流体力学量纲分析(课堂PPT)
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工程流体力学教学课件PPT量纲分析与相似原理
•流速：dim v＝LT－1 •密度：dim ρ＝ML－3 •力： dim F＝MLT－2
对于任何物理量〔如以A表示〕，其量纲可表示为
diA m L TM
2.根本物理量：具有独立性，但不具唯一性
在工程流体力学中，假设不考虑温度变化，通常 取3个相互独立的物理量作为根本量。
根本量与导出量适当组合可以构成无量纲量。
初始条件和边界条件的相似是保证流动相似 的必要条件。
说明：
•几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§4-4 流动相似准那 么
流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。这 个物理方程即相似准那么。
一、弗劳德准那么:重力相似
而这些变量中含有m个根本物理量，那么可组合这
些变量成为〔n - m〕个无量纲π数的函数关系，
即
(1 ,2 ,..n m .) ,0
§4-3 流动相似的根本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
•长度比尺：
l
lp lm
•面积比尺： A
Ap Am
l2
•体积比尺：V
Vp Vm
者对应的弗劳德数Frv/ gl 必须相等。
二、雷诺准那么：黏性力相似
要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，那么根据动力相 似要求有：
FT FI
式中，黏性力比尺：
FT
(A
du dy
)
p
(A
du dy
)m
lv
l v
惯性力比尺:
FI
(Va) p (Va)m
l 3a
l 2v2
对于任何物理量〔如以A表示〕，其量纲可表示为
diA m L TM
2.根本物理量：具有独立性，但不具唯一性
在工程流体力学中，假设不考虑温度变化，通常 取3个相互独立的物理量作为根本量。
根本量与导出量适当组合可以构成无量纲量。
初始条件和边界条件的相似是保证流动相似 的必要条件。
说明：
•几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§4-4 流动相似准那 么
流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。这 个物理方程即相似准那么。
一、弗劳德准那么:重力相似
而这些变量中含有m个根本物理量，那么可组合这
些变量成为〔n - m〕个无量纲π数的函数关系，
即
(1 ,2 ,..n m .) ,0
§4-3 流动相似的根本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
•长度比尺：
l
lp lm
•面积比尺： A
Ap Am
l2
•体积比尺：V
Vp Vm
者对应的弗劳德数Frv/ gl 必须相等。
二、雷诺准那么：黏性力相似
要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，那么根据动力相 似要求有：
FT FI
式中，黏性力比尺：
FT
(A
du dy
)
p
(A
du dy
)m
lv
l v
惯性力比尺:
FI
(Va) p (Va)m
l 3a
l 2v2
量纲分析与相似原理ppt课件
三个独立的无量纲量：Eu、Re、Fr
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
流体力学完整版课件全套ppt教程
阻力系数 0.4 阻力系数 0.2 阻力系数 0.137
前言
火车站台安全线
本章小结
【学习目标】 1. 理解流体力学的学科定义； 2. 了解流体力学的发展简史； 3. 熟悉流体力学的研究方法 。
工程流体力学
中国矿业大学电力学院
§1.1 流体的定义 §1.2 连续介质假说 §1.3 流体的物理性质
流体在受到外部剪切力作用时会发生变形，其内部相应会 产生对变形的抵抗，并以内摩擦力的形式表现出来。
➢ 粘性的定义
流体的粘性就是阻止发生剪切变形的一种特性，内摩擦力则 是粘性的动力表现。
§1.3 流体的物理性质
➢ 牛顿的平板实验
实验装置：2块平板，平板间充满流体。
实验过程：用力拉动液面上的平板，直 到平板匀速前进。
前言
曹冲（公元196-208年）称象
孙权 曾 致 巨 象 ， 太祖欲知其斤重， 访之群下，咸莫能 出其理。冲曰： “置象大船之上， 而刻其水痕所至， 称物以载之，则校 可知矣。”太祖悦， 即施行焉。
前言
都江堰（公元前256年，李冰父子修都江堰）
战国时期，秦国蜀郡太 守李冰和他的儿子，修建 了著名的都江堰水利工程。 都江堰的整体规划是将岷 江水流分成两条，其中一 条引入成都平原，这样既 可以分洪减灾，又可以引 水灌田、变害为利。
前言
二、流体力学的研究方法
2. 实验室模拟
