马柯维茨均值-方差模型
投资组合理论马克维茨均值方差模型CAPMppt课件
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马柯维茨的资产组合理论
马柯维兹(Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代 投资理论发展的开端。
马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大 学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助 研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导 师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。 凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。
➢ 对于所有投资者，信息是免费的且是立即可得到的；
➢ 投资者具有相同的预期（同质期望），所有投资者对
期望回报率、标准差和证券之间的协方差有相同的理
解，即他们对证券的评价和经济形势的看法都一致。
通过这些假设，模型将情况简化为一种极端的情形：证
券市场是完全市场，每一个人都有相同的信息，并对
证券的前景有一致的看法，这意味着投资者以同一方
萨缪尔森 Samuelson
蒙代尔 (Robert A. Mundell)
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➢ 现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M. Markowitz发表的《投资组合选择》为标志
➢ 1964、1965、1966年林特纳（John Lintner）、布 莱克（Fischer Black）和摩森（Jan Mossin）三人 分别独立提出资本资产定价模型。1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产 定价模型（Capital asset pricing model，CAPM）
( w3 w1
31 w3 w2
32 )
2w1w2
12 2 w1w3
13 2 w2 w3
均值-方差模型优化
均值-方差模型优化目录1.均值-方差模型原理 (1)2.均值方差模型改进方向 (5)2.1分层筛选 (5)2.2控制最大回撤 (5)2.3控制VaR (6)3.实验结果比较 (6)3.1控制回撤和VaR (6)3.1.1实验1 (6)3.1.2实验二 (7)3.2基于指标等权进行配置 (8)3.3加牛熊市分解线 (8)3.3.1实验一 (8)3.3.2 (9)4.结果与讨论 (10)本研究基于最大回撤和VaR在险价值对马科维茨进行优化，并讨论了基于牛市后期更精准的风险控制策略。
研究结果表明，最大回撤和VaR的使用，可以确保投资者在面临风险的过程中，相对于原始马科维茨，获得更加的收益。
本研究应对存在高风险资产的情况时，效果更加。
1.均值-方差模型原理美国经济学家马柯维茨于1952年3月在《金融杂志》上发表了一篇题为《证券组合选择》的论文，并于1959年出版了同名专著，详细论述了证券收益和风险的主要原理和分析方法，建立了均值－方差证券组合模型的基本框架。
马柯维茨的投资组合理论认为，投资者是风险回避的，他们的投资愿望是追求高的预期收益，他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险。
马柯维茨根据风险分散原理，应用二维规划的数学方法，揭示了如何建立投资组合的有效边界，使边界上的每一个组合在给定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的情况下风险最小。
同时马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响。
（一）马柯维茨理论是建立在下面几个前提假设上的：1、呈现在投资者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分布，即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资；2、投资者为理性的个体，服从不满足和风险厌恶假设，投资者的目标是单期效用最大化，而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点；3、投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险；4、投资者仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定，所以他们的效用函数只是预期风险和收益的函数；5、在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益，另一方面，在给定预期收益后，投资者偏好更低的风险。
投资组合管理中的资产配置模型
投资组合管理中的资产配置模型资产配置是投资组合管理中的重要环节，旨在平衡投资者的风险和回报预期。
为了实现这个目标，投资者需要借助资产配置模型，将资金分配到不同的资产类别中。
本文将介绍几种常见的资产配置模型，包括马科维茨均值-方差模型、资本市场线模型和资产组合的最优分配模型。
1. 马科维茨均值-方差模型马科维茨均值-方差模型是资产配置中最经典的模型之一。
它通过考虑不同资产之间的相关性和预期收益率来计算资产的风险和预期收益。
该模型的核心思想是通过分散投资来降低风险，即在多个资产之间进行组合投资。
具体来说，该模型通过计算投资组合的期望收益率和方差，并构建有效边界，找到具有最佳收益风险比的投资组合。
2. 资本市场线模型资本市场线模型是基于资本资产定价模型（CAPM）的资产配置模型。
它认为投资组合的预期收益率应该与投资组合的贝塔值相关，贝塔值反映了投资组合相对于市场的风险敏感度。
该模型通过选择合适的贝塔值来实现投资组合的最优配置。
具体来说，投资者可以通过加权分配市场组合和无风险资产来确定最佳配置比例，以实现期望收益率与风险的平衡。
3. 资产组合的最优分配模型资产组合的最优分配模型是基于现代投资组合理论和均值-方差分析的模型。
它通过将资产配置问题转化为数学规划问题，以找到投资组合的最优分配比例。
具体来说，该模型考虑投资者的风险偏好和预期收益率，通过最小化投资组合的风险和最大化投资组合的预期收益率，找到最佳的资产配置比例。
综上所述，投资组合管理中的资产配置模型对于实现投资目标至关重要。
不同的模型可以根据投资者的需求和风险偏好进行选择和应用。
