2016年苍南县“姜立夫杯”高二数学竞赛

2016年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二试卷

考生注意事项：

1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.

2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）

1．已知集合2{|3100},{|121}A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-．当A

B =∅时，实数

m 的取值范围是（ ）

． A ．24m << B ．2m <或4m > C ．142m -<< D ．1

2

m <-或4m > 2．函数()f x 对于任意实数x 满足：()()

13f x f x +=-，若()02f =，则()2016f =（ ） A ．12-

B ．1

2

C ．2

D ．2- 3．已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，有||||OA OB kBC AC --≥，则ABC ∆一

定是（ ）

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

25235S a =，453325S a =，则6543

S

a 的值是（ ） A ．125 B ．85 C ．45 D ．35 5．已知1sin cos 63π⎛

⎫α+-α= ⎪⎝⎭，则2sin cos 6π⎛

⎫αα+= ⎪⎝

⎭（ ）

A ．518

-

B. 518

C. 79-

D. 79

6．已知三个不同的平面,,αβγ和两条不重合的直线,m n ，有下列4个命题： ①m n m n αα

β=，，则

②m m n n ⊥α⊂βα⊥β，，，则 ③α⊥βγ⊥βαγ，，则 ④m m α

β=⊥γα⊥γ，，则

其中正确命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．设,x y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩

，若02ax by ≤+≤恒成立，则22

a b +的最大值是（ ）

A ．1

B ．

89 C ．209

D ．4 8．已知函数()22030

x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩，

，的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a

的取值范围为（ ） A ．17(,2)8-- B ．17,28⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．171,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．171,16⎛⎫

⎪⎝⎭

二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）

9．若正实数,a b 满足284log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是 ▲

10．已知点P 是直线:40l kx y ++=()0k >上一动点，PA PB 、是圆22:20

C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则实数k 的值为 ▲ ．

11．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，DA 与平面ABC 所成的角为45，则二面角A DB C --的平面角的余弦值为

▲ ．

12.已知函数()2sin f x x =ω()

0ω>其中常数，若存在12,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭

π，204x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦

，π，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ▲ ．

13．已知()2()2x f x m n x nx =-⋅++，若{}{

}

()0(())0x f x x f f x ===

≠∅，则

m n +的取值范围为 ▲ ．

14．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+ （1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，

组成的区域。若区域D 的面积为8，则a b + 的最小值为 ▲

2016年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二答题卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）

9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________

三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）

15．已知向量(3sin cos )m x x =ωω，，(cos cos )n x x =ω-ω，()0ω>，函数()f x m n =∙的最小正周期为23

π

. (1)求ω的值；

(2)设三角形ABC 的三边c b a 、、满足：2

b a

c =，且边b 所对的角为x ，若关于x 的方程

()f x k =恰好只有1个实数解，求实数k 的取值范围.