➢ 作用：实验模拟能显示运动特点及其主要趋势，实验结果可 检验理论的正确性。
➢ 优点：能直接解决生产中的复杂问题，能发现流动中的新现 象和新原理，它的结果可以作为检验其他方法是否正确的依 据。
➢ 缺点：对不同情况，需作不同的实验，所得结果的普适性较 差。
前言
最新流体力学-(9)ppt课件
设不可压缩牛顿粘性流体在一内壁粗糙直圆管中作定常流动， 试用量纲分析法分析沿管道的压强降低与相关物理量的关系。 解：按照量纲分析的一般步骤。
1. 列举物理量。 设本例中有关物理量为Δp（压强降低），V（平均速度）， d（圆管直径），ε（壁面粗糙度，即壁面上粗糙凸起的平 均高度），ρ（流体密度），μ（流体的粘度系数），l （管长度），共7个，组成关系式为
p (,V , d, , ,l)
2．选择基本量（3个）：ρ、V、d
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
3．列П表达式（应该有7-3 = 4个，本步与下一步合并） 4．求解П数
① П1=ρa V bd cΔp
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
B5.2.2 量纲分析法
1
FD V 2d 2
CD
(C D 称为阻力系数 )
2 的量纲幂次式为：
M 0 L0T 0 ( ML 3 ) a 2 ( LT )1 b2 Lc 2 ( ML 1T 1 )
M : a2 1 0
L
:
3a 2b2
c2
-1
0
T : b2 1 0
解得 a 2 1，b2 1，c2 1
M : a 1 0
L
:
3a
b
c
1
0
T : b 2 0
解得：a = -1, b = -2, c = 0
1
1
p
V 2
Eu
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
2
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
② П2 =ρa V bd cμ M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
1. 列举物理量。 设本例中有关物理量为Δp（压强降低），V（平均速度）， d（圆管直径），ε（壁面粗糙度，即壁面上粗糙凸起的平 均高度），ρ（流体密度），μ（流体的粘度系数），l （管长度），共7个，组成关系式为
p (,V , d, , ,l)
2．选择基本量（3个）：ρ、V、d
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
3．列П表达式（应该有7-3 = 4个，本步与下一步合并） 4．求解П数
① П1=ρa V bd cΔp
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
B5.2.2 量纲分析法
1
FD V 2d 2
CD
(C D 称为阻力系数 )
2 的量纲幂次式为：
M 0 L0T 0 ( ML 3 ) a 2 ( LT )1 b2 Lc 2 ( ML 1T 1 )
M : a2 1 0
L
:
3a 2b2
c2
-1
0
T : b2 1 0
解得 a 2 1，b2 1，c2 1
M : a 1 0
L
:
3a
b
c
1
0
T : b 2 0
解得：a = -1, b = -2, c = 0
1
1
p
V 2
Eu
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
2
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
② П2 =ρa V bd cμ M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
量纲分析流体力学PPT
F A h
轴承润滑
• 哈里森轴承数
量纲为1
对于 如果求载重W,则 若求摩擦阻力F，则其求法与载重一样即 F /( P0 R ) f 1 ( , h / R , )
2
轴承润滑
• 单位载重的摩擦力: • 模型试验相似准数：
模型与原型具 有相同的 v
水波
• 1.水波
• 水波的运动情况及影响因素？
水波
• 控制参数：惯性（用 来表征 ）、恢复力（用g来表征）、表面张 力 T s ，水深H • 波形的特征参数：波长 和振幅 a • 在不考虑表面张力的情况下 • 易得到
• •
1.水波波速与波长相关，故为色散波 2.波速与密度无关
水波
• （1）深水短波
？ 在这里对于 但是在这里， 个的组合， 拟合 ，就是指的对于深水短波，本来 = k (a / ) 本身就是量纲为一，函数参数只有一个而不是几 而且 a / 很小时候，只有取 为0，才能与实验
轴承润滑
• 1.轴承润滑
• 系统所受到的力：惯性力、粘性力、压力 • 由偏心引起 • 各参数之间的函数关系 • 问题：忽略惯性力的理由？ 相对运动引起 轴承担负载引起
轴承润滑
• 取 作为基本量，对各个参数进行无量纲化得到
