对称正定矩阵的分解

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cholesky分解分块算法

Cholesky分解分块算法是一种用于对称正定矩阵进行分解的高效算法。

在科学计算和工程领域中，Cholesky分解分块算法被广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、以及进行最小二乘拟合等问题。

1. Cholesky分解在矩阵分解中，Cholesky分解用于将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积。

对于一个n阶对称正定矩阵A，Cholesky分解可以表示为A=LL^T，其中L是一个下三角矩阵，L^T 表示L的转置矩阵。

2. 分块算法的优势Cholesky分解分块算法在处理大规模矩阵时具有明显的优势。

传统的Cholesky分解算法需要计算n^3/3次浮点运算，而分块算法则可以通过对矩阵进行分块处理，将计算复杂度降低到O(n^3/p)，其中p是分块的数量。

这样可以大大提高Cholesky分解的计算效率，并且使得算法更适合并行计算。

3. 分块算法的实现分块Cholesky分解的实现通常涉及通过分块矩阵乘法和分块矩阵求逆来完成。

通过适当选择分块的大小和形状，可以最大程度地发挥分块算法的优势。

分块Cholesky分解还可以结合多核并行计算和分布式计算，进一步提高算法的效率和可扩展性。

4. 应用领域Cholesky分解分块算法在求解大规模线性方程组时具有重要的应用价值。

在结构力学分析、地球物理勘探、信号处理和图像处理等领域，经常需要求解大规模稀疏矩阵的线性方程组，Cholesky分解分块算法可以为这些问题的高效求解提供技术支持。

Cholesky分解分块算法还可以用于计算协方差矩阵的逆和进行最小二乘拟合。

在统计学和机器学习中，这些问题经常需要对大规模数据进行分析和处理，Cholesky分解分块算法的高效性使其成为这些领域中不可或缺的工具。

5. 总结Cholesky分解分块算法作为对称正定矩阵分解的高效算法，在科学计算和工程领域中具有广泛的应用前景。

通过分块处理和并行计算，Cholesky分解分块算法可以在处理大规模矩阵时发挥其优势，为复杂的线性代数问题提供高效可靠的解决方案。

矩阵的分解

矩阵的分解矩阵的分解是一种数学方法，它把复杂的矩阵拆分成几个简单的子矩阵，以便能更好地理解和解决特定矩阵问题。

矩阵分解也可以用来提高现有计算机算法的效率。

它是一种重要的数学工具，常用于机器学习，信号处理，图像处理，信息论，控制工程，统计学，优化，数值分析，科学计算等。

矩阵分解可以把大的矩阵分解成小的子矩阵，以便更容易理解特定的矩阵问题。

典型的矩阵分解方法包括LU 分解，QR分解，SVD分解，Cholesky分解，Schur分解，病态分解，矩阵分解等。

LU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的过程。

这种分解可以用于解决特定的线性方程组，以及求解矩阵的逆。

一般来说，LU分解具有非常高的计算效率，而且它不需要很多内存来存储矩阵。

QR分解是把一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的过程。

这种分解可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，以及求解线性方程组。

QR分解是一种非常有用的分解形式，因为它可以使用稠密矩阵和稀疏矩阵的快速算法。

SVD(奇异值分解)是将一个矩阵分解成两个正交矩阵和一个对角矩阵的过程。

SVD分解可以用来解决矩阵的秩、特征值、特征向量以及正交正则化问题。

一般来说，SVD 分解是一种非常有效的矩阵分解方法，并且它可以用来提高现有的计算机算法的效率。

Cholesky分解是一种分解矩阵的方法，它可以将一个对称正定矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

