完整281锐角三角函数课件

）
1
B.缩小 100
D.不能确定
B
1
11.
3 则 sinA=___2___ .
A 300
C
7
回味
无穷
1.正弦的定义:
B
sinA= ∠A的对边
斜边
斜边 A
∠A的对边
┌ C
1
2. Sin30° = 2
sin45°= 2 sin60°= 3
2
2
3.sinA是∠A的函数.
4.sinA是线段之间的一个比值 ，sinA没有单位
正弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角 A的
对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦（sine），记作 sinA，
即
sin
A?
?
A的对边 斜边
?
a c
c 斜边
B
a 对边
A
bC
例如，当∠ A＝30°时，我们有
sin A ? sin 30? ? 1 2
当∠A＝45°时，我们有
sin A ? sin 45? ? 2 2
28.1锐角三角函数（2）
——余弦 正切
正弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝ 90°，sinA ? ? A的对边 ? a
斜边 c
1、sinA是在直角三角形中定义的，∠ A是锐角. 2、sinA是一个比值（数值） . 3、sinA的大小只与∠ A的大小有关，而与直角三角形的边长 无关 .
特殊角的正弦函数值
探
角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35m，那么需 要准备多长的水管？
究
B
C A
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
这个问题可以归结为，在 Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
BC＝35m，求AB的长.
B
根据“在直角三角形中，
B
B 试着完成图（ 2）
3
13
5
A
4
C
(1)
C
(2)
解：如图（1），在Rt? ABC中，
AB ? AC2 ? BC2 ? 42 ? 32 ? 5.
因此 sin A ? BC ? 3，sin B ? AC ? 4 .
AB 5
AB 5
A
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
2
如图，任意画一个 Rt△ABC， A
使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比 BC ，
你能得出什么结论？ AB C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°
时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2
综上可知，在一个 Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2
，
5
A
Ｃ
B
8、如图2：P是平面直角坐标系上 y
的一点，且点 P的坐标为（ 3,4），
4
则sin ? =
5
?
O
A P( 3 , 4 )
x
9、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= 4，
求△ABCLeabharlann 的面积。5B5
5
A
C
练一练
10.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C A.扩大100倍 C.不变
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
情
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成
A' B'
系．你能解释一下吗？
B'
B
A
C A'
C'
? 由于∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'＝
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
? BC ? AB , B'C' A' B'
即 BC ? B'C' . AB A' B'
探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
sin 30? ? 1 ,sin 45? ? 2 ,sin 60? ? 3
2
2
2
复习与探究：
在 Rt? ABC中， ? C ? 90?
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
a
∠A的正弦： sinA
?
?
A的对边 斜边
? BC AB
?a c
C
2、当锐角 A确定时，∠ A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？
B
练习
3
1、如图，求sinA和sinB的值．
A
5
C
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0) 和B(0，-4)，则sin∠OAB等于__4__.
5
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
2
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___2.
4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, a ? 3 ,
30°角所对的直角边等于斜
边的一半”，即
A
C
?
A的对边 斜边
?
BC AB
?
1. 2
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的 水管。
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
50m 30m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 值都等于 1 。
是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值 .
一般地，当∠ A 取其他一定度数的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B'C，‘使得∠ C＝∠C'＝
? 90°，∠A＝∠A‘＝ ，那么 BC 与 B'C' 有什么关
AB
则sin∠A=___.
b3
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的（ B ）．
15 A． 15
B. 1 4
C. 1 3
D. 15 4
6.若sin（65°-∠A)= 2 ,则∠A= 20°
2
7.如图：3 在 sinB=
Rt△ABC中，∠ ， BC的长是
C=90°，
8．
AB=10
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
?sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦， 记号里习惯省去角的符号“∠”；
?sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比；
?sinA不表示“sin”乘以“A”。
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
新知探索 : 1、你能将“其他边之比”用比例的 B 式子表示出来吗？这样的比有多少？
c
a
ba
A
b
C
cb
2、当锐角 A确定时，∠ A的邻边与斜边的比， ∠A 的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并 说出理由。