通过合理的资产配置，投资者可以在获取较高回报的同时有效控制投资风险，最大化投资组合的效益。
然而，投资决策需要基于充分的市场研究和分析，以及对资产配置模型的准确理解和应用。
均值—方差证券资产组合理论
均值—方差证券资产组合理论1. 简介均值—方差证券资产组合理论，也被称为马科维茨模型，是现代投资组合理论的基础。
该理论由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出，并在1959年获得了诺贝尔经济学奖。
这一理论通过权衡资产组合的预期收益率和风险来寻找最佳的投资组合。
2. 理论原理均值—方差证券资产组合理论的核心原理在于风险与收益之间的平衡。
根据该理论，投资者可以通过有效的资产配置，实现在给定风险水平下最大化投资组合的预期收益率。
具体来说，均值—方差模型在计算资产组合时，考虑了以下两个重要指标：2.1 均值均值指的是资产组合的预期收益率。
通过对各个资产的历史数据进行分析和估计，可以计算出每个资产的预期收益率，并据此求得资产组合的整体预期收益率。
2.2 方差方差表示资产组合的风险程度。
在均值—方差模型中，方差用于衡量资产之间的波动性和相关性。
如果两个资产的收益变动具有较高的相关度，那么它们之间的方差较小；反之，如果两个资产的收益变动独立或者相关度较低，那么它们之间的方差较大。
3. 资产组合优化基于均值—方差证券资产组合理论，投资者可以通过优化资产组合来实现风险与收益之间的最佳平衡。
具体的资产组合优化包括以下几个步骤：3.1 数据准备在优化资产组合之前，首先需要收集并整理相关的数据。
这些数据包括各个资产的历史收益率、期望收益率以及方差。
通常，投资者可以通过金融数据提供商或者证券公司获取这些数据。
3.2 风险-收益曲线通过对各个资产的历史数据进行分析和计算，可以得到不同投资组合的风险和收益指标。
在优化资产组合之前，投资者可以绘制出风险-收益曲线，以便直观地了解不同投资组合之间的收益和风险的关系。
3.3 最优组合根据风险-收益曲线，可以找到在给定风险水平下具有最高预期收益率的投资组合。
这个投资组合被称为最优组合，也是均值—方差模型的核心输出。
3.4 边际效益在确定最优组合后，投资者可以通过计算边际效益来衡量每个资产对投资组合的贡献。
马科维茨均值-方差模型python
马科维茨均值-方差模型python马科维茨均值-方差模型是用来确定投资组合的最优化分析模型。
本文将介绍如何使用Python实现该模型。
首先需要导入所需的Python库：```pythonimport pandas as pdimport numpy as npfrom scipy.optimize import minimizeimport matplotlib.pyplot as plt```接下来，我们需要获取收益率数据。
这里我们使用了一个样本数据进行演示。
数据文件中包含了5只股票的每日收益率数据。
```python# 获取收益率数据stock_returns = pd.read_csv("data.csv")stock_returns.head()```然后，我们需要计算每只股票的收益率的平均值（期望收益率）和协方差矩阵（即方差-协方差矩阵）：```python# 计算期望收益率和方差-协方差矩阵expected_returns = stock_returns.mean()cov_matrix = stock_returns.cov()```接下来，我们需要定义一个目标函数，该函数将最小化投资组合的方差：```python# 定义目标函数def portfolio_volatility(weights, cov_matrix):port_variance = np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix, weights))return np.sqrt(port_variance)```然后，我们需要定义一个约束条件，即所有股票的权重之和必须等于1：```python# 定义约束条件def constraint(weights):return np.sum(weights) - 1```现在，我们可以使用SciPy中的minimize函数来寻找投资组合的最优化解。
马克维茨的均值方差模型
马科维茨的均值一方差组合模型(重定向自均值方差模型)马科维茨的均值一方差组合模型(Markowitz Mean-Variance Model，Markowitz Model简称MM)[编辑]马科维茨的均值一方差组合模型简介证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险。
那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。
正是在这样的背景下，在50年代和60年代初，马可维兹理论应运而生。
[编辑]马科维茨模型的假设条件该理论依据以下几个假设：1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。
2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。
3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。
4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型：目标函数：minб2(rp)=∑ ∑xixjCov(ri-rj)rp= ∑ xiri限制条件：1=∑Xi （允许卖空）或1=∑Xi xi>≥0（不允许卖空）其中rp为组合收益，ri为第i只股票的收益，xi、xj为证券i、j的投资比例，б2(rp)为组合投资方差(组合总风险)，Cov (ri 、rj ) 为两个证券之间的协方差。
该模型为现代证券投资理论奠定了基础。
上式表明，在限制条件下求解Xi 证券收益率使组合风险б2(rp )最小，可通过朗格朗日目标函数求得。
其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。
不同的期望收益就有不同的最小方差组合，这就构成了最小方差集合。
[编辑]马科维茨模型的意义马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风险的决定因素，而且更为重要的是还揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论，即资产（单个资产和组合资产）由其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标准差来决定，组合资产价格由其协方差来决定。