•
或
•
代表粘性力与环境压力之比？
压强乘以面积
轴承润滑
• 粘度系数的意义：
• 我们知道弄擦阻力F与速度成正比，与两个板件之间的距离成反比， 与面积也是正比关系即 U
管流
• 摩擦系数 C
d
• 由前面的公式 也就是说摩擦系数和前面对单 位长度压差无量纲化的结果都是雷诺数的函数 或 下面有两个概念：层流和湍流 问题：层流中为什么惯性不重要？
轴承润滑
• 哈里森轴承数
量纲为1
对于 如果求载重W,则 若求摩擦阻力F，则其求法与载重一样即 F /( P0 R ) f 1 ( , h / R , )
2
轴承润滑
• 单位载重的摩擦力: • 模型试验相似准数：
模型与原型具 有相同的 v
水波
• 1.水波
• 水波的运动情况及影响因素？
水波
• 控制参数：惯性（用 来表征 ）、恢复力（用g来表征）、表面张 力 T s ，水深H • 波形的特征参数：波长 和振幅 a • 在不考虑表面张力的情况下 • 易得到
• •
1.水波波速与波长相关，故为色散波 2.波速与密度无关
水波
• （1）深水短波
？ 在这里对于 但是在这里， 个的组合， 拟合 ，就是指的对于深水短波，本来 = k (a / ) 本身就是量纲为一，函数参数只有一个而不是几 而且 a / 很小时候，只有取 为0，才能与实验
轴承润滑
• 1.轴承润滑
• 系统所受到的力：惯性力、粘性力、压力 • 由偏心引起 • 各参数之间的函数关系 • 问题：忽略惯性力的理由？ 相对运动引起 轴承担负载引起
轴承润滑
• 取 作为基本量，对各个参数进行无量纲化得到
•
或
•
代表粘性力与环境压力之比？
压强乘以面积
轴承润滑
• 粘度系数的意义：
• 我们知道弄擦阻力F与速度成正比，与两个板件之间的距离成反比， 与面积也是正比关系即 U
管流
• 摩擦系数 C
d
• 由前面的公式 也就是说摩擦系数和前面对单 位长度压差无量纲化的结果都是雷诺数的函数 或 下面有两个概念：层流和湍流 问题：层流中为什么惯性不重要？
流体力学精品课件：第7章 相似原理和量纲分析(32学时)
单位：上海地面交通工具风洞中心 工程期限：2005年—2009年 地点：同济大学嘉定校区 工程总投资：4.9 亿 风机功率：4125 千瓦 加速性能：30秒内可加速
到250km/h
§7.1 相似原理
➢ 法拉利F1汽车风洞
§7.2 量纲分析与π定理
一、物理方程量纲一致性原则 ➢ 量纲的定义
'V ' g' Vg
k kl3k g
由牛顿第二定律，有： kF 1
k
k
2 l
k
2 v
kv 1 (kl k g )1/ 2
弗劳德数：
Fr v (gl)1/ 2
弗劳德数是作用在流体上的惯性力与重力的比值。 在重力相似时， Fr Fr' ，这就是重力相似准则。
§7.1 相似原理
3. 压力相似准则
牛顿相似准则要求模型和原型的所有单项力（如粘性 力、重力、压力、弹性力等）均相似。
如果只考虑作用在流体上的某种单项力，则牛顿相似 准则便退化为单项力相似准则。
§7.1 相似原理
1. 粘性力相似准则
在粘性力作用下的相似流动，其粘性力必须相似。
kF
F ' F
'(dvx ' / dy')A' (dvx / dy)A
在压力作用下的相似流动，其压强场必须相似。
kF
Fp ' Fp
p' A' pA
k p kl2
由牛顿第二定律，有：
kF
k
kl2
k
2 v
1
kp 1 k kv2
欧拉数：
Eu
p
v 2
或
Eu
p
v 2
欧拉数是作用在流体上的惯性力与总压力的比值。 在压力相似时， Eu Eu' ，这就是压力相似准则。
到250km/h
§7.1 相似原理
➢ 法拉利F1汽车风洞
§7.2 量纲分析与π定理
一、物理方程量纲一致性原则 ➢ 量纲的定义
'V ' g' Vg
k kl3k g
由牛顿第二定律，有： kF 1
k
k
2 l
k
2 v
kv 1 (kl k g )1/ 2
弗劳德数：
Fr v (gl)1/ 2
弗劳德数是作用在流体上的惯性力与重力的比值。 在重力相似时， Fr Fr' ，这就是重力相似准则。
§7.1 相似原理
3. 压力相似准则
牛顿相似准则要求模型和原型的所有单项力（如粘性 力、重力、压力、弹性力等）均相似。
如果只考虑作用在流体上的某种单项力，则牛顿相似 准则便退化为单项力相似准则。
§7.1 相似原理
1. 粘性力相似准则
在粘性力作用下的相似流动，其粘性力必须相似。
kF
F ' F
'(dvx ' / dy')A' (dvx / dy)A
在压力作用下的相似流动，其压强场必须相似。
kF
Fp ' Fp
p' A' pA
k p kl2
由牛顿第二定律，有：
kF
k
kl2
k
2 v
1
kp 1 k kv2
欧拉数：
Eu
p
v 2
或
Eu
p
v 2
欧拉数是作用在流体上的惯性力与总压力的比值。 在压力相似时， Eu Eu' ，这就是压力相似准则。
流体力学相似原理和量纲分析PPT
1
k kl kv2 1
k
v2l v2l We
We——韦伯数，惯性力与张力的比值。
§5.3 流动相似条件
一、流动相似条件