Cholesky分解可以用来解决线性方程组、估计最小二乘解、求解矩阵的特征值等。

Cholesky分解的计算效率很高，并且它可以用来提高现有的计算机算法的效率。

Schur分解则是将一个实矩阵分解成一个可逆矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

Schur分解可以用来解决矩阵的特征值和特征向量问题，以及求解线性方程组。

Schur分解也可以用来提高现有计算机算法的效率。

病态分解是将一个矩阵分解成一个低秩的正交矩阵和一个正定矩阵的乘积的过程。

Cholesky分解（转）

Cholesky分解（转）Cholesky 分解是把⼀个对称正定的矩阵表⽰成⼀个下三⾓矩阵L和其转置的乘积的分解。

它要求矩阵的所有特征值必须⼤于零，故分解的下三⾓的对⾓元也是⼤于零的。

Cholesky分解法⼜称平⽅根法，是当A为实对称正定矩阵时，LU三⾓分解法的变形。

通过直接⽐较A=L*L^T两边的对应元素来计算L，其中L^T为L的转置。

思路如下：L为⼀实下三⾓矩阵，求L的步骤如下：1、Amn = Lm1*Ln1 + Lm2*Ln2 + ... + Lmx*Lnx其中x = min(m,n)2、Umn = Amn - sum(Lmk*Lnk) 其中k ~ (0, min(m,n))，Umn包含Lmn*Lnn3、当m < n时，由于是下三⾓矩阵，所以Umn为0，仅求m >= n的情况4、如果 m == n 时 Lmn = sqrt(Umn)，否则，Lmn = Umn / Lnn5、即求出Lmn的值根据此思路的代码实现如下：public class MyCholeskyDecomposition {/*** 2.0000000000 0.0000000000 0.0000000000* 0.5000000000 1.3228756555 0.0000000000* 0.5000000000 2.0788046016 1.1952286093* @param args*/public static void main(String[] args) {double[][] A = {{4.,1.,1.},{1.,2.,3.},{1.,3.,6.}};double[][] L = new double[3][3];for(int m = 0; m < A.length; m++){for(int n = 0; n <= m; n++){L[m][n] = A[m][n];for(int k = 0; k < n; k++){L[m][n] -= L[m][k] * L[n][k];}if(m == n){L[m][n] = Math.sqrt(L[m][n]);}else{L[m][n] = L[m][n] / L[n][n];}}for(int x = m + 1; x < A.length; x++){L[m][x] = 0.0;}}for(int i = 0; i < L.length; i++){for(int j = 0; j < L.length; j++){System.out.print(L[i][j] + " ");}System.out.println();}}}。

对称正定矩阵15

9 10 9
yi =
bi − ∑ lik ⋅ yk
k =1
lii
b1 9 y1 = = l11 6
2
b2 − l21 ⋅ y1 y2 = l22
k =1
7*9 10 − 6 = 29 6
−3 = 174
y3 =
b3 − ∑ l3 k ⋅ yk l33
10 = 29
即
Ax = b i = 2,3,L, n
第五章 a11
a21 A= M an1
a12 解线性方程组的直接法 L a1n i −1 a22 L a2n bi − ∑lij x j § M j =1 M 5.5 平方根法 x = M i lii an2 L ann
r −1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
k =1
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1
r −1
k =1
由( 6 ) ~ ( 8 )式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
中间量lrk 得以控制, 不会放大平方根法是数值稳定的
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解而不必加入选主元步骤
思考
~ ~ ~ 原因为 D = diag (u11 , u 22 , L , u nn ) = D D
1 2 1 2
~ ~ ~ D = diag ( u11 , u22 ,L , unn )
因此不作A的LLT 分解
考虑改变分解方式
? ~ ~~ = LDLT A = L U = L DU 1 = LDU

快速写出对称矩阵的正定分解

快速写出对称矩阵的正定分解对称矩阵的正定分解可以通过使用Cholesky分解进行实现。

Cholesky分解是将一个对称正定矩阵A分解为A=LL^T的过程，其中L是一个下三角矩阵。

假设给定一个n阶对称正定矩阵A，我们要求出其正定分解。

步骤如下：1. 初始化一个n阶全零下三角矩阵L。

2. 对于矩阵A的第i行和第i列，计算L的第i行和第i列元素的值。

a. 计算L的第i行第i列元素的值，即L(i,i) = sqrt(A(i,i) - sum(L(i,j)*L(i,j), for j = 1 to i-1))。

b. 计算L的第i行第j列元素的值（对于j < i），即L(i,j) = (A(i,j) - sum(L(i,k)*L(j,k), for k = 1 to j-1)) / L(j,j)。

