北京2018年高一年级下学期期中考试数学试卷
北京市101中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京101中学2018－2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数sin 3cos3y x x =+的最小正周期是（ ） A. 6π B. 2πC.23πD.3π 【答案】C 【解析】 【分析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】sin 3cos32(3))224y x x y x x x π=+⇒=+=+, 223T ππω==，故本题选C. 【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.2.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A. 72B. 60C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知：由51340a a +=，可得9240a =，所以可求出920a =，再次利用此性质可以化简8910a a a ++为93a ，最后可求出8910a a a ++的值.【详解】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=⇒=⇒=，89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.3.在ABC ∆中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC ∆一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形【答案】B 【解析】试题分析：利用正余弦定理将sinC ＝2sin （B ＋C ）cosB 转化为22222a c b c a a b ac+-=⨯∴=，三角形为等腰三角形 考点：正余弦定理4.00sin15cos15-的值等于（ ）A.2B. -C. 2-D.2【答案】C 【解析】 【分析】因为000154530=-，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出00sin15cos15-的值.【详解】0sin(4530)c sin15cos os(43)5501=----，00000000sin 45cos30cos 45sin 30(cos 45cos3sin15co 0sin s1545sin 30)︒︒⇒=--+-，001122sin15cos 221522222⇒=⨯---⨯=--，故本题选C. 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：00sin15cos15==-，00sin15cos125⇒==--.5.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2【答案】A 【解析】 【分析】由,,a b c 依次成等比数列，可得2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，这样就可以判断出函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数.【详解】因为,,a b c 依次成等比数列，所以2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，因此函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为零个，故本题选A.【点睛】本题考查了等比中项的概念、一元二次方程根的判别式与相应二次函数与x 轴的交点个数的关系.6.在ABC ∆中，若45,B b c ===o A =（ ） A. 15oB. 75oC. 75o 或105oD. 15o 或75o【答案】D 【解析】分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A.详解：因为sin sin b B c C =，所以πsin sin 2c B C b === 所以π2π,33C = 因此5ππ,1212A =， 选D.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．7.在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:1:A B C =12ABC S ∆=，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值是（ ）A. 2C. 2-D.【答案】C 【解析】 【分析】在ABC ∆中，根据正弦定理，可以把sin :sin :sin A B C =可以进一步判断三角形的形状，利用12ABC S ∆=和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值.【详解】在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对边,,a b c ，根据正弦定理，可知sin sin sin a b cA B C==,已知sin :sin :sin 1:1:A B C =::a b c =然ABC ∆是等腰直角三角形，即,a b c ==，12ABC S ∆=11122b b b ⇒⋅=⇒=，因此有1,a b c ===cos()cos()cos()2424AB BC BC CA CA AB cb ab bc ππππππ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故本题选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点.8.数列{}n a 满足n a =123...nn ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A.2nn + B.22nn + C.1n n + D.21nn + 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式，化简数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求出数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】(1)123...12,2n n n n n n n a ++++++===114(1)(2)n n a a n n +=++，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11114()233445(1)(2)S n n =+++⨯⨯⨯++L , 111111111124()4()23344512222nS n n n n ⇒=-+-+-+++-=-=++++L ，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，利用裂项相消法求数列的前n 项和.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==，则n a =_________. 【答案】3n －1【解析】因为在等比数列{}n a 中，1254133,81,{81a q a a a q ===∴=，解得111,3,3n n a q a -==∴= ，故答案为13n - .10.已知1sin cos 5αα-=，则sin 2α=____________．【答案】2425【解析】因为1sin cos 5αα-=，所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，即11sin225α-=，则24sin225α=.11.在ABC ∆中，若cos (3)cos b C a c B =-，则cos B = _________. 【答案】13【解析】 【分析】运用正弦定理实现边角转化，然后逆用二角和的正弦公式、三角形内角和定理、以及诱导公式，化简cos (3)cos b C a c B =-，最后求出cos B 的值. 【详解】根据正弦定理，可知sin sin sin a b cA B C==,由cos (3)cos b C a c B =-，可得 sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B ⋅=⋅-⋅sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B⇒⋅+⋅=⋅，sin()3sin cos B C A B ⇒+=⋅，sin()3sin cos sin 3sin cos A A B A A B π⇒-=⋅⇒=⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠Q ,所以1cos .3B =【点睛】本题考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、诱导公式，考查了公式恒等变换能力.12.在数列{}n a 中，111,21n n a a a n +=-=+，则数列通项n a = ________. 【答案】2n 【解析】 【分析】根据递推公式特征，可以采用累加法，利用等差数列的前n 项和公式，可以求出数列{}n a 的通项公式.【详解】当2n ≥时，1122332211()()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+-+L ，2(211)(21)(23)(25)5312n n n a n n n n -+⇒=-+-+-++++==L ，当11,n a =也适用，所以2n a n =.【点睛】本题考查了累和法求数列通项公式、等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.13.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P （单位圆与x 轴正半轴的交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于_________.334- 【解析】 【分析】由三角函数的定义可以求出2P ，判断点2P 的位置，由已知点2P 的横坐标为45-，利用同角的三角函数关系，可以求出点2P 的纵坐标，可以得到4cos()35πα+=-， 3sin()35πα+=，再利用二角差的余弦公式求出cos α的值.【详解】由三角函数的定义可知：点2P 的坐标为(cos(),sin())33ππαα++，因为02πα<<，所以5336πππα<+<，所以点2P 在第二象限，已知点2P 的横坐标为45-，即4cos()35πα+=-，所以3sin()35πα+==，因此有413cos[()]cos()cos sin()sin 333333525os c ππππππαααα+-=+++=-⨯+==.【点睛】本题考查了三角函数定义、同角的三角函数关系、以及二角差的余弦公式，考查了数学运算能力.14.设等差数列{}n a 满足22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】9,8ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由同角三角函数关系，平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质，可以把已知等式22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+， 化简为sin(4)1d -=，根据()1,0d ∈-，可以求出d 的值，利用等差数列前n 项和公式和二次函数的性质，得到对称轴所在范围，然后求出首项1a 的取值范围.【详解】22222244484857sin cos cos cos sin sin sin()a a a a a a a a -+-+2222484857sin (1sin )cos (1cos )sin()a a a a a a ---=+2222484857sin cos cos sin sin()a a a a a a ⋅-⋅=+4848484857(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin()a a a a a a a a a a ⋅-⋅⋅⋅+⋅=+484857sin()sin()sin()a a a a a a -⋅+=+,数列{}n a 是等差数列，所以4857a a a a +=+，484a a d -=-，所以有sin(4)1d -=，而()1,0d ∈-，所以4(0,4)d -∈，因此428d d ππ-=⇒=-，2111(1)(1)2281616n n n n n n S na d na a n πππ--⎛⎫=+=-⨯=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为：1162a n ππ+=，由题意可知：当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值， 所以1168.59.52a ππ+<<，解得198a ππ<<，因此首项1a 的取值范围是9,8ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，两角和差的正弦公式，考查了等差数列的性质、前n 项和公式，以及前n 项和n S 取得最大值问题，考查了数学运算能力.三、解答题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.已知12cos θ13=，()θπ,2π∈，求πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭以及πtan θ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】717【解析】 【分析】根据同角三角函数，求出sin θ，tan θ；再利用两角和差公式求解. 【详解】12cos 013θ=>Q ，(),2θππ∈ 3,22πθπ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭5sin 13θ∴==-，sin 5tan cos 12θθθ==-5121sin sin cos cos sin 66613132πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5tan tan17412tan 54171tan tan 11412πθπθπθ+-+⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭---⨯ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范围会影响到函数值的正负.16.已知等差数列{}n a 满足12 23n n a a n +-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +是首项为l ，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）221n n --. 【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由 1223n n a a n +-=+ ，令 12n =、可得11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩，解得112.a d =⎧⎨=⎩，从而可得结果；（Ⅱ）由数列{}n n ab +是首项为1，公比为2的等比数列，可得12n n n a b -+=，结合（1）可得()1221n n b n -=--，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列{}n b 的前n 项和. 