小学奥数教程之比例应用题(一).教师版 (127)

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；

4、单位“1”变化的比例问题

5、方程解比例应用题

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ； 性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；

性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比．

二、主要比例转化实例

①

x

a y

b =

⇒

y b x a =； x y

a b =； a b x y

=； ②

x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③

x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b

x a --=； x y a b x y a b

++=-- ；

④

x a y

b

=，y c z d = ⇒ x a c z b d =；::::x y z ac bc bd =；

⑤ x 的c a

等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc

ad ．

三、按比例分配与和差关系

⑴按比例分配

例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到

ax a b +个，乙分配到bx

a b

+个. 知识点拨

教学目标

比例应用题（一）

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为

ax

a b

-，B 的元素数量为

bx

a b

-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是

成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5. 赋值解比例问题

模块一、比例转化

【例 1】 甲、乙、丙三个数，已知甲:（乙+丙）4:3=，乙:丙2:7=，求甲:乙:丙。 【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 由:2:7=乙丙可得到():2:9+=乙乙丙，():7:9+=丙乙丙，而():4:3+=甲乙丙， 所以：427

::::12:2:7399

==甲乙丙．

【答案】12:2:7

【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的

23，那么甲的2

3

、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？

【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 甲的一半、乙的2倍、丙的

2

3这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为()121:12:123⎛⎫⎛⎫

÷÷÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

即132::22，化简为4:1:3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为()214:12:332⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即8

3:2:3

2，化简为16:12:9.

【答案】16:12:9

【例 3】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的

13，乙等于甲、丙两数和的1

2

，丙等于甲、乙两数和的

5

7

，求甲:乙:丙. 例题精讲

【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 由甲等于乙、丙两数和的13，得到甲等于三个数和的

11

3+14

=，同样的乙等于甲、丙两数和的112+13

=，同样的丙等于甲、乙两个数和的

557512=+ ，所以甲:乙:丙115

::3:4:54312==． 【答案】3:4:5

【例 4】 甲、乙两个工人上班，甲比乙多走15的路程，而乙比甲的时间少111

，甲、乙的速度比是 ．

【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】2008年，清华附中 【解析】 甲走的路程是乙走的路程的

65，甲用的时间是乙用的时间的11

10

，所以甲的速度是乙的速度的61112

51011

÷=，即甲、乙的速度比是12:11． 【答案】12:11

【例 5】 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的

43是草地；圆的7

6

是竹林；竹林比草地多占地450平方米． 问：水池占多少平方米?

【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 正方形的

43是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份；圆的7

6

是竹林，水池占1份，竹林的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份。3份的面积是450平方米，可见1份面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。

【答案】150

【例 6】 如下图所示，圆B 与圆C 的面积之和等于圆A 面积的

4

5

，且圆A 中的阴影部分面积占圆A 面积的16，圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的15，圆C 的阴影部分面积占圆C 面积的13．求圆A 、

圆B 、圆C 的面积之比．

【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设A 与B 的共同部分的面积为x ，A 与C 的共同部分的面积为y ，则根据题意有

()()564A B C x y =

+=+，5B x =，3C y =，于是得到()56453B C B C ⎛⎫

+=+ ⎪⎝⎭

，这条式子可化简为15B C =，所以()5

204

A B C C =+=.最后得到::20:15:1A B C =.

【答案】::20:15:1A B C =