第12章 马可维兹均值方差模型
NumAssets = 3; ExpReturn = [0.000540 0.000275 0.000236]; ExpCovariance = 0.0001*[5.27 2.80 1.74; 2.80 4.26 1.67; 1.74 1.67 2.90 ]; NumPorts =5; PVal = 1; AssetMin = 0; AssetMax = [0.5 0.9 0.8]; GroupA = [1 0 0]; GroupB = [0 1 1]; GroupMax = [0.50,0.8]; AtoBmax = 1.5; ConSet = portcons('PortValue', PVal, NumAssets,'AssetLims',... AssetMin, AssetMax, NumAssets, 'GroupComparison',GroupA, NaN,... AtoBmax, GroupB,GroupMax ); portopt(ExpReturn, ExpCovariance,... NumPorts, [], ConSet)
12.4 约束条件下有效前沿
输入参数： ExpReturn：资产预期收益率； ExpCovariance：资产的协方差矩阵； NumPorts：（可选）有效前沿上输出点的个数，默认为10； PortReturn：（可选）给定有效前沿上输出点回报求方差； ConSet：组合约束，一般通过portcons进行设置；
12.4 约束条件下有效前沿
在实际构建投资组合时要考虑到合法合规或者风险管理等限制条件，这样会给 组合构建带来约束，例如基金“双百分之十规则”：基金投资于某一证券的市值不 能超过基金资产的10%，基金投资于某一上市公司股票不能超过该公司市值的10%； MATLAB求解约束条件下有效前沿的函数为portopt。 函数语法： ［PortRisk, PortReturn, PortWts］ = portopt(ExpReturn, ExpCovariance, NumPorts, PortReturn, ConSet, varargin)
985院校优秀本科论文--马科维茨的均值—方差模型
985院校优秀本科论文--马科维茨的均值—方差模型D还有科学性的评估等。
在西方很多国家股票投资组合作为一种很有效的投资方法已经得到了很广泛的推广。
投资组合理论为西方资本主义国家的繁荣昌盛和国家平稳发展起到了非常重要的作用。
有数据表明：西方资本主义国家投身于股票投资市场的人差不多达到了7/10左右，另外统计显示大约33%的投资者都是用这个理论来科学的投资。
[2]关于股票投资组合的理论有很多，其中包括马科维茨的均值—方差理论、套利定价理论和期权定价理论等。
本文将通过运用马科维茨均值—方差理论来解决股票投资组合问题中的风险收益问题。
1.2研究意义股票作为一种投资行为难免会有一定的风险，由此利用合理的股票投资组合方案来降低投资中的风险是非常重要的。
在漫长的历史长河中，股票投资组合理论经过漫长的发展和不断积累，使得它有了非常丰富的内容。
股票投资组合理论作为股票投资市场的工具为企业投资时的前期分析给与了有力的帮助。
投资者在应用时往往受到限制，因为不能把理论和现实投资方案很好的联系起来。
因此本文将通过优化股票投资组合理论，使得股票投资组合能够更真实的反映出投资者股票投资的过程。
本篇文章主要是在已有的基础上对马科维茨投资理论模型的运用和着重研究企业投资者如何对股票投资方案优化的问题。
从股票投资的不同角度而言，企业进军股票投资的势头已经成为必然，针对不同规模企业的现状不同和不同的投资需求，就要求做出不同的并且可行的投资方案；另外对于控制股票投资风险的能力依然有着很多的问题，特别是企业，它不同于其它投资个体，投资规模往往大很多。
因此怎样才能使得股票投资组合最优化是一个具有研究价值的现实问题。
2.1股票投资组合理论传统的股票投资理论主要是建立在定性和经验分析的基础上，包括基本分析方面和技术分析方面。
它认为股票价格的变动由外部环境变化决定，或内部因素影响，没有涉及对整个股市变化规律和投资者影响的研究。
现代股票投资组合理论一般都是建立在有效市场假说的基础之上，有效市场假说是最早研究整个股票市场有效性及其变化规律的系统理论，通过投资者的理性，信息、价格、投资者之间的反应机制，以及收益率的变化规律等描述了一个均衡、独立、随机的股票市场。
马克维兹的投资组合模型
马克维兹的投资组合模型
马克维兹的投资组合模型，也被称为均值-方差模型，是现代
投资组合理论的基础。
该模型利用资产的历史收益率数据，将投资组合的预期收益率与风险相结合，以找到一个最优的投资组合。
该最优投资组合在给定预期收益率下，能最大化投资者对风险的偏好。
马克维兹的投资组合模型具体进行如下步骤：
1. 收集资产历史收益率数据：收集投资组合中各个资产的历史收益率数据。
2. 计算资产的预期收益率：根据历史数据，计算出每个资产的预期收益率（即平均收益率）。
3. 计算资产的协方差矩阵：根据历史数据，计算出每两个资产之间的协方差，构成资产间的协方差矩阵。
4. 设定风险偏好参数：投资者需设定一个风险偏好参数，即风险厌恶程度。
5. 构建有效前沿：通过对不同权重的资产组合进行计算，可以构建出有效前沿，即可达到最高预期收益的最小风险投资组合。
6. 选择最优投资组合：根据投资者的风险偏好，选择位于有效前沿上的某个点作为最优投资组合。
7. 动态调整：随着市场环境的变化和投资者的期望调整，可以通过重新计算和选择最优投资组合来进行动态调整。
马克维兹的投资组合模型为投资者提供了一个有理论依据的方法来构建最优投资组合，同时也在风险管理方面起到了重要作用。
马克维茨均值-方差模型
马克维茨均值-方差模型马克维茨均值方差模型（Markowitz MeanVariance Model）是投资组合理论中的一种经典模型，旨在求解投资组合中各个资产的权重，以达到最优的风险收益平衡。
本文将一步一步回答与该模型相关的问题，并详细探讨其应用和局限性。
第一步：理解均值方差模型的基本概念马克维茨均值方差模型的核心思想是基于投资者根据期望收益和风险偏好，通过构建有效前沿，选择最优的投资组合。
其中，均值是指资产的期望收益，方差是指资产收益的波动程度。
该模型假设投资者的决策基于"均值方差效用函数"，并将投资者的目标简化为寻找最大化投资收益或最小化投资风险的点。
第二步：计算资产预期收益率和协方差矩阵在马克维茨均值方差模型中，首先需要计算各个资产的预期收益率和协方差矩阵。
预期收益率可以通过历史数据或专业分析师的预测得出。
协方差矩阵则衡量不同资产之间的相关性和波动性，反映了资产收益的联动程度。
通过计算预期收益率和协方差矩阵，可以为后续的建模提供基础数据。
第三步：优化模型求解最优投资组合在构建投资组合时，需要设定投资者的目标和约束条件。