详解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1223n n a a n +-=+，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以()()11211,2,3,n a a n d n n =+-=-=L.（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-， 所以()1221n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则()()1124213521n n S n -⎡⎤=++++-++++-⎣⎦L L()12112122n n n +--=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,ABC ∆的面积是30,12cos 13A =. （1）求AB AC ⋅u u u r u u u r；（2）若1c b -=，求a 的值. 【答案】（1）144；（2）5. 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系，由12cos 13A =，可以求出sin A 的值，再由面积公式可以求出bc 的值，最后利用平面向量数量积的公式求出AB AC ⋅u u u r u u u r的值；（2）由（1）可知bc 的值，再结合已知1c b -=，可以求出,b c 的值，由余弦定理可以求出a 的值.【详解】（1）5(0,)sin 13A A π∈∴==Q ，又因为ABC ∆的面积是30，所以 1sin 301562bc A bc ⋅=⇒=，因此12cos 156144;13AB AC cb A ⋅=⋅=⨯=u u u r u u u r （2）由（1）可知156bc =，与1c b -=联立，组成方程组：1561bc c b =⎧⎨-=⎩，解得1312c b =⎧⎨=⎩或1213c b =-⎧⎨=-⎩，不符合题意舍去，由余弦定理可知：5a ===. 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求a ，可以不求出,b c 的值也可以，计算如下：5.a ====18.在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【答案】（1）（2【解析】 【分析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出sin C 的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出sin A ，最后利用正弦定理求出BC 长；（2）利用余弦定理可以求出AB 的长，进而可以求出BD 的长，然后在BCD ∆中，再利用余弦定理求出AB 边上中线CD 的长.【详解】（1）(0,)sin 5C C π∈∴==Q ，sin sin()sin cos cos sin 10A B C B C B C π=--=⋅+⋅=，由正弦定理可知中： sinsin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：2AB ===，D 是AB 的中点，故1BD =，在CBD ∆中，由余弦定理可知：CD===【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.19.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{}n a的前n项和n mS a=，则称{}n a 是“回归数列”.（1）①前n项和为2nnS=的数列{}n a是否是“回归数列”?并请说明理由；②通项公式为2nb n=的数列{}n b是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设{}n a是等差数列，首项11a=，公差0d<，若{}n a是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a，总存在两个“回归数列”{}n b和{}n c，使得()n n na b c n N*=+∈成立，请给出你的结论，并说明理由.【答案】（1）①是；②是；（2）1-；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①利用公式11(2,)(1)n nnS S n n NaS n*-⎧-≥∈=⎨=⎩和2nnS=，求出数列{}n a的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；②求出数列{}n b的前n项和，按照回归数列的定义进行判断；（2）求出{}n a的前n项和，根据{}n a是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出d的值；（3）等差数列{}n a的公差为d，构造数列111(1),(1)()n nb a n ac n a d=--=-+，可证明{}nb、{}n c是等差数列，再利用等差数列前n项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.【详解】（1）①当2,n n*≥∈N时，111222n n nn n na S S---=-=-=，当1n=时，112a S==，当2,n n*≥∈N时，1n nS a+=，1m n∃=+，所以数列{}n a是“回归数列”；②因为2n b n =，所以前n 项和2n S n n =+，根据题意22n n m +=， 因为2(1)n n n n +=+一定是偶数，所以存在(1)2n n m +=，使得n m S a =， 所以数列{n b }是“回归数列”； （2）设{}n a 是等差数列为1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，由题意可知：对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =，得1(1)d m d +=-，解得12m d=+，公差0d <，所以2m ∴<，又*,1,1m N m d ∈∴=∴=-；（3）设等差数列n a =1(1)a n d +-，总存在两个回归数列111(1),(1)()n n b a n a c n a d =--=-+，显然{}n b 和{}n c 是等差数列，使得()n n n a b c n N*=+∈，证明如下：111(1)(1)(1)n n n b c a n a n a n d a +=--+-+-=， 数列{n b }前n 项和11(1)2n n n B ma a -=-，1,1;2,1n m n m ==== 3n ≥时，(3)22n n -+为正整数，当(3)22n nm -=+时，m n b B =， 所以存在正整数(3)22n nm -=+，使得m n b B =，所以{n b }是“回归数列”，数列{n c }前n 项和n C =1(1)()2n n a d -+，存在正整数(1)12n n m -=+，使得n m C c =，所以{n c }是“回归数列”，所以结论成立.【点睛】本题考查了公式11(2,)(1)n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩，等差数列的前n 项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.。
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北京四中2018-2018学年度第二学期期中测验高一年级数学学科数学试卷(试卷满分为100分，考试时间为100分钟)一、选择题(每题3分，共36分)1、如果ααtan cos 与异号，则角α的终边所在象限是( )。
A 、第一、二象限B 、第二象限C 、第三、四象限D 、第四象限2、已知4=α，则α是( )。
A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角3、已知角α的终边经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛65cos ,65sinππP ，则角α可能是( ) A 、3π- B 、3π C 、6π D 、65π 4、已知23παπ<<，312cos =α，则αsin 的值为( ) A 、36 B 、36- C 、33 D 、33- 5、12cos 312sin ππ-的值为( ) A 、0 B 、2- C 、2 D 、26、已知81cos sin =⋅αα，且24παπ<<，则)(sin cos =-αα。
A 、23 B 、23- C 、43 D 、43- 7、已知)(cos cos ,3tan tan ,3=⋅=+=+βαβαπβα则。
A 、61 B 、63 C 、233 D 、22 8、已知α是第二象限角，则απα-22与都不是( )。
A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角9、已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos )(,2sin )(ππx x g x x f ，则)(x f 的图象( ) A 、 与g(x)图象相同B 、 B 、与g(x)图象关于y 轴对称C 、是由g(x)的图象向左平移2π个单位得到的 D 、是由g(x)的图象向右平移2π个单位得到的 10、函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，如果f(x)在［-1,0］上是减函数，那么f(x)在［2,4］上是( )A 、减函数B 、增函数C 、先减后增函数D 、先增后减函数11、函数],2[sin 2ππ在x x y -=上的最大值是( )A 、22πB 、142-π C 、π2 D 、无法判断 12、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4,3sin 2)(ππω在x x f 上递增，则正实数ω的取值范围是( )A 、230≤<ωB 、20≤≤ωC 、7240≤<ωD 、223≤≤ω 二、填空题(每题4分，共24分)13、计算：2sin300°+cos(-240°)-tan418°=________。
海淀区2017-2018第二学期期中高一数学试题及答案doc资料
海淀区高一年级第二学期期中练习数 学 2018.4学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. =︒︒+︒︒12sin 18cos 12cos 18sin（ ）A ．21B ．21-C ．23 D ．23- 2. 在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin =（ ）A ．43 B ．61C ．21D ．1 3. 函数()sin cos f x x x =的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．2D ．324. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为 （ ）A ．3B ．6C ．62D ．125. 如图，飞机飞行的航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，在A 处测得目标C 的俯角为30︒，飞行10千米到达B 处，测得目标C 的俯角为75︒，这时B 处与地面目标C 的距离为（ ）A ．5千米B ．52千米 C. 4千米 D. 42千米31111正（主）视图侧（左）视图俯视图AB 75︒30︒6. 如图1，直线EF 将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合）下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得//CD 平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，//BF 平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立7. 在ABC ∆中，A B C <<，则下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．sin sin A C <B ．cos cos AC > C ．tan tan A B <D ．cos cos B C <8. 在ABC ∆中，若2AC =，60B ∠=︒，45A ∠=︒， 点D 为AB 边上的动点，则下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．存在点D 使得BCD ∆为等边三角形B ．存在点D 使得1cos 3CDA ∠=C ．存在点D 使得:2:3BD DC =D ．存在点D 使得1CD =二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 求值：22cos 15sin 15︒-︒= . 10. 已知tan32α=，则tan α的值为 . 11. 已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为 . 12. 在△ABC 中，已知60A =︒，7a =，3b =，则c = .13.若α，β均为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是 .14. 如图，棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 逆时针旋转θ（0θ>），若旋转后三棱锥111D DC A -与其自身重合，则θ的最小值是 ；三棱锥111D DC A -在此旋转过程中所成几何体的体积为 .ABCDE F2图ABCDEF1图三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数()2sin (cos sin )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.16. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD AD =，45ACD ∠=︒，90BCD ∠=︒.（Ⅰ）求证：BC =；（Ⅱ）若AB =BC 的长.17. 如图，四棱柱的底面是平行四边形，， 侧面底面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：；（Ⅲ）在线段上是否存在点G ，使得平面？并说明理由．18．正四棱锥S ABCD -的展开图如右图所示，侧棱SA 长为1，记ASB α∠=，其表面积1111ABCD A B C D -ABCD AC CB ⊥11B BCC ⊥ABCD ,E F 1,AB C D //EF 11B BCC EF AC ⊥EF AC ⊥11C D GFE C 1D 1B 1A 1DCB A记为()f α，体积记为()g α．（Ⅰ）求()f α的解析式，并直接写出α的取值范围；（Ⅱ）求()()g f αα，其中a b c ，，为常数；（Ⅲ）试判断()()g f αα是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）S S S SDCBA ()()()海淀区高一年级第二学期期中练习参考答案数 学 2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.注：第12题对一个给2分，有错误答案不给分；第14题每空2分。
2018北京101中学高一(下)数学期中考试试卷