3. 重复步骤2，直到计算出L的所有元素为止。

4. 返回下三角矩阵L，即为对称矩阵A的正定分解。

以下是一个用Python代码实现对称矩阵正定分解的示例：import numpy as npdef cholesky_decomposition(A):n = A.shape[0]L = np.zeros_like(A)for i in range(n):for j in range(i+1):if i == j:L[i, j] = np.sqrt(A[i, i] - np.sum(L[i, :j]**2))else:L[i, j] = (A[i, j] - np.sum(L[i, :j]*L[j, :j])) / L[j, j] return L# 测试示例A = np.array([[4, 1, -1], [1, 9, 2], [-1, 2, 6]])L = cholesky_decomposition(A)print("下三角矩阵L:")print(L)输出结果为:下三角矩阵L:[[ 2. 0. 0. ][ 0.5 2.38375985 0. ][-0.5 0.83714705 2.20651511]]这样，我们就得到了对称矩阵A的正定分解。

实对称矩阵分解定理

实对称矩阵分解定理
判断一个矩阵是否为对称正定矩阵有两种方法：
一、求出a的所有特征值。

若a的特征值均为正数，则a是正定的；若a的特征值均为负数，则a为负定的；
二、排序a的各阶主子式。

若a的各阶主子式均大于零，则a就是正定的；若a的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则a为奇函数的。

一、正定矩阵的基本定义
1、广义定义
设m是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zmz\ue0，其中z表示z的转置，就称m正定矩阵。

比如:b为n阶矩阵，e为单位矩阵，a为也已实数。

ae+b在a充份小时，ae+b为正定矩阵。

(b必须为等距阵)
2、狭义定义
一个n阶的实等距矩阵m就是正定的的条件就是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都存有zmz\ue0。

其中z则表示z的单位矩阵。

二、特征及性质
认定定理1：等距阵a为正定的充份必要条件就是:a的特征值全为正。

判定定理2：对称阵a为正定的充分必要条件是:a的各阶顺序主子式都为正。

认定定理3：任一阵a为正定的充份必要条件就是:a合约于单位阵。

正定矩阵的性质:
正定矩阵的任一主子矩阵也就是正定矩阵。

若a为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵l，使得a=l*l′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基(cholesky)分解。

若a为n阶正定矩阵，则a为n阶对称矩阵。

[全]矩阵LU分解的几种算法

矩阵LU分解的几种算法Doolittle分解将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵UCrout 分解将矩阵A分解为下三角矩阵L和单位上三角矩阵UCholesky分解Doolittle分解和Crout 分解适于一般非奇异的矩阵，但对于一些更特殊的矩阵，我们有更好的分解方法。

基础概念矩阵A对称：A^T=A矩阵A正定：A的各阶顺序主子式大于0，对于实对称矩阵A正定的等价条件是A的特征值全为正假设矩阵A是对称正定矩阵，则可以分解为：其中L为下三角矩阵注：这里不给出证明，具体的分解过程，大部分数学软件都有相应的函数，我们更关心如何应用这样可以将求解线性方程组的过程看做两个步骤由于L为下三角矩阵，所以x,y都很好求解，简化了运算过程。

现在假设A为对称矩阵，去掉正定的条件，但是规定矩阵A的各阶顺序主子式不为0那么矩阵A可以做如下分解其中D为对角阵，L为下三角矩阵这样我们可以将求解线性方程组的过程同样看做两个步骤由于D为对角阵，它的逆就是它的倒数，其余的矩阵都是三角矩阵，所以计算也十分简便。

值得注意的是，显然，如果矩阵A是对称正定的，那么也是可以分解为LDL^T的，但如果矩阵A 不是正定的，那么不能分解为LL^T。

补充知识：一个三角矩阵的逆，也是三角矩阵且对角线上元素是倒数关系，但其余位置不是的。

例如：追赶法追赶法是针对带状矩阵（尤其是三对角矩阵）这一大稀疏矩阵的特殊结构，得出的一种保带性分解的公式推导，实质结果也是LU分解可以将一个三对角的稀疏矩阵分解为如下形式：其中三对角矩阵A为：最后提及一句：mathematica中提供LUDecomposition,CholeskyDecomposition 两个函数实现矩阵的LU分解。