目标可以是最大化预期收益或最小化投资风险，约束条件可以包括资产权重的上下限、风险承受能力等。
利用数学优化方法，如线性规划或二次规划，可以求解出最优投资组合，即在给定约束条件下最大化预期收益或最小化投资风险。
第四步：有效前沿和资产配置通过改变投资组合中不同资产的权重，可以构建不同的投资组合。
根据马克维茨均值方差模型，我们可以绘制出一个被称为"有效前沿"的曲线，表示在给定风险水平下，能够达到的预期收益的最优组合。
有效前沿帮助投资者了解可行的投资组合，从中选择最佳的配置方案。
第五步：风险敞口和资产多样化马克维茨均值方差模型强调了通过资产多样化来降低投资风险。
投资者可以通过在投资组合中加入不同类型、不同行业、不同地域等各类资产，从而分散和平衡风险。
马柯维茨均值-方差模型
马柯维茨均值-方差模型在丰富的金融投资理论中，组合投资理论占有非常重要的地位，金融产品本质上各种金融工具的组合。
现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。
从历史发展看，投资者很早就认识到了分散地将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。
但是第一个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马柯维茨(Markowitz)以及他所创立的马柯维茨的资产组合理论。
1952年马柯维茨发表了《证券组合选择》，标志着证券组合理论的正式诞生。
马柯维茨根据每一种证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。
马柯维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时十分精确，但是在处理含有较多证券的组合时，计算量很大。
马柯维茨的后继者致力于简化投资组合模型。
在一系列的假设条件下，威廉·夏普(William F. Sharp)等学者推导出了资本资产定价模型，并以此简化了马柯维茨的资产组合模型。
由于夏普简化模型的计算量相对于马柯维茨资产组合模型大大减少，并且有效程度并没有降低，所以得到了广泛应用。
1 模型理论经典马柯维茨均值-方差模型为：21min max ()..1p T p n i i X XE r X R s t x σ=⎧⎪=∑⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑T 其中，12(,,...,)T n R R R R =；()i i R E r =是第i 种资产的预期收益率；12(,,...,)T n X x x x =是投资组合的权重向量；()ij n n σ⨯=∑是n 种资产间的协方差矩阵；()p p R E r =和2p σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
点睛：马柯维茨模型以预期收益率期望度量收益；以收益率方差度量风险。
证券投资组合理论-马科维兹的均值一方差模型
2020/5/14
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❖ 瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予 纽约大学哈利.马科维茨（Harry Markowitz） 教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱 工作—资产组合选择理论。
2020/5/14
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主要贡献
❖ 发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的 选择资产组合理论：均值方差方法 Mean-
下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效边
界上选择投资组合。根据马科维兹资产组合的概念，
欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的
股票之外，还应挑选相关系数较低的股票。因此，
马科维兹的“均值－方差组合模型”不只隐含将资
金分散投资于不同种类的股票，还隐含应将资金投
资于不同产业的股票。同时马科维兹均值－方差模
2020/5/14
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❖ 投资组合理论的基本思想：投资组合是一个 风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通 过分散化的投资来对冲掉一部分风险。
——“nothing ventured, nothing gained”
——"for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“
最后，通过求解二次规划，可以算出有 效投资组合的集合，计算结果指明各种 证券在投资者的资金中占多大份额，以 便实现投资组合的效性——即对给定的 风险使期望回报率最大化，或对于给定 的期望回报使风险最小化。
2020/5/14
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一些需准备的概念
1.证券投资组合的选择
❖狭义的定义：是指如何构筑各种有价 证券的头寸（包括多头和空头）来最 好地符合投资者的收益和风险的权衡。
马科维茨方差模型
• 马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风 险的决定因素，而且更为重要的是还揭示了“资 产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这 一重要结论，即资产（单个资产和组合资产）有 其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标 准差来决定，组合资产价格由其协方差来决定。 马科维茨的风险定价思想在他创建的“均值—方 差”或“均值—标准差”二维空间中投资机会集 的有效边界上表现得最清楚。
大家好
1
马科维茨.均值方差模型
小组成员 ：陆芳，1927年8月24日出生 于美国伊利诺伊州。马科维茨 于1950年、1952年在芝加哥大 学连续获得经济学硕士、博士 学位。马科维茨一生有专著及 合著7本，重要理论文章30余篇， 研究范围涉及金融微观分析及 数学、计算机在金融经济学方 面的应用。他的理论也曾影响 了他的同时代学者。由于其出 色的、开创性的工作，马科维 茨与威廉夏普及默顿猥勒分享 了1990年诺贝尔经济学奖。