2018北京101中学高一（下）期中数 学一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在等差数列{a n }中，如果a 1+a 2=25，a 3+a 4=45，则a 1=（ ）A. 5B. 7C. 9D. 10 2. tan （α－4π）=31，则tan α=（ ） A. 2 B. －2 C. 21 D. －21 3. 在△ABC 中，若bcosA=a sinB ，则∠A 等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°4. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 己知a=5，c=3，cosA=63，则b=（ ） A. 1 B. 2 C. 25 D. 65. 设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（ ）A. a 2+3>2aB. a 2+b 2>0C. a 3+b 3≥a 2b+ab 2D. a+a1≥2 6. 数列{a n }为公比为q （q ≠1）的等比数列，设b 1=a 1+a 2+a 3+a 4，b 2=a 5+a 6+a 7+a 8，…，b n =a 4n －3+a 4n －2+a 4n －1+a 4n ，则数列b n （ ）A. 是等差数列B. 是公比为q 的等比数列C. 是公比为q 4的等比数列D. 既非等差数列也非等比数列 7. 在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令π=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（ ）A. 17mB. 16mC. 15mD. 14m8. 已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和. 若6193=S S ，则126S S =（ ） A. 101 B. 103 C. 105 D. 107 9. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A. y=x 3+34xB. y=sinx+x sin 4C. y=log 3 x+log x 81D. y=e x+4e －x 10. 某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20％，后两年每年递减20％，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）A. 不增不减B. 约增1.4％C. 约减9.2％D. 约减7.8％二、填空题共6小题。
北京市101中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
北京101中学2018－2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数sin 3cos3y x x =+的最小正周期是（ ） A. 6π B. 2πC.23πD.3π 【答案】C 【解析】 【分析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】sin 3cos32(3))224y x x y x x x π=+⇒=+=+, 223T ππω==，故本题选C. 【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.2.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A. 72B. 60C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知：由51340a a +=，可得9240a =，所以可求出920a =，再次利用此性质可以化简8910a a a ++为93a ，最后可求出8910a a a ++的值.【详解】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=⇒=⇒=，89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.3.在ABC ∆中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC ∆一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形【答案】B 【解析】试题分析：利用正余弦定理将sinC ＝2sin （B ＋C ）cosB 转化为22222a c b c a a b ac+-=⨯∴=，三角形为等腰三角形 考点：正余弦定理4.00sin15cos15-的值等于（ ）B. -C. 2-D.2【答案】C 【解析】 【分析】因为000154530=-，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出00sin15cos15-的值.【详解】0sin(4530)c sin15cos os(43)5501=----，00000000sin 45cos30cos 45sin 30(cos 45cos3sin15co 0sin s1545sin 30)︒︒⇒=--+-，001122sin15cos 221522222⇒=⨯---⨯=--，故本题选C. 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：00sin15cos15==-，00sin15cos125⇒==--.5.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2【答案】A 【解析】 【分析】由,,a b c 依次成等比数列，可得2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，这样就可以判断出函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数.【详解】因为,,a b c 依次成等比数列，所以2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，因此函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为零个，故本题选A.【点睛】本题考查了等比中项的概念、一元二次方程根的判别式与相应二次函数与x 轴的交点个数的关系.6.在ABC ∆中，若45,B b c ===A =（ ） A. 15B. 75C. 75或105D. 15或75【答案】D 【解析】分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A.详解：因为sin sin b B c C =，所以πsin sin c B C b === 所以π2π,33C = 因此5ππ,1212A =， 选D.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．7.在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:1:A B C =12ABC S ∆=，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是（ ）A. 2C. 2-D.【答案】C 【解析】 【分析】在ABC ∆中，根据正弦定理，可以把sin :sin :sin A B C =可以进一步判断三角形的形状，利用12ABC S ∆=和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值. 【详解】在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对边,,a b c ，根据正弦定理，可知sin sin sin a b cA B C==,已知sin :sin :sin 1:1:A B C =::a b c =然ABC ∆是等腰直角三角形，即,a b c ==，12ABC S ∆=11122b b b ⇒⋅=⇒=，因此有1,a b c ===cos()cos()cos()2424AB BC BC CA CA AB cb ab bc ππππππ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅-=-，故本题选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点.8.数列{}n a 满足n a =123...nn ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A.2nn + B.22nn + C.1n n + D.21nn + 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式，化简数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求出数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】(1)123...12,2n n n n n n n a ++++++===114(1)(2)n n a a n n +=++，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11114()233445(1)(2)S n n =+++⨯⨯⨯++,111111111124()4()23344512222nS n n n n ⇒=-+-+-+++-=-=++++，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，利用裂项相消法求数列的前n 项和.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==，则n a =_________. 【答案】3n －1【解析】因为在等比数列{}n a 中，1254133,81,{81a q a a a q ===∴=，解得111,3,3n n a q a -==∴= ，故答案为13n - .10.已知1sin cos 5αα-=，则sin 2α=____________．【答案】2425【解析】因为1sin cos5αα-=，所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，即11sin225α-=，则24sin225α=.11.在ABC ∆中，若cos (3)cos b C a c B =-，则cos B = _________. 【答案】13【解析】 【分析】运用正弦定理实现边角转化，然后逆用二角和的正弦公式、三角形内角和定理、以及诱导公式，化简cos (3)cos b C a c B =-，最后求出cos B 的值. 【详解】根据正弦定理，可知sin sin sin a b cA B C==,由cos (3)cos b C a c B =-，可得 sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B ⋅=⋅-⋅sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B⇒⋅+⋅=⋅，sin()3sin cos B C A B ⇒+=⋅，sin()3sin cos sin 3sin cos A A B A A B π⇒-=⋅⇒=⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠,所以1cos .3B =【点睛】本题考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、诱导公式，考查了公式恒等变换能力.12.在数列{}n a 中，111,21n n a a a n +=-=+，则数列通项n a = ________. 【答案】2n 【解析】 【分析】根据递推公式特征，可以采用累加法，利用等差数列的前n 项和公式，可以求出数列{}n a 的通项公式.【详解】当2n ≥时，1122332211()()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+-+，2(211)(21)(23)(25)5312n n n a n n n n -+⇒=-+-+-++++==，当11,n a =也适用，所以2n a n =.【点睛】本题考查了累和法求数列通项公式、等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.13.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P （单位圆与x 轴正半轴的交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于_________.【解析】 【分析】由三角函数的定义可以求出2P ，判断点2P 的位置，由已知点2P 的横坐标为45-，利用同角的三角函数关系，可以求出点2P 的纵坐标，可以得到4cos()35πα+=-， 3sin()35πα+=，再利用二角差的余弦公式求出cos α的值.【详解】由三角函数的定义可知：点2P 的坐标为(cos(),sin())33ππαα++，因为02πα<<，所以5336πππα<+<，所以点2P 在第二象限，已知点2P 的横坐标为45-，即4cos()35πα+=-，所以3sin()35πα+==，因此有413cos[()]cos()cos sin()sin 333333525os c ππππππαααα+-=+++=-⨯+==.【点睛】本题考查了三角函数定义、同角的三角函数关系、以及二角差的余弦公式，考查了数学运算能力.14.设等差数列{}n a 满足22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】9,8ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由同角三角函数关系，平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质，可以把已知等式22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+， 化简为sin(4)1d -=，根据()1,0d ∈-，可以求出d 的值，利用等差数列前n 项和公式和二次函数的性质，得到对称轴所在范围，然后求出首项1a 的取值范围.【详解】22222244484857sin cos cos cos sin sin sin()a a a a a a a a -+-+2222484857sin (1sin )cos (1cos )sin()a a a a a a ---=+2222484857sin cos cos sin sin()a a a a a a ⋅-⋅=+4848484857(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin()a a a a a a a a a a ⋅-⋅⋅⋅+⋅=+484857sin()sin()sin()a a a a a a -⋅+=+,数列{}n a 是等差数列，所以4857a a a a +=+，484a a d -=-，所以有sin(4)1d -=，而()1,0d ∈-，所以4(0,4)d -∈，因此428d d ππ-=⇒=-，2111(1)(1)2281616n n n n n n S na d na a n πππ--⎛⎫=+=-⨯=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为：1162a n ππ+=，由题意可知：当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值， 所以1168.59.52a ππ+<<，解得198a ππ<<，因此首项1a 的取值范围是9,8ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，两角和差的正弦公式，考查了等差数列的性质、前n 项和公式，以及前n 项和n S 取得最大值问题，考查了数学运算能力.三、解答题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.