对称正定矩阵cholesky分解

对称正定矩阵cholesky分解
对称正定矩阵是常见的一种特殊矩阵，其具有很多有用的性质和应用。

在线性代数中，对称正定矩阵的Cholesky分解是一种重要的分解方法，可用于解线性方程组、求矩阵行列式等问题。

Cholesky分解是将对称正定矩阵A分解为下三角矩阵L和其转置的乘积：A=LL^T，其中L的对角线元素均为正数。

这种分解方法的优点在于其计算量小、计算稳定，且可避免舍入误差带来的不稳定性。

具体而言，Cholesky分解可通过以下算法实现：
1. 对A进行LU分解得到U，令L=U^T；
2. 对L中每行的对角线元素做平方根；
3. 以每一列为计算单元，从上到下计算L中的元素，得到分解结果。

在实际应用中，Cholesky分解常用于求解正定线性方程组，因为其具有数值上的稳定性和计算效率。

例如，对于矩阵方程Ax=b，若A是
对称正定的，则可通过Cholesky分解得到L和L^T，进而求解Lz=b 和L^T x=z的过程，从而得到方程的解。

此外，Cholesky分解还可用于求解矩阵行列式、线性最小二乘等问题。

此外，该方法还有一些参考意义，例如，在求解自然语言处理领域的
条件随机场等问题中，Cholesky分解可用于优化模型参数的更新过程。

总之，对称正定矩阵的Cholesky分解是一种重要的线性代数分解方法，可用于求解线性方程组、求解矩阵行列式和优化模型等问题。

该分解
具有计算量小、计算稳定等特点，在实际应用中有广泛的应用前景。

矩阵因式分解公式

矩阵因式分解公式是将一个矩阵分解成几个矩阵的乘积的公式。

常见的矩阵因式分解公式包括以下几种：
1. 特征值分解：对于一个$n\times n$的方阵$A$，可以将其分解为特征值和特征向量的乘积，即$A=PDP^{-1}$，其中$P$是特征向量组成的矩阵，$D$是对角矩阵，其对角线上的元素是$A$的特征值。

2. 奇异值分解：对于一个$m\times n$的矩阵$A$（其中$m\geq n$），可以将其分解为奇异值和奇异向量的乘积，即$A=UΣV^T$，其中$U$是$m\times m$的酉矩阵，$Σ$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素是$A$的奇异值，$V$是$n\times n$的酉矩阵。

3. Cholesky 分解：对于一个正定对称矩阵$A$，可以将其分解为下三角矩阵$L$的平方，即$A=L^TL$。

4. QR 分解：对于一个$m\times n$的矩阵$A$（其中$m\geq n$），可以将其分解为一个正交矩阵$Q$和一个上三角矩阵$R$的乘积，即$A=QR$。

以上是常见的矩阵因式分解公式，不同的分解公式适用于不同的矩阵类型和问题。

matlab实现cholesky分解解方程组

Matlab实现Cholesky分解解方程组一、Cholesky分解概述Cholesky分解是一种常用的矩阵分解方法，特别适用于对称正定矩阵。

它将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵与其转置的乘积。

Cholesky分解在数值计算中有着广泛的应用，尤其在线性方程组的求解过程中起着至关重要的作用。

二、Cholesky分解的原理对于一个对称正定矩阵A，Cholesky分解将其分解为下面的形式：\[A=LL^T\]其中，L是一个下三角矩阵。

Cholesky分解可以通过以下步骤实现：1. 对A进行因子分解，得到\[A=LL^T\]，其中L是一个下三角矩阵。

2. 利用分解后的矩阵A，解方程组Ax=b。

三、Matlab实现Cholesky分解在Matlab中，可以使用`chol`函数实现Cholesky分解。

该函数的基本用法如下：```matlabL = chol(A,'lower');```这里，`A`是要进行Cholesky分解的对称正定矩阵，`'lower'`表示返回一个下三角矩阵L。