的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
5
• 根据以上假设，马科维茨确立了证券组合预期收益、风险的计算方法 和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型：
• 目标函数：minб2(rp)=∑ ∑xixjCov(ri-rj)
• rp= ∑ xiri
• 限制条件： 1=∑Xi （允许卖空）
• 或 1=∑Xi xi>≥0（不允许卖空）
• 其中rp为组合收益， ri为第i只股票的收益，xi、 xj为证券 i、j的投 资比例，б2(rp)为组合投资方差(组合总风险)，Cov (ri 、rj ) 为两个 证券之间的协方差。该模型为现代证券投资理论奠定了基础。上式表 明，在限制条件下求解Xi 证券收益率使组合风险б2(rp )最小，可通 过朗格朗日目标函数求得。其经济学意义是，投资者可预先确定一个 期望收益，通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投 资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。不同的期望收益就 有不同的最小方差组合，这就构成了最小方差集合。
第十四章_马克维茨均值方差模型
第十四章马克维茨均值方差模型第一节可行域和合法的证券组合以期望收益率E P为纵坐标、以标准差σP为横坐标建立坐标系。
确定了每个证券的投资比例（权数），就确定了证券组合，并可以计算组合的E P和σP，因此，证券组合对应于E P―σP中的一个点。
反过来，E P―σP中的某个点有可能对应某个证券组合。
如果选择了全部的可以选择的投资比例，那么，众多的证券组合在E P―σP中的点将组成一个E P―σP中的区域，这就是可行域（f e a s i b l e s e t）。
只有可行域中的点所对应的组合才是"有可能实现"的证券组合。
设有n种证券，记作A1，A2，…，A n，证券组合P＝（x1，x2，…，x n）表示将资金分别以权数x1，x2，…，x n，投资到证券A1，A2，…，A n。
假设证券A i的期望收益率为E r i则，组合P的期望收益率和方差的计算公式为：第十四章马克维茨均值方差模型第二节有效边界和有效组合马克维茨假设：投资者以期望收益率衡量未来收益率，以收益率方差来衡量收益率的风险；投资者总是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。
共同偏好认为：如果两种证券组合的收益率标准差（风险）相同，期望收益率不同，选择期望收益率高的；如果两种证券组合的期望收益率相同，风险不同，选择风险小的组合；如某证券组合比另一证券组合的风险小，而期望收益率高，选择前一种组合。
如果从图形看，任何一个点都一定比这一点"西北方（左上方）"或"正北方"的点"坏"。
选择最优的证券组合相当于在可行域中选择一个最满意的点，在这一点上均值和方差这两个目标达到最佳的平衡。
首先可以排除很多的点，余下的是共同偏好不能区分好坏的组合，也就是有效证券组合。
有效组合组成的曲线叫有效边界。
可行域的左上方边界就有效边界。
可行域中的任意组合，均可以在有效边界上找到一个有效组合比它好。
马科维茨的均值一方差组合模型
马科维茨的均值一方差组合模型马科维茨的均值一方差组合模型(Markowitz Mean-Variance Model，Markowitz Model简称MM)马科维茨的均值一方差组合模型简介证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险。
那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。
正是在这样的背景下，在50年代和60年代初，马可维兹理论应运而生。
马科维茨模型的假设条件该理论依据以下几个假设：1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。
2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。
3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。
4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型：目标函数：minб2(rp)=∑ ∑xixjCov(ri-rj)rp= ∑ xiri限制条件：1=∑Xi （允许卖空）或1=∑Xi xi>≥0（不允许卖空）其中rp为组合收益，ri为第i只股票的收益，xi、xj为证券i、j的投资比例，б2(rp)为组合投资方差(组合总风险)，Cov (ri、rj ) 为两个证券之间的协方差。
该模型为现代证券投资理论奠定了基础。
上式表明，在限制条件下求解Xi 证券收益率使组合风险б2(rp )最小，可通过朗格朗日目标函数求得。
其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。
不同的期望收益就有不同的最小方差组合，这就构成了最小方差集合。
马科维茨模型的意义马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风险的决定因素，而且更为重要的是还揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论，即资产（单个资产和组合资产）由其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标准差来决定，组合资产价格由其协方差来决定。
一、马克威兹的均值方差模型
⼀、马克威兹的均值⽅差模型马克威兹于1952年在《财务学杂志》上发表了《portfolio selection》的论⽂，这不仅是投资理论的重⼤进展，也标志着现代投资理论发展的开端。
马克威兹出⽣于1927年8⽉出⽣于芝加哥⼀个店主家庭，⾼中毕业后进⼊芝加哥⼤学读经济学，在考尔斯基⾦会研究负责⼈马查克教授门外等候接见时，有⼀个⾃称是股票经纪⼈的长者建议他研究股票市场，当马克威兹把这个想法告诉马查克时，马查克欣然同意，但认为⾃⼰的专长不适合做这个⽅向的导师，就将马克威兹介绍给了芝加哥⼤学商学院院长、《财务学杂志》主编凯彻姆教授，凯彻姆要求马克威兹去读⼀读《投资价值理论》⼀书。
马克威兹读书的时候想，为什么许多投资者并不是简单的选择内在价值最⼤的股票，并在投资时往往投资不同的股票，甚⾄还会同时投资于股票、债券等不同的⾦融⼯具呢?马克威兹终于想明⽩了，投资者不仅要考虑收益，还要考虑风险，分散投资是为了分散风险。