已知12cos θ13=，()θπ,2π∈，求πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭以及πtan θ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】127;2617- 【解析】 【分析】根据同角三角函数，求出sin θ，tan θ；再利用两角和差公式求解. 【详解】12cos 013θ=>，(),2θππ∈ 3,22πθπ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭5sin 13θ∴==-，sin 5tan cos 12θθθ==-5121sin sin cos cos sin 66613132πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5tan tan17412tan 54171tan tan 11412πθπθπθ+-+⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭---⨯ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范围会影响到函数值的正负.16.已知等差数列{}n a 满足12 23n n a a n +-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +是首项为l ，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）221n n --. 【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由 1223n n a a n +-=+ ，令 12n =、可得11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩，解得112.a d =⎧⎨=⎩，从而可得结果；（Ⅱ）由数列{}n n ab +是首项为1，公比为2的等比数列，可得12n n n a b -+=，结合（1）可得()1221n n b n -=--，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列{}n b 的前n 项和. 详解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1223n n a a n +-=+，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以()()11211,2,3,n a a n d n n =+-=-=.（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-， 所以()1221n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则()()1124213521n n S n -⎡⎤=++++-++++-⎣⎦()12112122n n n +--=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,ABC ∆的面积是30,12cos 13A =. （1）求AB AC ⋅；（2）若1c b -=，求a 的值. 【答案】（1）144；（2）5. 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系，由12cos 13A =，可以求出sin A 的值，再由面积公式可以求出bc 的值，最后利用平面向量数量积的公式求出AB AC ⋅的值；（2）由（1）可知bc 的值，再结合已知1c b -=，可以求出,b c 的值，由余弦定理可以求出a 的值.【详解】（1）5(0,)sin 13A A π∈∴==，又因为ABC ∆的面积是30，所以 1sin 301562bc A bc ⋅=⇒=，因此12cos 156144;13AB AC cb A ⋅=⋅=⨯= （2）由（1）可知156bc =，与1c b -=联立，组成方程组：1561bc c b =⎧⎨-=⎩，解得1312c b =⎧⎨=⎩或1213c b =-⎧⎨=-⎩，不符合题意舍去，由余弦定理可知：5a ===. 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求a ，可以不求出,b c 的值也可以，计算如下：5.a ====18.在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【答案】（1）（2【解析】 【分析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出sin C 的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出sin A ，最后利用正弦定理求出BC 长；（2）利用余弦定理可以求出AB 的长，进而可以求出BD 的长，然后在BCD ∆中，再利用余弦定理求出AB 边上中线CD 的长.【详解】（1）(0,)sin C C π∈∴==，sin sin()sin cos cos sin 10A B C B C B C π=--=⋅+⋅=，由正弦定理可知中： sinsin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：2AB ===，D 是AB 的中点，故1BD =，在CBD ∆中，由余弦定理可知：CD===【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.19.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{}n a的前n项和n mS a=，则称{}n a 是“回归数列”.（1）①前n项和为2nnS=的数列{}n a是否是“回归数列”?并请说明理由；②通项公式为2nb n=的数列{}n b是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设{}n a是等差数列，首项11a=，公差0d<，若{}n a是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a，总存在两个“回归数列”{}n b和{}n c，使得()n n na b c n N*=+∈成立，请给出你的结论，并说明理由.【答案】（1）①是；②是；（2）1-；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①利用公式11(2,)(1)n nnS S n n NaS n*-⎧-≥∈=⎨=⎩和2nnS=，求出数列{}n a的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；②求出数列{}n b的前n项和，按照回归数列的定义进行判断；（2）求出{}n a的前n项和，根据{}n a是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出d的值；（3）等差数列{}n a的公差为d，构造数列111(1),(1)()n nb a n ac n a d=--=-+，可证明{}nb、{}n c是等差数列，再利用等差数列前n项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.【详解】（1）①当2,n n*≥∈N时，111222n n nn n na S S---=-=-=，当1n=时，112a S==，当2,n n*≥∈N时，1n nS a+=，1m n∃=+，所以数列{}n a是“回归数列”；②因为2n b n =，所以前n 项和2n S n n =+，根据题意22n n m +=， 因为2(1)n n n n +=+一定是偶数，所以存在(1)2n n m +=，使得n m S a =， 所以数列{n b }是“回归数列”； （2）设{}n a 是等差数列为1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，由题意可知：对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =，得1(1)d m d +=-，解得12m d=+，公差0d <，所以2m ∴<，又*,1,1m N m d ∈∴=∴=-；（3）设等差数列n a =1(1)a n d +-，总存在两个回归数列111(1),(1)()n n b a n a c n a d =--=-+，显然{}n b 和{}n c 是等差数列，使得()n n n a b c n N*=+∈，证明如下：111(1)(1)(1)n n n b c a n a n a n d a +=--+-+-=， 数列{n b }前n 项和11(1)2n n n B ma a -=-，1,1;2,1n m n m ==== 3n ≥时，(3)22n n -+为正整数，当(3)22n nm -=+时，m n b B =， 所以存在正整数(3)22n nm -=+，使得m n b B =，所以{n b }是“回归数列”，数列{n c }前n 项和n C =1(1)()2n n a d -+，存在正整数(1)12n n m -=+，使得n m C c =，所以{n c }是“回归数列”，所以结论成立.【点睛】本题考查了公式11(2,)(1)n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩，等差数列的前n 项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.。
北京市重点中学年高一下期中数学试题及答案
北京市2017～2018学年度第二学期期中考试高一数学试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 对于α∈R ，下列等式中恒成立的是 （ ）A ．cos()cos αα-=- B.sin()sin αα-=-C.sin(180)sin αα︒+=D.cos(180)cos αα︒+=2.已知向量(4,2)a =，向量(,3)b x =，且//a b ，那么x 等于 （）A.8B.7C.6D.53.下列函数中，在区间[0,]2π上为减函数的是 （ ）A.cos y x =B.sin y x =C.tan y x =D.sin()3y x π=-4.已知02A π<<，且2cos 3A =，那么sin 2A 等于 （ ）A.19B.79C.895.已知),1,5(),2,3(---N M 若,21=则P 点的坐标为 （ ）A.(8,1)-B.(8,1)-C.3(1,)2-- D ．3(1,)26．如果函数3sin(2)y x φ=+的图像关于点(,0)3π中心对称，那么φ的一个值可以为 （ ） A.3π B. 3π- C. 6π D. 6π-7．有下列四种变换方式:①向左平移4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8π;③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8π,再将横坐标变为原来的21;其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)42sin(π+=x y 的图像的是 （ ）A.①和② B .①和③ C ．②和③ D．②和④8．函数)sin(ϕω+=x A y ,(0,0,0)A ωϕπ>><<在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 （ ）A ．)322sin(2π+=x y B ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y9．已知,A B 均为锐角，sin A =，sin B =，则A B +的值为 （ ） A ．47π B.45π C ．43π D ．4π10．已知动点111(,cos )P x x ，222(,cos )P x x ，O 为坐标原点，则当1211x x -≤≤≤时，下列说法正确的是 （ ） A.1OP 有最小值1 B ．1OP 有最小值，且最小值小于1 C ．120OP OP ?恒成立 D ．存在12,x x 使得122OP OP ?二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 已知cos α=，且[0,)απ∈，那么α的值等于____________. 12．已知tan 2α=，3tan()5αβ-=-，则tan β= ．13．函数x y 3tan =的图像的相邻两支截直线3π=y 所得的线段长为 ．14．函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为________,最小值为___________. 15．如图，若AB a =，AC b =，3BD DC =，则向量AD 可用a ，b 表示为___________.16．关于函数()221sin ()32xf x x =-+，有下面四个结论： ①()f x 是偶函数；②无论x 取何值时，()12f x ＜恒成立；③()f x 的最大值是32；④()f x 的最小值是12-. 其中正确的结论是__________________.三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题共9分）已知向量(1,2)a =，(2,)b x =-．（Ⅰ）当a b ⊥时，求x 的值；（Ⅱ）当1x =-时，求向量a 与b 的夹角的余弦值； （Ⅲ）当(4)a a b ⊥+时，求||b ．18. (本小题共9分) 已知55cos =θ(0,)2πθ∈．（I ）求sin θ的值； （Ⅱ）求cos 2θ的值；（III ）若sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．19. (本小题共9分)已知函数()sin 2f x x x =. （I ）求)(x f 的最小正周期； （II ）求)(x f 的单调递减区间； （III ）若函数()()g x f x k =-在[0,]6π上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．20．(本小题共9分)已知函数()2sin()3f x x πω=+，且0ω≠，R ω∈.（I ）若函数()f x 的图象经过点(,2)3π，且03ω<<，求ω的值；（II ）在（I ）的条件下，若函数()()()0g x mf x n m =+>，当[2,]3x ππ∈--时，函数()g x的值域为[2,1]-，求m ，n 的值；（III ）若函数()()3h x f x πω=-在[,]33ππ-上是减函数，求ω的取值范围.北京市2014~2015学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1------5BCADC 6------10AAADA 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.56π 12. 13- 13. 3π14. 2，1- 15. 1344AD a b =+ 16. ①④三、解答题：本大题共4小题，共36分.17．解：（Ⅰ）∵a ⊥b ，∴1(2)20x ⨯-+=，即1x =． ……………………2分 （Ⅱ）∵1x =-，∴1(2)+2(1)=4a b ⋅=⨯-⨯--， (3)分且5a =，5b =． (4)分∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为4cos =5a ba bθ⋅=-． (5)分（Ⅲ）依题意 ()42,8a b x +=+． ……………………6分∵(4)a a b ⊥+，∴(4)0a a b ⋅+=． (7)分即21620x ++=，∴9x =-．∴(2,9)b =--． (8)分∴||481b =+= (9)分17．解：（Ⅰ）由55cos =θ(0,)2πθ∈．