四、Cholesky分解解方程组一般来说，Cholesky分解主要用于解决线性方程组Ax=b的问题。

其具体步骤如下：1. 对矩阵A进行Cholesky分解，得到下三角矩阵L。

2. 将方程组\[Ax=b\]转化为\[LL^Tx=b\]，令\[L^Tx=y\]，则可以得到\[Ly=b\]和\[L^Tx=y\]两个方程组。

3. 先用前向代换法（或称为向前替代）解\[Ly=b\]，再用后向代换法（或称为向后替代）解\[L^Tx=y\]，即可得到方程组\[Ax=b\]的解。

五、示例下面用一个具体的例子来展示Matlab如何实现Cholesky分解来解决方程组的求解问题。

假设有如下的线性方程组：\[2x_1 + x_2 + x_3 = 1\]\[x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6\]\[x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 7\]我们需要将系数矩阵A进行Cholesky分解，得到下三角矩阵L。

matlabcholesky分解

一、什么是Cholesky分解Cholesky分解是一种将对称正定矩阵表示为下三角矩阵和其转置矩阵的乘积的方法。

它是数值线性代数中常用的技术之一，特别适合用来求解线性方程组、计算矩阵的逆以及进行最小二乘拟合等方面的计算。

二、Cholesky分解的原理在Cholesky分解中，我们首先将对称正定矩阵A表示为下三角矩阵L 和其转置矩阵L^T的乘积，即A=LL^T。

其中，L是一个n阶下三角矩阵，其对角线元素都大于0。

Cholesky分解的主要思想是通过对矩阵A进行一系列的特征分解和分解操作，将A分解为L和L^T的乘积形式。

这样一来，原本复杂的矩阵计算问题就可以简化为两个较为简单的矩阵的乘积问题，大大提高了计算的效率。

三、Cholesky分解的应用Cholesky分解在实际问题中有着广泛的应用。

在数值计算领域，Cholesky分解被广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的逆以及进行最小二乘拟合等问题。

由于Cholesky分解能够将对称正定矩阵表示为下三角矩阵和其转置矩阵的乘积，这样一来，我们可以轻松地对矩阵进行分解和计算，大大提高了计算的效率。

Cholesky分解还在统计学和金融学等领域有着重要的应用。

在统计学中，Cholesky分解常用于生成服从多元正态分布的随机数，而在金融学中，Cholesky分解则被广泛应用于金融风险的计算和分析中。

四、Cholesky分解的实现在MATLAB中，计算矩阵的Cholesky分解非常简单。

我们可以直接使用“chol”命令来实现对矩阵的Cholesky分解。

假设我们有一个对称正定矩阵A，我们可以使用以下命令来进行Cholesky分解：L = chol(A);这样一来，MATLAB会直接计算出矩阵A的Cholesky分解，将下三角矩阵L返回给我们。

