流体力学量纲分析(课堂PPT)

Cl 2Cv
（4-7）
运动粘度比例尺:
Cv
v' v
l'2 t'
l2 t
Cl 2 Ct
ClCv
（4-8）
长度比例尺和速度比例尺确 定所有运动学量的比例尺。
7
三 动力相似（时间相似）
定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对 应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，作 用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。
CA
A' l'2 A l2
Cl 2
CV
V ' l'3 V l3
Cl 3
满足上述条件，流 动才能几何相似
（4-2） （4-3）
图4-1 几何相似 5
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比 例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。
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流场中有各种性质的力，但不论是哪种力， 只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿 相似准则。
一、重力相似准则（弗劳德准则）
二、粘性力相似准则（雷诺准则） 三、压力相似准则（欧拉准则） 四、弹性力相似准则(柯西准则) 五、表面张力相似准则（韦伯准则） 六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）
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一、重力相似准则
们确定所有动力学量的比例尺。
10
第二节 动力相似准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
由式 (4-10) 得:
CF 1 C Cl2Cv2
或:
F' F
'l'2 v'2 l 2v2
令:
F Ne
l2v2
（4-15） （4-16） （4-17）
Ne 称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。
是牛顿对于当代哲学家的思想更感兴趣，比如，笛卡尔、
伽利略、哥白尼、开普勒等等。在1665年他发现了二项式
定理，同一年他获得了文学学士学位。不久就爆发了瘟疫，
学校被迫关闭，牛顿回到家乡继续他的研究。在接下来的
两年之内，牛顿在微积分、光学和重力问题上做出了卓越
的工作。
1667年牛顿重返剑桥大学。1669年10月27日牛顿被选
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV
q'V qV
l '3 l3 t'
t
Cl3 Ct
瑟文法学校就读。在格兰瑟他寄宿在当地的一个药剂师家
中并最终和这名药剂师的继女订了婚。1661年，也就是18
岁的时候，牛顿进入剑桥大学三一学院学习。在那里，牛 顿沉静在学习之中而疏忽了未婚妻，药剂师的继女就嫁给
牛顿（Newton,
了别人。牛顿后来终身未婚。
1643—1727年）
在那个时代，大学里仅仅教授亚里士 多德的理论，但
当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等， 即 Ne' Ne ；反之亦然。这就是牛顿相似准则。 11
牛顿出生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯普。在牛顿出
生之前三个月，他的父亲就去世了，两年之后他的母亲改
嫁他人，把牛顿留给了他的祖母。牛顿的天才很早就展现
出来。
牛顿最开始在乡村学校读书，12岁的时候离家到格兰
Fp '
Cp
p' p
A' Fp
CF CA
Cv2C
A
（4-10）
（4-11） （4-12）
9
功率比例尺:
CP
P' P
F ' v' Fv
CF Cv
Cl 2Cv3C
动力粘度比例尺:
C
'
' '
C C
ClCvC
（4-13） （4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
2
第一节 流动的力学相似
相似的概念最早出自几何学。两个三角形相似，对应边成比
例，对应角相等。
两个流场的力学相似：在流动空间的各对应点上和各对应时 刻，表征流动过程的所有物理量各自互成比例。
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
工程流体力学
第四章 相似原理和量纲分析
1
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法
理论分析 实验研究
由于受到尺寸和实验条件的限制， 实验一般很难在原型上进行，而是
Βιβλιοθήκη Baidu按照一定的比例尺在模型上进行。
模型实验
数值模拟
以相似原理为基础, 推广到原型上。
本章主要介绍流体力学中的相似原理，
模型实验方法以及量纲分析法。
重力场中 g' g, Cg 1，则：
Cv
Cl
1 2
（a） 14
弗劳德
英国造船工程师，实验水力学专家。 1810年11月28日生于英国德文郡的达丁海 姆，1879年5月4日卒于英国托基。他曾在 牛津大学的奥里尔学院学习，也从事过土 木工程实践。36岁时开始从事船舶流体力 学研究。19世纪60年代，开始利用缩尺模 型研究船舶阻力。以后由英国海军部提供 经费，他在自己家的附近建造了一座模型 试验水槽，确定运动阻力的主要部分是表 面摩擦力和波。1870年当选为皇家学会委 员，1876年获皇家奖章。1855年造船工程 师学会出版了他的论文集。水力学中描述 惯性力与重力的无量纲数，后被命名为弗 劳德数。
如质量力、表面力、动量等
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L
l' l
h' h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
为卢卡斯数学教授。1672年起他被接纳为皇家学会会员，
1703年被选为皇家学会主席直到逝世。
1696年牛顿任造币厂监督，1699年升任厂长，1705年
因改革币制有功受封为爵士。1727年3月31日，牛顿因患肾
结石症医治无效，在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，葬于伦敦
威斯敏斯特教堂(westminster abbey)。
CF 1
C
C
2 l
C
2 v
（4-15）
将重力比
CF
W' W
'V ' g' Vg
C Cl 3C g 带入式(4-15)得：
或:
Cv 1
ClCg
1 2
v'
v
g
'
l
'
1 2
gl
1 2
（4-18） （4-19）
Fr 称为弗劳德数， 它是惯性力与重力 的比值。
令:
v Fr
gl
1 2
（4-20）
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等， 即 Fr' Fr；反之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。