保证流动相似的必要和充分条件。
1.相似的流动都属于同一类的流动，应为相同的微分方程 所描述。 2.单值条件相似。
几何条件 边界条件（进口、出口的速度分布等） 物性条件（密度、粘度等） 初始条件（初瞬时速度分布等） 3.由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
模型与原型用同一种流体时，k k 1
故： kv
1 kl
3.压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场相似。
kF
Fp Fp
pA pA
k pkl2
代入
kF 1
k kl2kv2
k p
k kv2
1
p
v2
p
v2
Eu
Eu——欧拉数，总压力与重力的比值。
【解】 要保证二流动相似，它们的雷诺数和韦伯数必
须相等，即
或 故有
'v'l' vl '
'v'2 l' v2l '
kvkl 1
kv2kl k
kv
k
0.07348 0.04409
1.667
kv
1 kl
k kl kv2 1 k
kl 1 kv 11.6670.6
k kl3kvkt1
代入
kF k kl2kv2
1
kl 1 kvkt
l l Sr vt vt
Sr—— 斯特劳哈尔数，当地惯性力与迁移惯性力的比值。
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如质量力、表面力、动量等
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV
q'V qV
l '3 l3 t'
t
Cl3 Ct
Cl 2Cv
（4-7）
运动粘度比例尺:
Cv
v' v
l'2 t'
l2 t
Cl 2 Ct
ClCv
（4-8）
长度比例尺和速度比例尺确 定所有运动学量的比例尺。
7
三 动力相似（时间相似）
定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对 应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，作 用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。
为卢卡斯数学教授。1672年起他被接纳为皇家学会会员，
1703年被选为皇家学会主席直到逝世。
1696年牛顿任造币厂监督，1699年升任厂长，1705年
因改革币制有功受封为爵士。1727年3月31日，牛顿因患肾
结石症医治无效，在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，葬于伦敦
威斯敏斯特教堂(westminster abbey)。
Fp '
Cp
p' p
A' Fp
CF CA
Cv2C
A
（4-10）
（4-11） （4-12）
9
功率比例尺:
CP
P' P
F ' v' Fv
CF Cv
Cl 2Cv3C
动力粘度比例尺:
C
'
' '
C C
ClCvC
（4-13） （4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
工程流体力学
第四章 相似原理和量纲分析
1
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法
理论分析 实验研究
由于受到尺寸和实验条件的限制， 实验一般很难在原型上进行，而是
按照一定的比例尺在模型上进行。
模型实验
数值模拟
以相似原理为基础, 推广到原型上。
本章主要介绍流体力学中的相似原理，
模型实验方法以及量纲分析法。
重力场中 g' g, Cg 1，则：
Cv
Cl
1 2
（a） 14
弗劳德
英国造船工程师，实验水力学专家。 1810年11月28日生于英国德文郡的达丁海 姆，1879年5月4日卒于英国托基。他曾在 牛津大学的奥里尔学院学习，也从事过土 木工程实践。36岁时开始从事船舶流体力 学研究。19世纪60年代，开始利用缩尺模 型研究船舶阻力。以后由英国海军部提供 经费，他在自己家的附近建造了一座模型 试验水槽，确定运动阻力的主要部分是表 面摩擦力和波。1870年当选为皇家学会委 员，1876年获皇家奖章。1855年造船工程 师学会出版了他的论文集。水力学中描述 惯性力与重力的无量纲数，后被命名为弗 劳德数。
当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等， 即 Ne' Ne ；反之亦然。这就是牛顿相似准则。 11
牛顿出生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯普。在牛顿出
生之前三个月，他的父亲就去世了，两年之后他的母亲改
嫁他人，把牛顿留给了他的祖母。牛顿的天才很早就展现
出来。
牛顿最开始在乡村学校读书，12岁的时候离家到格兰
们确定所有动力学量的比例尺。
10
第二节 动力相似准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