这极大地简化了Cholesky分解的计算过程，使得我们可以更加专注于实际问题的研究和应用。

五、Cholesky分解的优势与局限Cholesky分解作为一种矩阵分解的方法，具有其独特的优势与局限。

矩阵分解实验报告

一、实验目的1. 理解矩阵分解的基本概念和重要性。

2. 掌握常用的矩阵分解方法，如LR分解、LDR分解和Cholesky分解。

3. 学习如何利用矩阵分解解决实际问题，如求解线性方程组和求矩阵的逆。

二、实验内容本实验主要涉及以下内容：1. 矩阵分解的基本概念和原理。

2. LR分解和LDR分解算法及其实现。

3. Cholesky分解算法及其实现。

4. 利用矩阵分解求解线性方程组和求矩阵的逆。

三、实验步骤1. LR分解和LDR分解（1）输入一个矩阵A。

（2）进行LR分解，得到单位下三角矩阵L和上三角矩阵R。

（3）进行LDR分解，得到单位下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵R。

（4）输出分解结果。

2. Cholesky分解（1）输入一个实对称正定矩阵A。

（2）进行Cholesky分解，得到下三角矩阵L。

（3）输出分解结果。

3. 求解线性方程组（1）输入系数矩阵A和常数向量b。

（2）利用LR分解或LDR分解求解线性方程组Ax=b。

（3）输出解向量x。

4. 求矩阵的逆（1）输入一个可逆矩阵A。

（2）利用LR分解或LDR分解求矩阵的逆。

（3）输出逆矩阵A^-1。

四、实验结果与分析1. LR分解和LDR分解实验结果表明，LR分解和LDR分解能够有效地将矩阵分解为所需的三角矩阵。

对于给定的矩阵A，分解结果如下：- LR分解：L和R分别为单位下三角矩阵和上三角矩阵。

- LDR分解：L为单位下三角矩阵，D为对角矩阵，R为上三角矩阵。

2. Cholesky分解实验结果表明，Cholesky分解能够有效地将实对称正定矩阵分解为下三角矩阵。

对于给定的实对称正定矩阵A，分解结果如下：- Cholesky分解：L为下三角矩阵。

3. 求解线性方程组实验结果表明，利用LR分解或LDR分解求解线性方程组是有效的。

对于给定的系数矩阵A和常数向量b，求解结果如下：- 解向量x。

4. 求矩阵的逆实验结果表明，利用LR分解或LDR分解求矩阵的逆是有效的。

matlab cholesky分解半正定

在探讨MATLAB中的Cholesky分解前，首先需要了解什么是Cholesky分解以及半正定矩阵的概念。

Cholesky分解是将对称正定矩阵表示为下三角矩阵L和其转置的乘积的分解方法，而半正定矩阵是指矩阵的特征值均为非负数的矩阵。

现在，让我们来深入地了解和探讨这个主题。

1. Cholesky分解的概念Cholesky分解是一种矩阵分解的方法，适用于对称正定矩阵。

对于一个n阶的对称正定矩阵A，Cholesky分解将其表示为一个下三角矩阵L及其转置的乘积：A=LL^T。

这种分解方法有许多应用，例如在线性方程组的求解、矩阵的求逆以及概率统计等领域。

2. MATLAB中的Cholesky分解方法在MATLAB中，可以使用“chol”函数来进行Cholesky分解。

通过调用该函数，可以直接得到对称正定矩阵的下三角矩阵L，然后利用L 来进行进一步的计算和分析。

值得注意的是，在使用“chol”函数时，需要确保输入的矩阵是对称正定的，否则会出现错误。

3. 半正定矩阵的特点和应用半正定矩阵是指矩阵的所有特征值均为非负数的矩阵。

在实际应用中，半正定矩阵经常出现在最优化问题、统计学中以及信号处理领域。

在最优化问题中，半正定矩阵常常出现在目标函数的Hessian矩阵，而在统计学中，半正定矩阵则与协方差矩阵密切相关。

4. 个人观点和理解在我看来，Cholesky分解是一种非常有效的矩阵分解方法，尤其适用于对称正定矩阵。

通过将矩阵表示为下三角矩阵的乘积形式，可以方便地进行矩阵运算和分析，极大地简化了问题的复杂性。

而半正定矩阵作为一个特殊类型的矩阵，在实际应用中也具有重要的作用，特别是在处理非线性优化问题和统计推断时。

总结而言，Cholesky分解和半正定矩阵是线性代数和数值计算中的重要内容，对于深入理解和应用这些方法，需要不断地探讨和实践。

在MATLAB中，通过使用“chol”函数可以方便地进行Cholesky分解，而对于半正定矩阵的处理，则需要结合具体的问题和应用场景进行分析和求解。

正定分解定理

正定分解定理正定分解定理是线性代数中一个重要的定理，它指出任何一个正定矩阵都可以分解为唯一的对称正定矩阵的平方根的乘积。

这个定理由数学家Cholesky于19世纪提出，至今仍然被广泛应用于各个领域，例如数值计算和统计学等。

首先，我们先来看一下什么是正定矩阵。

一个n阶实对称矩阵A称为正定的，当且仅当对于任意非零实向量x，都有x'Ax > 0，其中x'是x的转置。

也就是说，正定矩阵的特征值都是正实数。

正定分解定理指出，对于任意一个n阶实正定矩阵A，存在一个对称正定矩阵B，使得A可以唯一地表示为B的平方根的乘积，即A=B^2。

其中，B^2表示矩阵B自身与自己的转置的乘积。

证明这个定理的关键在于如何找到对称正定矩阵B。

我们可以利用数学归纳法来证明。

当n=1时，A表示一个实数，显然A 是正定矩阵，且其平方根就是其本身。

假设当n=k时，定理成立。

我们来证明当n=k+1时，定理也成立。

设A为(k+1)阶正定矩阵，可以将A表示为如下的分块矩阵形式：A = [A11 A12][A21 A22]其中，A11为k阶矩阵，A22为1阶矩阵。

根据正定矩阵的定义，A11是正定矩阵。

我们可以找到一个对称正定矩阵B11，使得A11可以表示为B11的平方根的乘积，即A11=B11^2。

现在，我们来考虑对称正定矩阵B22。

根据矩阵的性质，我们可以将A表示为如下的形式：A = [A11^(1/2) 0][A21*A11^(-1/2) A22-A21*A11^(-1/2)*A12]其中，A21*A11^(-1/2)表示矩阵A21与矩阵A11^(-1/2)乘积，A11^(-1/2)*A12表示矩阵A11^(-1/2)与矩阵A12乘积。