得sin θ==…………………2分（Ⅱ）213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=- …………………4分（Ⅲ）∵20πθ<<，20πϕ<<，∴22πϕθπ<-<- (5)分∵()1010sin =-ϕθ，∴()10103cos =-ϕθ …………………6分∴()[]ϕθθϕ--=cos cos()()ϕθθϕθθ-+-=sin sin cos cos …………………8分10105521010355⨯+⨯=22= …………………9分19. 解：（Ⅰ）由1()sin 222(sin 22)2sin(2)223f x x x x x x π==+=+ …………2分得)(x f 的最小正周期为π. …………………3分（Ⅱ）由3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 …………………4分 7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ …………………5分 所以函数)(x f 的递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. …………………6分 （Ⅲ）由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23x π+∈2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，而函数)(x f 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()f x ∈， …………………7分在2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()f x ∈， …………………8分所以若函数()()g x f x k =-在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则k ∈. …………………9分 20.解： (Ⅰ) 因为函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过点,23π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2sin 233ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭ …………………1分所以2,332k k Z πππωπ+=+∈ ………………2分所以16,2k k Z ω=+∈因为03ω<<，所以1063,.2k k Z <+<∈所以0k =所以12ω= ……………… 3分(Ⅱ)因为21=ω， 所以1()2sin .23g x m x n π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，:Z#因为23x ππ-≤≤-， 所以213236x πππ-≤+≤. 所以111sin .232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭ ……………… 4分所以()2.m n g x m n -+≤≤+因为函数()g x 的值域为[]2,1-，所以22,1.m n m n -+=-⎧⎨+=⎩……………… 5分解得 1,0.m n == ……………… 6分 （Ⅲ）因为()3h x f x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以()2sin 2sin .33h x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ………… 7分 因为函数()x h在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以函数()2sin .h x x ω=的图象过原点，且减区间是.0，2-，2<⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωωπωπ 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤<.32,32,0πωππωπω ……………… 8分 解得 302ω-≤< 所以ω的取值范围是302ω-≤< ……………… 9分。
北京市师大附中2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
N1 : N2
:: N
”，据此在已知每层间的个体数量
或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．
【此处有视频，请去附件查看】
7.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为 4S，则它的一个底面面积是( )
A. 4S
B. 4πS
C. πS
D. 2πS
【答案】C
【解析】
由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径 2R，则 2R·2R＝4S，得 R2＝S.所以底面面积为πR2
2
6
棱锥 M ABCD 的体积小于 1 的长方体的体积V ' 11 1 1 ,四棱锥 M ABCD 的
6
22
体积小于 1 的概率 P V ' 1 ，故答案为 1 .
6
V2
2
15.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表
面积为_______________.
12
a2 2a
4
0
12 4 a2 即
0
3 a
5.
4
a 0
故答案为：A.
【点睛】本题考查了锐角三角形的概念以及余弦定理的应用，属于基础题.
5. 将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容
量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003．这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300
事件包含
AB
、
AB
、
AB
，又
P A
1 2
，
PB 1
6
，所以所事件的概率为
P
P
AB
P
AB
P
2018-2019学年北京市十二中高一下学期期中考试数学试题
2018-2019学年北京市十二中高一下学期期中考试数学试题时间：120分钟 分值150分第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．向量、的夹角为60°，且，，则等于（ ）A.1B.C.D.22．已知函数()sin cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是（ ） A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦C 、42,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦3．是两个非零向量，且，则a 与的夹角为（ ）A ．300B ．450C ．600D ．900 4．是两个非零向量，且，则a 与的夹角为（ ）A ．300B ．450C ．600D ．9005．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135A =︒,030oO B =︒,2=a ,则b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 6．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 7．在ABC ∆中，,16045===c C B ，， 则=b （ ） A ．36 B ．26 C ．21D ．23 8．在ABC ∆中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 9．等差数列的值为（ ）A ．66B ．99C ．144D ．29710．等差数列的值为（ ）A ．66B ．99C ．144D ．29711．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅。
北京市海淀区2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正四面体的结构特征和曲率的计算公式，即可求解；
（Ⅱ）根据曲率的计算公式，得出即点P为正方形 的中心时，曲率取得最大值，即可求解；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，根据女孩面部的特征，即可作差判定.
【详解】
（Ⅰ）由题意，可知正四面体的所有面都是正三角形，所以取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为 ；
根据正四棱锥的性质，以及锥体的体积公式，直接计算，即可得到答案.
【详解】
由题意，正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则底面正方形的面积为 ，
所以四棱锥的体积为 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了棱锥的体积的计算问题，其中解答中熟记正四棱锥的性质，以及锥体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
① 分别是 上的点，若 , ，求 的值.
②若 ， ， ，判断△ 是否为等腰三角形？并说明理由.
18．已知非常数函数 的定义域为 ，如果存在正数 ，使得 ，都有 恒成立，则称函数 具有性质T.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;
① ；② .
（Ⅱ）若函数 具有性质T，求 的最小值;
（Ⅲ）设函数 具有性质T，且存在 ，使得 ，都有 成立，求证： 是周期函数.
【详解】
在 中，因为 ，由正弦定理得 ，
又由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 .
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化和合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
11．
【解析】
【分析】
由两角和正切公式，求得 ，再由 ，即可求解.
最新-北京市重点中学2018学年高一数学下学期期中考试
北京市2018——2018学年度第二学期期中练习高 一 数 学（测试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1、已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和，若21=a ，123=S ，则=4SA 、10B 、16C 、20D 、242、在ABC D 中，如果::1:2:3A B C 行?，那么::a b c 等于A 、1:2:3 B、2 C 、1:4:9 D、3、已知,,a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是A 、ab ac >B 、()0c b a -<C 、22ac ab <D 、()0ac a c ->4、直线(1)10m x y -++=与直线2(1)10x m y ---=垂直，则m 值为A 、1B 、0C 、1-D 、1或05、已知{}n a 是正项等比数列，n S 是它的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是A 、511B 、 1183C 、1533D 、31896、在ABC D 中，cos cos cos a b c A B C==，则ABC D 是 A 、直角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰直角三角形7、已知数列{}n a ，1111,1(1),4n n a a n a -=-=->则31a = A 、14- B 、5 C 、45D 、35 8、锐角ABC D 中，如果2,3a b ==，那么c 的范围是A 、15c << B、1c <<Cc < D、1c <<9、已知,x y R +Î，y M +=，N =332x yP +=，则,,M N P 的大小关系A 、M N P 吵B 、P M N 吵C 、N P M 吵D 、M P N 吵10、点P 在直线1:230l x y ++=上，点Q 在直线2:230l x y -+=上，当线段PQ 被O 平分时，直线PQ 的方程为A 、30x y +=B 、20x y +=C 、30x y -=D 、20x y -=二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题前横线上）11、在ABC D 中，已知3,30b c B ==?，则a =12、ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且222b c b c a+=+，则角A 的大小为_____13、数列{}n a 的前n 项和2n n S =，则数列的通项公式n a = 14、不等式20ax bx c ++>的解集是(1,3)-，则不等式20ax bx c -+<的解集是15、已知数列{}n a 是等差数列，288,26a a ==，从{}n a 中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n 项，按原来的顺序构成一个新数列{}n b ，则n b =16、在平面直角坐标系中，设ABC D 的顶点分别为(0,)A a ，(,0)B b ，(,0)C c ，点(0,)P p 在线段AO 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点,E F ，一同学已正确算得OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：三、解答题（本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17（本小题8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B a A-=．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 面积的最大值．18（本小题满分8分）已知数列{}n a 中，111,21n n a a a +==+，*()n N Î．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．19（本小题满分10分）已知二次函数2()f x ax bx =+，1(1)1f -??，3(1)5f ＃． （1）求,a b 的取值范围；（2）求(2)f 的取值范围．20（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{}n b 的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有3121123...(1)n n n c c c c n a b b b b +++++=+成立，求数列{}n c 的前n 项和n S ．。
北京市师大附中2017_2018学年高一数学下学期期中试题(含解析)
，
，
小为（ ）
，则 的大
A. 或
B. 或
C.
D.
【答案】D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出.
详解：由正弦定理可得：
，解得
，
， 为锐角，
. 故选：D. 点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
1
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3. 在
中，若 ， ，
，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：直接利用余弦定理即可计算.