由式 (4-10) 得:
CF 1 C Cl2Cv2
或:
F' F
'l'2 v'2 l 2v2
令:
F Ne
l2v2
（4-15） （4-16） （4-17）
Ne 称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。
是牛顿对于当代哲学家的思想更感兴趣，比如，笛卡尔、
伽利略、哥白尼、开普勒等等。在1665年他发现了二项式
定理，同一年他获得了文学学士学位。不久就爆发了瘟疫，
学校被迫关闭，牛顿回到家乡继续他的研究。在接下来的
两年之内，牛顿在微积分、光学和重力问题上做出了卓越
的工作。
1667年牛顿重返剑桥大学。1669年10月27日牛顿被选
CF 1
C
C
2 l
C
2 v
（4-15）
将重力比
CF
W' W
'V ' g' Vg
C Cl 3C g 带入式(4-15)得：
或:
Cv 1
ClCg
1 2
v'
v
g
'
l
'
1 2
gl
1 2
（4-18） （4-19）
Fr 称为弗劳德数， 它是惯性力与重力 的比值。
令:
v Fr
gl
1 2
（4-20）
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等， 即 Fr' Fr；反之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。
瑟文法学校就读。在格兰瑟他寄宿在当地的一个药剂师家
中并最终和这名药剂师的继女订了婚。1661年，也就是18
岁的时候，牛顿进入剑桥大学三一学院学习。在那里，牛 顿沉静在学习之中而疏忽了未婚妻，药剂师的继女就嫁给
牛顿（Newton,
了别人。牛顿后来终身未婚。
1643—1727年）
在那个时代，大学里仅仅教授亚里士 多德的理论，但
2
第一节 流动的力学相似
相似的概念最早出自几何学。两个三角形相似，对应边成比
例，对应角相等。
两个流场的力学相似：在流动空间的各对应点上和各对应时 刻，表征流动过程的所有物理量各自互成比例。
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
12
流场中有各种性质的力，但不论是哪种力， 只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿 相似准则。
一、重力相似准则（弗劳德准则）
二、粘性力相似准则（雷诺准则） 三、压力相似准则（欧拉准则） 四、弹性力相似准则(柯西准则) 五、表面张力相似准则（韦伯准则） 六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）
13
一、重力相似准则
CA
A' l'2 A l2
Cl 2
CV
V ' l'3 V l3
Cl 3
满足上述条件，流 动才能几何相似
（4-2） （4-3）
图4-1 几何相似 5
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比 例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV
q'V qV
l '3 l3 t'
t
Cl3 Ct
Cl 2Cv
（4-7）
运动粘度比例尺:
Cv
v' v
l'2 t'
l2 t
Cl 2 Ct
ClCv
（4-8）
长度比例尺和速度比例尺确 定所有运动学量的比例尺。
7
三 动力相似（时间相似）
定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对 应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，作 用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。
为卢卡斯数学教授。1672年起他被接纳为皇家学会会员，
1703年被选为皇家学会主席直到逝世。
1696年牛顿任造币厂监督，1699年升任厂长，1705年
因改革币制有功受封为爵士。1727年3月31日，牛顿因患肾
结石症医治无效，在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，葬于伦敦
威斯敏斯特教堂(westminster abbey)。
Fp '
Cp
p' p
A' Fp
CF CA
Cv2C
A
（4-10）
（4-11） （4-12）
9
功率比例尺:
CP
P' P
F ' v' Fv
CF Cv
Cl 2Cv3C
动力粘度比例尺:
C
'
' '
C C
ClCvC
（4-13） （4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
工程流体力学
第四章 相似原理和量纲分析
1
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法
理论分析 实验研究
由于受到尺寸和实验条件的限制， 实验一般很难在原型上进行，而是