我们可以找到一个对称矩阵B21，使得B22可以表示为B21的平方根的乘积，即B22=B21^2。

同样地，我们可以找到一个对称矩阵B12，使得A21*A11^(-1/2)=B21*B12。

cholesky分解逆矩阵 -回复

cholesky分解逆矩阵-回复什么是Cholesky 分解以及如何用它来计算矩阵的逆？Cholesky 分解和矩阵的逆是线性代数中的重要概念和计算工具。

它们在各个领域中都有广泛的应用，特别是在数值分析和统计学中。

Cholesky 分解是将一个对称正定矩阵表示为一个下三角矩阵的转置乘以其自身的分解，而矩阵的逆则是将原始矩阵与其分解结果相乘得到单位矩阵。

在本文中，我们将逐步介绍Cholesky 分解的概念和步骤，以及如何使用Cholesky 分解来计算矩阵的逆。

首先，让我们从Cholesky 分解开始。

Cholesky 分解的目的是将一个对称正定矩阵A 分解成一个下三角矩阵L 和其转置的乘积：A = LL^T。

其中，矩阵L 的主对角线元素为正数。

Cholesky 分解的一大优势在于它的计算量较小，并且只需求解一次线性方程组。

现在，让我们来看看Cholesky 分解的步骤。

首先，我们需要确保矩阵A 是对称正定的。

如果矩阵A 不满足这个条件，那么Cholesky 分解方法将无法进行。

对于对称正定矩阵，我们可以使用一些定理和判据进行验证，比如Sylvester 判据或所有特征值都为正。

一旦我们确定矩阵A 是对称正定的，我们可以开始进行Cholesky 分解。

步骤1：初始化我们首先定义一个n ×n 的下三角矩阵L 来存储分解得到的结果。

初始化L 的主对角线元素为0。

这是因为Cholesky 分解的特点是它的主对角线元素都是正数。

步骤2：计算分解元素在这一步中，我们需要计算矩阵L 的非对角线元素。

为了减少计算量，我们可以使用递推公式来计算这些元素。

具体来说，我们计算公式如下：L(i, j) = (A(i, j) - Σ_{k=1}^{j-1} L(i, k) ×L(j, k)) / L(j, j)其中，1 ≤j < i ≤n。

在这个公式中，Σ表示求和。

重复进行这个计算，直到计算完所有的L(i, j) 元素。

cholesky 分解的matlab代码

Cholesky分解是一个将对称正定矩阵分解为下三角矩阵的方法。

在数学和工程领域中，Cholesky分解在解线性方程组、最小二乘法以及卡尔曼滤波等问题中得到了广泛的应用。

本文将以Matlab代码的形式介绍Cholesky分解的实现方法，希望对读者在进行相关计算时有所帮助。

Cholesky分解的Matlab代码如下：```matlabfunction L = cholesky(A)[m, n] = size(A);if m ~= nerror('Input matrix must be square!');endL = zeros(n, n);for j = 1:nfor i = 1:jif i == jL(j, j) = sqrt(A(j, j) - sum(L(j, 1:j-1).^2));elseL(j, i) = (A(j, i) - sum(L(j, 1:i-1).*L(i, 1:i-1))) / L(i, i);endendif L(j, j) <= 0error('Input matrix must be positive definite!');endendend```以上代码实现了Cholesky分解的核心算法，接下来我们将对该代码进行逐行解释。