同时考率投资的收益和风险，马克威兹是第⼀⼈。
例如，当时在美国投资界⽐较有影响⼒的华尔街经纪⼈洛布认为，分散投资是投资者信⼼不⾜的表现。
曾经在股票市场投资并⼤有斩获的英国经济学家凯恩斯也主张集中投资，认为选择⼀家保险公司⽐很多家了解不⾜的公司要好很多。
马克威兹运⽤在库普曼教授课堂中学到的线性规划知识来处理收益和风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合⽅法，在此基础上完成了博⼠论⽂。
当时的答辩委员，也即以后的经济学家弗⾥德曼说，这不是经济学，也不是数学或企业管理的内容。
论⽂发表后，马克威兹继续研究这⼀问题，1959年出版了《投资组合选择：有效率分散投资的策略》⼀书，书中不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进⾏正确的分散⽅法。
1987年，马克威兹⼜发表了《投资组合选择与资本市场中的均值-⽅差分析》⼀书，全⾯阐述了她的观点，该理论建⽴在⼀系列严格的假说上，⽤证券或证券组合的期望收益表⽰其收益期望收益率的⽅差表⽰组合的⽅差，通过建⽴⼆次规划模型求解有效证券组合，并根据⽆差异曲线，求得最优解，主要内容包括：基本的均值⽅差模型、证券投资组合的可⾏性、有效组合与有效边界、最满意证券组合的选择。
02-4.2马科维茨均值-方差模型
股票B 1.225 1.290 1.216 0.728 1.144 1.107 1.321 1.305 1.195 1.390 0.928 1.715
股票C 1.149 1.260 1.419 0.922 1.169 0.965 1.133 1.732 1.021 1.131 1.006 1.908
投资组合的收益率 R = x1 R1 + x2 R2 + x3 R3 决策目标： min Var(R)
约束条件： ER≥ 15% x1 + x2 + x3 = 1 x1, x2 , x3 ≥ 0
（期望年收益率至少达到15%） （资金全部用完，不允许剩余） （不允许融资融券、买空卖空）
02 马科维茨均值- 方差模型
02
马科维茨均值- 方差模型
02 马科维茨均值- 方差模型
概率论基本知识： 随机变量、密度函数
随机变量的均值（期望值）
X
EX
xf (x)dx
随机变量的方差
2 X
Var( X )
E(X EX )2 EX 2 (EX)2
随机变量的协方差、相关系数
XY cov(X ,Y )
E[(X EX )(Y EY )] E( XY ) (EX )(EY )
XY
XY XY
cov(X ,Y ) Var( X )Var(Y )
02 马科维茨均值- 方差模型
假设：每种资产的收益用随机变量描述 其分布规律可以根据历史数据或其他方法预测得 到
收益的均值（期望值）衡量这种资产的平均收益状况 收益的方差(或标准差)衡量这种股票收益的波动幅度
两种资产收益的协方差表示它们之间的相关程 度
股票指数 1.258997 1.197526 1.364361 0.919287 1.057080 1.055012 1.187925 1.317130 1.240164 1.183675 0.990108 1.526236
马克维茨的均值方差模型
马科维茨的均值一方差组合模型(重定向自均值方差模型)马科维茨的均值一方差组合模型(Markowitz Mean-Variance Model，Markowitz Model简称MM)[编辑]马科维茨的均值一方差组合模型简介证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险。
那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。
正是在这样的背景下，在50年代和60年代初，马可维兹理论应运而生。
[编辑]马科维茨模型的假设条件该理论依据以下几个假设：1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。
2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。
3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。
4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型：目标函数：minб2(rp)=∑ ∑xixjCov(ri-rj)rp= ∑ xiri限制条件：1=∑Xi （允许卖空）或1=∑Xi xi>≥0（不允许卖空）其中rp为组合收益，ri为第i只股票的收益，xi、xj为证券i、j的投资比例，б2(rp)为组合投资方差(组合总风险)，Cov (ri 、rj ) 为两个证券之间的协方差。
该模型为现代证券投资理论奠定了基础。
上式表明，在限制条件下求解Xi 证券收益率使组合风险б2(rp )最小，可通过朗格朗日目标函数求得。
其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。
不同的期望收益就有不同的最小方差组合，这就构成了最小方差集合。
[编辑]马科维茨模型的意义马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风险的决定因素，而且更为重要的是还揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论，即资产（单个资产和组合资产）由其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标准差来决定，组合资产价格由其协方差来决定。
第十四章马柯维茨均值方差模型
无差异曲线
本来不能比较好坏的就可以就可以比 较了
图中C比A好，A比D好 补充：无差异曲线 其实就是效用相等的点 组成的曲线 而且满足几个性质
确定最佳证券组合点 无差异曲线族与有效边界的切点
马柯威茨均值方差模型的应用
第一步，估计各单个证券的期望收益率、 方差，以及每一对证券之间的相关系数。
判断组合好坏的标准
补充说明： 严格意义的“好”是指效用最大 这里进行了简化
有效边界和有效组合
可行域左上方的边界＝有效边界 有效边界上的点对应的组合＝有效
组合 只有有效组合才可能是最优组合 有效边界上的点不能直接比较“好
坏”
无差异曲线
补偿的要求，可以得到 一系列满意程度相同（无差异）的证 券组合。
第二步，对于给定的期望收益率水平， 计算最小方差证券组合
理论上可行，实际操作很困难
如果选择了全部的可以选择的投资比 例，那么，每个组合的点将组成一个 区域。这个区域就是可行域（feasible set）
可行域中的点所对应的组合才是“有 可能实现”的。
可行域之外的点是不可能实现的