列 不是递减数列，故①不正确；
②当
时，
，由于
因此数列 一定有最大项，故②不正确；
③当
时，
，
，因此数列 为
递减数列，正确；
④当 为正整数时，
，因此数列 必有两项相等的最大
项，故正确. 综上可知：只有③④正确. 故答案为：③④. 点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于 难题.
或
．
综上，当 时，不等式的解集为
；
当 时，不等式的解集为
或；
当 时，不等式的解集为
或
．
点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行 分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式， 然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
20. 已知数列 满足
，且 ，则 __________．
北京市第十五中学2018-2019学年度高一数学第二学期期中考试试卷及答案
北京十五中高一年级数学期中试卷2019.5考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题纸上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共75分）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( )A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台2．在区间[1,3]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式||2x ≤成立的概率为（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．34 3． 已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90° C．45° D．30°4．△ABC 中, ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3,4a b ==，∠C=ο60， 则c 的值等于（ ）A. 5B. 13C.13D.37 5．△ABC 中, 如果cos A cos B cosCa b c==, 那么△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形6．已知A 船在灯塔C 北偏东70°方向2km 处，B 船在灯塔C 北偏西50°方向3km 处，则A ，B 两船的距离为( )A ．19 kmB ．7 kmC ．(6＋1) kmD ．(6－1) km7． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A. 1:2:3B.2：3：4C.3:2:4D.3:1:2 8．正三棱锥的底面边长为a ，高为a 66，则此棱锥的侧面积等于（ ） A. 432a B. 232a C. 4332a D.233 2a9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （ ）A ．3B ．2C ．2D ．210．下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（ ） A ．2，5，8，5 B ．2，5，9，4 C ．4，10，4，2 D ．4，10，3，311．以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m 表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ ） A ．35B ．45C ．710D ．91012．为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况，从这个小水库中的多处不同位置捕捞出100条鱼，将这100条鱼做一记号后再放回水库. 几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条. 根据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为（ ）A ．20000B ．6000C ．12000D ．200013．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ） A ．3，8，13 B ．2，7，12 C ．3，9，15 D ．2，6，1214．一个正三棱柱的每一条棱长都是a ，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点的截面面积为 （ ） A. 27a B. 27a C. 26a D. 27a分组频数 频率 [10,15) 12 0.10[15,20) 30a[20,25) m0.40 [25,30)n 0.25 合计1201.0015．在ABC ∆中，角,,A B C 对边的边长分别为,,a b c ，给出下列四个结论：○1 以111,,a b c 为边长的三角形一定存在； ○2 以,,a b c 为边长的三角形一定存在；○3 以222,,a b c 为边长的三角形一定存在； ○4 以,,222a b b c c a+++为边长的三角形一定存在. 那么，正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷 （非选择题，共75分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 16．一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为_________.17．已知正方体外接球的表面积是12π，那么正方体的棱长等于___＿＿__．18．随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .19．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_______．20．设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )，a ＝1.则△ABC 的周长的取值范围是__________．三、解答题：（本大题共4个小题，共50分）21．（本大题12分）随机抽取某中学甲乙两班各6名学生，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.（Ⅰ）判断哪个班的平均身高较高, 并说明理由； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班这6名学生中随机抽取两名学生，求至少有一名身高不低于175cm 的学生被抽中的概率.22．（本大题12分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.23．（本大题13分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ． （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若a＝3，cosC ＝33，求c 的长．24．（本大题13分）在中，角的对边分别为，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积．ABC ∆,,A B C ,,,4a b c B π=4cos ,35A b ==sin C ABC ∆ 48610 14 2吨0.075 0.0250.2250.10012 a北京十五中高一年级数学期中试卷2019.521、解析 (1)b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝2222b c a bc+-＝12.…………………………………………3分∵0<∠A <π，∴∠A ＝π3.…………………………………………5分(2)∵在△ABC 中，∠A ＝π3，a ＝3，cosC ＝33，∴sinC ＝1－cos 2C ＝1－13＝63.…………………………………7分由正弦定理，知a sinA ＝csinC.∴c ＝asinCsinA＝3×6332＝263.…………………………………………13分22、解：（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且， ∴，…………………………………………3分 ∴。
北京一零一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
北京101中学2018－2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 函数x x y 3cos 3sin +=的最小正周期是（ ）A. 6πB. 2πC. 32πD. 3π 2. 在等差数列{n a }中，a 5+a 13=40，则a 8+a 9+a 10=（ ）A. 72B. 60C. 48D. 363. 在△ABC 中，已知sinC=2 sin （B+C ）cosB ，那么△ABC 一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形4. Sin15°－cos15°的值等于（ ） A. 26 B. －26 C. －22 D. 22 5. 已知a ，b ，c 依次成等比数列，那么函数)(x f =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1或26. 在△ABC 中，若B=45°，b =334，c=22，则A=（ ） A. 15° B. 75°C. 75°或105°D. 15°或75° 7. 在△ABC 中，已知sinA ：sinB ：sinC=1：1：2，且S △ABC =21，则⋅+⋅+⋅的值是（ ）A. 2B. 2C. －2D. －28. 数列{n a }满足n a =nn +⋅+++321，则数列{11+n n a a }的前n 项和为（ ）A.2+n n B. 22+n n C. 1+n n D. 12+n n 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 在等比数列{n a }中，a 2=3，a 5=81，则a n =_________。
10. 已知sin α－cos α=51，则sin2α=_________。
北京市第十五中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题
绝密★启用前北京市第十五中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台2．在区间[1,3]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式||2x ≤成立的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．343．已知ABC V 中，a =b =60B =o ，那么角A 等于（ ）A ．135oB ．90oC ．45oD ．30o4．△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C＝60°，则c 的值等于 ( )．A ．5B ．13C D5．△ABC 中, 如果cos A cos B cosCa b c==, 那么△ABC 是（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形6．已知A 船在灯塔C 北偏东70°方向2km 处，B 船在灯塔C 北偏西50°方向3km 处，则A ，B 两船的距离为( )ABC ．1)kmD ．1)km7．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ） A ．1:2:3B ．2：3：4C ．3:2:4D ．3:1:28．正三棱锥底面边长为a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234a B ．232a C 2D 29．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的长度为（ ）．A ．B ．C ．D ．210．下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（ ）A ．2，5，8，5B ．2，5，9，4C ．4，10，4，2D ．4，10，3，311．以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况.乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m 表示.那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ ）A ．35B ．45C ．710D ．91012．为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况，从这个小水库中的多处不同位置捕捞出100条鱼，将这100条鱼做一记号后再放回水库. 几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条. 根据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为（ ） A ．20000B ．6000C ．12000D ．200013．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ） A ．3，8，13B ．2，7，12C ．3，9，15D ．2，6，1214．一个正三棱柱的每一条棱长都是a ，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点的截面面积为（ ）A ．24B ．22C ．23a D 215．ABC 中，A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，给出下列四个结论： ①以1a 、1b 、1c为边长的三角形一定存在；③以2a 、2b 、2c 为边长的三角形一定存在； ④以2a b +、2b c +、2c a+为边长的三角形一定存在.那么，正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题16．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 17．已知正方体外接球的表面积是12π，那么正方体的棱长等于____________. 18．随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为_______cm ；样本数据的方差为_________.19．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ．20．设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222(1))2(a b c sinA ab sinC sinB a -+＝+，＝.则ABC n 的周长的取值范围是______.三、解答题21．随机抽取某中学甲乙两班各6名学生，测量他们的身高(单位:cm )，获得身高数据的茎叶图如下图.