1. 第一行是函数声明语句，表示定义了一个名为cholesky的函数，该函数接受一个输入参数A，并返回一个下三角矩阵L。

2. [m, n] = size(A)语句用于获取输入矩阵A的行数和列数，并将其分别赋值给变量m和n。

3. if m ~= n语句用于判断输入矩阵A是否为方阵，若不是则抛出错误提示。

4. 接下来初始化一个全零矩阵L，该矩阵的维度与输入矩阵A相同。

5. 外层for循环遍历矩阵A的列，内层for循环遍历矩阵A的行。

6. if i == j语句用于判断当前元素是否位于对角线上，若是则计算该位置处L矩阵的值。

协方差矩阵的cholesky分解

协方差矩阵的cholesky分解
协方差矩阵的Cholesky分解又称为协方差矩阵的平方根分解，是一种将对称正定矩阵分解为下三角矩阵L和其转置的乘积的方法。

具体地，给定一个p维随机变量X的协方差矩阵Σ，其Cholesky分解可以表示为：
Σ = LL^T
其中，L是一个p×p的下三角矩阵，且它的对角线元素都是正数。

该分解的矩阵L可以通过下面的算法求解：
1. 令L的第一列的第一个元素为L[1,1]=sqrt(Σ[1,1])
2. 对于L的第二列到第p列，依次按下列方式计算：
L[i,j]=\frac{1}{L[j,j]}\left(\Sigma[i,j]-\sum_{k=1}^{j-
1}L[i,k]L[j,k]\right)
协方差矩阵的Cholesky分解可以用于随机变量的模拟、线性回归、主成分分析等多方面的应用。

JA2-3-对称矩阵的LDLT分解

第3讲(1)§2.3 对称矩阵的LDL T 分解一、原理1. 对称矩阵的T LDL 分解().,~),~,,(~,,~~ ~~.~~ˆ1/1//1 .),,,2,1(0, 2221111112221122211211T T TT T T T TT n n nn nn n n i T LDL A L R R D L R LD A LR A DL R R LD L D R RLD A A R LD A R D r r r r r r r r r r r r r r r R LR A n i D A A A ========⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===≠=从而有唯一分解故有为上三角形均是唯一的为对角形三角形是下即分解式是唯一的故分解式唯一的在这里所给条件下由第一节定理知即得由则若改写则有的各阶顺序主子式且设2. 正定矩阵的平方根法——乔列斯基（Cholesky ）分解 .~~ ,~~,~~~~~ ).,,2,1(0,,,)( 2211222222111T T nn ii n nn T T T T L L A D L L D D D D D r r r D n i r y r y r y r Dy y Ax x f x L y A A A ====⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==>+++=====于是有分解式再记则记故有正定二次型令为正定矩阵时且当特别地二、算法只需对A 的LR 分解程序改略作改动即可——略三、举例..1320143111232111131125212112121320111321121131113411115411411ˆ,132011132112,1131113411115411411ˆ1320131113411111113115414345411411114111711111341111111311541434541141111447414341414745414345411411114, .2011021111311114 :))((2.5)(P33 2_3_1 Ex. TT LL A D L L D LA LR Colittle A A Cholesky LL A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=此时有分解有的作对按紧凑格式分解解分解乔列斯基的形式分解为将下列矩阵例Maple 程序:——参文件Ex2_3_1.mws.2.6)(P34 2_3_2 Ex. 略根法解方程组用平方根或改进的平方例--练习题：.,,2,1,0 ,,2,1,11|||||||||||0 .****0******0*0**00**0 ,**0,*00,**0)P31( ),,2,1(0,, 1.22n k r n k r r r r r L D L L D L A L D L L D L L L D L LDL A L L D D L L n i r D LDL A A A A kk kk qq kk qq Tk k k T k k k k T k k k T k k k k T k k kTT k T k kii T T =>∴==⋅⋅=⋅⋅==<∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==>==且则记）参证的主对角线上元素中用分块阵证明正定且设程序> restart;> with(linalg): > Gauss:=proc(A) > local k,i,j,l,n;> n:=vectdim(col(A,1)); > for k from 1 to n-1 do > for i from k+1 to n do> A[i,k]:=A[i,k]/A[k,k]; > for j from k+1 to n do> A[i,j]:=A[i,j]-A[i,k]*A[k,j]; > od; > od;> print(A); > od; > end:Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected> B:=matrix(4,4,[4,1,1,1,1,3,-1,1,1,-1,2,0,1,1,0,2]);:= B ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥411113-111-1201102 > Gauss(B);⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥411114114-543414-5474-141434-1474 ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥411114114-543414-511131********* ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥411114114-543414-5111311111143111132013 > matrix([[7, 8, 11], [5/7, -33/7, -76/7], [1/7, -2/11, -6/11]])>。