可行域必须满足的形状
判断组合好坏的标准
投资者总是希望期望收益率越高越好， 而方差越小越好
任何一个点都一定比这一点左上方的点 “坏”。比这一点右下方点“好”
第十四章 马克维茨均 值方差模型
第十四章马克维茨均值方差模型
可行域的含义 如果选定了每个证券的投资比例，就确
定了一个证券组合，进而可以计算这个 组合的期望收益率和标准差。 以期望为纵座标、标准差为横坐标
第十四章马克维茨均值方差模型
该组合就可在EP――σP坐标系中确定一个 点。因此，每个证券组合都对应于 EP――σP中的一个点。
马科维茨均值方差模型
马科维茨均值方差模型
马科维茨均值方差模型（Markowitz mean-variance model）是一种最优化投资策略，由美国经济学家哈耶克·马科维兹于1952年提出，认为投资人在决定投资组合时，追求
的主要收益可以理解为连续多年的未来收益，而集中多年内的投资风险对投资者也是必要的。
最优化投资是建立在马科维茨均值方差模型之上的，它是以平衡投资风险与投资收益
的原则来确定该投资资产组合最优化的参数。
马科维茨均值方差模型以投资风险为基本考虑因素，在评估和选取投资组合时，深刻
地考虑了来自投资机会的综合风险。
其核心思想是将投资的机会风险分解为投资组合的收
益回报之间的关系，考虑各种投资组合的风险和收益、以及其内部的多种风险因素，以便
优化投资的最佳组合，提升投资的内在价值。
主要思想和模型：
1、组合有效收益：用来描述投资组合所能获得的最大收益与不同组合间的有效收益
之间的关系。
2、均值方差组合:考虑投资组合中各资产的组合均值和波动性，它们可以归结为投资
组合的一个数字，它表明投资组合投资者正做出的风险程度。
3、最优化投资组合：把有效收益与均值方差组合结合，根据投资者设定对投资收益
期望值和投资重点，可以通过组合优化，选取出一个不同的投资组合。
因此，马科维茨均值方差模型可以被认为是一种分析市场风险特征及采用一种最佳投
资组合以便获得较好收益的投资方法，可以将多种资产的组合优化，把投资期望利益最大
化的基础投资组合与投资者的投资需求相结合，实现优化投资的目标。
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马柯维茨均值-方差模型在丰富的金融投资理论中，组合投资理论占有非常重要的地位，金融产品本质上各种金融工具的组合。
现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。
从历史发展看，投资者很早就认识到了分散地将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。
但是第一个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马柯维茨(Markowitz)以及他所创立的马柯维茨的资产组合理论。
1952年马柯维茨发表了《证券组合选择》，标志着证券组合理论的正式诞生。
马柯维茨根据每一种证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。
马柯维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时十分精确，但是在处理含有较多证券的组合时，计算量很大。
马柯维茨的后继者致力于简化投资组合模型。
在一系列的假设条件下，威廉·夏普(William F. Sharp)等学者推导出了资本资产定价模型，并以此简化了马柯维茨的资产组合模型。
由于夏普简化模型的计算量相对于马柯维茨资产组合模型大大减少，并且有效程度并没有降低，所以得到了广泛应用。
1 模型理论经典马柯维茨均值-方差模型为：21min max ()..1p T p n i i X XE r X R s t x σ=⎧⎪=∑⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑T 其中，12(,,...,)T n R R R R =；()i i R E r =是第i 种资产的预期收益率；12(,,...,)T n X x x x =是投资组合的权重向量；()ij n n σ⨯=∑是n 种资产间的协方差矩阵；()p p R E r =和2p σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
点睛：马柯维茨模型以预期收益率期望度量收益；以收益率方差度量风险。
在教课书中通常以资产的历史收益率的均值作为未来期望收益率，可能会造成“追涨的效果”，在实际中这些收益率可能是由研究员给出；在计算组合风险值时协方差对结果影响较大，在教课书中通常以资产的历史收益率的协方差度量资产风险与相关性，这种计算方法存在预期误差，即未来实际协方差矩阵与历史协方差矩阵间的存在偏差。
例1．以华北制药、中国石化、上海机场三只股票，如何构使用马柯维茨模型构建投资2 收益与风险计算函数 portstats 函数计算公式：()T p E r X R =2p X X σ=∑T其中，12(,,...,)T n R R R R =；()i i R E r =是第i 种资产的预期回报率；12(,,...,)T n X x x x =是投资组合的权重向量；()ij n nσ⨯=∑是n 种资产间的协方差矩阵；()p p R E r =和2p σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
函数语法：[PortRisk, PortReturn] = portstats(ExpReturn, ExpCovariance, PortWts) 输入参数：ExpReturn ：资产预期收益率ExpCovariance ：资产的协方差矩阵 PortWts ：资产权重 输出参数：PortRisk ：资产组合风险（标准差） PortReturn ：资产组合预期收益（期望）例：在例1中，假设等权重配置华北制药、中国石化、上海机场，则资产组合的风险与收益为多少？ M 文件：Portstatstest.mExpReturn = [0.000540 0.000275 0.000236]; ExpCovariance = 0.0001*[5.27 2.80 1.74; 2.80 4.26 1.67; 1.74 1.67 2.90 ]; PortWts=1/3*ones(1,3);[PortRisk, PortReturn] = portstats(ExpReturn, ExpCovariance,PortWts) >>PortRisk = 0.016617 PortReturn = 3.5033e-004注释： ones(n,m)为生产元素都为1的n ×m 矩阵, ones(1,3)=[1,1,1]. PortWts=1/3*[1,1,1]=[1/3, 1/3, 1/3]3 有效前沿计算函数马柯维茨均值-方差模型为经典的带约束的二次优化问题，在给定期望收益时，方差最小解唯一(可行解域为凸)，frontcon 使用，matlab 优化工具箱的fmincon 函数进行求解，fmincon 函数说明请参看附录。