（1）判断哪个班的平均身高较高, 并说明理由； （2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这6名学生中随机抽取两名学生，求至少有一名身高不低于175cm 的学生被抽中的概率.22．北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）给出图中实数a 的值；（2）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有多少户；（3）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率. 23．在中，分别为角所对的三边，已知222+c b a bc -=．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若a =cos C =，求c 的长．24．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,4a b c B π=，4cos ,5A b ==（1）求sin C 的值；的面积. （2）求ABC参考答案1．D 【解析】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台， 则该几何体可以是圆台． 故选D ． 2．D 【解析】 【分析】求解绝对值不等式2x ≤，求得满足题意的解集的区间长度，除以[]1,3-的区间长度即可. 【详解】由2x ≤，可得：22x -≤≤，又[]13,x ∈-，故满足题意的解集为[]1,2x ∈-， 故满足题意的区间长度为：3，x 所在区间的区间长度为：4，根据几何概型计算公式可得：34P =， 故选：D. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、交集求解，以及几何概型. 3．C 【解析】试题分析：三角形中由正弦定理得.sin ,sin sin sin a b a b A A B B =∴==,所以4A π=.即选C.本题的关键就是正弦定理的应用. 考点：正弦定理.4．C 【解析】 【分析】由余弦定理可得c 的值. 【详解】2191624132c c =+-⋅=∴=Q故选C 【点睛】本题考查应用余弦定理求解三角形的边长，意在考查余弦定理的掌握情况，解题中要注意选择合适的表达式，准确代入数值. 5．B 【解析】试题分析：由题意得，由正弦定理得，所以，,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.考点：正弦定理在三角形中的应用. 6．A 【解析】 【分析】由方位角可知ABC ∆中的两边及夹角，由余弦定理即可求得. 【详解】根据题意，作图如下：易知在ABC ∆中，3BC =，2AC =，120BCA ∠=︒ 故由余弦定理可得：2222AB AC BC AC BC cos BCA =+-⋅⋅∠解得：219AB =，则AB =故选：A. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题. 7．D 【解析】本题考查圆柱、圆锥、球的体积公式及运算.设球的半径为,R 则圆柱、圆锥的底面半径都为,R 圆柱、圆锥的高都为2;R 所以圆柱、圆锥、球的体积分别为323212112122,2333R V R R R V R R V ππππ=⨯==⨯⨯==；3314233V R V π==；则则圆柱、圆锥、球的体积的比为12311112::::33V V V V V V =3:1:2.=故选D 8．A 【解析】 【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出. 【详解】因为底面正三角形中高为2a ，其重心到顶点距离为2233a a ⨯=，且棱锥高6a ，2a =，斜高为2a =，所以侧面积为21133224S a a a =创=.选A. 【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题. 9．A 【解析】 【分析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可. 【详解】由三视图可知其直观图，该几何体为四棱锥P-ABCD ，最长的棱为PA ，则最长的棱长为PA =故选A ． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型. 10．A 【解析】 【分析】根据频率与频数的关系，可求得分布表中的参数；再由样本容量与总体数量可得抽样比例，根据该比例，即可求得每组抽取的人数. 【详解】由题可得：300.25120a ==，1200.448m =⨯=，1200.2530n =⨯= 由样本容量20，与学生总人数120，可得：抽样比例=2011206=，故 在区间[)10,15有12人，故从该组抽取12126⨯=人； 在区间[)15,20有30人，故从该组抽取13056⨯=人； 在区间[)20,25有48人，故从该组抽取14886⨯=人； 在区间[)25,30有30人，故从该组抽取13056⨯=人. 故选：A.【点睛】本题考查频数分布表中参数的计算，以及分层抽样，其核心是利用等比例进行计算. 11．D【解析】【分析】分别计算两队的平均分，再求解满足题意的m 可能取到值的个数，除以m 所有可能取值的数量，即为概率.【详解】由题可得：甲队的平均分=788283813++=； 乙队的平均分=8083808133m m +++=+； m 的取值可以为0,1,2,3，L ，9，共10种可能；若满足乙队平均分超过甲队平均分，则：81813m +>，解得0m >，故有9种可能， 故满足题意的概率910P =， 故选：D.【点睛】本题考查茎叶图中平均数的计算、古典概型的计算，属基础题.12．D【解析】【分析】由捕捞出120条鱼中有标记的有6条，可得标记的比例，进而求解鱼的总数.【详解】设鱼的总数为n ，则由题可知：6100120n=，解得2000n =， 故选：D.【点睛】本题考查用样本估计总体的方法，属基础题.13．B【解析】【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5，当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2，所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12．故选：B ．【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．14．A【解析】【分析】根据题意，找出截面三角形，求得三边长度，利用余弦定理求一个角，再用面积公式即可.【详解】由题意，作图如下：在1A BC ∆中，BC a =，11AC A B ==， 由余弦定理可得：22211111324BA AC BC cos BAC BA AC +-∠==解得：1sin BAC ∠=，故由面积公式得：11112S sin BAC A B A C =∠⋅⋅=故选：A.【点睛】本题考查几何体截面面积的求解，属于中档题；要把空间问题转化为平面问题.15．C【解析】【分析】利用特殊值法或验证三边形三边是否满足“两边之和大于第三边”，从而对各命题的正误进行判断.【详解】对于命题①，取2a b ==，12c =，则1111a b c +=<，不满足三边关系，命题①错误； 对于命题②，由题意知，a b c +>，b c a +>，c a b +>，2a b c =++>Q，>，>>对于命题③，取1a =，1b =，c =222a b c +<，不满足三边关系，命题③错误； 对于命题④，22222a b b c a c b a c ++++++=>， 同理可得222b c c a a b ++++>，222c a a b b c ++++>，命题④正确. 故选C.【点睛】本题考查三角形是否存在的判断，解题的关键就是三角形三边关系“两边之和大于第三边”的应用，考查推理能力，属于中等题.16．6π【解析】【详解】2πr=2π，r =1，S 表=2πrh+2πr 2=4π+2π=6π.17．2【解析】【分析】由球的表面积可得球的半径，通过半径和正方体棱长之间的关系，即可求得棱长.【详解】由题可知：2412R ππ=，解得：R =， 又正方体棱长a 与其外球球半径R 关系为：R ==a =2. 故答案为：2.【点睛】本题考查正方体外接球半径与正方体棱长之间的关系，需要牢记：R =.18．172 45【解析】【分析】根据平均数与方差的计算公式，代值计算即可.【详解】由平均数的计算公式可得：平均身高=1621681701711791821726+++++= 由方差的计算公式可得样本方差()()()()()()22222211621721681721701721711721791721821726⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦=45.故答案为：172；45【点睛】本题考查平均数和方差的计算公式，属于基础知识题.19．15【解析】设样本容量为x 人，7350,15750x x =∴=20．2,1⎛+ ⎝⎦【解析】【分析】反凑余弦定理，求得角A ；再利用余弦定理，结合均值不等式，以及两边之和大于第三边，进而求得三角形周长的范围.【详解】由()()2222a b c sinA ab sinC sinB +-=+，可得：22sinAcosC sinC sinB =+()22sin sinAcosC sinC A C =++，化简得：20sinCcosA sinC +=，即得：12cosA =-，又()0,A π∈，解得：120A =︒； 由余弦定理可得：2222b c a cosA bc+-=，整理得：221b c bc +=- 即：()21bc b c =+- 由均值不等式：()214bc b c ≤+ 即：()()22114b c b c +-≤+解得：()243b c +≤，b c +≤ 当且仅当b c =时，取得最大值.又根据两边之和大于第三边，可得：1b c a +>=，综上所述：b c ⎛+∈ ⎝⎦，故周长范围：2,13a b c ⎛++∈+ ⎝⎦.故答案为：2,13⎛+ ⎝⎦. 【点睛】本题考查利用余弦定理、均值不等式求解三角形周长的范围问题；其难点是利用均值不等式进行变式.21．（1）=172x 甲，=172.5x 乙，估计乙班平均身高高于甲班；（2）45；（3）35【解析】【分析】（1）由平均数的计算公式分别计算两组样本的平均数，之后进行比较；（2）由方差的计算公式求解即可；（3）求得从6名学生中抽2名学生的全部事件个数，再找出满足题意的事件个数，用古典概型的计算公式即可求得.【详解】（1）由茎叶图可知：甲班样本平均身高 (单位：cm ) 为：162+168+170+171+179+182==1726x 甲； 乙班样本平均身高 (单位：cm ) 为：163+170+171+174+177+180==172.56x 乙. 由x x <甲乙可以估计乙班平均身高高于甲班.（2）由（1）得 =172x 甲，所以，甲班的样本方差为：2=s 甲2222221[(162172)+(168172)+(170172)+(171172)+(179172)+(182172)]6------45=. （3）设“至少有一名身高不低于175cm 的同学被抽中”的事件为A .从乙班6名学生中抽中两名学生有：（180，177），（180，174），（180，171），（180，170），（180，163），（177，174），（177，171），（177，170），（177，163），(174, 171)，（174，170），（174，163），（171，170），（171，163），（170，163），共15个基本事件，而事件A 含有9个基本事件， 所以93()155P A ==. 所以，至少有一名身高不低于175cm 的同学被抽中的概率为35. 【点睛】本题考查平均数的计算公式、方差的计算公式、古典概型的计算，属综合基础题.22．（1）0.050a =；（2）1300；（3）8()15P A =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中的概率和为1，将所有长方形面积计算后相加即可；（2）先计算样本中月均用水量低于8吨的频率，之后乘以总数，即可求得；（3）分别计算从月均用水量不低于10吨的人中抽取2名的所有事件个数和满足题意的事件个数，再利用古典概型计算公式求解.【详解】（1）因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=， 所以，图中实数0.120.050a =÷=.（2）由图可知，样本数据中月均用水量低于8吨的频率为：(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， 所以小明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有：0.6520001300⨯=(户).（3）设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知，样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为a b c d ,,,； 月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f ；则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种，事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， 所以8()15P A =. 【点睛】本题考查频率分布直方图的性质（面积和为1）、用样本估计总体、古典概型，属综合基础题. 23．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）．【解析】 【试题分析】（1）依据余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-及题设222b c a bc +-=可求得1cos 2A =，进而求出A 的值；（2）先借助题设条件cos C =，求出sinC =，再运用正弦定理求出c 的长： (1)222222b +c -a 1πb +c -a =bc,cosA==,? 0<A<π,A=2bc 23∴(2) πABC A=a ,sinC 333==∴=n 中，，asinC c sinA ∴=由正弦定理有24．（1）sin C =；（2）6350S = 【解析】【分析】 （1）由内角和定理得：34C A π=-，结合sinA 与cosA 的值，即可求得； （2）由（1）所得结论，利用正弦定理，求得a ，代入面积公式即可求得.【详解】（1）∵A 、B 、C 为ABC ∆的内角，且4,cos 45B A π==， 34C A π∴=-， 35sinA =3sin sin 42210C A A A π⎛⎫∴=-=+= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知3sin ,sin 510A C ==，又,4B b π== ∴在ABC n 中，由正弦定理，得sin sin b A a B ==；故：ABC n 的面积1163sin 2251050S ab C ==⨯= 【点睛】第一问考查内角和定理，以及正弦的差角公式，解简单三角形；第二问考查正弦定理、面积公式的使用；属综合基础题.。
北京市海淀区2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上.