按照一定的比例尺在模型上进行。
模型实验
数值模拟
以相似原理为基础, 推广到原型上。
本章主要介绍流体力学中的相似原理，
模型实验方法以及量纲分析法。
重力场中 g' g, Cg 1，则：
Cv
Cl
1 2
（a） 14
弗劳德
英国造船工程师，实验水力学专家。 1810年11月28日生于英国德文郡的达丁海 姆，1879年5月4日卒于英国托基。他曾在 牛津大学的奥里尔学院学习，也从事过土 木工程实践。36岁时开始从事船舶流体力 学研究。19世纪60年代，开始利用缩尺模 型研究船舶阻力。以后由英国海军部提供 经费，他在自己家的附近建造了一座模型 试验水槽，确定运动阻力的主要部分是表 面摩擦力和波。1870年当选为皇家学会委 员，1876年获皇家奖章。1855年造船工程 师学会出版了他的论文集。水力学中描述 惯性力与重力的无量纲数，后被命名为弗 劳德数。
当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等， 即 Ne' Ne ；反之亦然。这就是牛顿相似准则。 11
牛顿出生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯普。在牛顿出
生之前三个月，他的父亲就去世了，两年之后他的母亲改
嫁他人，把牛顿留给了他的祖母。牛顿的天才很早就展现
出来。
牛顿最开始在乡村学校读书，12岁的时候离家到格兰
们确定所有动力学量的比例尺。
10
第二节 动力相似准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
由式 (4-10) 得:
CF 1 C Cl2Cv2
或:
F' F
'l'2 v'2 l 2v2
令:
F Ne
l2v2
（4-15） （4-16） （4-17）
Ne 称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。
是牛顿对于当代哲学家的思想更感兴趣，比如，笛卡尔、
伽利略、哥白尼、开普勒等等。在1665年他发现了二项式
定理，同一年他获得了文学学士学位。不久就爆发了瘟疫，
学校被迫关闭，牛顿回到家乡继续他的研究。在接下来的
两年之内，牛顿在微积分、光学和重力问题上做出了卓越
的工作。
1667年牛顿重返剑桥大学。1669年10月27日牛顿被选
CF 1
C
C
2 l
C
2 v
（4-15）
将重力比
CF
W' W
'V ' g' Vg
C Cl 3C g 带入式(4-15)得：
或:
Cv 1
ClCg
1 2
v'
v
g
'
l
'
1 2
gl
1 2
（4-18） （4-19）
Fr 称为弗劳德数， 它是惯性力与重力 的比值。
令:
v Fr
gl
1 2
（4-20）
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等， 即 Fr' Fr；反之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。
瑟文法学校就读。在格兰瑟他寄宿在当地的一个药剂师家
中并最终和这名药剂师的继女订了婚。1661年，也就是18
岁的时候，牛顿进入剑桥大学三一学院学习。在那里，牛 顿沉静在学习之中而疏忽了未婚妻，药剂师的继女就嫁给
牛顿（Newton,
了别人。牛顿后来终身未婚。
1643—1727年）
在那个时代，大学里仅仅教授亚里士 多德的理论，但
2
第一节 流动的力学相似
相似的概念最早出自几何学。两个三角形相似，对应边成比
例，对应角相等。
两个流场的力学相似：在流动空间的各对应点上和各对应时 刻，表征流动过程的所有物理量各自互成比例。
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
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流场中有各种性质的力，但不论是哪种力， 只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿 相似准则。
一、重力相似准则（弗劳德准则）
二、粘性力相似准则（雷诺准则） 三、压力相似准则（欧拉准则） 四、弹性力相似准则(柯西准则) 五、表面张力相似准则（韦伯准则） 六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）
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一、重力相似准则
CA
A' l'2 A l2
Cl 2
CV
V ' l'3 V l3
Cl 3
满足上述条件，流 动才能几何相似
（4-2） （4-3）
图4-1 几何相似 5
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比 例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。