应力波基础第五章

第五章 刚性卸载近似

5－2 有弹性――线性硬化材料的两有限长杆（长度为L ），其弹性波速C 0相等，塑性波速C 1分别为C 0/3和C 0/5。它们均以5倍的屈服速度分别撞击刚性靶，如图Ⅳ－34所示。试分别画出x －t 图和v －σ图，并确定这两根杆脱离靶板的时间。 解：图解如下： （1），塑性波速C 1为C 0/3。

σ

y

由图中看出，v －σ图上的17点已为拉应力，故应脱靶。由x －t 图可得其脱靶时间为3.5L/C 0。 （2）、 塑性波速C 1为C 0/5。

y

X

图Ⅳ－34 长为v

由图中看出，v －σ图上的17已为拉应力，故应脱靶。由x －t 图可得其脱靶时间为38L/（9C 0）。

5－5半无限长杆的材料为弹性－线性硬化材料，其弹性波速C 0和塑性波速C 1均已知，且C 1＝C 0/10。若在杆端作用一如图Ⅳ－35所示的应力载荷)(t σ，试采用刚性卸载近似来确定杆中残余应变段的长度。 解：如图所示。

∵ ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

-==-C d dv d dv x m

m t m u m

000ρσρσσ

∴

0)(0=-+u m m

dt

d C X σσσ 又：

)(m l t C

X

στ-= ∴ 0)()]

([0=-+-u m m

m l dt

d t σσσστ 在本题中，残余应变段的长度尽头的应力应等于Y 。 由公式（5－27）：

)]([)(00

11

max

t t t t t t t t m ---

=

σσ 在本题中：01max 2,4t t Y ==σ

Y t t t t Y

t m =--=

)](2[4)(00

σ 解得：002)237(4

1

t t t >+=

∴ 应采用公式（5－28）：

)()(1020

max

t t t t t t m --=

σσ

在本题中：01max 2,4t t Y ==σ

Y t t t t Y t m =--=

)2(4)(2

020σ 解得：08

33t t =

代入公式（5－26）得：

1021)(t t t C t X -==ϕ

的应力载荷

O

O

图Ⅳ－35

作用于杆端

2

021]2)8

33[(

t C -=＝01831t C =＝008031t C =

5－8 有一线性硬化材料的半无限长杆，其屈服应力为Y ，弹性波速C 0和塑性

波速C 1均已知，且C 1＝C 0/5。若在杆端作用的应力载荷为：

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201)(t t P t m σ

当式中的Pm 分别为2Y 和4Y 时，试采用迭代近似法、幂级数展开法和刚性卸

载近似法等多种方法来确定杆中残余应变段的长度，并对这些方法的结果进行比较。 解：（1）幂级数展开法

5

1

01==

C C μ )(2)()1()()1(0t X vX m m σσμσμ=--+

n n m X b X ∑=)(σ，n n n m X v b vX ∑=)(σ，n n t P t ∑-=)(0σ，X C t 0

1

+=

μ。

∴ n

n n n

n n X P C X b ∑∑+-=---++)1(2)]1()11)(1[(0

μμμμμ

)

1()1

1)(1()1

(

20

---+++=

μμμμμn

n

n n C P b

∵ m P P =0 ∴m P b -=0 ∵ 01=P ∴01=b

∵ 202t P P m -= ∴m P t C b 20

202

222)13()1(+-=μμ ∴ ⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---=20202222)13()1(1)(t C X P X m m μμσ 代入μ得：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-

-=200)(191441)(t C X P X m m σ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=Y

Y P X m A m 19

4019

201910)(σ

0-0.2Pm -0.4Pm -0.6Pm -0.8Pm -Pm -1.2Pm

X P

X S

P 点在OA 之外。 ①、∵Y X A m 19

20)(-=σ ∴

)()(1S m P m X v X σσ-=，∴ )()2/3)(A m S m X Y X σσ>-=，∴ S 点在OA 之间。

002419t C X S =

，∴ 0000272.016

19t C t C X P == ②、∵Y X A m 19

40

)(-

=σ P →S 得：)()2/3)(A m S m X Y X σσ<-=，∴ S 点在OA 之外。 S →T 得：)()4/9)(A m T m X Y X σσ>-=，∴ T 点在OA 之间。 求得：0048

133

t C X T =

，∴ 00002541.0641333t C t C X v X T P ==

= (2)、刚性卸载法 ∵ dt

dv C t t m

m 100)()(ρσσ=- （1）

)()(10y m y m v v C t --=-ρσσ （2）

由（2）：m m dv C t d 10)(ρσ-=

由上述公式得出常微分方程，并解之得：

)31()(1)(2

200t t P dt t t t m t m --==⎰σσ （3） 由（3）得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==Y

Y P t m m 3

83

4

32)(0σ ，绝对值大于Y ，∴ P 点在A ’之上。

∴ 由（1），（2）式的原理得：∵ 0)

()(=+dt

t d t

t m m σσ 同（3）式原理得：00)

()(t t

t t m m σσ=

（4）

∴ 当Y t m -=)(σ时，求得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=)4( (3)

8)

2.........(34

)(00

0Y t Y t Y t t m P σ

m

X P