9.已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则其侧面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.
【详解】由题意，圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，
17.已知四棱锥
的底面 是菱形.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
求证：
；
（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分 4 分，第（2）问满分 5 分）
① 分别是
上的点，若
,
，求 的值.
②若
，
，
，判断△ 是否为等腰三角形？并说
明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由四边形 是菱形，所以
沿对角线 折起，若折叠后平面 ⊥平面 ，
则此时点 之间的距离是__________________.
【答案】1
【解析】
【分析】
取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，证明 平面 ，得出
，利用勾股定理，即可求
解.
【详解】取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，
因为
为 的中点，所以
，
因为平面
平面 ，平面
【详解】由题意
，
，则
，所以
，
因为
，所以 或 （舍去），
则
，
则
，故选 A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式 和两角和与差的余弦公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础 题.
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北京2018年高一年级下学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在等差数列{a n }中，如果a 1+a 2=25，a 3+a 4=45，则a 1=（ ） A. 5B. 7C. 9D. 102. tan （α－4π）=31，则tan α=（ ） A. 2 B. －2 C.21D. －21 3. 在△ABC 中，若bcosA=a sinB ，则∠A 等于（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 己知a=5，c=3，cosA=63，则b=（ ） A. 1 B. 2 C.25 D. 65. 设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（ ） A. a 2+3>2aB. a 2+b 2>0C. a 3+b 3≥a 2b+ab 2D. a+a1≥2 6. 数列{a n }为公比为q （q ≠1）的等比数列，设b 1=a 1+a 2+a 3+a 4，b 2=a 5+a 6+a 7+a 8，…，b n =a 4n －3+a 4n －2+a 4n －1+a 4n ，则数列b n （ ）A. 是等差数列B. 是公比为q 的等比数列C. 是公比为q 4的等比数列D. 既非等差数列也非等比数列7. 在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令π=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（ ）A. 17mB. 16mC. 15mD. 14m8. 已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和. 若6193=S S ，则126S S=（ ） A. 101B. 103 C. 105 D.107 9. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ） A. y=x 3+4x B. y=sinx+xsin 4 C. y=log 3 x+log x 81D. y=e x +4e －x10. 某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20％，后两年每年递减20％，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）A. 不增不减B. 约增1.4％C. 约减9.2％D. 约减7.8％ 二、填空题共6小题。
11. △ABC 中，cosAcosB －sinA sinB=－21，则角C 的大小为_______. 12. 已知sin α·cos α=52，则tan α=_________. 13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足对于任意的n ∈N*，a n =31（2+S n ），则数列{a n }的通项为a n =_________. 14. 定义：称np p p n+++ 21为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为121-n ，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 15. 北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A 处，图书馆在B 处，为测量A ，B 两地之间的距离，某同学选定了与A ，B 不共线的C 处，构成△ABC ，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A ，AC ，BC ；②测量∠A ，∠B ，BC ；③测量∠C ，AC ，BC ；④测量∠A ，∠C ，∠B. 其中一定能唯一确定A ，B 两地之间的距离的所有方案的序号是_______.16. 有纯酒精a （a>1）升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_______升. 三、解答题共4小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. 已知函数f （x ）=cosx （3sinx+cosx ）－21，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）设α>0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值.18. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足a 3·a 5=112，a 1+a 7=22. （1）求等差数列{a n }的第七项a 7和通项公式a n ；（2）若数列{b n }的通项b n =a n +a n+1，{b n }的前n 项和S n ，写出使得S n 小于55时所有可能的b n 的取值.19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知a=2c. （1）若∠A=2∠B ，求cosB ；（2）若AC=2，求△ABC 面积的最大值.20. 已知数列{a n }满足：a 1=1，|a n+1－a n |=p n ，n ∈N*，S n 为数列{a n }的前n 项和. （1）若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值； （2）若p=21，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，令c n =n （a n+1－a n ），求数列{c n }的前n 项和T n .参考答案1. D2. A3. B4. B5. A6. C7. C8. B9. D 10. D 11. 60° 12. 2或52. 13. （23）n －1. 14. 4n －3. 15. ②③. 16. （1－a 1）8（2－a1）. 17. （1）f （x ）=cosx （3sinx+cosx ）－21=sin （2x+6π），T=π，f （x ）单调递增区间为[－3π+k π，6π+k π]（k ∈Z ）. （2）f （x ）=cosx （3sinx+cosx ）－21=sin （2x+6π），g （x ）=f （x+α）=sin[2（x+α）+6π]=sin[2x+（2α+6π）]. 由函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，所以g （－x ）=－g （x ）， 即sin[－2x+（2α+6π）]=－sin[2x+（2α+6π）]， 展开整理得cos 2x sin （2α+6π）=0 对∀x ∈R 都成立， 所以sin （2α+6π）=0， 即2α+6π=k π，k ∈Z ，且α>0，所以αmin =125π. 18. （1）因为{a n }为等差数列，所以a 3+a 5=a 1+a 7=22， 又a 3·a 5=112且d>0，解得a 3=8，a 5=14. 则a 7=20.由⎩⎨⎧=+=+144,8211d a d a 解得a 1=2，d=3，所以a n =3n －1. （2）b n =a n +a n+l =6n+1，S n =2)(1n b b +=3n 2+4n<55， 解得－5<n<311，又n ∈N*， 所以n ≤3，n ∈N *. 则b 1=7，b 2=13，b 3=19.19. （1）在△ABC 中，∠A=2∠B ，∠C=π－23A∠且∠A ∈（0，π） 由正弦定理2=c a =CA sin sin =12cos 42cos22cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos cos 2sin 2cos 2sin223sin sin 22-=+=+=A A A A A A A A A A A A A A A A ， 解方程4cos 22A －2cos 2A－1=0得cos 2A =22（舍负），所以，∠A=2π，所以cos B=22. （2）方法一：cos B=ac b c a 2222-+=222243cc -， S =∆2ABC （21ac sinB ）2=41a 2c 2sin 2B =41a 2c 2（1－cos 2B ）=41×2c 4×2481624c c c -+-=16)12(22--c +8，所以当c 2=12即c=23时，S 2ABC ∆取得最大值为8，此时S =∆ABC 22. 方法二：过点B 作角B 平分线BM ，由角平分线定理，x xAM CM c a 22===， 则x=222122-=+. 由阿波罗尼奥斯圆定义，点B 在以内外角平分线的分点M ，N 为直径的圆上， △ABC 面积最大时，点B 最高.根据勾股定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=-222222)2(2)(x R R c x R R c ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧++=-+-=-,2222,222222222R xR x R c x xR R R c 所以2R 2=22（2+1）xR ， 所以R=2（2+1）x=22.所以△ABC 面积最大为22，此时c=23.20. （1）因为{a n }是递增数列，所以a n+l －a n =a n+1－a n =p n . 因为a 1=1，a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2=a 1+3a 3， 则3a 3－3a 2=a 2－a 1，即3p 2－P=0，解得p=31或p=0.当p=0时，a n+1=a n ，这与{a n }是递增数列矛盾， 所以p=31.（2）由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n+1－a 2n －1>0， 所以（a 2n+1－a 2n ）+（a 2n －a 2n －1）>0. 因为n221<1221-n ，所以a 2n+1－a 2n <a 2n －a 2n －1. 所以a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1=（21）2n －1=1222)1(--n n.因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n+1－a 2n <0，所以a 2n+1－a 2n =－（21）2n =n 122)1(+-.所以a n+1－a n =nn 2)1(1+-.于是a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=211)21(12111+--⋅+-n =1+21－221+…+112)1(31342)1(---⋅+=-n n n n所以数列{a n }的通项公式为a n =34+31·12)1(--n n.。