frontcon 函数算法：11min min =max ()..1..1p p T Ti p nni i i i X XX XX R e E r X R s t x s t x σσ==⎧=∑⎧⎪⎪⎪=∑⎪⎪⎪⎪⎧=⇒⎨⎨⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩⎪⎪⎩⎪⎩∑∑T T 给定i e 计算相应风险最小的组合，即得到有效前沿上一点（有效组合），给定一系列ie 可以有效描绘出有效前沿。
组合的收益介于单个资产的最大收益与最小收益之间，例如示例中最大收益为0.0540%、最小收益为0.0236%，i e 为根据NumPorts 在最大收益与最小收益间进行等分即可。
函数语法：[PortRisk, PortReturn, PortWts] = frontcon(ExpReturn, ExpCovariance, NumPorts, PortReturn, AssetBounds, Groups, GroupBounds, varargin)输入参数：ExpReturn ：资产预期收益率；ExpCovariance ：资产的协方差矩阵；NumPorts ：（可选）有效前沿上输出点的个数，默认为10； PortReturn ：（可选）给定有效前沿上输出回报点个数； AssetBounds ：（可选）每种资产权重的上下限，例如，上海机场的最大持仓比例为10%； Groups ：（可选）资产分组，Groups （i,j ）=1表示第j 个资产属于第i 个群（例如，行业）；GroupBounds ：每个资产群约束(例如，某个行业配置能超过20%) 输出函数：PortRisk ：资产组合风险（标准差） PortReturn ：资产组合预期收益（期望） PortWts ：资产组合中各资产权重例: 在例1中，如何配置华北制药、中国石化、上海机场，则资产组合为有效组合？ M 文件：frontcontest.m程序源码：ExpReturn = [0.000540 0.000275 0.000236]; ExpCovariance =0.0001* [5.27 2.80 1.74; 2.80 4.26 1.67; 1.74 1.67 2.90 ]; NumPorts =10;[PortRisk, PortReturn, PortWts] = frontcon(ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts)>> PortRisk = 1.0e-002* 1.56531.57591.60741.65861.72771.81281.91292.02842.15672.2956PortReturn =1.0e-003 *0.28430.31270.34110.36950.39800.42640.45480.48320.51160.5400PortWts =0.1274 0.2456 0.6270 0.2270 0.1979 0.5751 0.3265 0.1503 0.5232 0.4261 0.1026 0.4713 0.5257 0.0549 0.4194 0.6253 0.0072 0.3675 0.7196 0 0.2804 0.8131 0 0.18690.9065 0 0.09351.0000 -0.0000 0.0000图1 投资组合有效前沿图直接运行frontcon(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts)则可画出图1；如果各个资产投资上限为50%，求解有效前沿？程序源码：ExpReturn = [0.000540 0.000275 0.000236];ExpCovariance = 0.0001*[5.27 2.80 1.74;2.80 4.26 1.67;1.74 1.672.90 ];NumPorts =10;AssetBounds=[0,0,0;0.5,0.5,0.5]%设置资产上限[PortRisk, PortReturn, PortWts] = frontcon(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts,[],AssetBounds)计算结果：1.0e-002*PortRisk =1.58181.58421.59141.60341.62001.64081.66491.69201.74121.9449PortReturn =1.0e-003 *0.30240.31400.32570.33740.34910.36080.37250.38410.39580.4075PortWts =0.1768 0.3232 0.50000.2209 0.2791 0.50000.2650 0.2350 0.50000.3091 0.1909 0.50000.3532 0.1468 0.50000.3954 0.1173 0.48730.4363 0.0977 0.46600.4773 0.0781 0.44460.5000 0.2005 0.29950.5000 0.5000 0.00004 约束条件下有效前沿在实际构建投资组合时候要考虑到合法合规或者风险管理等限制条件，这样会给组合构建带来约束，例如基金“双百分只十规则”：基金投资于一证券的市值不能超过基金资产的10%，基金投资于一上市公司股票不能超过该公司市值的10%；Matlab求解约束条件下有效前沿的为portopt函数；函数语法：[PortRisk, PortReturn, PortWts] = portopt(ExpReturn, ExpCovariance, NumPorts, PortReturn, ConSet, varargin)输入参数：ExpReturn：资产预期收益率ExpCovariance：资产的协方差矩阵NumPorts：（可选）有效前沿上输出点的个数，默认为10PortReturn：（可选）给定有效前沿上输出点回报ConSet：组合约束，一般通过portcons进行设置Varargin: 主要为优化算法中的一些参数输出函数：PortRisk：资产组合风险（标准差）PortReturn：资产组合预期收益（期望）PortWts：资产组合中各资产权重注释：portcons函数ConSet = portcons(varargin)portcons该函数比较复杂，本书使用举例的方式进行说明。