两条棱的中点作直线, 其中与平面DBB IDI平行的直线共有12条，故选D.3解：若即直线I与平面a无公共点” /la为真命题反之，当“/ a时，直线I与平面a无公共点” 即“/ a”直线I与平面a无公共点”也为真命题根据充要条件的定义可得：直线I与平面a无公共点”是“/ a'的充要条件故选Cf m I 口4:①, m// n,根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故①正确.I 口丄a②（皿+叫// a, 由Lm_Ln③何/故选D.5根据正方体的几何特征，中各边的长度，即可判断解：由正方体的几何特征，直线I与平面a无公共点”成立，则“/ a”C1 丄m // n,由aa ,a 丄n,m丄a.m //a,m,m丄n得n // a或n a,故②不正确.n// a,则m , n可能平行、可能相交、可能异面.故③不正确.n可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m丄n.故④正确.可以判断出AE与CG相交，但不垂直，由此可以判断出A, B的真假，分析四边形ABC1F C的真假，由线面平行的判定定理，可以判断出D的真假，进而得到答案.可得AE丄C i G,但AE与平面BCBC1不垂直，故AE丄CG不成立；由于EG//AC,故A, E, B, C四点共线••• AE与CG是异面直线错误；四边形ABGF中，AB M BC故四边形ABC I F是正方形错误；而AE// C I F,由线面平行的判定定理，可得AE//平面BC I F故选D6 解答：解：•••直线与平面平行，由其性质可知：•••这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，A 一条直线不相交,说明有其它直线与其相交,故B、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故A 错误；B 错误；点评：D、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故故选C.此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面,这些知识要熟练掌握.D 错误；7 解答：点评：解：A、还可能有a a ,所以不正确B、因为a不一定在3内，所以不正确C、还可能有a a,所以不正确D、a/ 3 且a 3由面面平行的性质定理可知是正确的. 故选D本题主要考查线线线面面面的平行及垂直间的相互转化一定要注意常见结论的严密性.8 解答：解：A、TB、T b a,C、T a//D、T b //a // 又a 3 •- a / a 故A 正确；a// b，若a a,则a不可能与a平行，故B错误;3 a// 3若a a,则结论不成立，故C错误； a a/ b 若a a 则结论不成立故D 错误；点评：故A 正确；此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握．9 分析：解答：对于①，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于②，考虑线面平行的判定及定义；对于③，可以用线面平的定义及判定定理判断；对于④，用线面平行的判定定理即可.解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面得AB//平面MNP.对图④，通过证明AB// PN得至U AB//平面MNP;MNP,由线面平行的定义可点评：对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选B．本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题．10 解答：点评：解：①a与b可以相交，故①错误；②••• a与3可以垂直，故②错误；③a丄a, b丄3, a丄b, a丄3,故③正确；④••• a、b在平面a内的射影互相垂直，a与b不一定是垂直的，有可能斜交，故④错误; 故选A.此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握.11 解答：点评：解：当b a是若a / b时，a与a的关系可能是a// a,也可能是a a,即a// a不一定成立，故a / ba// a为假命题；若a// a时，a与b的关系可能是a// b，也可能是a与b异面，即a// b不一定成立，故a/ aa// b也为假命题；故a / b是a // a的既不充分又不必要条件故选D本题考查的知识点是充要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断a// ba // a与a // aa// b的真假，然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握.12 解答：点评：解：A、直线a在a内时，不正确B、直线a在a内时，不正确C、面面平行的性质定理知正确D、直线a在a内时，不正确故选C本题主要考查在应用定理或常见结论时一定要条件全面，提醒学生做题量考虑要具体全面．13 解答：解：选项A, a丄3, a丄3 a// a或a a 选项B, a丄 3 =b a / ba / a 或a a 选项C, a / b, b / a a// a 或a a A、B、C 三个选项都不能排除a a，选项D,根据线面平行的性质可知正确故选D14 解答：解：根据平行公理可知①正确；根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在a、b 可能相交或异面．对于③错在a与B可能相交，对于⑤⑥错在a可能在a内.解：取AB 的中点H ,连接HE 、EF FG GH •••平面HEFG 为平面a 其中AB BD CD AC 都与平面 a 相交 ••• E 、F 是BD CD 的中点 ••• EF// BC, 而 EF a, BC a • •• BC//平面 a 同理可证AD//平面a 故选C本题主要考查了直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于基础题.点评:故选：C 本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理、公理的理解, 属于综合题. 15分析：解答:垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四 个点，一定异面，若交于三个点则共面，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，得到结论. 解：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故 A 不正确， 与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，故 过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，故 C 不正确， 垂直于同一直线的两个平面平行，正确， B 不正确， 点评:17解答：点评: 故选 D. 解：对于 A ,若 m // a , 对于 B , 若 m // a , m // 对于 C, 若 m 丄 a , m 丄 对于 D, 若 m 丄 n , m 丄 故选 C. 16解答：n // a,贝U m , n 可以平行、相交，也可以异面，故不正确; 3,则当m 平行于a, B 的交线时，也成立，故不正确； 3,则m 为平面a 与3的公垂线,则 a // 3,故正确； 3贝U n //3, n 也可以在3内 本题考查空间中直线和平面的位置关系.涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平 行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线.当然也可以用面面平行来推导线面平行. 解：A : a 丄b , b 丄a,则a 与平面平行或在平面内，不正确. B : a // 训a,则a 与平面平行或在平面内，不正确. C ： b a, a // b ,则a 与平面平行或在平面内，不正确. D ：由线面平行的判定理知，正确. 故选D 本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及判定定理， 属中档题 也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查, 18解答:点评:19解答: 解：平行直线的平行投影重合，还可能平行, A 错误.平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交, 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，故选D.B错误. C错误.20分析由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断解答：A、B、D;由面面垂直的性质定理判断 C.与n可能相交；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条点评: 解：A不对，由面面平行的判定定理知，m件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选D.本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题.21 分: 由题意连接A1C1，则/ AC1A1为所求的角，在△ AC1A1计算.解：连接A1C1,在长方体ABCD- A1B1C1D1中，二A1A丄平面A1B1C1D1，则/ AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角.A A1 1 1在^AC1A1 中，sin/AC1A1=------- ----------- W.故选D.22分析：解答: 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，若m//, n //, m, n可以相交也可以异面，故A不正确；若a丄Y 3丄Y,贝y a// 3贝a、3可以相交也可以平行，故B不正确；若m // a, m // 3则a// 3,则a、3可以相交也可以平行，故C不正确；m丄a, n丄a则同垂直于一个平面的两条直线平行；故D答案正确；分析即可得到结论.解：m , n均为直线,其中m, n平行a, m , n可以相交也可以异面，故A不正确；若a丄Y 肚Y则all 3 ,则a、3可以相交也可以平行，故B不正确；若m // a, m / 3,贝u a// 3 ,贝u a、3可以相交也可以平行，故C不正确；m丄a , n丄a则同垂直于一个平面的两条直线平行；故选D.23分析：解答:点评: 对于选项A直线m可能与平面a斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可.解：对于选项D,若m// a,则过直线m的平面与平面a相交得交线n,由线面平行的性质定理可得m // n,又m丄B,故n丄且n a,故由面面垂直的判定定理可得a丄3-故选D本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题.24解答：点评: 解：用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；②中，由面面平行的定义，m , n可以平行或异面；③中，用线面平行的判定定理知，n可以在a内；故选C.本题考查了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于基础题.由线面垂直的定义，当直线 C 丄平面a 时，C 与a 中的任意一条直线都垂直，即 直线C 丄平面a”直线C 丄m ,直线C 丄n”为真命题，但反之，当 直线C 丄m ，直线c 丄n”时，直线c 丄平面a 不一定成立，根据充 要条件的定义，易得答案. 解：若直线 C 丄m ，直线 C 丄n 成立 则当m , n 相交时，直线C 丄平面a 成立，当m , n 平行时，直线c 丄平面a 不一定成立 故直线C 丄m ，直线C 丄n ”直线C 丄平面a'为假命题 若直线C 丄平面a 成立 则C 垂直平面a 的每一条直线 故 直线C 丄平面a”直线C 丄m ，直线C 丄n”为 直线C 丄m ，直线c 丄n”真命题 故直线C 丄m ，直线C 丄n”是直线C 丄平面a 的必要而不充分条件 故选 B 判断充要条件的方法是：①若 pq 为真命题且qp 为假命题，则命题 P 是命题q 的充分不必要条件；②若 pq 为假命题且qp 为真命题，则命题 P 是命题q 的必要不充分条件；③若 pq 为真命题且qp 为真命题， 则命题P 是命题q 的充要条件；④若 pq 为假命题且qp 为假命题，则命题 p 是命题q 的即不充分也不必 要条件.⑤判断命题 P 与命题q 所表示的范围，再根据 谁大谁必要，谁小谁充分 的勺原则，判断命题 P 与命题 q 的关系.25 分 析： 解答： 点评： 利用墙角知A 不对，线面平行和垂直的定理知B 不对，由面面平行的判定定理和线面垂直的性质定理来判断出C 和D . 解：A 、a 与B 可能相交，如墙角，故 A 错误；B 、 可能I 0故B 错误；C 、 由面面平行的判定定理知， m 、n 可能相交，故 C 错误；D 、 由线面垂直的性质定理知，故 D 正确.故选 D . 本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了定理的运用 能力和空间想象能力.m 、26解答：点评：27 分解答：点评：由直线a //直线b ，且a //平面a,知直线b //平面a 或直线b 在平面a 内. 解：•••直线a //直线b ，且a //平面 直线b //平面a 或直线b 在平面a 内. 故选 D . 本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行 等价转化. a,如右图，对于①，容易证明 AD i // BC 1,从而BC 1//平面AD 1C,以P 为顶点，平面 AD l C 为底面，易得; 对于②，连接 A I B ，A 1C 1容易证明平面 BA 1C 1 /面ACD1，从而由线面平行的定义可得；对于③，由于DC 丄平面BCBC l ，所以DC 丄BC 1平面，若DP 丄BC l ，则DC 与DP 重合，与条件矛盾；对 于④，容易证明PDB i 丄面ACD1，从而可以证明面面垂直.28 分 析：点评: 29分 析： 解答: 点评: 30专 题：分析: 解答: 本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想.根据线面平行的判定定理，我们知道要判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行， 分析已知中的三个命题，即可得到答案.解：①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“1平面a 外的直线”， 即“ I .它同样适合②③，故填I a故答案为：I a本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握直线与平面平行判断的方法及必要的条件是解答本题的关键. 综合题。